2024-09-02

[] 実現可能集合から全体の効用を最大化

定式化

1. (X, 𝒯) を局所ハウスドル位相線形空間とする。

2. ℱ ⊂ X を弱コンパクト凸集合とする。

3. 各 i ∈ I (ここで I は可算または非可算の指標集合) に対して、効用汎関数 Uᵢ: X → ℝ を定義する。Uᵢ は弱連続かつ擬凹とする。

4. 社会厚生汎関数 W: ℝᴵ → ℝ を定義する。W は弱連続かつ単調増加とする。

最適化問題

sup[y∈ℱ] W((Uᵢ(y))ᵢ∈I)

理論分析

1. 存在定理:

定理: ℱ が弱コンパクトで、全ての Uᵢ が弱上半連続、W が上半連続ならば、最適解が存在する。

証明: Ky Fan の不動点定理を応用する。

2. 双対性理論:

プリマ問題を以下のように定義する:

P: sup[y∈ℱ] W((Uᵢ(y))ᵢ∈I)

対応する双対問題

D: inf[λ∈Λ] sup[y∈X] {W((Uᵢ(y))ᵢ∈I) - ⟨λ, y⟩}

ここで、Λ は適切に定義された双対空間である

定理 (強双対性): 適切な制約想定のもとで、sup P = inf D が成立する。

3. 変分解析アプローチ:

∂W を W の劣微分とし、∂Uᵢ を各 Uᵢ の劣微分とする。

定理: y* ∈ ℱ が最適解であるための必要十分条件は、

0 ∈ ∂(W ∘ (Uᵢ)ᵢ∈I)(y*) + Nℱ(y*)

ここで、Nℱ(y*) は y* における ℱ の法錐である

4. 函数解析的特性付け:

T: X → X* を以下のように定義する:

Ty, h⟩ = Σ[i∈I] wᵢ ⟨∂Uᵢ(y), h⟩

ここで、wᵢ ∈ ∂W((Uᵢ(y))ᵢ∈I) である

定理: y* ∈ ℱ が最適解であるための必要十分条件は、

Ty*, y - y*⟩ ≤ 0, ∀y ∈ ℱ

5. 非線形スペクトル理論:

L: X → X を L = T ∘ Pℱ と定義する。ここで Pℱ は ℱ 上への射影作用素である

定理: L のスペクトル半径 r(L) が1未満であれば、最適解は一意に存在し、反復法 y[n+1] = Ly[n] は最適解に収束する。

6. 測度論的アプローチ:

(Ω, 𝒜, μ) を確率空間とし、U: Ω × X → ℝ を可測な効用関数とする。

定理: 適切な条件下で、以下が成立する:

sup[y∈ℱ] ∫[Ω] U(ω, y) dμ(ω) = ∫[Ω] sup[y∈ℱ] U(ω, y) dμ(ω)

7. カテゴリー論的解釈:

効用関数の族 (Uᵢ)ᵢ∈I を圏 𝐓𝐨𝐩 における関手 U: I → 𝐓𝐨𝐩 と見なす。ここで I は離散圏である

定理: 適切な条件下で、最適化問題の解は U の余極限として特徴付けられる。

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