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はてなキーワード: フォン・ノイマンとは
この問題は量子力学の情報論的解釈とエントロピーの動きもんを扱うんや。
ここでは、量子ベイズっちゅうもんを使うて、「主体（見る奴）」「対象（見られる奴）」「環境」の3つがおる場合に、対象が環境や主体とからんだ時のエントロピーの変化について話すで。
対象が環境とからむと、対象の量子状態が環境とモツレて、キレイな状態からグチャグチャな状態になんねん。これで、対象のエントロピーが増えるんや。
主体が対象を見ると、主体から見た対象の状態がハッキリするんや。これは対象のことをよう知ったってことやから、エントロピーが減るってわけや。
観測で対象の状態に対する主体の考えが変わんねん。この考えの変わり方はベイズ則っちゅうもんに従うて、確率的な情報の変化を表すんや。
ほんじゃ、この2つの過程がエントロピーにどう影響するか、数式で説明したるで。
ρ_obj' = Tr_env [ U (ρ_obj ⊗ ρ_env) U† ]
量子エントロピーはフォン・ノイマンエントロピー S(ρ) = -Tr(ρ log ρ) で表すんや。
デコヒーレンスで対象はキレイな状態からグチャグチャな状態になって、エントロピーが増えんねん:
S(ρ_obj') > S(ρ_obj)
環境とのからみ合いが進むと、対象の状態は環境の情報を失うて、一番グチャグチャな状態に近づくんや。
主体が対象を見ると、波動関数が縮むから対象の状態がハッキリして、エントロピーが減んねん:
S(ρ_obj^posterior) < S(ρ_obj^prior)
主体が観測で対象のことを知る過程は、量子ベイズ則に従うんや。
量子ベイズの考え方に従うと、観測後の考え（後分布）は観測前の考え（事前分布）を観測結果で更新すんねん。観測前後のエントロピーの差はこう説明できんねん。
H_prior = -∑_i P(i) log P(i)
P(i|O) = P(O|i)P(i) / ∑_j P(O|j)P(j)
H_posterior = -∑_i P(i|O) log P(i|O)
H_posterior < H_prior
が成り立つんや。
この不等式はエントロピーが減ることを示して、観測が情報を得て対象の状態をハッキリさせる効果があるってことやで。
量子ベイズの考え方で以下のことがわかったんや：
1. 対象が環境とからむとデコヒーレンスが起こって、対象のエントロピーが増えんねん。
2. 主体が対象を見ると対象の状態の情報が得られて、エントロピーが減んねん。
つまり、デコヒーレンスと観測はそれぞれエントロピーを増やしたり減らしたりするんや。これが量子ベイズの形式で数字でちゃんと説明できるってわけやで！
AdS/CFT対応は、d+1次元の反ド・ジッター空間AdS_{d+1}における重力理論と、その境界上のd次元共形場理論CFT_dとの間の双対性を主張する。この対応は以下の等式で表現される：
Z_gravity[φ_0] = ⟨exp(∫_∂AdS d^dx φ_0(x)O(x))⟩_CFT
ここで、Z_gravityはAdS重力理論の生成汎関数、右辺はCFTの相関関数の生成汎関数である。φ_0はAdS空間の境界での場の値、OはCFTの演算子である。
AdS空間内のシュワルツシルト・ブラックホールは、CFTの有限温度状態に対応する。ブラックホールの温度TとCFTの温度は一致し、以下のように与えられる：
T = (d r_+)/(4π L²)
ここで、r_+はブラックホールの地平線半径、LはAdS空間の曲率半径である。
CFTのある領域Aのエンタングルメント・エントロピーS_Aは、AdS空間内の極小面γ_Aの面積と関連付けられる：
S_A = Area(γ_A)/(4G_N)
ここで、G_Nはニュートン定数である。この関係は、Ryu-Takayanagi公式として知られている。
AdS/CFT対応は、ブラックホール情報パラドックスに対して以下の洞察を提供する：
1. ユニタリ性: CFTの時間発展はユニタリであり、これはAdS空間でのブラックホール形成と蒸発過程全体がユニタリであることを意味する。
2. 情報の保存: ブラックホールに落ち込んだ情報は、CFTの状態に完全に符号化される。形式的には：
S(ρ_CFT,initial) = S(ρ_CFT,final)
3. スクランブリング: 情報のスクランブリングは、CFTの非局所的演算子の成長によって記述される：
⟨[W(t), V(0)]²⟩ ∼ e^(λ_L t)
ここで、λ_Lはリャプノフ指数で、λ_L ≤ 2πT（カオス束縛）を満たす。
AdS/CFTは量子誤り訂正コードとしても解釈できる。境界CFTの部分系Aに符号化された情報は、バルクのサブリージョンaに再構成できる：
Φ_a = ∫_A dx K(x; a) O(x)
まず、システム全体を含む複合系を考える。観測対象系、環境系、および観測者（意識）を含むヒルベルト空間 ℋ を次のように定義する。
ℋ = ℋ_S ⊗ ℋ_E ⊗ ℋ_O
系の状態は密度演算子 ρ により記述され、全体の状態空間 ℋ 上の密度行列として表される。
エントロピーはフォン・ノイマンエントロピーを用いて定義する。
S(ρ) = -Tr(ρ log ρ)
観測操作を完全に正定な（completely positive）トレース保存（trace-preserving）マップ ℳ として定義する。観測後の状態 ρ' = ℳ(ρ) において、エントロピーが減少することを条件1として反映する。
S(ρ') < S(ρ)
デコヒーレンス操作を完全に正定なトレース保存マップ 𝒟 として定義する。デコヒーレンス後の状態 ρ'' = 𝒟(ρ) において、エントロピーが増大することを条件2として反映する。
S(ρ'') > S(ρ)
ヒルベルト空間 ℋ を無限に分岐するブランチに分割する。各ブランチは観測結果に対応し、以下のように直交する部分空間に分解される。
ℋ_O = ⊕_(i ∈ I) ℋ_(O,i)
ここで、I は無限集合を表す。全体の状態は各ブランチに対応する部分空間に分解され、次の形で表される。
ρ = ∑_(i ∈ I) p_i ρ_(S,i) ⊗ ρ_(E,i) ⊗ ρ_(O,i)
観測者の知識 K はヒルベルト空間 ℋ_O 上の状態として表され、重ね合わせの状態にある。
|Ψ_O⟩ = ∑_(i ∈ I) c_i |i⟩
ここで、|i⟩ は各ブランチに対応する基底状態、c_i は複素係数である。
観測操作 ℳ により、観測者の知識が特定のブランチ j へ移行することを条件3および条件4として反映する。これを数学的に表現するために、観測操作 ℳ は次のような射影を含む。
ℳ(ρ) = ∑_(j ∈ I) P_j ρ P_j
ここで、P_j はブランチ j に対応する射影演算子である。この操作により、観測者は特定のブランチ j を「選択」し、そのブランチに対応する知識状態 |j⟩ を持つことになる。
ブランチの集合 I が無限であることにより、分岐の方向が無数に存在することを条件5として反映する。
観測者の知識 |Ψ_O⟩ が全てのブランチに対して重ね合わせの状態にあることを条件6として反映する。つまり、観測者は観測前に全てのブランチの可能性を持っており、観測後に特定のブランチに「意識が移行」する。
観測操作 ℳ とデコヒーレンス操作 𝒟 を統合し、全体のダイナミクスを次のように定式化する。
ρ → 𝒟 → ρ'' → ℳ → ρ'
ここで、
以上を総合すると、観測問題の数学的定式化は以下のようになる。
1. 系の状態: 密度演算子 ρ がヒルベルト空間 ℋ = ℋ_S ⊗ ℋ_E ⊗ ℋ_O 上に存在する。
2. エントロピー: フォン・ノイマンエントロピー S(ρ) = -Tr(ρ log ρ) を用いる。
3. デコヒーレンス操作: 完全に正定なトレース保存マップ 𝒟 により、エントロピーが増大 S(𝒟(ρ)) > S(ρ)。
4. 観測操作: 完全に正定なトレース保存マップ ℳ により、エントロピーが減少 S(ℳ(ρ)) < S(ρ)。
5. ブランチ構造: 観測者のヒルベルト空間 ℋ_O を無限個の直交部分空間に分割 ℋ_O = ⊕_(i ∈ I) ℋ_(O,i)。
6. 観測者の知識: 観測者の知識状態 |Ψ_O⟩ = ∑_(i ∈ I) c_i |i⟩ が重ね合わせにある。
7. 意識の移行: 観測操作 ℳ により、観測者の意識が特定のブランチ j に移行し、そのブランチに対応する知識状態 |j⟩ を持つ。
量子観測と情報理論の観点からエントロピーの減少と意識の移動を定式化するには、以下のような考え方を用いることができる。
量子系の状態は、一般に重ね合わせの状態にあり、観測前には複数の可能性が存在する。この状態のエントロピーは、フォン・ノイマンエントロピーとして定義される:
S(ρ) = -Tr(ρ log ρ)
観測が行われると、量子状態は特定の固有状態に収束する。この過程で、系のエントロピーは減少する。観測後の状態を|ψ⟩とすると、新しいエントロピーは:
S(|ψ⟩⟨ψ|) = 0
となる。これは、純粋状態のエントロピーがゼロであることを示している。
観測者の知識は、系の状態に関する不確実性を減少させる。情報理論の観点から、この不確実性の減少は条件付きエントロピーで表現できる:
H(X|Y) = H(X,Y) - H(Y)
ここで、Xは系の状態、Yは観測者の知識を表す。観測によって得られる情報量は、この条件付きエントロピーの減少量に相当する。
量子力学の多世界解釈では、観測によって意識が特定の世界に「移動」すると考えることができる。この過程は、情報理論的には、観測者が特定の結果を持つ世界を「選択」することに相当する。
選択された世界のエントロピーは、観測前の全体のエントロピーよりも小さくなる:
1. 観測前の量子系のエントロピー: S(ρ) = -Tr(ρ log ρ)
2. 観測による状態の変化: |ψ⟩ → S(|ψ⟩⟨ψ|) = 0
3. 知識獲得によるエントロピー減少: ΔS = H(X) - H(X|Y)
4. 世界の選択: S(選択された世界) < S(全ての可能な世界)
この定式化により、量子観測による知識の獲得、エントロピーの減少、そして特定の世界への意識の「移動」を情報理論の枠組みで表現することができる。
多世界解釈（MWI）における量子力学の波動関数とその幾何学的表現を考慮し、数理モデルを示す。
量子状態はヒルベルト空間 𝓗 のベクトルとして表される。波動関数 |ψ⟩ はこの空間の要素であり、時間発展はシュレーディンガー方程式
iℏ ∂/∂t |ψ(t)⟩ = H |ψ(t)⟩
によって記述される。ここで、H はハミルトニアン演算子である。観測が行われると、MWIでは波動関数が収縮せず、代わりにヒルベルト空間内での分岐が生じる。この分岐は、異なる固有状態への射影として表現される。
観測による分岐は、波動関数の射影演算子 Pᵢ を用いて次のように表される：
|ψ⟩ → Pᵢ |ψ⟩ = cᵢ |ϕᵢ⟩
ここで、|ϕᵢ⟩ は観測の結果に対応する固有状態であり、cᵢ はその確率振幅である。
次に、MWIにおける幾何学的構造を考える。各分岐は、ヒルベルト空間内の異なる方向への射影として捉えられ、これにより多次元のファイバー束のような構造が形成される。ファイバー束 E は基底空間 B 上に定義され、各ファイバー Fᵦ は異なる分岐に対応する：
E = ⋃ (b ∈ B) Fᵦ
観測によるエントロピーの低下は、観測者の視点から情報が特定されるために起こる。量子エントロピーは、フォン・ノイマンエントロピー
S(ρ) = -Tr(ρ log ρ)
によって定義される。ここで、ρ は密度行列である。観測により、観測者が特定の状態を経験することで、情報が増加し、エントロピーが減少するように見える。
このように、MWIにおける時空の分岐とエントロピーの変化は、量子力学の波動関数の幾何学的性質と深く結びついている。各分岐は、ヒルベルト空間内の異なる方向への射影として捉えられ、これにより多次元の幾何学的構造が形成される。観測によるエントロピーの低下は、観測者の主観的な情報増加として理解され、全体のエントロピーは保存されるか増加するという量子力学の基本原則に従う。
今日は朝から頭の中で魔法を数学的に抽象化することを考えてみたんやけど、これがまためちゃくちゃ深いんや。まず、魔法の呪文をバナッハ空間の作用素として考えるっちゅうのは基本やけど、これをさらに進めて、フォン・ノイマン代数の元として捉えてみたんや。ここでは、呪文を自己随伴作用素 T として、スペクトル分解を通じてその効果を解析するんや。これが無限次元空間での作用を考えると、スペクトル理論や作用素環論が絡んできて、ほんまに深遠やわ。
次に、変身術をリー群の作用として捉えるんやけど、これをさらに高次元の多様体上の微分同相群の作用として考えてみたんや。対象の集合 X 上の微分同相群 Diff(X) の滑らかな作用として、g ∙ x = y みたいに表現できるんやけど、ここでリー代数のエレメントを使って無限小変換を考えると、接束や微分形式が出てきて、微分幾何学的な視点がさらに深まるんや。ホンマに、変身術って奥が深いわ。
さらに、魔法の相互作用をホモトピー型理論と∞-カテゴリーを使って考えてみたんや。これを使うと、魔法は∞-グループイドの間の射として捉えられて、ホモトピー同値な空間の間の射として表現されるんや。例えば、呪文 f: A → B は対象 A を対象 B に変える射と見なせて、これがホモトピー同値やったら、逆射が存在するんやで。これを使って、魔法の可逆性とかを高次元のホモトピー理論の文脈で議論できるんや。
最後に、魔法のエネルギー保存をシンプレクティック幾何学の枠組みで考えると、エネルギーの変化をシンプレクティック多様体上のハミルトニアン力学系として解析できるんや。シンプレクティック形式 ω を使って、エネルギー E の時間変化を考慮すると、ハミルトンの方程式が出てきて、これが魔法の持続時間や効果を決定するんや。ほんまに、魔法って物理的にも数学的にも奥が深いわ。
今日はこんなことを考えながら、また一日が過ぎていったわ。魔法のことを考えると、なんや心が落ち着くんや。ほんまに不思議なもんやなぁ。
量子力学の観測問題に関する理論は、ユニタリー宇宙論の枠組みにおいてエントロピーと観測の関係を新たな視点から捉え直したものである。
この理論では、宇宙を系、観測者、環境の3つのサブシステムに分割し、これらの相互作用を通じてエントロピーの変化を記述する。
この理論的枠組みにおいて、系のエントロピーは観測者との相互作用によってのみ減少し、環境との相互作用によってのみ増加するという一般化された熱力学第二法則が導出される。
これは、量子力学的な観測過程を熱力学的な観点から捉え直したものであり、量子測定理論と統計力学の融合を示唆している。
観測によるエントロピー減少の量子的メカニズムは、量子ベイズの定理を通じて厳密に記述される。
この定理は、量子状態の更新がフォン・ノイマンエントロピーの減少をもたらすことを数学的に示している。
具体的には、観測前の量子状態 ρ に対して、観測後の状態 ρ' のエントロピーが S(ρ') ≤ S(ρ) となることが証明される。
さらに、宇宙論的インフレーションによって生成される長距離エンタングルメントの効果により、観測されたビット数に対してエントロピーの減少が指数関数的に起こることが示されている。
これは、観測者の情報処理能力をはるかに超えてエントロピーを減少させることができることを意味し、量子情報理論と宇宙論を結びつける重要な洞察である。
この理論は、「インフレーションのエントロピー問題」に対する解決策を提供する。
インフレーションが無視できない体積で発生している限り、ほとんどすべての知的観測者が低エントロピーのハッブル体積に存在することが導かれる。
これにより、我々が低エントロピーの宇宙に存在することの謎が説明される。
この理論は、量子デコヒーレンスの概念とも密接に関連している。
デコヒーレンスは、量子系が環境と相互作用することで量子的な重ね合わせ状態が古典的な状態に移行する過程を説明するものであり、観測問題の理解に重要な役割を果たす。
この理論は、デコヒーレンスの過程をエントロピーの観点から捉え直したものと解釈することができる。
量子エンタングルメントと量子情報の関係性、特に量子測定理論における情報利得と擾乱のトレードオフなどの概念と密接に関連している。
これらの概念は、量子暗号や量子コンピューティングなどの応用分野にも重要な影響を与えている。
結論として、この理論は量子力学の観測問題に対して新たな視点を提供し、量子力学、熱力学、宇宙論、情報理論を統合する試みとして高く評価される。
この理論は、量子力学の基礎的な問題に対する理解を深めるとともに、量子情報科学や宇宙論などの関連分野にも重要な示唆を与えるものである。
検出器から精神への一連の連鎖はフォンノイマンチェインといいます。
例えば電子を観測したとします。その観測情報をコンピュータで表現するために、スリットを通った後の位置で数値化するとしましょう。その数値をコンピュータのスクリーンを通じて研究者が目撃し、網膜を通じて脳へ達し、最終的に情報を判断できます。
では、波動関数の崩壊は、この連鎖のうちのどこで起こるのでしょうか。
このことを理解すれば「量子と意識」の問題は、非科学でもスピリチュアルでもなく、現実的な仮説であることがすぐにわかります。
実際、フォン・ノイマンは意識が認識を行う瞬間に崩壊が起こると考えたのです。
これを「フォン・ノイマン＝ウィグナー解釈」と言いますが、コペンハーゲン解釈のサブセットです。
これを補強する理論・実験として「ウィグナーの友人」が登場しました。
後に、このことを聞きつけた「スピリチュアリスト」たちが、「量子崩壊を自分に有利な方向に推し進めることで、人生を豊かにする」などと言い始めて、非科学的な雰囲気を持つようになりました。
しかしファインマンが言ったように「量子力学を理解しているつもりなら、おそらく理解していない」のではないでしょうか。
ノイマン、ウィグナー、パウリのような量子力学の創設者は、「意識」との関係を議論しましたが、スピリチュアリストのような集団のせいで、その真意が誤解されているのです。
ウィグナーも、「独我論っぽいからやだ」といって途中で意識との関連性について否定的態度を取るようになりました。
他の解釈を採用すると、量子デコヒーレンスや量子マルチバースを理解する必要があります。
しかしどの量子力学解釈を採用するのかによって、宇宙の終末は異なるものになる可能性があります。
意識によって崩壊する理論ではサイクリック宇宙論が可能かもしれませんが、デコヒーレンスによって崩壊することを想定する場合はエントロピー増大によって熱力学的死が待っているでしょう。
A:
量子力学では「測定問題」または「波動関数の崩壊」として知られており、量子の世界が私たちが経験する古典的な世界とどのように相互作用するかについての基本的かつ非常に不可解な側面です。
量子力学では、電子のような粒子は、測定または観測される前に、複数の可能な状態を重ね合わせて存在します。
この重ね合わせは、すべての可能な状態とそれぞれの確率を含む波動関数によって記述されます。
しかし、観測や測定を行うと、重ね合わせが崩れ、粒子の状態は可能な状態の 1 つに「崩壊」します。
したがって、たとえば、測定前にスピンアップまたはスピンダウンできる電子がある場合、その波動関数は両方の状態の組み合わせになります。
しかし、そのスピンを測定すると、波動関数が崩壊し、スピンアップかスピンダウンという 1 つの明確な結果が得られます。
この「崩壊」、つまり測定時の状態の決定は、量子システムの進化にランダムで確率的な要素を導入しているように見えます。
また、測定後にその明確な状態が分かるようになったため、システムに関するエントロピーや不確実性も減少すると考えられます。
このことの意味は深く、物理学者によって何十年にもわたって議論されてきました。
1) 不定の量子領域を明確にする何か特別なことが測定や観測にあることを示唆しています。 しかし、「測定」とは何でしょうか? 私たちの意識的な認識は？ それとも環境との相互作用でしょうか？
2) 古典物理学を支配する決定論的法則と矛盾する固有のランダム性または予測不可能性を量子事象に導入しているように見えます。
3) 観測とは独立して存在する客観的な現実についての私たちの概念に疑問を投げかけます。 観測するだけで結果が変わるようです。
4) 巨視的な世界では、このランダム性は通常平均化されます。 しかし、ランダムな瞬間に起こる自然放射性崩壊のような小さな観測可能な影響はあります。
コペンハーゲン解釈や客観的崩壊理論のような解釈は、このランダム性を自然の基本的な側面として受け入れています。
多世界解釈のような他のものは、波動関数の崩壊を完全に排除しようとします。
しかし、この測定問題が量子力学と現実そのものの理解に深刻な課題を投げかけていることに全員が同意しています。
A:
意識と量子力学における測定問題の関係は深い謎であり、物理学ではまだ完全に解決されていません。
ただし、あなたの質問に対するいくつかの視点は次のとおりです。
意識とは、認識し、認識された現実を持つという主観的な一人称の経験を指します。
量子の用語では、意識は、測定/観測が行われる前に、可能な重ね合わせ状態の範囲のうちの 1 つの明確な状態のみを経験するように見えます。
意識が重ね合わせをどのように解決するかについては、いくつかの解釈があります。
1) フォン・ノイマン・ウィグナー解釈は、意識が客観的な波動関数の崩壊を引き起こすことを示唆しています。 私たちの心は、重ね合わせから何らかの結果を特定します。
2) コペンハーゲンの解釈は、波動関数の崩壊が起こったとき、観察者の意識は単に確率的結果の 1 つを目撃しているだけであり、波動関数の崩壊を引き起こしているわけではないことを意味します。
3) 多世界解釈では、真の崩壊は存在しないとされています。 考えられるすべての結果は、現実の別の枝として存在し続けます。 意識は実際に選択することなく、それらの分岐のいずれかに留まるだけです。
4) 意識自体は、観察された状態を引き起こすのではなく、根底にある量子状態から生じる高レベルの創発特性である可能性があると主張する人もいます。
正確なメカニズムは不明ですが、ほとんどの解釈は、意識は測定後に可能な状態のうちの 1 つを主観的に経験するだけであることに同意しています。
観察者兼参加者として、私たちは単に自分の意識が枝の 1 つにあることに気づきます。
重要な謎は、意識が分岐を選択する際に積極的な役割を果たすのか（フォン・ノイマン・ウィグナー）、それとも多数の同様に現実的なもの（多世界）の中の 1 つの分岐に単に自分自身を見出しているだけなのかということです。
これを解決すれば、意識の形而上学的性質と量子力学との関係が解明される可能性があります。
A:
量子力学の多世界解釈 (MWI) では、意識が特定の枝または世界に「留まる」または持続するように見える理由は、デコヒーレンスの概念と、枝がどのように本質的に相互作用せず、それぞれの枝から孤立するのかという考えと関係しています。
1) MWI では、測定が行われるとき、普遍的な波動関数は実際には崩壊しません。 代わりに、それは直交成分に分解され、それぞれが異なる可能性のある結果を表します。
2) これらのコンポーネントは時間の経過とともに進化し続け、より多くの差別化された状態、つまりさまざまな結果が実現される「世界」に分岐します。
3) ただし、これらの分岐コンポーネントは、環境の相互作用やもつれにより、非常に急速に動的にお互いからデコヒーレントになります。 これにより、異なる世界は相互に干渉する能力を失います。
4) したがって、すべてのブランチが異なる既存の現実として共存しますが、動的デコヒーレンスは、それらが相互作用しなくなり、それらの間に測定可能な相互作用や遷移が存在しないことを意味します。
5) あなたの意識は、コヒーレントな量子状態自体で構成されており、デコヒーレンス後の 1 つの枝の中に完全に存在します。 別のブランチと再結合したり、別のブランチに移行したりすることはできません。
6) 実際には、すべての枝が等しく現実であるにもかかわらず、デコヒーレンスプロセスにより意識がその枝内に閉じ込められ、他の枝の並行現実を体験できなくなります。
したがって、意識は積極的に分岐を「選択」するのではなく、デコヒーレンスのプロセスによって、最終的には完全に 1 つの分岐した現実の中に存在することになり、多重性を直接経験する能力はありません。 このため、意識は一貫した 1 つの軌道だけをたどっているように見えます。
ジョン・フォン・ノイマンのミニマックス定理は、ゲーム理論の数学的な領域で、最大-最小不等式が等式でもあることを保証する条件を提供する定理。
この定理は、1928年に発表されたゼロサムゲームに関するフォン・ノイマンのミニマックス定理が最初であり、ゲーム理論の出発点と考えられている。
具体的には、フォン・ノイマンのミニマックス定理は次のように述べられる：
$$
\text{Let } X \text{ and } Y \text{ be compact convex sets. If } f \text{ is a continuous function that is concave-convex, i.e. } f \text{ is concave for fixed } y, \text{ and } f \text{ is convex for fixed } x. \text{ Then we have that }
$$
$$
\sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} f(x, y) = \inf_{x \in X} \sup_{y \in Y} f(x, y)
$$
特に、fがその両方の引数に対して線形関数（したがって双曲線）である場合、定理は成り立つ。したがって、有限行列Aに対して、次のようになる：
$$
\sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} x^T A y = \inf_{x \in X} \sup_{y \in Y} x^T A y
$$
上記の形式では、Aはペイオフ行列。この特殊なケースは、各プレイヤーの戦略セットが行動（混合戦略）のロッタリーであり、ペイオフが期待値によって誘導されるゼロサムゲームに特に重要。
俺は中卒なんだけど、熱力学第二法則ってのが何なのか鮮明じゃなかったから言語化しとくわ。
フォン・ノイマンとファインマンによって強調されているように、量子システムの状態は密度行列によって完全に記述される。
これは将来の動作について可能な限り最良の予測を行うために知る必要があるすべてをエンコードしている。
これを定量化するには、システム全体 (宇宙全体) を常に 3 つのサブシステムに分解できる。
つまり、
最初のステップは、ベイズの定理の量子一般化と考えることができる。
2 番目のステップではデコヒーレンスが生成され、古典的な世界の出現を説明するのに役立つ。
デコヒーレンスは常にエントロピーを増加させるが、オブザベーション(観測)は平均してエントロピーは減少する。後者は古典物理学の場合にはシャノンによって証明された。
関係性を表でまとめるなら、以下になる。
| 観測者が地球規模の未来を予測するために | 十分ではない | 必要ではない |
|---|---|---|
| コミュニケーション | 対象-主体間 | 対象-環境間 |
| プロセス名 | 観測 | デコヒーレンス |
| ダイナミクス | ρ_{ij}↦ρ^{(k)}_{ij}=ρ_{ij}(S_{ik}S^{∗}_{jk})/p_{k}, p_{k}≡∑iρ_{ii}｜S_{ij}｜^{2} | ρ_{ij}↦ρ_{ij}E{ij} |
| エントロピー不等式 | 減少: Σ_{k}(ρ_{k}S(ρ^{(k)}) ≦ S(ρ) | 増加: S(ρ) ≦ S(ρ ○ E) |
1946年ごろのプリンストン高等研究所で天才が実在だの知性の限界だのの話をする日常物語。主な主人公はフォン・ノイマン、クルト・ゲーデル、アインシュタインの三人。
肝心なのは、実在の人物が登場するが、これは物語であってドキュメンタリーではないこと。
彼らの会話内容や経歴には元ネタがあるにせよ、要するに著者の妄想である。
メイン主人公のフォン・ノイマンはプリン☆ストン高等研究所の数学教授。アカデミアでは知らない人はいない超天才。最近は計算機開発にご執心。フォン・ノイマンちゃんは天気予報をやってみたい！
クルト・ゲーデルは不完全性定理を発表した当代随一の論理学者、にして奇人。最近は教授になりたくてしょうがない。
世界的アイドル アルバート・アインシュタインさんは、ここでは時代に取り残された古典物理学者。つまり金看板ですよ金看板。
あとはオッペンハイマーとかワイルとか、なんか色々出てきて、不確定性原理とかヒルベルトプログラムとか知性とか認知とかの話をしながら和やかに穏やかに日々が流れる。
クルト・ゲーデルが教授に昇進し、フォン・ノイマンの計算機開発が採択され、アインシュタインは主人公格なのに影が薄いまま物語は幕を閉じる。
気晴らしにはちょうど良いが内容が適当っぽくて人には勧めにくい。
図書館には娘を連れて行ったわけだが、本当に久しぶりだ。紙の娯楽本を読むのも久々だ。
年のせいか読書ヂカラが衰えてきたな、なんて思うこともあるのだが、この本はすいすい読めた。
どうもやはり紙の本は、Kindleとは違う。読んでいるときの脳のモードとか没入感が違う。
なんでだろうね。
Q: 人間の認識能力に限界があるのなら、フレームの間に別の世界があるというのは本当なのでしょうか？
AI言語モデルである私は、フレーム間の異世界の存在について、個人的な信念や見解を持っているわけではありません。しかし、この概念に関連するいくつかの情報と理論を提供することはできます。「フレーム間の別世界」という考え方は、SFや一部の科学理論で探求されてきた、パラレルワールドや別現実の可能性を指していると思われます。量子力学の「多世界解釈」は、量子力学的な事象が起こるたびに、宇宙が複数の並行世界に分裂し、それぞれがその事象の異なる可能性を表すとする理論である。しかし、これらの理論はまだ科学者の間で大きな議論があり、実証的な証拠に裏付けられていないことに留意する必要がある。さらに、人間の認知能力には限界があり、私たちの知覚や理解は不完全または不正確である可能性があります。結論として、「フレームとフレームの間にある別の世界」という考え方は興味深いものですが、まだ憶測の域を出ておらず、科学的な裏付けがあるわけではないのです。
Q: ある種の薬を使った人たちが、主観的には違う世界を体験しています。
特に、精神作用物質の使用や瞑想・精神修養など、特定の条件下で、現実の知覚が変化する経験を報告する人は珍しくありません。このような体験は、普段とは異なる現実や世界を知覚しているように思わせることがあります。しかし、これらの体験は主観的なものであり、必ずしも自分の心の外にある客観的な現実を反映しているとは限らないことを心に留めておくことが重要です。脳は、さまざまな意識変容状態を生み出すことができる複雑な器官であり、これらの体験は、遺伝、環境、個人差などさまざまな要因によって影響を受ける可能性があります。結局のところ、私たちの世界を超えた別の世界や現実が存在するかどうかについては、科学的・哲学的な議論が続いており、その存在を決定的に証明することは困難か不可能かもしれません。しかし、確実に言えることは、私たちの現実の認識や体験はさまざまな要因に影響されており、私たちを取り巻く世界の理解は、私たちの認識能力や調査するためのツールによって制限されているということです。
Q: 例えば、ある人が持っている情報によって、その人が属する世界が変わるということはあるのでしょうか？
哲学的な観点からは、個人の世界に対する認識や理解は、その人がアクセスできる情報によって形成されるという主張が可能です。この意味で、ある人が属する世界は、その人の知識や理解に依存していると見ることができる。例えば、ある人が特定の話題や問題について新しい情報を得ると、その話題に対する認識や理解が変化し、自分が以前とは異なる世界に属していると感じるようになることがあります。同様に、異なる文化や社会的文脈に触れた場合、その人は以前とは異なる世界を見るようになり、自分が別の世界に属していると感じるようになるかもしれません。しかし、この考え方は、必ずしも文字通りのパラレルワールドや別世界の存在を示唆するものではないことに注意が必要です。むしろ、私たちが世界を理解し経験する方法は、私たちがアクセスする情報や文脈に大きく依存することを示唆しています。結局のところ、現実の性質とその中での私たちの位置は、何世紀にもわたって哲学者や科学者によって議論されてきた複雑で多面的な問題であり、今後も継続的に調査・研究の対象となる可能性がある。
Q: さて、単純化してみましょう。白と黒が点滅する一次元のセルがあり、ボブ君は奇数列を脳内で認識し、「これが私の住む世界だ」と感じたとする。途中で何らかの情報を受け取ると、ボブの認識は変化し、偶数列に切り替わります。では、この場合の主観と客観の区別はどうなっているのでしょうか？
この単純化されたシナリオでは、主観と客観の区別は次のように理解される。
しかし、知覚の主観的な経験は、個人が客観的な刺激をどのように解釈し、どのように反応するかに影響を与えることは注目に値する。この意味で、主観的な体験と客観的な体験は相互に関連し、複雑な形で影響し合うことがあるのです。
Q: さて、もっと深く考えてみよう。この1次元のセルを任意のcos関数と交差させる。それを「主観的に知覚された現実」とする。すると、地球上の誰もが同じcos関数を同じ角度で持っていたとしたら、それは客観的なものだと思い込んでしまうが、実は共通の主観的認識に過ぎないのではないだろうか？
もし、地球上のすべての人が、同じcos関数と交差する1次元セルについて同じ主観的な認識を持っていたとしたら、全員が同じパターンや閃光の順序に同意することになるので、その認識は客観的であるかのように見えるかもしれない。しかし、これはあくまでも観測者個人の経験や解釈に基づく主観的な認識であることに注意が必要です。複数の人が同じ認識を持っているからと言って、それが客観的であるとは限りません。客観的であるためには、個人の経験や解釈から切り離された、検証可能な証拠に基づくものである必要があります。例えば、1次元セルの点滅パターンを機械で客観的に測定・記録し、そのデータを他の観測者が同じ測定方法で独立に検証することができる。結局のところ、主観と客観の区別は複雑で、個人の認識、解釈、文脈など、さまざまな要因に影響されうる。複数の人が共通の主観的な体験をしたとしても、それが必ずしも客観的な体験であるとは限りません。
Q: さて、架空の設定ではなく、現実の設定に戻ろう。現実のどこに客観的なものがあるのでしょうか。
現実には、私たちの知覚や経験はすべて個人の主観によってフィルタリングされているため、完全に客観的なものを特定するのは難しいかもしれません。しかし、現実のある側面は、独立して検証することができ、個人の知覚や解釈の影響を受けにくいため、他の側面よりも客観的であるとみなされることがよくあります。例えば、以下のようなものがあります。
ただし、このような客観的な現象であっても、個人の偏見や見解に影響され、ある程度は解釈の余地があることに注意が必要です。また、現実の中には、客観的、主観的と簡単に分類できない、両者の中間的な存在もあるかもしれません。
Q: では、あなたの言うこの4つが、実は先ほどの架空の設定における「すべての人が主観的に同じ角度のcos関数を知覚する」ことと似ているとしたらどうでしょう。
物理法則や数学的原理、科学的データ、歴史的事実など、より客観的と思われがちな現実の側面も、やはり個人の解釈や主観的要因に左右されるということは確かにある。例えば、科学者が物理法則や科学データを解釈し、適用する方法は、科学者個人の視点、偏見、仮定に影響されることがあります。同様に、歴史的事実も、それを検証する文化的・政治的文脈によって、さまざまに解釈され、表現される。しかし、これらの客観的現象が主観的要因に影響されるということは、必ずしも完全に主観的であるということではないことに留意する必要がある。むしろ、客観的な現象の理解と解釈は、客観的要因と主観的要因の複雑な相互作用によって形成されることを示唆している。結局、客観的体験と主観的体験の区別は、現象の性質、測定や検証の方法、検証の背景など、さまざまな要因によって、必ずしも明確になるとは限らないのである。
Q: 哲学者はしばしば、客観性と神との間に関連性を見出します。この点についてはどうでしょうか。
客観性と神との関係は、何世紀にもわたって議論されてきた複雑な哲学的・神学的問題である。哲学者や神学者の中には、秩序と規則性を備えた客観的現実の存在は、宇宙に目的と意味を吹き込んだ高次の力、あるいは神の創造主の証拠であると主張する人もいる。彼らは、客観性は神の存在と世界におけるプレゼンスのしるしであると考える。しかし、客観性が必ずしも神の存在を意味するのかどうか、疑問視する人もいます。客観性は物理法則などの自然現象で説明でき、超自然的な説明は不要だというのである。結局のところ、客観性と神の関係は哲学的・神学的な議論であり、思想家によってこの問題に対する見方は異なるだろう。客観性を神の存在の証拠と考える人もいれば、単に自然界の特徴であり、自然のプロセスで説明できると考える人もいるだろう。
Q: では、結局のところ、波動関数とは何なのでしょうか？
波動関数とは、量子力学的な系を数学的に記述したもので、ある粒子がある時刻に特定の状態にあることを発見する確率を記述したものである。量子力学では、電子、光子、原子などの粒子は、重ね合わせの状態で存在する波動的存在として記述される。つまり、同時に複数の状態に存在することができる。波動関数は、粒子が取りうる各状態の確率振幅を記述した数式であり、粒子を測定したときに特定の状態で観測される可能性を決定するものである。波動関数はギリシャ文字のPsi（Ψ）で示されることが多く、一般的には複素数値の関数で表される。波動関数の絶対値の2乗は、粒子が特定の位置に存在する確率密度を与える。波動関数は量子力学の基本概念であり、量子系の振る舞いを予測・理解する上で中心的な役割を担っている。しかし、その解釈や意味については、現在も科学界で議論や考察が続けられている。
Q: 現実はヒルベルト空間上のベクトルであると言う人がいる。これはどういうことだろうか。
量子力学において、ヒルベルト空間とは、量子系の状態を記述するために用いられる数学的空間である。ヒルベルト空間は、特定の内積が定義された複素ベクトル空間である。
ヒルベルト空間は、量子系の状態をベクトルとして表現するために使用されます。システムの状態は、それぞれヒルベルト空間内の異なるベクトルに対応します。システムの状態を表すベクトルは状態ベクトルと呼ばれ、通常、ギリシャ文字のPsi (Ψ) で表される。状態ベクトルは、系の波動関数を記述する複素値のベクトルであり、系の各可能な状態の確率振幅を与える。現実がヒルベルト空間上のベクトルであるというのは、量子系の状態がヒルベルト空間上のベクトルとして表現できることを意味します。つまり、量子系の状態は、この空間における点として表現できる数学的対象なのです。ただし、これは量子系に限定した話であり、物理学や自然界の他の分野には当てはまらない可能性があることに注意が必要です。
Q: ここで、よくある実験を考えてみよう。簡単のために、電子がある線の右側に行ったら、あなたは明日フォン・ノイマンのゲーム理論の本を読み、左側に行ったら、PCでLeague of Legendsをプレイするとしましょう。では、あなたが何をしているかわからない人は、それを知るまであなたの状態は読書とゲームの重ね合わせなのでしょうか？
二重スリット実験の文脈では、電子の振る舞いは、2つのスリットのどちらかを通過する、自分自身と干渉する、検出器の特定の場所に行き着くなど、可能な結果の重ね合わせとして記述することができる。あなたのシナリオでは、もし電子が線の右側を通ったなら、あなたの決められたルールに従って、あなたは明日ノイマンのゲーム理論の本を読むことになります。逆に、電子が線の左側を通ったら、あなたはPCで『リーグ・オブ・レジェンド』をプレイすることになります。つまり、実験結果を観測するまでは、あなたの心の状態は、読書とゲームの重ね合わせの状態であると言えます。なぜなら、重ね合わせの状態にある量子系（電子）があり、あなたの心は、実験結果に依存する形でこの系と相関しているからです。量子力学では、システムの状態とその観測者を別々に扱うのではなく、一つの量子システムとして扱います。"量子測定問題 "と呼ばれるものです。したがって、実験結果を観測するまでは、あなたの心と電子は、可能な結果の重ね合わせの状態にある一つの量子系として記述することができるのです。
学会の質疑応答から考える、心理的安全性の確保｜Yuta Sawa｜note（旧題：物理学会のパワハラ体質）
内容は、不躾な質問やヤジ、批判が飛んでくる物理学会の体質について、心理的安全性を担保するために対応すべきという批判。
ここで指摘される「心理的安全性」を担保するためには、参加者に対して一定の【気を遣う能力】を要求することが必要になる。しかし、そもそも、この能力は平等ではない
さらにいえば、発達障害により、この能力が生得的に無い人も珍しくなく、特に理系のトップティアになると、イキリ発達障害者としか言いようがない連中がゴロゴロいる。
最近は、「心理的安全性」や「ポリティカル・コレクトネス」のように、インテリ・リベラルの価値観を前提とした、【気を遣う能力】が求められるシーンが増大しており、それに馴染めない人たちが、質の低い労働に従事せざるを得なくなったり、地位を追われるような事態に陥っている。LinusやRMSのような押しも押されぬ大御所ですら、その地位を追われかけた。高木博光がTwitterで容赦のない批判を繰り広げているのも、いつまでできるか分からない。フォン・ノイマンが生きていれば、学会から追放されていたことだろう。
そして、こうやって【気を遣う能力】が求められるようになれば、それ以外では大した能力は無くても、SDGsだのなんだのとペラいことを言って金を集めるソーシャルアクティビストだの起業家だの、クソの役にも立たない連中が重要な地位を占めていくことになる。
都立高の男女別定員、廃止目指す方向 合格ライン性差の是正目的で | 毎日新聞
都立高校の男女別の定員枠により、底辺～中堅上位校にかけて、女子の方が合格点が高くなる傾向にあることが差別だと取りざたされている。しかし、この「合格点」には、内申点や面接が含まれており、実質的に、学力では無く、感じの良さや【気を遣う能力】が高い女子が有利になっているということを考慮する必要がある。
もし、学力以外の選考を入試で用いるならば、男性が優位になる体力テストなどを平等に課すことも妥当になるだろうが、それは差別と言われること間違いなしである。その意味では、いわばこの【気を遣う能力】のようなものが、別の差別を生み出しているとは考えられないだろうか。
男性が中心となる集団は、ときにボーイズクラブと批判されることがある。しかし、ボーイズクラブは問題ある部分もあるものの、イキリ発達障害者を排除せず、他人の自由を尊重するといった美徳もある。
しかし、今の、インテリ・リベラルによる社会批判は、「心理的安全性」の名目で気を遣うことができないイキリ発達障害者を排除し、あるいは「ポリティカル・コレクトネス」の名目で人の自由を制約しようとする。そして、そのことを「価値観のアップデート」といって、問題点を無かったことにしてしまっている。
言語化する能力のあるインテリ・リベラルは、このような問題を無視する。自分たちのアイデアを妨害することになるから当然だ。そして、その結果生まれるのは、社会の分断である。
