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はてなキーワード: 微分方程式とは
(Ω, ℱ, (ℱ_t)_t≥0, ℙ) を完備確率空間とし、ℋ = L²(Ω, ℱ, ℙ) をヒルベルト空間とする。
状態変数を無限次元ヒルベルト空間 𝒳 の要素 x_t ∈ 𝒳 とする。
dx_t = A(x_t)dt + B(x_t)dW_t
ここで、A: 𝒳 → 𝒳 は非線形作用素、B: 𝒳 → ℒ₂(𝒰, 𝒳) はヒルベルト空間値作用素、W_t は 𝒰-値のシリンドリカルウィーナー過程である。
代表的主体の価値汎関数 V: 𝒳 → ℝ を以下のように定義する：
V(x) = sup_α∈𝒜 𝔼[∫₀^∞ e⁻ᵖᵗ ⟨U(c_t, l_t), μ⟩ dt | x₀ = x]
ここで、𝒜 は許容制御の集合、ρ > 0 は割引率、U: 𝒳 × 𝒳 → 𝒳 は効用作用素、μ は 𝒳 上の測度、⟨·, ·⟩ は内積を表す。
最適性の必要条件として、以下の無限次元 HJB 方程式が成立する：
ρV(x) = sup_{c,l} {⟨U(c,l), μ⟩ + ⟨A(x), DV(x)⟩ + ½tr(B(x)B*(x)D²V(x))}
ここで、DV と D²V はそれぞれ V のフレシェ微分と二階フレシェ微分、B* は B の共役作用素である。
ρV(x) = sup_{c,l} {⟨U(c,l), μ⟩ + ⟨A(x), DV(x)⟩ + ½tr(B(x)B*(x)D²V(x))}
Y(x) = F(K(x), L(x))
C(x) + I(x) = Y(x)
DU_c(C(x), L(x)) = DV(x)
DU_l(C(x), L(x)) = DV(x)F_L(K(x), L(x))
ここで、F, K, L, C, I はすべて 𝒳 上の非線形作用素である。
N(dt, dm) = ∑_i δ_{(T_i, M_i)}(dt, dm)
ここで、(T_i, M_i) は価格改定のタイミングと大きさを表す二重確率点列、δ はディラックのデルタ測度である。
dπ_t = (𝒜π_t + 𝒦y_t)dt + 𝒮dW_t^π
ここで、𝒜 は線形作用素、𝒦 は非線形作用素、𝒮 はヒルベルト空間値作用素、W_t^π は 𝒳-値のシリンドリカルウィーナー過程である。
di_t = Θ(ī - i_t)dt + Φ_π dπ_t + Φ_y dy_t + Σ dW_t^i
ここで、Θ, Φ_π, Φ_y, Σ はすべてヒルベルト空間上の線形作用素である。
ケインズ派モデルの一般均衡は、以下の確率偏微分方程式系の解として特徴付けられる：
dx_t = 𝒜(x_t, π_t, i_t)dt + ℬ(x_t, π_t, i_t)dW_t
dπ_t = (𝒜π_t + 𝒦y_t)dt + 𝒮dW_t^π
di_t = Θ(ī - i_t)dt + Φ_π dπ_t + Φ_y dy_t + Σ dW_t^i
N(dt, dm) = ∑_i δ_{(T_i, M_i)}(dt, dm)
y_t = 𝒴(x_t) - 𝒴*
𝔼[dV(x_t, π_t, i_t)] = ρV(x_t, π_t, i_t)dt - ⟨U(C(x_t), L(x_t)), μ⟩dt
1. 状態空間: 新古典派モデルでは実物変数のみで状態を記述するが、ケインズ派モデルでは名目変数（インフレ率、名目金利）も含む無限次元空間を考慮する。
2. 確率過程: 新古典派モデルは主に無限次元拡散過程を用いるが、ケインズ派モデルではマーク付きポアソン点過程も導入し、不連続な価格調整を表現する。
3. 均衡の特徴づけ: 新古典派モデルでは無限次元HJB方程式を用いるが、ケインズ派モデルでは確率偏微分方程式系を用いる。
4. 作用素の性質: 新古典派モデルでは主に非線形作用素を扱うが、ケインズ派モデルでは線形作用素と非線形作用素の組み合わせを扱う。
5. トポロジー: 新古典派モデルは主にヒルベルト空間のトポロジーを用いるが、ケインズ派モデルではより一般的なバナッハ空間やフレシェ空間のトポロジーを考慮する必要がある。
ご指摘ありがとうございます。AI以下の知識しかないあなたに言われるとは、心外です。
しかし、数理モデルは現実を理解するための有用なツールの一つであり、適切に使用すれば洞察を得ることができます。以下、より現実に即した形で数理的な反論を試みます。
複雑系理論を用いて説明します。都市の活力を表す指標 V を以下のように定義します：
V = f(P, E, I, S, G)
ここで、P は人口、E は雇用機会、I はインフラ整備度、S は社会サービス、G は行政の政策効果を表します。各要素は相互に影響し合い、非線形的な関係を持ちます。
α(V) は成長率、β(V) は衰退率を表し、V の関数となります。この微分方程式は、ある閾値を下回ると急激な衰退が起こる可能性を示唆します。
例えば、RESAS（地域経済分析システム）のデータを用いて、南丹市の事例を分析すると、地域経済循環率が93.4%という高い値を示しています。
行動経済学の知見を取り入れ、経営者の意思決定モデルを以下のように拡張します：
U(π, B) = w1 * π + w2 * B - λ * σ^2
ここで、U は経営者の効用、π は企業利益、B は経営者の私的便益、σ^2 はリスク、w1, w2 は重み付け係数、λ はリスク回避度を表します。
この関数形は、経営者が短期的利益や私的便益を重視する可能性を示唆します。日本の内部留保率が50%前後で推移していることは、この理論と整合的です。
L = Lr + Ln
w = wr * Lr / L + wn * Ln / L
L は総労働力、Lr, Ln はそれぞれ正規、非正規雇用者数、w は平均賃金、wr, wn はそれぞれ正規、非正規の賃金を表します。
最低賃金制度により、wn ≥ wmin という制約があります。この制約下で企業が利潤最大化を図ると、Ln / L が増加し、平均賃金 w が低下する可能性があります。
これらのモデルは、問題の構造を理解し、政策立案の基礎となる洞察を提供します。
例えば、地方創生には複合的なアプローチが必要であることや、企業ガバナンスの改善が内部留保問題の解決に重要であること、労働市場の二重構造解消が賃金問題の改善につながる可能性があることなどが示唆されます。
現実の問題に取り組むには、これらの理論的洞察と実証データ、そして現場の声を総合的に考慮する必要があります。
最終理論とは、自然界のすべての相互作用を高エネルギー領域も含めて正確に記述する理論である。
素粒子物理学は、原子から陽子、中性子、クォーク、レプトンへと進化してきたが、その探求はいつか終わるのだろうか。
現在の研究では、ゲージ群や超対称性による統一が見られ、これらは無限に続くものではなく、打ち止めになる構造を持つと考えられている。
暫定的な答えは超弦理論であり、これが最終理論ならば一意的であることが望ましい。10次元時空における超弦理論は5種類存在し、これらは11次元時空上のM理論を通じて互いに等価である。
M理論は超重力理論と関連し、M2膜とM5膜が存在することがわかっている。
しかし、このM理論は超重力理論から得られる知見以外は謎に包まれている。
N枚のM2膜やM5膜上の場の理論はそれぞれN^{3/2}やN^3に比例する自由度を持つが、その具体的な内容は不明である。
最近、M2膜を記述する場の理論が超対称チャーン・サイモンズ理論であることが発見され、この自由エネルギーもN^{3/2}に比例し、超重力理論の予言を再現する。
高い超対称性により経路積分は行列模型に帰着し、著者らの研究ではM2膜の行列モデルが詳しく調べられた。
非摂動項の展開係数には無数の発散点があるが、それらは格子状に相殺されている。
この結果は、「弦理論は弦のみではなく様々な膜も含む」を実現していると解釈できる。
この行列模型が位相的弦理論や可積分非線形微分方程式と同様の構造を持つことが確認されており、それに基づいてM理論の全容が解明されつつある。
完備確率空間 (Ω, ℱ, ℙ) 上で、右連続増大フィルトレーション {ℱₜ}ₜ≥₀ を考える。
状態空間として、実可分ヒルベルト空間 ℋ を導入し、その上のトレース類作用素のなす空間を 𝓛₁(ℋ) とする。
システムダイナミクスを以下の無限次元確率微分方程式で記述する：
dXₜ = [AXₜ + F(Xₜ, uₜ)]dt + G(Xₜ)dWₜ
ここで、Xₜ ∈ ℋ は状態変数、A は無限次元線形作用素、F, G は非線形作用素、uₜ は制御変数、Wₜ は Q-Wiener プロセスである。
経済主体の最適化問題を、以下の抽象的な確率最適制御問題として定式化する：
ここで、𝓤 は許容制御の集合、L: ℋ × 𝓤 → ℝ は汎関数である。
価値汎関数 V: ℋ → ℝ に対する無限次元Hamilton-Jacobi-Bellman方程式：
ρV(x) = sup{L(x, u) + ⟨AX + F(x, u), DV(x)⟩ℋ + ½Tr[G(x)QG*(x)D²V(x)]}
ここで、DV と D²V はそれぞれFréchet微分と2次Fréchet微分を表す。
システムの確率分布の時間発展を記述する無限次元Fokker-Planck方程式：
∂p/∂t = -divℋ[(Ax + F(x, u))p] + ½Tr[G(x)QG*(x)D²p]
ここで、p: ℋ × [0, ∞) → ℝ は確率密度汎関数、divℋ はヒルベルト空間上の発散作用素である。
dλₜ = -[A*λₜ + DₓF*(Xₜ, uₜ)λₜ + DₓL(Xₜ, uₜ)]dt + νₜ dWₜ
ここで、λₜ は無限次元随伴過程、A* は A の共役作用素である。
価格過程の一般的な表現を、以下の無限次元マルチンゲール問題として定式化する：
Mₜ = 𝔼[M_T | ℱₜ] = M₀ + ∫₀ᵗ Φₛ dWₛ
ここで、Mₜ は ℋ 値マルチンゲール、Φₜ は予測可能な 𝓛₂(ℋ) 値過程である。
Girsanovの定理の無限次元拡張を用いて、以下の測度変換を考える：
dℚ/dℙ|ℱₜ = exp(∫₀ᵗ ⟨θₛ, dWₛ⟩ℋ - ½∫₀ᵗ ‖θₛ‖²ℋ ds)
インフレーション動学を、以下の無限次元確率偏微分方程式で記述する：
dπₜ = [Δπₜ + f(πₜ, iₜ, Yₜ)]dt + σ(πₜ)dWₜ
ここで、Δ はラプラシアン、f と σ は非線形作用素、iₜ は金利、Yₜ は総産出である。
小さなパラメータ ε に関して、解を以下のように関数空間上で展開する：
Xₜ = X₀ + εX₁ + ε²X₂ + O(ε³)
dwₜ = [Bwₜ + H(wₜ, πₜ, iₜ, Yₜ)]dt + K(wₜ)dWₜ
ここで、B は線形作用素、H と K は非線形作用素である。
金利上昇の実質賃金への影響は、以下の汎関数微分で評価できる：
δ𝔼[wₜ]/δiₜ = lim(ε→0) (𝔼[wₜ(iₜ + εh) - wₜ(iₜ)]/ε)
1. 非可換確率論：
量子確率論の枠組みを導入し、不確実性のより一般的な記述を行う。
経済均衡の位相的構造を分析し、均衡の安定性を高次ホモトピー群で特徴付ける。
4. 超準解析：
無限次元確率動的一般均衡モデルは、金利、インフレーション、実質賃金の相互作用を一般的な形で記述している。
モデルの複雑性により、具体的な解を得ることは不可能に近いが、この理論的枠組みは経済現象の本質的な構造を捉えることを目指している。
このアプローチは、金利上昇がインフレ抑制を通じて実質賃金に与える影響を、無限次元確率過程の観点から分析することを可能にする。
しかし、モデルの抽象性と現実経済の複雑性を考慮すると、具体的な政策提言への直接的な適用は不適切である。
このモデルは、経済学の理論的基礎を数学的に提供するものであり、実際の経済分析や政策決定には、この抽象的枠組みから導かれる洞察を、より具体的なモデルや実証研究と慎重に組み合わせて解釈する必要がある。
このレベルの抽象化は、現代の経済学研究の最前線をはるかに超えており、純粋に理論的な探求としての意義を持つものであることを付記する。
AdS/CFT対応は、以下の二つの理論間の同型を主張するのだ：
2. (d+1)次元反ド・ジッター空間 (AdS) 上の重力理論
d次元CFTは SO(d,2) 共形群の下で不変なのだ。この群はAdSd+1の等長変換群と同型なのだ。
AdS側の場φとCFT側の演算子Oの間に以下の対応があるのだ：
⟨e^(-∫d^dx J(x)O(x))⟩CFT = e^(-Sgrav[φ])
ここで、J(x)は源、Sgrav[φ]はAdS側の重力作用なのだ。
m²R² = Δ(Δ-d)
ここで、mはAdS側のスカラー場の質量、ΔはCFT側の対応する演算子のスケーリング次元なのだ。
AdS/CFT対応は、CFTの繰り込み群の流れをAdS空間内の幾何学的流れとして表現するのだ。これは以下の微分方程式で記述されるのだ：
ここで、giは結合定数、βiはベータ関数、zはAdS空間の動径座標なのだ。
⟨O1(x1)...On(xn)⟩CFT = lim(z→0) z^(-Δ1)...z^(-Δn) ⟨φ1(x1,z)...φn(xn,z)⟩AdS
ここで、OiはCFT側の演算子、φiはAdS側の対応する場なのだ。
CFT側のエントロピーSとAdS側の極小曲面の面積Aの間に以下の関係があるのだ：
S = A/(4GN)
CFT側のウィルソンループWとAdS側の極小曲面の面積Aの間に以下の関係があるのだ：
⟨W⟩CFT = e^(-A/(2πα'))
1. 古典力学 (Classical Mechanics):
古典力学では、粒子の運動は時間 t の関数 q(t) で表され、ニュートンの運動方程式を満たすのだ：
q̈ = -U'(q)
ここで、U(q) はポテンシャルエネルギーである。運動方程式は、ラグランジアン L(q) = 1/2q̇² - U(q) に基づく変分問題として再定義でき、作用積分 S(q) = ∫ₐᵇ L(q)dt の極値点として運動を記述するのだ。これは、最小作用の原理とも呼ばれるぞ。
2. 古典場の理論 (Classical Field Theory):
古典場理論では、粒子ではなく、連続的な場 φ(x,t) を考えるのだ。この場は部分微分方程式に従い、例えば波動方程式
□φ = 0
で記述されるぞ。ラグランジアン L(φ) は微分多項式であり、作用積分 S(φ) = ∫_D L(φ)dx dt を極小化することによって運動方程式（オイラー-ラグランジュ方程式）が導かれるのだ。
古典力学と異なり、量子力学では粒子は古典的な軌道を持たず、確率的に動くのだ。ブラウン運動をモデルにして、粒子の位置 q(t) は確率密度
P(q) ∝ e^(-S(q)/κ)
に従い、ここで S(q) = ∫ₐᵇ (1/2q̇² - U(q)) dt は作用、κ は拡散係数である。このような確率的動力学の期待値は、経路積分を用いて計算されるぞ。
量子力学ではブラウン運動モデルを基にしつつ、拡散係数 κ を虚数 iℏ に置き換えるのだ（ℏ はプランク定数）。したがって、量子力学の相関関数は次のように表されるぞ：
⟨q_j₁(t₁) ··· q_jₙ(tₙ)⟩ = ∫ q_j₁(t₁) ··· q_jₙ(tₙ) e^(iS(q)/ℏ) Dq
5. 量子場理論 (Quantum Field Theory):
⟨φ_j₁(x₁, t₁) ··· φ_jₙ(xₙ, tₙ)⟩ = ∫ φ_j₁(x₁, t₁) ··· φ_jₙ(xₙ, tₙ) e^(iS(φ)/ℏ) Dφ
ただし、この積分は複素測度に基づくため、数学的に厳密に定義するのが困難であり、理論物理学における重要な課題となっているのだ。
円安と物価高のデメリットを分析するために、経済理論を使ったアプローチを示す。
以下では、動学的確率的一般均衡（DSGE）モデルや確率微分方程式を用いて、円安と物価高が経済に与える影響を数理的に抽象化する。
DSGEモデルは、経済全体の動学的な相互作用を考慮したモデルである。ここでは、消費者、企業、政府、および外部経済を考慮し、円安と物価高の影響を分析する。
消費者は、無限の時間にわたる効用を最大化する。効用関数を U(C_t, L_t) とし、割引因子を β とする。消費者の動学的最適化問題は次のように表される。
max E_0 [ ∑_{t=0}^{∞} β^t U(C_t, L_t) ]
subject to
P_{C,t} C_t + B_{t+1} = W_t L_t + (1 + r_t) B_t + Π_t - T_t
ここで、C_t は時点 t の消費、L_t は労働供給、P_{C,t} は消費財の価格、B_t は債券保有量、W_t は賃金、Π_t は企業からの配当、T_t は税金である。
企業は生産関数 Y_t = A_t ・ F(K_t, L_t, M_t) に基づき、利潤を最大化する。
max E_t [ ∑_{t=0}^{∞} β^t ( P_{Y,t} F(K_t, L_t, M_t) - W_t L_t - r_t K_t ) ]
subject to
K_{t+1} = (1-δ)K_t + I_t
円安が進行すると、輸入品の価格が上昇する。これを数理的に表現するために、為替レート E_t と輸入品価格 P_{import,t} の関係を以下のようにモデル化する。
P_{import,t} = E_t ・ P_{foreign,t}
ここで、P_{foreign,t} は外国通貨での輸入品価格である。
為替レートや輸入物価の変動は、確率微分方程式を用いてモデル化される。例えば、為替レートの変動は次のように表される。
dE_t = μ E_t dt + σ E_t dW_t
ここで、μ はドリフト項、σ はボラティリティ、dW_t はウィーナー過程である。このモデルを用いることで、為替レートのランダムな変動が輸入物価や実質賃金に与える影響を分析できる。
経済を表現する空間を E とし、これを局所凸位相線形空間とする。価格空間 P を E の双対空間 E* の部分集合とし、商品空間 X を E の部分集合とする。
Z: P × Ω → X を一般化された超過需要関数とする。ここで Ω は外生パラメータの空間である。Z は以下の性質を満たす：
(b) 一般化された同次性：任意の λ ＞ 0 に対して Z(λp, ω) ≈ Z(p, ω)
(c) 一般化されたワルラスの法則：＜p, Z(p, ω)＞ = 0
ここで ＜・,・＞ は E* と E の間の双対性を表す
(d) 境界条件：p が P の境界に近づくとき、||Z(p, ω)|| は無限大に発散
価格の動的調整を表現するために、以下の無限次元力学系を導入する：
dp/dt = F(Z(p, ω))
ここで F: X → TP は C^1 級写像であり、TP は P の接束を表す。
定理1（均衡の存在）：適切な位相的条件下で、Z(p*, ω) = 0 を満たす p* ∈ P が存在する。
証明の概略：KKM（Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz）の定理を一般化した不動点定理を応用する。
定理2（局所安定性）：p* の近傍 U が存在し、初期値 p(0) ∈ U に対して、解軌道 p(t) は t → ∞ のとき p* に収束する。
証明の概略：リャプノフ関数 V(p) = ||Z(p, ω)||^2 / 2 を構成し、V の時間微分が負定値となることを示す。
不均衡状態における経済主体の行動を記述するために、以下の最適化問題を導入する：
最大化 U_i(x_i)
制約条件 ＜p, x_i＞ ≤ w_i + Σ_j p_j min{z_ij, 0}
ここで U_i は効用汎関数、w_i は初期富、z_ij は財 j に対する主体 i の超過需要である。
確率空間 (Ω, F, P) 上で、以下の確率微分方程式を考察する：
dp(t) = F(Z(p(t), ω))dt + σ(p(t), ω)dW(t)
ここで W(t) は適切な次元のウィーナー過程、σ はボラティリティ作用素である。
ε dp/dt = F(Z(p, ω))
この解析により、短期的な価格調整と長期的な均衡の関係を明らかにする。
定理3（一般化された不動点定理）：P が局所凸位相線形空間 E の非空、凸、コンパクト部分集合であり、F: P → P が連続写像であるとき、F は不動点を持つ。
この定理を用いて、より一般的な経済モデルにおける均衡の存在を証明できる。
ε → 0 のとき、特異摂動問題 ε dp/dt = F(Z(p, ω)) の解の漸近挙動は、元の動的システムの長期的均衡と一致する。
数学というのは草むらをかき分けたらダンゴムシがいるかのように、我々の今暮らしている世界をつきつめるとおのずと数学が現れるみたいなことだと思っていた。
だから数学の問題を解くときに現実の世界から発見を得るかのように頑張って解いていた。それで微分方程式で完璧に進めなくなった。
あれって「この式はこの解き方で解けそうだからあてはめてやってみて解けたらそのままいくけどそうじゃないなら撤退して別の解き方を当てはめて～」みたいなやりかたするじゃん。納得がいかなかった。
違うんだよなー。数学をそれは誤解してんだよなー。
数学はカードゲーム発明して遊ぶようなもんなんだ。まず1種類のルール作ってみて、そっからすごくプレイが発展させられるのおもしろい、みてみて1ターンキルコンボできた！みたいなやつなんだ。
そこでだよ、ゼロで割るの大抵の数学で「やっちゃいけない」とか「定義しない」とかする。
なんでかっていうとそれ許すと何もかもつまんない発展しかさせられないルールにしかなんないんだよね。
つまり18÷0がゼロですって教えた先生は「せんせー、じゃあそうすると1+1は2でありつつもゼロでもあることにできます！」みたいな証明を持ち込まれてキレない度量持ってないといけないんだよ。
それともわざとやってるの？↓
微分方程式の重ね合わせの原理と物理の波動分野に出てくる重ね合わせの原理は何か関連があるんですか
というより、波動で起こる重ね合わせの原理による現象を定式化したとき、微分方程式の重ね合わせの原理の形が出てくるのかなと勝手に思ってるんですが。調べても出てこないので…
微分方程式は原理ではなく、重ね合わせができる線形微分方程式とそうではない方程式があります。方程式の性格による区別です。
波の場合は記述する波動方程式が線形なら重ね合わせができるのは原理でも何でもなく必然ですが、波動方程式が具体的に与えられていない段階でも波なら重ね合わせが成立する、と考えるのが波動の重ね合わせの原理です。
ちなみにですが、誰も微分方程式が原理だなとと言ってはいません。
「微分方程式の重ね合わせの原理と～」と書くと、そう読む人もいるということなのでしょうか…
かといって「微分方程式の、重ね合わせの原理と～」って書くのはあまりにも露骨で逆に読み手の読解力を疑ってバカにしてるように見えませんかね。
インターネットがつまらなくなった、と言う人がちらほらいることに気がついている人もいるかもしれない。皮肉を言いたがる鬱陶しい人は、すぐに「それはお前がつまらなくなったからだ」と言うが、それは物事のほんの一つの側面でしかない。
長文を読むことが苦手な人のために、結論から述べようと思う。インターネットがつまらないのは、人々がタイパと刺激を求めた結果である。限りある人生を有効に使いたい。ここまではよかったはずだ。だが世の中を見渡せば、「簡単に理解できるコンテンツ」「刺激的なコンテンツ」「感情を煽るコンテンツ」で溢れている。マスターベーションを覚えた猿が繰り返すように、インターネットから刺激性を学習した猿は狂ったようにスクロールする。
私がソフトウェアのブログを書いていた時、あることに気がついた。難解でユニークなアルゴリズムを公開するよりも、「○○のインストール方法」といった初心者的コンテンツのほうがアクセスが多いのである。何かをインストールする方法など、ドキュメントを見れば一発でわかるのに、ブログにアクセスしてくる。いや、検索エンジンがドキュメントではなく私のブログをTopに誘導するのがそもそもおかしいだろう。悲しいことに、ドキュメントをちゃんと読める人が少数派であり、平易な言葉で書かれたブログの方を好む人が多いということだ。
個人的価値観を述べれば、インターネットに私が求めるのは「深遠」である。ゲーム理論と確率微分方程式を組み合わせたらどうなるのかとか、プラグマティズムをソフトウェア工学に適用するAndy Huntの最新の哲学的考察を知りたいとか、そういうことだ。
深淵の理解には時間がかかる。タイパと刺激の発想とは逆だ。一見退屈に見える無刺激な長文を、ゆっくりと地道に隅々まで理解しなければならない。深淵は真面目でストイックで、人生を共に歩むように接する。コンテンツを書いた人間を個人として尊重し、友達と語り合うような気分で読み解くのである。
「コンテンツは見て射精して賢者タイム。それで終わり」というのが現代人がやっていることだ。インターネットは元々学術的な(つまり深淵的な)情報交換のために作られたが、今では娯楽(つまりオナニー)が大半を占めている。そういう消費者に合わせて作られたものは、簡単に理解できて、極端で、やたらに感情を煽りたがる。コンテンツだけではなく、検索エンジンや推薦システムなどありとあらゆるものが、刺激性の猿回しになっている。
逆説的だが、今のインターネットが面白いと思っている人間がつまらないのである。猿がオナニーして、それが楽しいというのなら文化的ではないだろう。インターネットがつまらなくなったという人は、意識的に努力しなければ深淵にたどり着くことが難しくなったことを嘆いているかもしれない。私が高校生の時は、「ハッカーになる方法」と調べたとき、Eric S. Raymondの深淵的文章がトップに出てきたのだ。現代では、なぜかコンピュータセキュリティについてトップに出てきて、まさに中二病患者が求めるものをそのまま出してきていると言える。
といっても、いきなりarxivを読むのも、またそれはそれで時間がかかりすぎてしまうこともある。具体的数式ではなく、個人の持つ哲学を知りたいと思うこともあるかもしれない。哲学にも概ね2種類あり、本質を平易に説明するものと、無意味なものを難解に説明するものだ。後者はポストモダニズム的で忌み嫌われる。
ポストモダニズムに陥ることなく、本質的深淵にたどり着くためにはどうすればよいのか。検索エンジンだけでは、そのコンテンツが深遠なのか浅知恵なのか区別する能力に欠けている。おそらく、我々が本当に必要としているのは「ブックマーク」であり、場当たり的な検索ではないのかもしれない。本質的な深淵を語る人をブックマークし、その人の哲学を友人のように尊重したいのだ。大量の刺激的情報を消費してオナニーするよりは、少数の人の長文に触れたほうが充実するに違いない。
俺は気象予報士試験は一般は通って専門は15問中一問分ボーダーに届かなくて落ちた経験がある人間だが、そんな人間が気象大学校の学生が教材として使ってる気象庁ホームページで公開されてるテキストの理解を試みてみたところ、さっぱり分からないという始末になった。
https://www.jma.go.jp/jma/kishou/know/expert/pdf/textbook_meso_v2.1.pdf
これの14ページ（資料下に印字されてるページ番号としては8ページ） なのだが
dVc/dt=αVsという式が成り立ってて、この式は気圧傾度力が考慮されてるとも書いてあるが、まず一体どういう力の作用の構図を想定してるのかが分からない。
左辺はただの時間変化を微分として表現したもので、右辺もまた中層風と下層風の単なる速度差だから、これが気圧傾度力が考慮されてる式だとしたら、αの一文字が気圧傾度力を表してるって自動的に解釈されるというか、それ以外に解釈の余地が見当たらない。
一方、傾度風や地衡風について立式するとき速度（ベクトル）にコリオリパラメータを掛けそれに気圧傾度力（と遠心力）を足し引きしたような方程式になるわけで、そうなる理由も予報士試験の参考書に力の作用関係の図示付きで書いてあったし理解してるつもりなのだが、だからこそなぜベクトルに「掛けてる」のが気圧傾度力でそれが速度の時間変化に等しくなるのか全くぴんと来ない。
そもそも左辺が速度の微分なのに右辺も速度の定数倍になってるのも理解が追いつかない。なぜ加速度でないのか？
Vc=aVl+bVmについて大気の密度が小さくなると速度が大きくなるのでa+b>1となるとも書いてるが速度が大きくなることからどうその不等式が成立することが導かれるのかもわからない。もっといえばなぜ密度が小さくなると速度が大きくなるのか…ときりがない。
おそらくこちらにとっては天下り式で説明が足りてないように見えるテキストも、気象大学校に入れる学生から見ればあれだけの情報から私が分からないと言った理由も十分読み取れるのだろう。
それはなんというか、少なくとも高校までの履修内容の理解の完成度が全く質的に違うことがこのような差をもたらしてるんだと思う。
たとえば逆に俺でも先に成立する理由が分からないと言った微分方程式が正しいことを前提としてなら、その下に書かれているのがそれを解いた式であることは納得できる。俺でも高校のうちに初歩的な変数分離法は身に付けてるからだが、人によっては同じ理系でも化学系の学部に入る人とかで大学入試を終えた直後の段階で大学レベルの教養数学を学んだ経験が皆無な状態だとただの変数分離で解かれた式にすらぴんと来ないってことはあるかもしれない。
そして気象大学校に入る人たちはこんなのよりもさらに奥深くまで見通しよく高校までの内容を理解してるのだろう。うまいたとえかわからないが、数学の白黄チャートしかやってこなかった人間が赤チャートを見たら同じ単元でも全く別物の内容を学んでいるんじゃないかってぐらいのものに感じるような感じだろうか。気象大学校の入学者も高校段階の知識でもはや私とは全く異なるような理解を持っているのだと思う。彼らから見れば私が分からないと言ってることは変数分離が分からないことが不思議になるぐらい当たり前のことなのだろう。
ただ5chの気象予報士試験対策スレで質問しても、独学で合格したけどここで聞くより予備校で聞いた方がいいぐらいさっぱり分からないと言われた。
気象予報士だって合格したら割と誇れる資格なのにそういう人でもさっぱり分からないって、もう気象大学校の学生は私や予報士とは住む世界が違うような頭の良さを持ってるんだと思う。
そういう人たちでやっと気象災害の対策に責任持てる仕事をする資格が持てるんだなーとある種納得と途方のない挫折感。
地震が起こると毎度同程度の地震が数週間起こる可能性があるとか同じようなこと言ってるなあろか馬鹿のしてる場合じゃなかった。
深夜の翳りに身を晒し、今やっと眼を覚ました。これは魂の夜ふかし、そう呼ぶべきでしょう。
さて、私は時折、American Mathematical Society（以下、AMS）の書籍を求める運命にある。特にStudent Mathematical Libraryというシリーズは、その薄っぺらい体裁ながら、研究の奥深さを体感できるとても理想的なものであり、よく手に取ることとなる。しかし、その紙一重の薄さの背後に隠された内容は、従って、大学院の学生にのみ耐えうるものとなっている。昔、あまりの熱意から何冊か買い求め、積読の山を築いたこともあるが。
その山に埋もれる中、一つの書を読み尽くしたことがある。それは、数理モデリングの書であった。数理モデリング、これは往々にして、ラグランジュの未定乗数法などのよく知られた方法論に頼る傾向がある。しかしながら、AMSの書籍はそのくだらない枠組みにとらわれず、多彩な事例を探求していた。とはいえ、フレンケル教授が言うように、数理モデリングと言っても、ついには「ペンキ塗りの数学」である。
私は数学の最前線を垣間見るようになり、調和解析と数論の奇跡的な交差、フェルマーの最終定理、ガロア群、保型関数など、その深遠さに驚嘆する日々である。最近は、経済学に数学を結びつけることに強い興味を抱いており、mean fieldのような奥深い謎が私を惹きつける。
学びたいことが山ほどあり、私の能力と時間には限りがある。何を学ぶべきか、と悩むのはやむを得ない。しかし、コスパを重視し過ぎると、ついにはペンキ塗りの典型に陥ってしまうだろう。複数の数学の領域を結びつけることは、即座に実用性が見えるものと、その応用が果たしてどこに行くのか見当もつかないものがある。伊藤清が指摘するように、「実用を考慮しなければ、数学で遊ぶことは限りない」。この観点から見れば、私が探求すべき分野は、確率論の領域にあるのは明らかだろう。確率微分方程式とゲーム理論の交わる地点は、実用性との調和によって成り立つ、その方向へと進む決意を固める。
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昨日はFaddeevから少し離れてダニエル・フライシュという人のシュレーディンガー方程式について書かれた本を読み終えました。
またTwitterの使い方に関してですが、本当に興味のあるトピックについてつぶやく人か、あるいは自分をフォローしてくれる人以外はアンフォローしたほうがよいと思いました。
というのもあらゆる政治のツイートを見ていると、ドーパミン製造機のようになってしまうのです。
政治的ツイートは、特に経済的なものは間違いが散見されます。するとついついツッコみたくなるのです。
例えば、インフレというトピックがあるとします。主な要因は、原油価格、財政政策、金融政策、賃上げによるものです。
一部の人が、「金を刷れば刷るほど無尽蔵に豊かになる」などと言っている度に、貨幣価値の話とその方法で失敗した国の話、インフレターゲットの話をしなければならなくなります。
本当に経済について間違いを指摘したいなら、ちゃんとした長文でまとめておいた方がよいと思いますが、そのような情報ならインターネット上にあるでしょう。
しかし問題なのは、政治や経済の情報は玉石混合なのです。正しいことをいう人はいますが、間違ったことをいう人もたくさんいます。そして価値判断の問題もあります。
とりわけ、マクロ経済と呼ばれる分野において混乱が生じているように思えます。
ミクロ経済であれば、すでに数学的手法が確立されており、今後100年経っても教科書の数学的手法自体は変わらないでしょう。
しかしマクロ経済に至っては、経済現象の因果推論が雑に行われており、理論の前提に問題が生じているケースというのがあると思うのです。
経済にはポジティブな側面もあります。超弦理論が新しい数学を生み出すように、経済現象もゲーム理論や確率微分方程式、力学系などの数学を生み出すのです。
私が経済のインチキを見る時、そこから政治と感情を抜き去り、抽象化を施して、数学というドメインに変換すれば冷静になれると思うわけです。
多変数微積分の問題に没頭していく中で、数学の魅力と深遠さを再び見つけました。
関数と曲線の振る舞いを探求し、微小な変動が全体に及ぼす影響を追求する過程で、数学は私にとってまるで美術館の中の至宝を鑑賞しているかのように感じられました。
数学の問題はその複雑性から挑戦的でありながら、それを解明する喜びと充実感は何よりも素晴らしいものです。
数学は単なる計算や公式の羅列ではなく、知の探求の旅でもあります。
微積分を通じて、数学は宇宙や自然の法則を解き明かす手段であり、知識の宝庫であることを改めて理解しました。
関数と微分方程式の背後にある論理的な構造や、微小な変化が物理現象や経済の動向にどのように影響を及ぼすかという洞察力は、数学の美しい魅力の一部です。
数学の世界は無限大であり、それを探求することは知的好奇心を満たすための果てしない冒険です。
新しい概念を学び、新しい問題に挑むたびに、私の思考能力が高まり、知識の深化が加速します。
数学は私にとって知的な挑戦の場であり、同時にクリエイティブな問題解決のプレイグラウンドでもあります。
