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ファースト・ウェルフェア定理は、競争均衡がパレート最適であることを主張する定理である。多様体を用いて定式化する。
多様体 M 上の消費集合 X_i ⊆ M と生産集合 Y_i ⊆ M を持つエージェント i の集合 I があるとする。エージェント i の効用関数 u_i : X_i → ℝ は上半連続（上半連続多様体の意味で）であり、全ての x ∈ X_i に対して局所非飽和性が成り立つと仮定する。
消費可能集合と生産可能集合は以下のように定義される連結多様体の部分集合とする：
X = ∏_{i ∈ I} X_i, Y = ∏_{i ∈ I} Y_i
局所座標系を用いて、これらは連結な実多様体として考えられる。
競争均衡 (p*, x*) が与えられると、全てのエージェント i に対して次が成り立つ場合、その点 (p*, x*) はパレート最適である：
∇u_i(x_i*) · p* = 0
ここで、p* は価格ベクトルであり、∇u_i は多様体上の勾配ベクトル場である。
セカンド・ウェルフェア定理は、任意のパレート最適な配分が適切な初期財産の再配分のもとで競争均衡経済に達成可能であることを主張する。
多様体 M 上の消費集合 X_i ⊆ M と生産集合 Y_i ⊆ M を持つエージェント i の集合 I があるとする。エージェント i の効用関数 u_i : X_i → ℝ は全ての x ∈ X_i に対して上半連続であり、局所非飽和性が成り立つとする。
任意のパレート最適配分 (x_i*)_{i ∈ I} に対して、ある価格ベクトル p* が存在し、そのもとで (p*, x_i*) が競争均衡である：
∃ p* ∈ ℝⁿ \ {0} such that ∇u_i(x_i*) · p* = 0
ここで、再配分は適切に選ばれた初期財産の設定によって行われる。
この定理の証明には、エージェントの一次資源制約と市場のクリアリング条件に関する詳細な解析が必要である。それらは複雑な多様体の幾何学的性質を用いて示される。
厚生経済学の基本定理を多様体のフレームワークで抽象化したが、具体的な応用や証明にはさらに専門的な知識と数学的技術が求められる。これにより、経済理論の理解が抽象代数や微分幾何の視点からも深まる。
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