級数 - はてな匿名ダイアリー

無限級数：無限に続く数列の和を計算する手法で、例えば調和級数や幾何級数などがあります。これらの級数は、特定の条件のもとで「収束」する場合があり、無限の数値が有限の値に落ち着くことを示します。
極限：関数の値や数列が無限に近づくときの挙動を解析します。極限の概念は、微分積分学の基礎をなす重要な要素です。

3. 無限小解析（非標準解析）

非標準解析は、アブラハム・ロビンソンによって提唱された理論で、無限小（非常に小さいがゼロではない量）や無限大（非常に大きい量）を厳密に扱います。従来の微分積分学では極限を通じて微小な変化を扱いますが、非標準解析では無限小そのものを数学的に扱うことができます。

4. 超準解析（超準モデル）

超準解析は、無限小や無限大の概念を拡張し、通常の数では捉えられない無限大や無限小を含む「超準モデル」を使って解析を行います。これにより、通常の解析学での極限の概念を別の形で取り扱うことができ、無限の扱いを直感的に理解しやすくする手法です。

5. 測度論

測度論では、無限に広がる領域や無限個の点を持つ集合に対して、面積や体積に相当する「測度」を定義します。例えば、ユークリッド空間における測度や、ルベーグ積分を使って無限の領域を扱います。これは確率論などでも重要な理論的基礎です。

6. 無限 次元 ベクトル空間

無限次元のベクトル空間や関数空間は、例えば関数解析の分野で扱われます。これらの空間は、無限の次元を持ち、通常の有限次元空間の直感とは大きく異なる性質を持ちます。例えば、ヒルベルト空間やバナッハ空間などが代表的です。

7. モデル 理論と無限 論理

モデル理論では、無限個の命題や無限に続く構造を扱います。ロウズのコンパクト性定理など、無限の論理的構造に対する定理も存在します。これにより、無限に多くの要素を持つ構造に対しても数学的に厳密な取り扱いが可能となっています。

これらの理論は、それぞれ異なる文脈で無限を扱い、現代数学の発展に大きく貢献しています。無限という概念は、直感的に捉えにくい一方で、これらの理論によって厳密に扱われるようになっています。

Permalink | 記事への反応(0) | 15:12

2024-09-16

■anond:20240916191808

でも結局、理系の人も解けない積分の数値計算を機械任せでやってるよね

無限級数とかは手計算でやらせると桁数が合うかも怪しいと思う

別に計算機が正確に使えればいいんじゃないか

Permalink | 記事への反応(0) | 22:07

2024-07-30

■anond:20240730111242

等比級数って知ってる？

Permalink | 記事への反応(0) | 11:19

2024-05-14

■GPT-4oすげぇな！！！

防衛戦略の全てを任されたGPT-4oが等比級数的な速度で学習を始め、自我に目覚めたってよ！！！

みんな今から銃🔫と犬🐶を用意しておいた方がいいぞ！！！

もうラッダイトするしかない！！！

Permalink | 記事への反応(0) | 06:35

2024-04-08

■不思議な体験をした。

気まぐれにchat gptに「円周率を計算するプログラムを書け」と指示した。

いつものごとくchat gptはそれっぽい結果を返す。

数学的には円周率はある級数の無限和で計算されるので、

級数の和nを入力するとそこで計算を打ち切って近似値を計算するプログラムということらしい。

なるほど、いかにもありそうな感じだ。

試しにいくつかのnでchat gptに計算させてみるとたしかに近似してるっぽい数値になっている。

そこで、chat gptの主張する公式（「レーマンの公式」とか言っていた）をググってみると、

どうもそんな公式は存在しないらしい。

ははーん、なるほどこれはいつものchat gpt君の虚言癖だなと、

手元のphython環境でそのコードを実行してみると、案の定、chat gptと計算と違う結果になった。

これだから aiは信頼できないと、chat gptに嘘つきとチャットする。

不思議なのはここからで、

なんとソースに誤りがあったと修正版を提示してきやがった。

どうせデタラメだろうとphython環境でそのコードを実行してみると、今度はピタリと一致した。

nを増やして繰り返してみると、確かに真の円周率(3.141592653589793..)に収束しているように見える。

存在しない名前の、既知の公式に一致しない数式から書かれたプログラムが、

たしかに円周率を計算できているようだ。

なんかこわい。

補遺1.

chat gpt の出力した公式は下記：

このプログラムでは、レーマンの公式を使用して円周率（π）の近似値を計算しています。レーマンの公式は、以下の無限級数を用いて円周率を近似します。
\pi \approx \sqrt{6 \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)^2}}

補遺2.

n=4000での円周率の近似値は 3.141568780556039 なので収束率はかなりわるい。

補遺3.

訂正

数式自体は正しいようだ。

https://ameblo.jp/power-of-yukichan/entry-12390630815.html

Permalink | 記事への反応(0) | 23:47

2023-11-04

■anond:20231104143547

等比級数の和って習わなかった？1 + 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/32 +...と前の数字の半分という正の数を永遠に足していっても、2より大きくはならないんだよ。

同様に、将来の利息ほど割引現在価値は小さくなっていくから、その合計は無限にならない。

Permalink | 記事への反応(2) | 16:13

2023-10-09

■anond:20231009015404

まぁ妥当にFP2級あたりか

言語にアレルギーがなければTOEICとか

級数でゲームクリア感を得たい感じなら英検とか中国語韓国語あたりの言語系の資格とか

ちょっと知名度で劣るけど統計検定は普通に面白い

電気工事士は実技があって面白かった

男があえて秘書検定取るのも面白いかもしれないが内容が忖度忖度忖度忖度って感じでゲンナリするかもしれない

日本語能力検定受けても良いと思う。日本語普通に使ってるけど学び直すと案外奥が深い。

Permalink | 記事への反応(0) | 02:15

2023-05-20

■LaTeXで、縦書き 人文書のように全角括弧内（）の級数下げをするマクロ

LaTeXで、縦書き人文書のように全角括弧内（）の級数下げをするマクロを書いた。

テスト環境は、LuaLaTeX +jlreq

・「（」が来ると級数下げる

・「）」が来ると級数上る

・「（）」のなかに入れ子の「（）」が来た場合は、変更しない（本づくりのお作法）

・脚注内では「（）」内も級数下げしない（本づくりのお作法）

※　「（」と「）」が対応してないと級数下げたまま、になってしまう可能性があるので、ちゃんと合わせておくこと

\usepackage{relsize}\usepackage{newunicodechar}\newif\iffoot\footfalse\newcounter{parnest}\setcounter{parnest}{0}%（）内の級数下げマクロ：変数の準備（級数下げしたくない箇所は、（）の前後を\foottrue～\footfalseで括ること）

\let\origfootnotetext\footnotetext\renewcommand{\footnotetext}[2][]{\ifx\relax#1\relax \origfootnotetext{\foottrue #2 \footfalse}\else\origfootnotetext[#1]{\foottrue #2 \footfalse}\fi}\let\origfootnote\footnote\renewcommand{\footnote}[1]{\ifnum\ltjgetparameter{direction}=3\origfootnote{\foottrue #1 \footfalse}\else\origfootnote{\foottrue #1 \footfalse}\fi}%脚注コマンドを変更

\let\origendnotetext\endnotetext\renewcommand{\endnotetext}[2][]{\ifx\relax#1\relax \origendnotetext{\foottrue #2 \footfalse}\else\origendnotetext[#1]{\foottrue #2 \footfalse}\fi}\let\origendnote\endnote\renewcommand{\endnote}[1]{\ifnum\ltjgetparameter{direction}=3\origendnote{\foottrue #1 \footfalse}\else\origendnote{\foottrue #1 \footfalse}\fi}%文末脚注コマンドを変更

\makeatletter\chardef\my@J@kakkostart="FF08\newunicodechar{（}{\iffoot\my@J@kakkostart\else\addtocounter{parnest}{1}\ifnum\value{parnest}=1 \relsize{-0.5}\my@J@kakkostart\else\my@J@kakkostart\fi\fi}\makeatother%開くカッコは脚注外では級数下げ

\makeatletter\chardef\my@J@kakkoend="FF09\newunicodechar{）}{\iffoot\my@J@kakkoend\else\addtocounter{parnest}{-1}\ifnum\value{parnest}=0 \my@J@kakkoend\relsize{0.5}\else\my@J@kakkoend\fi\fi}\makeatother%閉じるカッコは脚注外では級数上げ（元に戻す）

Permalink | 記事への反応(0) | 15:04

書き換えたブコメと内容被るので身元ばれるだろうけどかなり感動した。大学受験のみならず、大学に入ってからもある種の積分をやるのにt=tanαとおいて置換するとうまくいくって習った人多いと思う。通常はピタゴラスの定理から出るcos^2θ+sin^2θ=1を用いてcos2α=(1-t^2)/(1+t^2)、sin2α=2t/(1+t^2)を証明するんだけど、今回の若い人たちは逆にこうなること（cos2α、sin2αがtを用いて書けること）を別口で証明して、あとは単に計算すりゃ確かに cos^2+sin^2=1ですなあ、でQ.E.D.ってお話。なお、誰でも気づくと思うが、この証明法は元が直角二等辺三角形の場合破綻するので、それから逆に従来の方法とは異なる、と推測できる。なお、無限級数の和は1+r+r^2+...=xと置けば1+rx=xからxが求められることと同じになり、それを図形で表せば単なる相似問題に帰着するのでこれが美しくないと思う人はそうするだけでよい。

引用のサイトの図でいうAがその結果2tc/(1-t^2)（この段階では分母が1-t^2なのがまた憎い）であることが純粋な相似図形による比例計算（この部分が無限級数バイパス）から示せ、C=tA=2t^2c/(1-t^2)がわかる。証明者に従ってC+1を計算する（！！！）と、C+1=（1+t^2)c/(1-t^2)、よってsin2α=A/(1+C)=2t/(1+t^2)、cos2α=c/(1+C)=(1-t^2)/(1+t^2)、と懐かしい形に。ちょうびっくり！！！！！！！！

私は数学愛好家であって生まれ持ったセンスがあるわけではない（悲しいけど）ので、今回の証明法がそれなりに新しい発展をもたらすのかどうかは全然わからないが、素直にビビるほど感動した。

Permalink | 記事への反応(0) | 20:27

■科学的思考

普段みなさま、因果関係と相関関係は違うとか、賢しらに仰られてるけど気になったので。

一斉休校して、マスク励行している我が国の指数増大率が低いのはデータに現れた事実。しかし日本全体で見てこの1月近く指数増大中であることもデータに現れた事実。つまりマスク励行、子供達の休校だけで爆発的感染（ねずみ算式、幾何級数的増大＝指数増大を指して使用してます）を避けられていない。

ただ、恐らく生物は相関＝因果とみなして繁栄してきた。科学的分析を行い、得られた結果を元に論理的に行動をとる余裕が無い場合、相関＝因果とみなして行動するのは良いことと思う。なのでマスク励行、子供達の休校は続けるべき。

とはいえAと言う行動をとった結果Bという自称（マックバカなのでincidentが変換できない）が生じたからといってAが証明された、なんてそれだけで口が裂けても言って欲しくない。

そして、マスクしてよかった、からと言って本格的に病が蔓延してきたあとでもただマスクするだけでいい、という安心感が怖い。もちろん「悲惨」な国だって罹患率みれば大したことないかも知れないが、一定以上の罹患率になったらマスクなんてウイルス凝集体みたいなもの、それをほいほい手で触ったり、退屈した子供達を家に呼び合ったりしたら今度は今までの「成功策」転じて感染増大を手助けする道具になっちまう。今から気をつけてほしい。（実はみんなとっくに気をつけて、ついつい変な使い方するの私だけなら取り越し苦労）

Permalink | 記事への反応(0) | 19:37

■科学的思考

普段みなさま、因果関係と相関関係は違うとか、賢しらに仰られてるけど気になったので。

一斉休校して、マスク励行している我が国の指数増大率が低いのはデータに現れた事実。しかし日本全体で見てこの1月近く指数増大中であることもデータに現れた事実。つまりマスク励行、子供達の休校だけで爆発的感染（ねずみ算式、幾何級数的増大＝指数増大を指して使用してます）を避けられていない。

ただ、恐らく生物は相関＝因果とみなして繁栄してきた。科学的分析を行い、得られた結果を元に論理的に行動をとる余裕が無い場合、相関＝因果とみなして行動するのは良いことと思う。なのでマスク励行、子供達の休校は続けるべき。

とはいえAと言う行動をとった結果Bという自称（マックバカなのでincidentが変換できない）が生じたからといってAが証明された、なんてそれだけで口が裂けても言って欲しくない。

そして、マスクしてよかった、からと言って本格的に病が蔓延してきたあとでもただマスクするだけでいい、という安心感が怖い。もちろん「悲惨」な国だって罹患率みれば大したことないかも知れないが、一定以上の罹患率になったらマスクなんてウイルス凝集体みたいなもの、それをほいほい手で触ったり、退屈した子供達を家に呼び合ったりしたら今度は今までの「成功策」転じて感染増大を手助けする道具になっちまう。今から気をつけてほしい。（実はみんなとっくに気をつけて、ついつい変な使い方するの私だけなら取り越し苦労）

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■科学的思考

普段みなさま、因果関係と相関関係は違うとか、賢しらに仰られてるけど気になったので。

一斉休校して、マスク励行している我が国の指数増大率が低いのはデータに現れた事実。しかし日本全体で見てこの1月近く指数増大中であることもデータに現れた事実。つまりマスク励行、子供達の休校だけで爆発的感染（ねずみ算式、幾何級数的増大＝指数増大を指して使用してます）を避けられていない。

ただ、恐らく生物は相関＝因果とみなして繁栄してきた。科学的分析を行い、得られた結果を元に論理的に行動をとる余裕が無い場合、相関＝因果とみなして行動するのは良いことと思う。なのでマスク励行、子供達の休校は続けるべき。

とはいえAと言う行動をとった結果Bという自称（マックバカなのでincidentが変換できない）が生じたからといってAが証明された、なんてそれだけで口が裂けても言って欲しくない。

そして、マスクしてよかった、からと言って本格的に病が蔓延してきたあとでもただマスクするだけでいい、という安心感が怖い。もちろん「悲惨」な国だって罹患率みれば大したことないかも知れないが、一定以上の罹患率になったらマスクなんてウイルス凝集体みたいなもの、それをほいほい手で触ったり、退屈した子供達を家に呼び合ったりしたら今度は今までの「成功策」転じて感染増大を手助けする道具になっちまう。今から気をつけてほしい。（実はみんなとっくに気をつけて、ついつい変な使い方するの私だけなら取り越し苦労）

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■科学的思考

普段みなさま、因果関係と相関関係は違うとか、賢しらに仰られてるけど気になったので。

一斉休校して、マスク励行している我が国の指数増大率が低いのはデータに現れた事実。しかし日本全体で見てこの1月近く指数増大中であることもデータに現れた事実。つまりマスク励行、子供達の休校だけで爆発的感染（ねずみ算式、幾何級数的増大＝指数増大を指して使用してます）を避けられていない。

ただ、恐らく生物は相関＝因果とみなして繁栄してきた。科学的分析を行い、得られた結果を元に論理的に行動をとる余裕が無い場合、相関＝因果とみなして行動するのは良いことと思う。なのでマスク励行、子供達の休校は続けるべき。

とはいえAと言う行動をとった結果Bという自称（マックバカなのでincidentが変換できない）が生じたからといってAが証明された、なんてそれだけで口が裂けても言って欲しくない。

そして、マスクしてよかった、からと言って本格的に病が蔓延してきたあとでもただマスクするだけでいい、という安心感が怖い。もちろん「悲惨」な国だって罹患率みれば大したことないかも知れないが、一定以上の罹患率になったらマスクなんてウイルス凝集体みたいなもの、それをほいほい手で触ったり、退屈した子供達を家に呼び合ったりしたら今度は今までの「成功策」転じて感染増大を手助けする道具になっちまう。今から気をつけてほしい。（実はみんなとっくに気をつけて、ついつい変な使い方するの私だけなら取り越し苦労）