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2024-08-23

忙しい人のための物理学

1. 古典力学 (Classical Mechanics):

古典力学では、粒子の運動時間 t の関数 q(t) で表され、ニュートン運動方程式を満たすのだ:

q̈ = -U'(q)

ここで、U(q) はポテンシャルエネルギーである運動方程式は、ラグランジアン L(q) = 1/2q̇² - U(q) に基づく変分問題として再定義でき、作用積分 S(q) = ∫ₐᵇ L(q)dt極値点として運動記述するのだ。これは、最小作用の原理とも呼ばれるぞ。

2. 古典場の理論 (Classical Field Theory):

古典理論では、粒子ではなく、連続的な場 φ(x,t) を考えるのだ。この場は部分微分方程式に従い、例えば波動方程式

□φ = 0

記述されるぞ。ラグランジアン L(φ) は微分多項式であり、作用積分 S(φ) = ∫_D L(φ)dx dt を極小化することによって運動方程式(オイラー-ラグランジュ方程式)が導かれるのだ。

3. ブラウン運動 (Brownian Motion):

古典力学と異なり、量子力学では粒子は古典的な軌道を持たず、確率的に動くのだ。ブラウン運動モデルにして、粒子の位置 q(t) は確率密度

P(q) ∝ e^(-S(q)/κ)

に従い、ここで S(q) = ∫ₐᵇ (1/2q̇² - U(q)) dt作用、κ は拡散係数である。このような確率動力学の期待値は、経路積分を用いて計算されるぞ。

4. 量子力学 (Quantum Mechanics):

量子力学ではブラウン運動モデルを基にしつつ、拡散係数 κ を虚数 iℏ に置き換えるのだ(ℏ はプランク定数)。したがって、量子力学の相関関数は次のように表されるぞ:

⟨q_j₁(t₁) ··· q_jₙ(tₙ)⟩ = ∫ q_j₁(t₁) ··· q_jₙ(tₙ) e^(iS(q)/ℏ) Dq

5. 量子場理論 (Quantum Field Theory):

量子場理論でも、場の相関関数は次のように表されるのだ:

⟨φ_j₁(x₁, t₁) ··· φ_jₙ(xₙ, tₙ)⟩ = ∫ φ_j₁(x₁, t₁) ··· φ_jₙ(xₙ, tₙ) e^(iS(φ)/ℏ) Dφ

ただし、この積分は複素測度に基づくため、数学的に厳密に定義するのが困難であり、理論物理学における重要課題となっているのだ。

2008-10-24

大学の授業の方が受験勉強よりもわかりやすかった件

受験物理は公式の暗記ばかりで、とてつもなく退屈で極まりなかった。

けれど、大学教養課程で習った力学は、微分方程式を用いることによって、本当にエレガントかつ論理的で分かり易く、あんなに苦手だった物理が、一番、面白い科目になった。

おかげで、数学も好きになってきたので、まだ授業は始まっていなかったのだけど、生協教科書を買ってきて、微分方程式偏微分方程式を一通り独習した。

最近解析力学で習うラグランジュ方程式を見て、胸がときめいている。

受験化学も同じく、暗記ばかりで頭が痛かった。

でも、例えば大学有機化学は、電子の振る舞い(軌道共鳴)から反応性を論理的に説明しており、とても好きになった。

なんで、高校理系科目は、あんなにも退屈な教え方をしてるんだろうねぇ?

 
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