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はてなキーワード: デデキントとは

2016-10-26

0.999…=1は公理じゃねぇぇぇぇ

0.999…が1と等しい事がわからん中学生がいる、っていう増田エントリ[1]があって、

それに対してわっと氏が「等しいのは公理から」って返答[2]している。

[1] http://anond.hatelabo.jp/20161024040352

[2] http://watto.hatenablog.com/entry/2016/10/25/133000

いや、ちげーよ!!というのが本稿の趣旨である

ちなみに私は[1]の増田とは別人。

わっと氏の主張のどこが間違っているか述べる前に、

じゃぁ、0.999…=1となる本当の理由は何か、というのを先に書いておく。

そもそもなんとなくごまかして「0.999…」と書くことで9が無限に続いている事を表現しているが、

実際には人間の有限の寿命無限個の数字を書けるわけもない(ヒルベルトの「有限の立場」)。

なんで、実際には有限個数であるn個の9を書いて、そのnをどんどん大きくしているのである

で、nを大きくするたびに、0.999…が1に近づくというのが、「0.999…=1」の正しい数学意味である

高校数学をわかってる人向けに書くと、ようするにnを無限大飛ばしときの極限を考えているわけ。

で、わっと氏の何が間違っているのか。

おめー、0.999…=1が実数体公理だってんなら、有理数体や複素数体の上では「0.999…=1」は

成り立たないってのか!?

当然そんなわけない。

まり実数体公理の中でもっと重要公理であるデデキントの切断公理が満たされないケース(有理数体)や

順序の公理が満たされないケース(複素数体)でも「0.999…=1」は成り立っているわけで、

「0.999…=1は実数体公理」という主張はおかしい(注)。

じゃぁ何が重要なのか。

答えは実数体の「距離構造である(更に弱く「位相構造」でも良い)。

先に極限の話をしたとき、0.999…の桁数nを大きくすると、1に「近づく」って述べた。

「近づく」ってのは「距離が小さくなる」ってことなんで、距離関係しているわけだ。

わっと氏が触れているε-N0式の極限の定義でも、

二点間の距離を使って極限を定義してますしね。

実際、実数体距離として通常の距離とは別のものをいれると、

0.999…は1に近づくとは限らない。

単純な例としては実数xとyの距離d(x,y)を

d(x,y) = 0 if x=y

d(x,y) = 1 if x≠y

定義する(離散距離)と0.999…(n桁)と1との距離

nがいくつであっても常に1なので、nを無限大飛ばしても

0.999…は1に収束しない。

(注)もちろん、実数に関する性質を導くには必ず実数公理を使うわけだから

そういう意味では「0.999…=1」の証明実数公理を使うことにはなるんだけど、

そんなこと言い出したら「πは超越数」とか「5次方程式は解の公式を持たない」とか

実数に関する全ての定理実数公理を使っていることになるでしょ。

★追記

わっと氏の新しい記事を見て、わっと氏が何を勘違いしているのかわかった。

勘違いしているのは、デデキント切断公理の意義である

切断公理の意義は何らかの実数存在性を示せる事だ。

例えば

0.123456789101112131415....

という小数を考えたとき、この小数の桁数を無限飛ばした極限の

実数チャンパーノウン定数)が存在する事を示すには切断公理必要となる。

しかし0.999...の場合収束先の実数である1が存在することは

(体の公理より)自明なので、切断公理必要ないのである

記事の「これはデデキントを遠目で見てます」という記述を見る限り、

わっと氏は無限絡みで実数直線を2つにぶった切るときは常に切断公理

必要になると思っているようだが、これは正しくない。

上述したようにこのケースはデデキント切断公理必要ではないので。

デデキント切断公理は「実数直線を2つにぶった切るとどちらかに必ず端点が

存在する」という趣旨公理であり、この最後の「存在する」が必要になる場合に使われる

公理なのである

2013-11-24

http://anond.hatelabo.jp/20131123191514

デデキントって名前ポケモンいそうだよね。とか、

美容室で「デデキントカットでお願いします」って言ったらどうなるかな。とか、

そういう会話を日常的に繰り広げてるのが研究世界です。

2013-11-19

そんなことよりお前ら、環体これくしょんやろうぜ

デデキント環使うから

2008-08-31

http://anond.hatelabo.jp/20080831153526

文脈を追うと、俺が中学の頃に塾で教わった小島先生かな。

経済学者になったと聞いたし、

もとのはてなダイヤリーを追ってもその頃の話が出てくる。

あの塾は今思うととても特殊なもので、数学マニア少年たちと、

きゃぴきゃぴしてる女学生とが共存してる奇妙な空間だった。

特に小島先生の仕切っている中学部は。

小島先生が去った頃くらいから、どうやらその塾の風向きが悪くって、

数学マニア少年きゃぴきゃぴしてる女学生(というか本当に受験目的な子達)が

バラバラの塾に行くようになってしまった。

俺の頃だと、数学オリンピック出るようなやつと一緒に女の子デート行ったりしたのに。

(まあ、嘆かわしいのは、その受験目的な子達の行く塾が、ヤクザとつるんでたりとか、

上層部キャバクラ通ってばかりって言ううさんくさいところなせいもあるけど。

僕らの塾から出たある有名な東大生も、いつの間にかそっちの塾出身ってことにwikiではなってるし。)

で、元に戻すと、そういう数学マニア青少年が同時に抱く女子への憧憬ってのを、

小島先生の「数学迷宮」はよく書いていた。今でもどうしてもその影響でデデキントは悪いやつに思えてしょうがない(藁

で、もっとよりよく書いていたのは、小島先生書下ろしの幾何学入門みたいなテキストの序文だったと思うんだ。

うそかほんとかわからないけど、中学女の子数学が元で話し始めて、って言う話。

できたら、それをアップして欲しいな。

あと、取締役を辞めたとしても、なんらかのサポート、あるいはああいうところを作ってあげて欲しいなあ。

東大合格者数はまだしも学者を輩出した数では、生徒からも、あるいは講師からもすごいパフォーマンスじゃないかな。

 
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