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2024-09-18

エレメンタリートポスによるモデル

エレメンタリートポスの枠組みを用いることで、情報存在関係数学的にモデル化できる。このモデルでは、存在トポス対象として、情報をその間の射や、内部論理における命題として表現する。

定義1(圏)

- 対象クラスOb(𝓔)。

- 射の集合:任意対象 A, B ∈ Ob(𝓔) に対し、射の集合 Hom𝓔(A, B)。

- 合成写像:∘ : Hom𝓔(B, C) × Hom𝓔(A, B) → Hom𝓔(A, C)。

- 恒等射:各対象 A に対し、idA ∈ Hom𝓔(A, A)。

- 合成の結合律:f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h。

- 恒等射の単位性:idB ∘ f = f、f ∘ idA = f。

定義2(エレメンタリートポス)

  • 圏 𝓔 がエレメンタリートポスであるとは、以下の条件を満たすことを指す。

1. 有限極限の存在:𝓔 は有限極限(特に、積と等化子)を持つ完備な圏である

2. 指数対象存在任意対象 A, B ∈ 𝓔 に対し、指数対象 BA存在し、以下の自然同型が成り立つ。

Hom𝓔(C × A, B) ≅ Hom𝓔(C, BA)

3. 部分対象分類子の存在特別対象 Ω ∈ 𝓔 と単射 true: 1 → Ω が存在し、任意のモノ射(単射) m: U ↪ A に対し、一意的な射(特性射) χU: A → Ω が存在して以下の可換図式を満たす。

U ↪ A

↓ ↓

1 → Ω

ここで、! は終対象 1 から U への唯一の射である

存在モデル

情報モデル

1. 射としての情報存在間の関係や変換を表す射 f: A → B は、存在 A から存在 B への情報の伝達や変換をモデル化する。

2. 部分対象としての情報対象 A の部分対象 m: U ↪ A は、存在 A の特定性質や部分構造情報)を表す。これはモノ射として表現される。

3. 特性射と命題:部分対象 m: U ↪ A に対応する特性射 χU: A → Ω は、存在 A の要素が部分対象 U に属するかどうかを示す情報提供する。

内部論理による情報論理構造

トポス 𝓔 の内部では、高階直観主義論理が展開される。ここで、以下の対応が成立する。

- 論理積(AND):P ∧ Q は積対象を用いて、χP∧Q = ⟨χP, χQ⟩ : A → Ω × Ω → Ω。

- 論理和(OR):P ∨ Q は余積(和)を用いて表現される。

- 含意(IMPLIES):P ⇒ Q は指数対象を用いて、χP⇒Q: A → ΩΩ。

- 否定(NOT):¬P は、χ¬P = χP⇒⊥ として表され、⊥ は偽を表す部分対象である

ヨネダの補題による存在情報の同一視

ヨネダの補題

シーブと層による情報の集約

  • シーブ(sheaf):圏 𝓔 上の前層 F: 𝓔opSet であり、貼り合わせ可能性と一致性の条件を満たすもの
  • 層の条件:

1. 一致性:開被覆 { fi: Ui → U } に対し、各 F(Ui) の要素が F(Ui ×U Uj) 上で一致するなら、それらは F(U) の要素から誘導される。

2. 貼り合わせ可能性:F(U) の要素は、その制限が各 F(Ui) の要素に一致する。

統一的なモデルの構築

以上の構造を組み合わせることで、情報存在関係統一的にモデル化できる。

- 射 f: A → B は存在間の情報の伝達や変換を示す。

- 部分対象 m: U ↪ A は存在部分的情報性質を示す。

- 特性射 χU: A → Ω は存在に関する命題情報)を表す。

 
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