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はてなキーワード: 局所とは
超弦理論では、時空は10次元の滑らかな微分多様体 M^{10} としてモデル化されます。各点の近傍 U ⊆ M^{10} に局所座標 x^{μ}: U → ℝ^{10} を導入します（μ = 0,1,…,9）。
弦の運動は、パラメータ σ^{α}（α = 0,1）で記述される2次元の世界面（ワールドシート） Σ 上の埋め込み写像 X^{μ}(σ^{α}) を用いて表されます。
S = -T/2 ∫_{Σ} d²σ √(-h) h^{αβ} ∂_{α} X^{μ} ∂_{β} X^{ν} g_{μν}(X),
ここで：
- T は弦の張力（T = 1/(2πα')）、
- h_{αβ} は世界面の計量、
- g_{μν}(X) は時空の計量テンソル、
M理論では、時空は11次元の微分多様体 M^{11} となり、M2ブレーンやM5ブレーンのダイナミクスが中心となります。M2ブレーンの世界体積は3次元で、埋め込み写像 X^{μ}(σ^{a})（a = 0,1,2）で記述されます。作用は次のように与えられます：
S = -T_{2} ∫ d³σ √(-det(G_{ab})) + T_{2} ∫ C_{μνρ} ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} ∂_{c} X^{ρ} ε^{abc},
ここで：
- G_{ab} = ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} g_{μν} は誘導計量、
カラビ–ヤウ多様体は、超弦理論のコンパクト化において重要な役割を果たす複素代数多様体であり、スキームの言葉で記述されます。
例えば、3次元カラビ–ヤウ多様体は、射影空間 ℙ^{4} 内で次の斉次多項式方程式の零点として定義されます：
f(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) = 0,
ここで [z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3} : z_{4}] は射影座標です。
各点 x は、局所環 ℴ_{X,x} の極大イデアル ℳ_{x} に対応します。これにより、特異点やその解消、モジュライ空間の構造を厳密に解析できます。
弦理論では、世界面 Σ から時空多様体 M への写像の空間 Map(Σ, M) を考えます。この空間の元 X: Σ → M は、物理的には弦の配置を表します。
特に、開弦の場合、端点はDブレーン上に固定されます。これは、境界条件として写像 X がDブレーンのワールドボリューム W への射 ∂Σ → W を満たすことを意味します。
この設定では、開弦のモジュライ空間は、境界条件を考慮した写像の空間 Hom(Σ, M; ∂Σ → W) となります。
弦理論の物理量は、しばしば背景多様体のコホモロジー群の要素として表現されます。
- ラマンド–ラマンド（RR）場は、時空のコホモロジー群の要素 F^{(n)} ∈ H^{n}(M, ℝ) として扱われます。
- Dブレーンのチャージは、K理論の元として分類されます。具体的には、Dブレーンの分類は時空多様体 M のK群 K(M) の元として与えられます。
- グロモフ–ウィッテン不変量は、弦のワールドシート上のホモロジー類 [Σ] ∈ H_{2}(M, ℤ) に対応し、弦の瞬間子効果を計算するために使用されます。
例えば、グロモフ–ウィッテン不変量は、モジュライ空間 ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) 上のコホモロジー類の積分として計算されます：
⟨∏_{i=1}^{n} γ_{i}⟩_{g,β} = ∫_{[ℤ̄{M}_{g,n}(M, β)]^{vir}} ∏_{i=1}^{n} ev_{i}^{*}(γ_{i}),
ここで：
- g はワールドシートの種数、
- β ∈ H_{2}(M, ℤ) は曲面のホモロジー類、
- γ_{i} ∈ H^{*}(M, ℝ) は挿入するコホモロジー類、
- ev_{i} は評価写像 ev_{i}: ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) → M。
弦理論の摂動論的計算では、世界面をパンツ分解などの方法で細分化し、それらの組み合わせを考慮します。
- パンツ分解: リーマン面を基本的なペアオブパンツ（3つの境界を持つ曲面）に分割し、それらを組み合わせて高次の曲面を構築します。
- 世界面のトポロジーを組合せ論的に扱い、弦の散乱振幅を計算します。
弦の散乱振幅は、各トポロジーに対して次のようなパス積分として与えられます：
A = ∑_{g=0}^{∞} g_{s}^{2g-2} ∫_{ℳ_{g}} D[h] ∫ D[X] e^{-S[X,h]},
ここで：
- g_{s} は弦の結合定数、
- D[h] は計量に関する積分（ファデエフ–ポポフ法で適切に定義）、
- S[X,h] はポリャコフ作用。
- 共形対称性: ワールドシート上の共形変換は、ビラソロ代数
[L_{m}, L_{n}] = (m - n) L_{m+n} + c/12 m (m^{2} - 1) δ_{m+n,0}
{G_{r}, G_{s}} = 2 L_{r+s} + c/3 (r^{2} - 1/4) δ_{r+s,0},
[L_{n}, G_{r}] = (n/2 - r) G_{n+r}
を満たします。
- T-双対性: 円状にコンパクト化された次元において、半径 R と α'/R の理論が等価である。このとき、運動量 p と巻き数 w が交換されます：
p = n/R, w = m R → p' = m/R', w' = n R',
ここで R' = α'/R。
- S-双対性: 強結合と弱結合の理論が等価であるという双対性。弦の結合定数 g_{s} が変換されます：
g_{s} → 1/g_{s}。
時空の計量 g_{μν} は、弦の運動を決定する基本的な要素です。背景時空がリッチ平坦（例えばカラビ–ヤウ多様体）の場合、以下を満たします：
R_{μν} = 0。
β関数の消失条件から、背景場は次のような場の方程式を満たす必要があります（一次順序）：
- 重力場：
R_{μν} - 1/4 H_{μλρ} H_{ν}^{\ λρ} + 2 ∇_{μ} ∇_{ν} Φ = 0、
- B-フィールド：
∇^{λ} H_{λμν} - 2 (∂^{λ} Φ) H_{λμν} = 0、
- ディラトン場：
4 (∇Φ)^{2} - 4 ∇^{2} Φ + R - 1/12 H_{μνρ} H^{μνρ} = 0。
M理論では、三形式場 C_{μνρ} とその場の強度 F_{μνρσ} = ∂_{[μ} C_{νρσ]} が存在し、11次元超重力の場の方程式を満たします：
- 場の強度の方程式：
d * F = 1/2 F ∧ F、
- アインシュタイン方程式：
R_{μν} = 1/12 (F_{μλρσ} F_{ν}^{\ λρσ} - 1/12 g_{μν} F_{λρσδ} F^{λρσδ})。
エレメンタリートポスの枠組みを用いることで、情報と存在の関係を数学的にモデル化できる。このモデルでは、存在をトポスの対象として、情報をその間の射や、内部論理における命題として表現する。
- 射の集合：任意の対象 A, B ∈ Ob(𝓔) に対し、射の集合 Hom𝓔(A, B)。
- 合成写像：∘ : Hom𝓔(B, C) × Hom𝓔(A, B) → Hom𝓔(A, C)。
- 恒等射：各対象 A に対し、idA ∈ Hom𝓔(A, A)。
- 合成の結合律：f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h。
- 恒等射の単位性：idB ∘ f = f、f ∘ idA = f。
1. 有限極限の存在：𝓔 は有限極限（特に、積と等化子）を持つ完備な圏である。
2. 指数対象の存在：任意の対象 A, B ∈ 𝓔 に対し、指数対象 BA が存在し、以下の自然同型が成り立つ。
Hom𝓔(C × A, B) ≅ Hom𝓔(C, BA)
3. 部分対象分類子の存在：特別な対象 Ω ∈ 𝓔 と単射 true: 1 → Ω が存在し、任意のモノ射（単射） m: U ↪ A に対し、一意的な射（特性射） χU: A → Ω が存在して以下の可換図式を満たす。
U ↪ A
↓ ↓
1 → Ω
1. 射としての情報：存在間の関係や変換を表す射 f: A → B は、存在 A から存在 B への情報の伝達や変換をモデル化する。
2. 部分対象としての情報：対象 A の部分対象 m: U ↪ A は、存在 A の特定の性質や部分構造（情報）を表す。これはモノ射として表現される。
3. 特性射と命題：部分対象 m: U ↪ A に対応する特性射 χU: A → Ω は、存在 A の要素が部分対象 U に属するかどうかを示す情報を提供する。
トポス 𝓔 の内部では、高階直観主義論理が展開される。ここで、以下の対応が成立する。
- 論理積（AND）：P ∧ Q は積対象を用いて、χP∧Q = ⟨χP, χQ⟩ : A → Ω × Ω → Ω。
- 論理和（OR）：P ∨ Q は余積（和）を用いて表現される。
- 含意（IMPLIES）：P ⇒ Q は指数対象を用いて、χP⇒Q: A → ΩΩ。
- 否定（NOT）：¬P は、χ¬P = χP⇒⊥ として表され、⊥ は偽を表す部分対象である。
1. 一致性：開被覆 { fi: Ui → U } に対し、各 F(Ui) の要素が F(Ui ×U Uj) 上で一致するなら、それらは F(U) の要素から誘導される。
2. 貼り合わせ可能性：F(U) の要素は、その制限が各 F(Ui) の要素に一致する。
以上の構造を組み合わせることで、情報と存在の関係を統一的にモデル化できる。
- 射 f: A → B は存在間の情報の伝達や変換を示す。
- 部分対象 m: U ↪ A は存在の部分的な情報や性質を示す。
経済主体の集合 I と財の集合 L を考える。各主体 i ∈ I は以下を持つ:
市場価格ベクトル p ∈ ℝ₊ᴸ が与えられると、各主体は以下の予算集合を持つ:
Bᵢ(p) = { x ∈ Xᵢ | p · x ≤ p · ωᵢ }
競争均衡 (p*, x*) を考える。ここで、x* = (xᵢ*)ᵢ∈I は各主体の最適選択であり、市場均衡条件を満たす:
1. 最適性条件:
xᵢ* ∈ arg max{x∈Bᵢ(p*)} { x | x ≽ᵢ xᵢ }
2. 市場均衡条件:
Σᵢ∈I xᵢ* = Σᵢ∈I ωᵢ
仮に x* がパレート効率的でないとすると、ある実現可能な配分 y = (yᵢ)ᵢ∈I が存在して:
zᵢ = yᵢ - xᵢ* と定義すると:
Σᵢ∈I zᵢ ≤ 0
各主体の最適性より:
p* · yᵢ ≥ p* · xᵢ*
従って:
p* · zᵢ ≥ 0
しかし、少なくとも一人について p* · zᵢ > 0。すると:
Σᵢ∈I p* · zᵢ > 0
しかし:
Σᵢ∈I p* · zᵢ = p* · Σᵢ∈I zᵢ ≤ 0
仮定の下で、任意のパレート効率的配分は、適切な初期保有の再分配後、競争均衡として実現可能である。
任意のパレート効率的配分 x* = (xᵢ*)ᵢ∈I を考える。社会的に望ましい配分として、適切な価格ベクトル p* ∈ ℝ₊ᴸ を構築する。
パレート効率性より、以下の集合は交わらない:
これらの凸集合を分離するハイパープレーンが存在し、その法線ベクトルとして価格 p* を得る。
再分配された初期保有 ω̃ᵢ を考える(Σᵢ∈I ω̃ᵢ = Σᵢ∈I ωᵢ)。各主体は以下を最大化する:
max{x∈Xᵢ} { x | x ≽ᵢ xᵢ, p* · x ≤ p* · ω̃ᵢ }
適切な ω̃ᵢ を選ぶことで、xᵢ* が各主体の最適解となる。
ある政策変更により得られる利得者の利得が、損失者の損失を完全に補償できる場合、その政策は潜在的なパレート改善である。
経済内の二つの状態 A と B を考える。状態 B への移行で利得者と損失者が存在する。
1. カルドア基準:
利得者の余剰 G と損失者の損失 L を計測し、G > L であれば、利得者から損失者への補償が可能である。
損失者が利得者に支払ってでも状態 A を維持したい額を W とすると、G > W であれば、状態 B への移行が望ましい。
人間が徒歩で歩くスケールにおいては碁盤の目だろうと曲がってようと変わんねーよ。局所的な密度だって土日の新宿三丁目とかを除けば人間がシャキシャキ歩くのに支障があるほど人が詰まっていることはない。
∀x, y ∈ X, x ≿ y ∨ y ≿ x
∀x, y, z ∈ X, (x ≿ y ∧ y ≿ z) ⇒ x ≿ z
∀x ∈ X, {y ∈ X | y ≿ x} と {y ∈ X | x ≿ y} は X において閉集合
∀x, y, z ∈ X, ∀α ∈ (0, 1), (x ≿ z ∧ y ≿ z) ⇒ αx + (1-α)y ≿ z
関数 u: X → ℝ が以下を満たすとき、u を選好関係 ≿ の効用関数と呼ぶ：
∀x, y ∈ X, x ≿ y ⇔ u(x) ≥ u(y)
効用関数 u: X → ℝ に対して、任意の r ∈ ℝ に対する無差別集合 I_r を以下で定義する：
I_r = {x ∈ X | u(x) = r}
公理 1-4 を満たす選好関係 ≿ に対応する効用関数 u が連続であるとき、任意の r ∈ ℝ に対して、I_r は X の閉集合である。
証明：
u の連続性より、I_r = u^(-1)({r}) は X の閉集合である。
公理 1-4 を満たす選好関係 ≿ に対応する効用関数 u が準凹であるとき、任意の r ∈ ℝ に対して、I_r は凸集合である。
証明：
x, y ∈ I_r, α ∈ (0, 1) とする。u の準凹性より、
u(αx + (1-α)y) ≥ min{u(x), u(y)} = r
一方、u(αx + (1-α)y) > r とすると、公理 4 に矛盾する。
よって、u(αx + (1-α)y) = r となり、αx + (1-α)y ∈ I_r が示される。
X が Banach 空間のとき、関数 f: X → ℝ が点 x ∈ X で Gâteaux 微分可能であるとは、任意の h ∈ X に対して以下の極限が存在することをいう：
δf(x; h) = lim_{t→0} (f(x + th) - f(x)) / t
効用関数 u: X → ℝ が Gâteaux 微分可能であるとき、点 x ∈ X における財 i と財 j の間の限界代替率 MRS_{ij}(x) を以下で定義する：
MRS_{ij}(x) = -δu(x; e_i) / δu(x; e_j)
ただし、e_i, e_j は i 番目、j 番目の基底ベクトルとする。
X が Hilbert 空間で、効用関数 u: X → ℝ が二回連続 Fréchet 微分可能かつ強凹であるとき、任意の x ∈ X と任意の i ≠ j に対して、
∂MRS_{ij}(x) / ∂x_i < 0
証明：
u の強凹性より、任意の h ≠ 0 に対して、
⟨D²u(x)h, h⟩ < 0
これを用いて、MRS の偏導関数の符号を評価することで証明が完了する。
X が局所凸位相線形空間、p ∈ X* (X の双対空間)、w ∈ ℝ とする。
効用関数 u: X → ℝ が連続かつ準凹で、以下の問題の解 x* が存在するとき、
max u(x) subject to ⟨p, x⟩ ≤ w, x ∈ X
ある λ ≥ 0 が存在して、以下が成り立つ：
1. ⟨p, x*⟩ = w
2. ∀y ∈ X, u(y) > u(x*) ⇒ ⟨p, y⟩ > w
3. δu(x*; h) ≤ λ⟨p, h⟩, ∀h ∈ X
証明：
超平面分離定理を用いて、{y ∈ X | u(y) > u(x*)} と {y ∈ X | ⟨p, y⟩ ≤ w} が分離可能であることを示し、そこから条件を導出する。
大学2〜3年頃からだったか、ソナチネのたけしに憧れてマジで白シャツスラックスしか着なくなった。菊次郎の夏だったかも。
海沿いで腰掛けてボーッと波を眺めたり、繁華街を練り歩いたりしながら無限に主人公ぶってた。
ヨウジかギャルソンが良かったけど、サイズが合わなかった。ユニクロのスラックスは夏でも快適だ。
同じ格好しかしないからコーディネートの幅は磨かれなかった代わりに、シルエットや丈に異常なこだわりを持つようになった。
オタクが服に興味を持つとそうなるのかもしれない。求める先は異性や他人からのウケではなく。おれの場合はきっかけの時点でもうオタクっぽい。
モサい頭のチビガリだし、たけしのとっぽさにはきっと程遠かった。日中から手ぶらでうろつく姿は変な高校生みたいだったと思う。「主人公」は鞄を持たない。
と思ってた。
最近スタイルというのはもっと必然的なものなんじゃないかって思う。
炭鉱夫はデニムを。軍人は迷彩を。スケーターは動きやすいルーズな服を。オタク少年はママが買ってきたちょっと古いセンスの服を。
そこに演出はなく、その人を取り巻く環境が、生き様が服へと現れる。その自然体こそがスタイルなのではないか。
カートコバーンの真似をしてボロい服を着るのはグランジなのか？なんて語り尽くされた話だ。
スタイルは自分から喧伝せずとも周りが勝手に見出していく。そこには服飾というより精神性としてのかっこよさがある。
ザッカーバーグやジョブズが同じ服ばかり着るのも、彼らの忙しない日々を描くスタイルだ。それをノームコアと囃し立てて、こだわってない風の服をわざわざこだわって選んでもコスプレでしかない。
オタク君の服ってこういうのばっかり、的な揶揄だってベクトルは違えど本質的には賞賛と変わりないのかもしれない。
じゃあおれにとっての環境とは何か。「時代」というのは一つの環境ではないのか。
自我を持って着せ替え人形やコスプレをやるよりもむしろ、服にさほどこだわりのない人が流行に巻き込まれる着る服にこそスタイルがあるのかもしれない。
Twitter（a.k.a 𝕏）で、時代ごとの流行りの比較イラストや写真みたいなのがたまに流れてくる。ファッションは巡るって言説を添えて。
古めの映画を観てても、ジーンズ履いてスタジャンのポットに手を突っ込む若者が妙にかっこよく見える。「その時代の若者」というスタイルが。自分にそういう時期がなかったのがなんか寂しいし、ちょっとコンプレックスですらある。
この際スタイルとかどうでもよくて、能動的なミーハーでもなんでもその時代らしい若者の姿に染まりたいという気持ちがある。
2ch脳拗らせてミーハーを小馬鹿にしてた反動が来たのかも。何なら今だってサンバ履いてゆるいパンツ履いてる連中を若干小馬鹿にしてるけど。いつか自分もそれに倣わなかった悔やむ時が来るのかもしれない。
あの頃もたけしぶってる場合ではなく、若者らしく時代に染まっていれば良かったかな。
と思ったけど、冷静に考えたらそれ以前は「その時代の若者」であった時期もちゃんとあったな。
スラッとしたシルエットにと言われていた筈が、今や掌返して頭でっかちになるとか言われてオワコン扱いを受ける黒スキニーをちゃんと履いていたではないか。1460に捩じ込んで。流行りは3ホールだったけど。チェスターコートも着てた。
げんじファッションの黎明期だ。あれ下半身だけパンクスみたいで面白いな。
服にも強いこだわりは無かったし、自我がないからこその「スタイル」があった。
ミーハー心でyeezyも持ってたしな。QNTM。アレ今でも普通にかっこいいと思う。ブーム末期な上に履きおろさずに売っちゃったけど。
beatsのヘッドホンとかGIATNTSのチャリもかっこいいなと思ってた。まとめサイトの受け売りで情弱向けのゴミ音質とかルック車とか小馬鹿にしつつ、割と欲しかった。
sup_{x ∈ U(X)} x subject to φ(x) ≤ w
ここで、φ: U(X) → ℝ は連続線形汎関数、w ∈ ℝ は初期富である。
sup_{y ∈ T_p𝓜} ω(y)
生産対応を η: T*𝓜 → 2^{T𝓜} とし、以下の条件を満たす：
∀ω ∈ T*𝓜, η(ω) = {y ∈ T_p𝓜 : dω(y) = 0}
ℰ = ((ℋ_i, π_i, Ω_i)_{i ∈ I}, (T_j)_{j ∈ J})
ここで、
状態 (ψ_i*)_{i ∈ I} と価格作用素 P ∈ 𝒜 が均衡であるとは、以下を満たすことを言う：
1. ∀i ∈ I, ψ_i* = arg max_{ψ ∈ ℋ_i} ⟨ψ, π_i(P)ψ⟩ subject to ⟨ψ, π_i(P)ψ⟩ ≤ ⟨Ω_i, π_i(P)Ω_i⟩ + ∑_{j ∈ J} θ_{ij} τ(PT_j)
2. ∀j ∈ J, T_j = arg max_{T ∈ 𝒜} τ(PT)
3. ∑_{i ∈ I} (ψ_i* - Ω_i) = ∑_{j ∈ J} T_j
ここで、τ は 𝒜 上のトレース、θ_{ij} は消費者 i の生産者 j に対する利潤シェアである。
(𝒜, ℋ, D)
ここで、
[D, π(a)] = 0, ∀a ∈ 𝒜_{eq}
ここで、𝒜_{eq} ⊂ 𝒜 は均衡状態を表す部分代数、π は 𝒜 の ℋ 上の表現である。
H: [0,1] × X → X
ここで、X は経済状態空間、H(0,x) = x_0（初期状態）、H(1,x) = x*（均衡状態）である。
DMMTV を PCブラウザで見てる時しかできない（かつHTML/CSSのリテラシが必要な）芸当なんだが、
ブラウザの開発者ツールでvideoタグのスタイルを変更して拡大表示するんだ。
大画面で観るのもいいが、小画面で局所ズームするのもなかなかエロいぞ。
transform: scale(2);
倍率はまあ 2～4 くらいの好きなところでよろしい。
（ちなみにブラウザのズーム機能を使っても、局所拡大はできない。動画サイズはCSSで相対指定されているので、画角は画面の大きさを超えられないんだ）
あまり大きくしすぎると見たいところまでフレームアウトしっぱなしになるので、3以上はおすすめしない。
次に、どのあたりを拡大するかだが、それはこのように指定する。
transform-origin: 50% 75%;
原点をXY相対座標で指定するだけだ。上の例だとヨコは中央、タテは画面下寄り4/3の点を中心に拡大する。股間に注目したい人向きの設定だ。オッパイに注目したい人はY軸を中ほどにするといいだろう。
単純拡大なので解像感が落ちてしまうのが難点だが、接写好きの人は一度試してみてほしい。
Vを社会福祉とすると、V(W_1,...,W_H)と表せる。
1,...,Hは社会のメンバーに割り当てられた番号であり、Wは満足度である。
また、それぞれのメンバーhに財貨やサービスの転換T_hを課す(e.g. 所得税)。
また、T=(T_1,...,T_H)とおく。
Tが与えられた時、実現可能ベクトルの組(G,I)の集合をK_Tと表す。
hの実現可能集合F_hはG,I, T_hによって定まるので、F_h(G,I,T_h,X_{-h})と記す。ただしX_hは消費ベクトルである。
W_hは消費ベクトルX_hからW_h(X_h)によって決まる。
社会均衡X^*に到達していることとその均衡が一つしかないことを仮定する。均衡X^*はG,I,Tの関数である。
政府はその均衡を予測し、V(W(X_1^*),...,W(X_H^*))の結果を最大化するようにG,I,Tを選択する。
ここで、A: ℝᵐ × ℝⁿ → ℝᵖ は線形写像、B: ℝᵏᴴ → ℝᵖ は凸関数
ここで、Cₕ: ℝˡ × ℝᵐ × ℝⁿ × ℝᵏ → ℝᵠ は凸関数、Dₕ: ℝˡ⁽ᴴ⁻¹⁾ → ℝᵠ は線形写像
均衡 X*: ℝᵐ × ℝⁿ × ℝᵏᴴ → ℝˡᴴ の存在を証明するために：
一意性の証明：
1. Wₕ の Xₕ に関する Hessian 行列が負定値であることを示す
max[G∈ℝᵐ, I∈ℝⁿ, T∈ℝᵏᴴ] V(W₁(X₁*(G, I, T), G, I, T₁), ..., Wᴴ(Xᴴ*(G, I, T), G, I, Tᴴ))
制約条件：A(G, I) ≤ B(T)
L(G, I, T, λ) = V(...) - λᵀ(A(G, I) - B(T))
KKT条件：
1. ∇ᴳL = ∇ᴵL = ∇ᵀL = 0
2. λ ≥ 0
3. λᵀ(A(G, I) - B(T)) = 0
4. A(G, I) ≤ B(T)
均衡 X* のパラメータ (G, I, T) に関する感度を分析するために：
1. 陰関数定理を適用：∂X*/∂(G, I, T) = -[∇ₓF]⁻¹ ∇₍ᴳ,ᴵ,ᵀ₎F
ここで、F は均衡条件を表す関数
時間を連続変数 t ∈ [0, ∞) として導入し、動的システムを以下のように定義：
dX/dt = f(X, G, I, T)
ここで、f: ℝˡᴴ × ℝᵐ × ℝⁿ × ℝᵏᴴ → ℝˡᴴ は Lipschitz 連続
確率空間 (Ω, ℱ, P) を導入し、確率変数 ξ: Ω → ℝʳ を用いて不確実性をモデル化：
max[G,I,T] 𝔼ξ[V(W₁(X₁*(G, I, T, ξ), G, I, T₁, ξ), ..., Wᴴ(Xᴴ*(G, I, T, ξ), G, I, Tᴴ, ξ))]
制約条件：P(A(G, I) ≤ B(T, ξ)) ≥ 1 - α
ここで、α ∈ (0, 1) は信頼水準
2. 確率的勾配降下法を用いて数値的に解を求める
1. (X, 𝒯) を局所凸ハウスドルフ位相線形空間とする。
2. ℱ ⊂ X を弱コンパクト凸集合とする。
3. 各 i ∈ I (ここで I は可算または非可算の指標集合) に対して、効用汎関数 Uᵢ: X → ℝ を定義する。Uᵢ は弱連続かつ擬凹とする。
4. 社会厚生汎関数 W: ℝᴵ → ℝ を定義する。W は弱連続かつ単調増加とする。
sup[y∈ℱ] W((Uᵢ(y))ᵢ∈I)
定理: ℱ が弱コンパクトで、全ての Uᵢ が弱上半連続、W が上半連続ならば、最適解が存在する。
P: sup[y∈ℱ] W((Uᵢ(y))ᵢ∈I)
D: inf[λ∈Λ] sup[y∈X] {W((Uᵢ(y))ᵢ∈I) - ⟨λ, y⟩}
定理 (強双対性): 適切な制約想定のもとで、sup P = inf D が成立する。
∂W を W の劣微分とし、∂Uᵢ を各 Uᵢ の劣微分とする。
0 ∈ ∂(W ∘ (Uᵢ)ᵢ∈I)(y*) + Nℱ(y*)
ここで、Nℱ(y*) は y* における ℱ の法錐である。
T: X → X* を以下のように定義する：
⟨Ty, h⟩ = Σ[i∈I] wᵢ ⟨∂Uᵢ(y), h⟩
ここで、wᵢ ∈ ∂W((Uᵢ(y))ᵢ∈I) である。
⟨Ty*, y - y*⟩ ≤ 0, ∀y ∈ ℱ
L: X → X を L = T ∘ Pℱ と定義する。ここで Pℱ は ℱ 上への射影作用素である。
定理: L のスペクトル半径 r(L) が1未満であれば、最適解は一意に存在し、反復法 y[n+1] = Ly[n] は最適解に収束する。
(Ω, 𝒜, μ) を確率空間とし、U: Ω × X → ℝ を可測な効用関数とする。
定理: 適切な条件下で、以下が成立する：
sup[y∈ℱ] ∫[Ω] U(ω, y) dμ(ω) = ∫[Ω] sup[y∈ℱ] U(ω, y) dμ(ω)
効用関数の族 (Uᵢ)ᵢ∈I を圏 𝐓𝐨𝐩 における関手 U: I → 𝐓𝐨𝐩 と見なす。ここで I は離散圏である。
ファースト・ウェルフェア定理は、競争均衡がパレート最適であることを主張する定理である。多様体を用いて定式化する。
多様体 M 上の消費集合 X_i ⊆ M と生産集合 Y_i ⊆ M を持つエージェント i の集合 I があるとする。エージェント i の効用関数 u_i : X_i → ℝ は上半連続（上半連続多様体の意味で）であり、全ての x ∈ X_i に対して局所非飽和性が成り立つと仮定する。
消費可能集合と生産可能集合は以下のように定義される連結多様体の部分集合とする：
X = ∏_{i ∈ I} X_i, Y = ∏_{i ∈ I} Y_i
局所座標系を用いて、これらは連結な実多様体として考えられる。
競争均衡 (p*, x*) が与えられると、全てのエージェント i に対して次が成り立つ場合、その点 (p*, x*) はパレート最適である：
∇u_i(x_i*) · p* = 0
ここで、p* は価格ベクトルであり、∇u_i は多様体上の勾配ベクトル場である。
セカンド・ウェルフェア定理は、任意のパレート最適な配分が適切な初期財産の再配分のもとで競争均衡経済に達成可能であることを主張する。
多様体 M 上の消費集合 X_i ⊆ M と生産集合 Y_i ⊆ M を持つエージェント i の集合 I があるとする。エージェント i の効用関数 u_i : X_i → ℝ は全ての x ∈ X_i に対して上半連続であり、局所非飽和性が成り立つとする。
任意のパレート最適配分 (x_i*)_{i ∈ I} に対して、ある価格ベクトル p* が存在し、そのもとで (p*, x_i*) が競争均衡である：
∃ p* ∈ ℝⁿ \ {0} such that ∇u_i(x_i*) · p* = 0
ここで、再配分は適切に選ばれた初期財産の設定によって行われる。
この定理の証明には、エージェントの一次資源制約と市場のクリアリング条件に関する詳細な解析が必要である。それらは複雑な多様体の幾何学的性質を用いて示される。
厚生経済学の基本定理を多様体のフレームワークで抽象化したが、具体的な応用や証明にはさらに専門的な知識と数学的技術が求められる。これにより、経済理論の理解が抽象代数や微分幾何の視点からも深まる。
江戸時代、というか明治か大正くらいまで？は赤ちゃんというのは基本放置だった
今の先進国でも、中世の頃は成人できる確率は50％くらいだったと言われている
日本で言えば、1900年くらいには24％くらいが5歳までに死んだ
それが、1980年に1％まで落ちた
100人の赤ちゃんのうち死ぬのが１人だから、そりゃもう大失敗事例だ
失敗したら袋叩きにされる
1980年台は死亡率は下がったものの、親の認識としてはまだ「簡単に死ぬもの」だったと思う
今の親というのは1980年台、1990年台生まれが多いだろう
そりゃもうしんどい
失敗できない
2010年、5歳未満の死亡率は0.3％だ
ってことは皆がんばりすぎてんのよ
数や幸福度のことだけ考えたら、
だと、前者のほうが良いんだと思う
昔、趣味で作った1次元セル・オートマトンについてChatGPTに分析させたら面白かった
以下GPTの回答
ーーー
この現象には社会科学、特に社会的相互作用や集団行動に関するモデルとの興味深い類似性がある。
具体的には、個人の行動が周囲との相互作用に基づいて変化し、その集まりが社会全体のパターンを形成するという点で、社会現象の創発を説明するメカニズムに通じている。
3. 社会的影響の強度:
このコードで見られるパターンは、社会科学における集団行動や相互作用のモデルと類似性を持っており、特に創発現象や自己組織化と関係している。個々のエージェントの相互作用が全体の行動にどのように影響を与えるかを理解するために、このようなモデルは社会科学で頻繁に利用されている。
(H, ⟨·|·⟩)を可分なヒルベルト空間とし、B(H)をH上の有界線形作用素の集合とする。
S(H) = {ρ ∈ B(H) : ρ ≥ 0, Tr(ρ) = 1}を密度作用素の集合とする。A ⊂ B(H)を自己共役作用素の部分代数とし、これを観測量の集合とする。
ユニタリ群{Ut}t∈ℝを考え、シュレーディンガー方程式を以下のように表現する：
S(H)上にトレース距離を導入し、位相空間(S(H), τ)を定義する。
A上にC*-代数の構造を導入し、局所的な部分代数の族{A(O)}O⊂ℝ⁴を定義する。ここでOは時空の開集合である。
A(O1)とA(O2)が可換であるとき、O1とO2は因果的に独立であると定義する。これにより、ℝ⁴上に因果構造を導入する。
状態ρ ∈ S(H)に対し、関数dρ : A × A → ℝ+を以下のように定義する：
dρ(A, B) = √Tr(ρ[A-B]²)
この関数から、ℝ⁴上の擬リーマン計量gμνを再構成する手続きを定義する。
(ℝ⁴, gμν)を基底時空とし、これに対して商位相を導入することで、等価類の空間M = ℝ⁴/∼を定義する。Mを創発した時空多様体とみなす。
写像Φ : S(H) → Mを構成し、量子状態と時空点の対応を定義する。
シュレーディンガー方程式による時間発展ρ(t) = Ut ρ Ut*が、M上の滑らかな曲線γ(t) = Φ(ρ(t))に対応することを示す。
情報理論を幾何学的に定式化するには、微分幾何学、特にリーマン幾何学とアフィン接続の理論を使う。
1. 統計多様体: 統計多様体𝓜は、パラメータ空間Θ上の確率分布p(x|θ)の集合として定義され、滑らかな多様体の構造を持つ。ここで、θ = (θ¹, θ², ..., θⁿ)は局所座標系である。
2. フィッシャー情報計量: 統計多様体𝓜上のリーマン計量gは、フィッシャー情報計量として与えられる。これは、次のように定義される二次形式である：
gᵢⱼ(θ) = ∫ (∂ log p(x|θ)/∂θⁱ)(∂ log p(x|θ)/∂θʲ) p(x|θ) dx
1. アフィン接続: 統計多様体には、双対のアフィン接続∇と∇*が定義される。これらは、次の条件を満たす：
- 接続∇は、∇g = 0を満たし、統計多様体の平行移動を定義する。
- 双対接続∇*は、∇*g = 0を満たし、∇に対する双対接続である。
2. 双対平坦性: 統計多様体が双対平坦であるとは、∇と∇*の両方の曲率テンソルがゼロであることを意味する。これにより、𝓜は双対平坦な多様体となる。
1. エントロピー: 確率分布p(x|θ)のエントロピーH(θ)は、次のように定義される：
H(θ) = -∫ p(x|θ) log p(x|θ) dx
2. KLダイバージェンス: 二つの確率分布p(x|θ)とq(x|θ')の間のKLダイバージェンスは、次のように定義される：
Dₖₗ(p ∥ q) = ∫ p(x|θ) log (p(x|θ)/q(x|θ')) dx
KLダイバージェンスは、統計多様体上の測地距離として解釈されることがある。
3. 測地線: フィッシャー情報計量に基づく測地線は、統計多様体上で最小のKLダイバージェンスを持つ経路を表す。測地線γ(t)は、次の変分問題の解として得られる：
δ ∫₀¹ √(gᵧ(t)(ẏ(t), ẏ(t))) dt = 0
ここで、ẏ(t)はtに関するγ(t)の微分を表す。
都市伝説によれば、かつてアインシュタインの古典的重力理論「一般相対性理論」を理解していたのは3人だけだったと言われている。
それが真実かどうかは別として、その3人のうちの1人がダフィッド・ヒルベルトである。彼は、今日の初学者でも一般相対性理論を理解できるように、それを数学で明確かつ正確（すなわち厳密）に形式化した。
古典的なアインシュタインの重力は、時空上の擬リーマン計量のモジュライ空間上のスカラー曲率密度汎関数の積分の臨界点の研究にすぎない。
物理学の基本的な理論は数学での基本的な定式化を持つべきだと信じたことで、ヒルベルトは本質的にアインシュタインを先取りすることができた。そのため、この汎関数は現在、アインシュタイン・ヒルベルト作用汎関数と呼ばれている。
ヒルベルトは、1900年の有名なヒルベルトの問題の一環として、この一般的なアイデアを以前から提唱していた。ここでヒルベルトの第6問題は、物理学の理論の公理を見つけることを数学者に求めている。
それ以来、そのような公理化のリストが見つかっている。例えば、
| 物理学 | 数学 |
| 力学 | シンプレクティック幾何学 |
| 重力 | リーマン幾何学 |
| ゲージ理論 | チェルン・ヴェイユ理論 |
| 量子力学 | 作用素代数 |
| トポロジカル局所量子場理論 | モノイダル(∞,n)-カテゴリ理論 |
このリストには注目すべき2つの側面がある。一方で、数学の最高の成果が含まれており、他方で、項目が無関係で断片的に見えることだ。
学生時代、ウィリアム・ローヴィアは「合理的熱力学」と呼ばれる熱力学の公理化の提案に触れた。彼は、そのような連続体物理学の基本的な基盤は、まず微分幾何学自体の良い基盤を必要とすることに気づいた。彼の生涯の出版記録を見てみると、彼が次の壮大な計画を追求していたことがわかる。
ローヴィアは、最初の2つの項目（圏論的論理、初等トポス理論、代数理論、SDG）への画期的な貢献で有名になった。なぜか、このすべての動機である3番目の項目は広く認識されていないが、ローヴィアはこの3番目の点を継続的に強調していた。
この計画は壮大だが、現代の基準では各項目において不十分である。
現代数学は自然にトポス理論/型理論ではなく、高次トポス理論/ホモトピー型理論に基づいている。
現代の幾何学は「変数集合」（層）だけでなく、「変数ホモトピー型」、「幾何学的ホモトピー型」、「高次スタック」に関する高次幾何学である。
現代物理学は古典的連続体物理学を超えている。高エネルギー（小さな距離）では、古典物理学は量子物理学、特に量子場理論によって精緻化される。
つまり、（モデル理論における）「数学的構造」の形式的定義と同型性の形式的定義があり、そして実際、これは新しい主張でもなければ、洞察でもないのだが、この意味での数学的構造のすべてのタイプは、形式論理学の意味での理論である。
物理学のいかなる形式化された理論も、この意味での理論である（あるいはそうなるであろう）。これは数理論理学の基本中の基本である。
ここで主張されているように、数理論理学の意味でのすべての理論を物理学の理論と呼ぶべきかどうかは別の問題である。
より興味深いのは、形式論理学の理論が物理学の理論として適格であるかどうかの特徴付けであろう。この種の問題に生涯を通じて取り組んできた一人に、ウィリアム・ローヴィア（William Lawvere）がいる。
http://ncatlab.org/nlab/show/William+Lawvere#MotivationFromFoundationsOfPhysics
Lawvereは、例えば、連続体力学で遭遇するような運動方程式の定式化を認めるある種の無限理論の運動法則のトポスhttp://ncatlab.org/nlab/show/Toposes+of+laws+of+motionについて述べている。これは少し改良して、局所的な場の量子論 http://ncatlab.org/nlab/show/Higher+toposes+of+laws+of+motion も捉えることができる。
いずれにせよ、これらは形式理論、つまり「数学的構造」の一種であり、現代物理学の大部分を形式化することができる。ここでの同型性の概念は明確であり、議論の余地はない。問題は、物理学のどの部分が形式化されるかである。
数学的宇宙仮説を説明するには、宇宙をどのようにモデル化するかを考え、各理論の役割を明確にする必要がある。
以下に、各概念を説明し、物理宇宙を数学的にどのように捉えるかを示す。
数学的宇宙仮説の中心にあるのは、宇宙が数学的構造そのものであるという考え方である。数学的構造は、集合とその上で定義される関係や演算の組み合わせである。
具体例として、微分多様体を考える。微分多様体は、局所的にユークリッド空間に似た構造を持ち、滑らかな関数が定義できる空間である。物理学では、時空を微分多様体としてモデル化し、一般相対性理論の基盤としている。このように、宇宙全体を一つの巨大な数学的構造として捉え、その性質を研究する。
集合論は、数学の基礎を形成する理論であり、すべての数学的対象を集合として扱う。特に、Zermelo-Fraenkel集合論（ZFC）は、集合の存在とその性質を定義する公理系である。数学的宇宙仮説では、宇宙を集合として捉え、その集合上の関係や演算が物理法則を表現していると考える。
モデル理論は、形式的な論理体系が具体的な構造としてどのように実現されるかを研究する。数学的宇宙仮説では、物理宇宙がある論理体系のモデルであると仮定する。具体的には、物理法則を公理とする論理体系のモデルとして宇宙を捉える。これは、ペアノ算術の公理系のモデルとして自然数が存在するのと類似している。
カテゴリ理論は、対象（オブジェクト）とそれらの間の射（モルフィズム）を扱う理論である。カテゴリ 𝒞 は次のように定義される：
射は合成可能であり、合成は結合的である。さらに、各対象に対して恒等射が存在する。
数学的宇宙仮説では、宇宙を一つのカテゴリとして捉えることができる。カテゴリの対象は異なる数学的構造であり、射はそれらの間の変換や関係を表す。これにより、異なる「宇宙」間の関係性を数学的に探求することが可能になる。
トポス理論は、集合論の一般化であり、論理と空間の概念を統一する枠組みである。トポスは、論理体系のモデルとして機能し、異なる数学的構造を統一的に扱うことができる。
数学的宇宙仮説では、宇宙をトポスとして捉えることができる。トポスは、論理体系のモデルであり、異なる物理的現実を表現するための柔軟な枠組みを提供する。トポス理論を用いることで、宇宙の数学的性質をより深く理解することが可能になる。
数学的宇宙仮説を抽象数学で説明するためには、数学的構造、公理系、集合論、モデル理論、カテゴリ理論、トポス理論といった数学的概念を用いることが必要である。
これにより、物理的現実を数学的に厳密に記述し、数学と物理の深い関係を探求することができる。
この仮説は、数学的対象が物理的実体として存在するという新しい視点を提供するが、現時点では哲学的な命題としての性格が強く、数学的に証明可能な定理ではない。
ヒルベルト空間は無限次元の線形空間だが、射影ヒルベルト空間として有限次元多様体のように扱うことができる。射影ヒルベルト空間 P(H) は、ヒルベルト空間 H の単位球面上のベクトルをスカラー倍による同値類で割った空間であり、量子状態の集合を位相的に解析するための空間だ。局所座標系は、例えば、正規直交基底を用いてチャートとして定義され、局所的にユークリッド空間に似た構造を持つ。この構造により、量子状態の位相的特性を解析することが可能となる。
スキーム理論は代数幾何学の概念であり、ヒルベルト空間においては作用素環を通じて状態空間を解析するために用いる。特に、自己共役作用素のスペクトル分解を考慮し、各点を極大イデアルに対応させる。このアプローチにより、量子状態の観測可能量を代数的にモデル化することができる。例えば、観測可能量としての作用素 A のスペクトルは、A = ∫ λ dE(λ) という形で表され、ここで E(λ) は射影値測度である。これにより、量子状態の代数的特性を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間における射は、線形作用素として表現される。特に、ユニタリ作用素 U: H → H は、U*U = UU* = I を満たし、量子力学における対称変換を表す。これにより、系の時間発展や対称性を解析することができる。射影作用素は、量子状態の測定を表現し、観測可能量の期待値や測定結果の確率を計算する際に用いられる。これにより、量子状態の射影的性質を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間のコホモロジーは、量子系のトポロジカル不変量を解析するための手段を提供する。例えば、ベリー接続 A = ⟨ψ(R) | ∇ | ψ(R)⟩ やベリー曲率 F = ∇ × A は、量子状態のパラメータ空間における幾何学的位相的性質を記述する。チャーン数は、∫ F により計算され、トポロジカル不変量として系のトポロジカル相を特徴付ける。これにより、量子系のトポロジカル特性を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間の基底を用いて、空間を再構築する。直交基底 { |e_i⟩ } は、量子状態の展開に用いられ、|ψ⟩ = Σ_i c_i |e_i⟩ と表現される。これにより、状態の表現を簡素化し、特定の物理的状況に応じた解析を行う際に有用である。例えば、フーリエ変換は、状態を異なる基底で表現するための手法であり、量子状態の解析において重要な役割を果たす。
ヒルベルト空間における構造を保つ変換は、ユニタリ群 U(H) として表現される。これらの群は、量子系の対称性を記述し、保存量や選択則の解析に利用される。例えば、回転対称性は角運動量保存に対応し、ユニタリ変換は系の時間発展や対称性変換を記述する。これにより、量子系の対称性特性を解析することが可能となる。
ヒルベルト空間は、内積により誘導される距離を持つ完備距離空間である。具体的には、任意の状態ベクトル |ψ⟩ と |φ⟩ の間の距離は、||ψ - φ|| = √⟨ψ - φ, ψ - φ⟩ で定義される。この距離は、量子状態の類似性を測る指標として用いられ、状態間の遷移確率やフィデリティの計算に利用される。これにより、量子状態の距離的特性を解析することが可能となる。
イギリスで、X上で人種差別的なデマ・煽動的言辞をもちいて暴動を煽ったとして、男が禁錮三年の実刑判決を受けた。
ずいぶんスピード判決なことも含め心情的にはグッジョブといいたいが、何罪で？
イギリスのことは何も知らないし英語も苦手だ。イギリスには純粋な扇動罪があるのか？
アメリカにはあるよな。トランプが扇動罪に問われた弾劾裁判はしかし無罪になった。
じっさい「トランプだから」慎重な判断になったのか扇動罪の運用はぜひとも慎重にしたかったのか、それは知らない。
まあ日本にもヘイトスピーチ規制法とか額面上は使えそうなものはあるが絶対に司法当局はそんな貧弱な武器で火中の栗を拾わないだろう。
そして不特定多数に対する扇動じゃなくて特定個人への中傷じゃないと警察もタッチできませーんみたいなへっぴり姿勢を堅持しそう。
そりゃね？憎悪扇動で逮捕・有罪の先例なんかおっかなくてよう作らんよなあ。
小池都知事が関東大震災での朝鮮人虐殺についてノーコメントを決め込んでいることについて小池個人を叩くより、次また似たようなこと起きそうな時にどうするのか？という話を国政レベルで本当はしなければならない。
イギリスが果断なのではなくあっちでは移民・人種間軋轢がもはやのっぴきならない状況なのだということだろう。
しかし日本はのんびりしていられるかというとそんなわけはなく、イギリスやEUやアメリカのようなそういう状況のミニチュア版は既に局所的に起きている。
人種間憎悪の火種を大きな火にしないために、早期消火と治安維持のために積極的な法整備と運用ができるか？
消費税は、消費を抑えるためにある
これちゃんと経済学を勉強したことないけど「ぼくのかんがえるさいきょうのけいざいがく」が好き、な人がよく言うよね。アジテーション味を強くして、消費税は消費に対する罰金だ、とかも言ったりする。
でも実際には、所得税だって所得を制限する結果として消費を抑えるために働くし、
消費税だって労働によって買えるものを減らす結果として労働の価値を減らし労働を抑えるために働く、
といった一般均衡での最終到達点を考えなければならないから、消費税は消費を抑えるためにあるなんて特に意味があるフレーズじゃないんだけどな。公共投資や給付金といった支出側の増加を伴わないなら、消費税に限らず大概の税が消費を抑えるので。公害や不健康に対するピグー税みたいな局所的で、部分均衡で概ね近似できるものと消費税では全然話が別。
