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(H, ⟨·|·⟩)を可分なヒルベルト空間とし、B(H)をH上の有界線形作用素の集合とする。
S(H) = {ρ ∈ B(H) : ρ ≥ 0, Tr(ρ) = 1}を密度作用素の集合とする。A ⊂ B(H)を自己共役作用素の部分代数とし、これを観測量の集合とする。
ユニタリ群{Ut}t∈ℝを考え、シュレーディンガー方程式を以下のように表現する：
S(H)上にトレース距離を導入し、位相空間(S(H), τ)を定義する。
A上にC*-代数の構造を導入し、局所的な部分代数の族{A(O)}O⊂ℝ⁴を定義する。ここでOは時空の開集合である。
A(O1)とA(O2)が可換であるとき、O1とO2は因果的に独立であると定義する。これにより、ℝ⁴上に因果構造を導入する。
状態ρ ∈ S(H)に対し、関数dρ : A × A → ℝ+を以下のように定義する：
dρ(A, B) = √Tr(ρ[A-B]²)
この関数から、ℝ⁴上の擬リーマン計量gμνを再構成する手続きを定義する。
(ℝ⁴, gμν)を基底時空とし、これに対して商位相を導入することで、等価類の空間M = ℝ⁴/∼を定義する。Mを創発した時空多様体とみなす。
写像Φ : S(H) → Mを構成し、量子状態と時空点の対応を定義する。
シュレーディンガー方程式による時間発展ρ(t) = Ut ρ Ut*が、M上の滑らかな曲線γ(t) = Φ(ρ(t))に対応することを示す。
その結果、どうなるん？増田くんは間に合ったの？
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