■量子論的現実の数学構造

基本構造

• (ℋ, ⟨·|·⟩, τ): 可分な複素ヒルベルト空間と位相τ
• 𝓑(ℋ): ℋ上の有界線形作用素のC*-代数
• 𝓢(ℋ) ⊂ 𝓑(ℋ): 密度作用素の凸集合

状態と観測

• 純粋状態: ℙ(ℋ) = {[ψ] | ψ ∈ ℋ, ‖ψ‖ = 1}, 射影ヒルベルト空間
• 混合状態: ρ ∈ 𝓢(ℋ)
• 観測量: A ∈ 𝓑(ℋ), 自己共役作用素

力学と情報

• 時間発展: {U(t)}t∈ℝ, ユニタリ群, iℏd/dt U(t) = HU(t)
• 測定: E: 𝓑(ℝ) → 𝓑(ℋ), 正作用素値測度 (POVM)
• エントロピー: S: 𝓢(ℋ) → ℝ, S(ρ) = -Tr(ρ log ρ)

複合系と相互作用

• テンソル積: ℋ = ℋ₁ ⊗ ℋ₂ ⊗ ... ⊗ ℋₙ
• 部分トレース: Trᵢ: 𝓑(ℋ) → 𝓑(ℋᵢ)
• エンタングルメント: E(ρ) = S(Tr₁ρ) + S(Tr₂ρ) - S(ρ)

抽象化と一般化

• 量子論的確率空間: (𝓐, ω), 𝓐はvon Neumann代数, ωは状態
• 量子動力学半群: {Φt}t≥0, 完全正写像の半群
• 量子情報幾何: (𝓢(ℋ), g, ∇, ∇*), g:計量, ∇,∇*:双対接続

まとめ

• この抽象的枠組みにおいて、「現実」はℋ内の状態として表現される。
• 時間発展はユニタリ群{U(t)}によって記述され、観測はPOVM Eによってモデル化される。
• 主体の知識は密度作用素ρとして表現され、観測による更新は量子ベイズ則に従う。
• 多世界解釈は、系、環境、意識を含む大きなヒルベルト空間ℋ = ℋₛ ⊗ ℋₑ ⊗ ℋ𝒸上の状態として表現され、観測による「分岐」は、この空間内での状態の変化として解釈される。
• エントロピーと情報の概念は、von Neumannエントロピーと量子相対エントロピーを通じて定式化される。これにより、観測過程におけるエントロピーの変化や情報の流れを厳密に記述できる。
• この統一的な数学的枠組みは、量子力学の基本原理を抽象的に表現し、現実、観測、意識、知識の相互作用を包括的に記述する。
• C*-代数や量子確率論の導入により、より一般的な量子系や無限次元の系への拡張も可能となる。

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