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はてなキーワード: 無限大とは
東京大学は官僚養成学校なので創作応用問題が多く、いわゆる真の数学、彫刻のように美しい知能問題は例外を除いて出題されない。
さて、 以前に増田でも紹介した、 sinθ/θ→１の定理として、東京大学に出るのではないか？ということが、平成１１年以来より予想されていましたが、
平成３０年度に遂に出題されました。
http://server-test.net/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2018&v3=1&v4=1&y=2018&n=1
解くのは極めて簡単で、 x/sinx は１に収束するので、 答えは、 ２ です。 しかし、 ｘ→πー０ のときは、 分母が０なので発散するので無限大です。
非常に簡単な問題でしたが、 x/sinx が １に収束することを学習段階で頭に入れておかなかったら出来なかっただろうと思います。
数えることを学ぶときに無限に遭遇し、永遠に数え続けることができることに気づきます。
それほど独創的な観察ではないですが、いつでも1を足してさらに大きな数を得ることができるため、数えることに終わりがないことが、無限の重要な性質です。
無限にはさまざまな種類があるため、それほど単純ではありません。 1、2、3 などの自然数の量は「可算無限」と呼ばれる最も単純な種類の無限にすぎません。
正式には、自然数から他の集合への1対1の写像(注: 勝間さんではありません)がある場合、この集合は自然数と同様に無限であることを意味し、同じ種類の無限です。
実数の場合、その写像が存在しないので、より大きな無限となります。
さて、無限に演算を定義するとどうなるでしょうか。無限大に1を加えても無限大になります。自然数のある数を無限大で割るとゼロになります。
つまり無限大に1を加算すると、結果は同じ種類の無限大になることを意味します。
これらの関係を方程式として記述する場合には問題が起こってしまうことがよく知られます。
無限大を無限大で割ったり、無限大にゼロを乗算したりする場合はさらに意味不明になります。
実際には数学者は無限に対処する方法をよく知っています。ただ注意しなければならないのは、その無限がどこから来たのかを追跡することです。
たとえばxが無限大になると無限大になるx squareのような関数があるとします。
無限大がどこから来るのかがわかっていれば、もう一方から1を引くこともできます。
たとえば、1/イプシロン、1/イプシロン二乗、イプシロンの対数などの用語がある場合があります。
しかし2つの項が同じ無限大であり、イプシロンの同じ関数であることがわかっている場合は、数値と同様に加算または減算できます。
物理学では通常、これを行う目的は計算の最後にそれらがすべて互いに打ち消し合い、すべてが理にかなっていることを示すことです。
したがって数学的には無限は興味深いですが問題はありません。数学に関して言えば、無限をうまく処理する方法を知っています。
数学的な意味で存在します。つまりその特性を分析してそれについて話すことができるという意味です。
科学的には、観察を説明する必要がある場合にのみ、自然理論の要素が「存在する」と言えるからです。
そして無限を測定することができないので、観察するものを記述するために実際には無限を必要としません。
無限大は測定できないという問題は、ゼロの問題と密接に関係しています。
たとえば、点の数学的抽象化を考えてみましょう。物理学者は点粒子を扱うときに常にこれを使用します。点のサイズはゼロです。
しかし、実際にサイズがゼロであることを示すには、無限に正確に測定する必要があります。
したがって、測定精度が許容するものよりも小さいことしか示せません。
宇宙や時空のような一見無害なものであっても。空間の数学を書き留めた瞬間、そこにはギャップがないと想定します。
無限に多くの無限の小さな点で構成された完全に滑らかな連続体であると仮定します。
数学的にはこれは扱いやすいため便利な仮定です。そしてそれはうまく機能しているようです。
それがほとんどの物理学者があまり心配していない理由です。彼らは無限を有用な数学的ツールとして使用しているだけです。
おそらく物理学で無限とゼロを使用すると間違いが生じるのは、これらの仮定が科学的に正当化されていないためです。
そしてこれは、宇宙や量子力学の理解に役割を果たす可能性があります。
ジョージ エリス、ティム パーマー、ニコラス ギシンなどの一部の物理学者が、無限を使用せずに物理学を定式化する必要があると主張したのはこのためです。
既存の法律と不整合な上にそもそも絵柄に著作権を認めようとしても類似した絵柄を持つ作家は他にも多数いるわけで著作権の帰属を明確に出来ないために不可能
世に出した時点で誰でも学習させることが出来るので取締コストが無限大に近く実質的に不可能、そして有限のリソースを割いて取り締まろうと作家の怒りが個人的にスッキリするぐらいの効果しかなく明らかに費用対効果に見合わない。建前的に税金で運営されてる警察にイラストのAI学習を取り締まれとか世論が納得するわけがない。
大体無差別に学習したモデルで学習させたかの立証は困難だろうし、Loraみたいな特定の学習をしたモデルであっても海外では違法ではないしそれをDLして使えばいいだけなので意味がない。Lora全般の使用を禁止するのも根拠がないし、特定のLoraモデルが学習禁止対象のものを使用したものかどうかユーザーが判断するのも困難だし使用したところで何らかの明確な損失が発生するわけでもないのでこれを取り締まるのも明らかにやり過ぎである。
量子力学における観測者問題についてはよく知られるように、人間の主観性が量子実験の結果に重要な役割を果たしている。
ドイツの物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルクによる有名な引用がある。
「私たちが観察するのは現実そのものではなく、私たちの質問の方法にさらされた現実です。」
例えば有名なダブルスリット実験では、スリットの後ろに検出器を置かなければ電子は波として現れるが、検出器を置くと粒子として表示される。
したがって実験プロトコルの選択は、観察する行動パターンに影響する。これにより、一人称視点が物理学の不可欠な部分になる。
さて、数学にも一人称視点の余地はあるか。一見すると、答えは「いいえ」のように見える。
ヒルベルトが言ったように、数学は「信頼性と真実の模範」のようである。
それはすべての科学の中で最も客観的であり、数学者は数学的真理の確実性と時代を超越した性質に誇りを持っている。
ピタゴラスが生きていなかったら、他の誰かが同じ定理を発見しただろう。
さらに定理は、発見時と同じように、今日の誰にとっても同じことを意味し、文化、育成、宗教、性別、肌の色に関係なく、今から2,500年後にすべての人に同じ意味があると言える。
さて、ピタゴラスの定理は、平面上のユークリッド幾何学の枠組みに保持される直角三角形に関する数学的声明である。しかし、ピタゴラスの定理は、非ユークリッド幾何学の枠組みでは真実ではない。
何が起こっているのか?
この質問に答えるには、数学的定理を証明することの意味をより詳しく調べる必要がある。
定理は真空中には存在しない。数学者が正式なシステムと呼ぶものに存在する。正式なシステムには、独自の正式な言語が付属している。
つまり、アルファベットと単語、文法は、意味があると考えられる文章を構築することを可能にする。
その言語には、「点」や「線」などの単語と、「点pは線Lに属する」などの文章が含まれる。
次に正式なシステムのすべての文のうち、有効または真実であると規定した文を区別する。これらは定理である。
それらは2つのステップで構築されれる。まず、最初の定理、証明なしで有効であると宣言する定理を選択する必要がある。これらは公理と呼ばれる。
公理からの演繹は、すべての数学がコンピュータで実行可能な印象を生む。しかし、その印象は間違っている。
公理が選択されると、正式なシステムで定理を構成するものに曖昧さがないのは事実である。
これは実際にコンピュータでプログラムできる客観的な部分である。
例えば平面のユークリッド幾何学と球の非ユークリッド幾何学は、5つの公理のうちの1つだけで異なる。他の4つは同じである。
しかしこの1つの公理(有名な「ユークリッドの5番目の仮定」)はすべてを変える。
ユークリッド幾何学の定理は、非ユークリッド幾何学の定理ではなく、その逆も同様。
ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の場合、答えは明確である。これは、単に説明したいものに対応している。
数学は広大であり、どのように公理を選択するかという問題は、数学の基礎に深く行くと、はるかに感動的になる。
すべての数学的オブジェクトは、いくつかの追加構造を備えたセットと呼ばれるものであるということだ。
たとえば自然数のセット1,2,3,4,...は加算と乗算の演算を備えている。
集合論は特定の正式なシステムによって記述される。Ernst ZermeloとAbraham Fraenkelと、選択の公理と呼ばれる公理の1つに敬意を表して、ZFCと呼ばれる。
今日の数学者は、すべての数学を支える集合論の正式なシステムとしてZFCを受け入れている。
彼らは、無限の公理と呼ばれるZFCの公理の1つを含めることを拒否する。
言い換えれば、有限主義者の正式なシステムは、無限の公理のないZFCである。
無限大の公理は、自然数の集合1,2,3,4,...が存在すると述べている。すべての自然数に対してより大きな数があるという声明(「ポテンシャル無限大」と呼ばれる)よりもはるかに強い声明である。
有限主義者は、自然数のリストは決して終わらないことに同意するが、いつでも自然数の集合の有限の部分集合のみを考慮することに限定する。
彼らは一度にまとめたすべての自然数の合計が実在することを受け入れることを拒否する。
この公理を取り除くと、有限主義者が証明できる定理はかなり少なくなる。
正式なシステムを判断し、どちらを選択するかを決定することができるいくつかの客観的な基準...なんてものはない。
「時間と空間を超越した何かを象徴しているので無限大が大好きだ」と言えば無限大の公理を受け入れることができる。
ゲーデルの第二不完全性定理は、十分に洗練された正式なシステム(ZFC等)は、自身の一貫性を証明することができないと述べている。
数学者は、今日のすべての数学の基礎であるZFCが確固たる基盤にあるかどうかを実際に知らない。
そしておそらく、決して知ることはない。
なぜなら、ゲーデルの第二の不完全性定理によって、より多くの公理を追加することによってZFCから得られた「より大きな」正式なシステムにおけるZFCの一貫性を証明することしかできなかったから。
一貫性を証明する唯一の方法は、さらに大きな正式なシステムを作成することだけだ。
数学を行うためにどの公理を選択すべきかについて、実際には客観的な基準がないことを示唆している。
要するに、数学者が主観的に選んでいるというわけである。自由意志に任せて。
公理のための主観的な基準というのは、より豊かで、より多様で、より実りある数学に導くものを選ぶという人は多い。
これは自然主義と呼ぶ哲学者ペネロペ・マディが提唱する立場に近い。
特定の公理のセットを選択する行為は、量子物理学の特定の実験を設定する行為に似ている。
それには固有の選択肢があり、観察者を絵に導く。
年末からVtuber見始めちゃったって言ってた増田ですけど、年明けても相変わらずVtuber見続けてますよ
ブコメでも、「コラボ動画見たらだんだん見る対象が広がっていくよ」みたいなことが言われてたけど、予言通り見事にちらほら見始めちゃいました
お勧めされていた順当な後継者っぽい子は、なんか授業みたいでちょっと聴きにくかったけど、昨日ちょっと、昔から仲良さそうな関西の女子高生とか、なんか国持ってる王女様っぽい子とか聴いたらけっこう楽しかったです
というかすごいね！
企業Vtuberの事務所って、こんなにしゃべりが達者で、キャラが立っている人が何十人どころか100人以上所属してるの？やばいじゃんまじで
多くの古参からしたら5年遅れの感想だろって感じなんでしょうけど、こんな上質な話芸のエンターテイメントが無料で、無限にyoutubeに存在していたということに衝撃を受けている状態です
正直、他人が遊んでいるところ見るくらいなら自分が遊ぶわ！ってゲーム配信とか絶対に見なかったんですけど、これ、ゲームを見るっていうかお気に入りのアイドルのリアクションを見ている自分がいることに気付いてまたなんか価値観が揺らいでますよ
あとお気に入りの声をイヤホンで、ずっと聴いてるとね、なんか恋人、とは言わないまでも、すごく親しい友人みたいな気分がしてくるんだよね
語りかける口調も多いじゃん、ラジオDJとかテレビのMCよりずっと個人に語り掛ける感じがあるじゃん
なんか毎日ずっと電話してる相手みたいな気持ちになってこない？
幸いまだコメントとか全然つけてないし、youtubeのアカウントとかもないからチャンネル登録すらしてないけど、やりはじめたら厄介ファンになりそうな自分がすごく怖いね
もう片方の方にもいつか手を出す日が来るんだろうと思うと、なんというか、とても恐ろしいねこれ
マンガやアニメのキャラにすら熱烈なファンがついていることを思うとさ、Vtuberって将来性やばくないか？
俳優とか芸人とかは本業があるから、ファンサ100%みたいな活動はまず無理なのに、Vtuberって存在そのものと本業がそのままファンサじゃん
こんな業態他にある？
こう、誰しもお気に入りの推しポケモンがいるように、推しVtuberが普通にいるのが当たり前の時代がくるんじゃないのこれ
そしてガワを作ったり配信に関する技術開発は必要だろうけど、それ以上の元手ってほとんど必要ないことを思うと、営利企業としても将来性すごそう
Vtuberになりたい人は事務所の看板と、すぐれたアバターが欲しいので、今の二大看板が有望な新人を集められる構造はすでにできているでしょう？
すんごいね
逆な。
ブラックホールの質量が体積0の点に集まって密度が無限大となってしまうが、物理学で無限大なんてものは近似でしか存在しないので特異点と呼んで異常な点であることを示している。
ブラックホールの特異点では質量が一点に集まるために重力が無限大になるといわれている。
「一点」とは数学的に面積や体積を持たない点である。そこに質量が集まるとなるとたとえそれが1gだとしても重力が無限大になるバグが発生する。
これはゼロ除算の結果が無限大になると無理矢理定義してしまった状態だといえる。
もし現実的に質量が一点に集まるとしたらその計算方法を新たに考えなくてはならない。
そもそも「無限大」は具体的な数値ではないので精確な計算はできない。
問題としてまず重力が無限大ならこの宇宙のすべてに無限大の重力が反映されないとおかしい。即ち特異点が生まれると同時に宇宙全域がブラックホールと化す。
しかし無限大になるのはあくまで一点だけなのでその影響範囲も一点の中に収まると考えると矛盾はない。
実際に宇宙全域がブラックホールになっていないのを見るとそう考えるのが妥当とも思える。
特異点を除外した物理の考え方では重力が無限大とは質量が無限大に相当する。
無限大に質量が集まることはないし、そんな天体が存在するとすれば慣性の法則で軌道を変えずにまっすぐ進む。
数学では一点は一次元として扱われる。もしかしたら特異点は次元が折り畳まれ一次元になっているのかもしれない。
影響範囲が限定的でない（一点に収まらない）場合は元の質量から重力を計算できそうだが、そうなると特異点を否定しなければゼロ除算の問題が残る。
・私の予想
E=mc²
ブラックホールの中心では物質はエネルギーに変換され存在しているのではないか？
宇宙初期にエネルギーから物質が生まれたようにブラックホール内部の極限環境で物質がエネルギーになったとしてもおかしくない。
