■AdS/CFT対応とブラックホール情報パラドックス

AdS/CFT対応

AdS/CFT対応は、d+1次元の反ド・ジッター空間AdS_{d+1}における重力理論と、その境界上のd次元共形場理論CFT_dとの間の双対性を主張する。この対応は以下の等式で表現される：

Z_gravity[φ_0] = ⟨exp(∫_∂AdS d^dx φ_0(x)O(x))⟩_CFT

ここで、Z_gravityはAdS重力理論の生成汎関数、右辺はCFTの相関関数の生成汎関数である。φ_0はAdS空間の境界での場の値、OはCFTの演算子である。

ブラックホールのホログラフィック表現

AdS空間内のシュワルツシルト・ブラックホールは、CFTの有限温度状態に対応する。ブラックホールの温度TとCFTの温度は一致し、以下のように与えられる：

T = (d r_+)/(4π L²)

ここで、r_+はブラックホールの地平線半径、LはAdS空間の曲率半径である。

エンタングルメント・エントロピーと面積法則

CFTのある領域Aのエンタングルメント・エントロピーS_Aは、AdS空間内の極小面γ_Aの面積と関連付けられる：

S_A = Area(γ_A)/(4G_N)

ここで、G_Nはニュートン定数である。この関係は、Ryu-Takayanagi公式として知られている。

情報パラドックスの解決

AdS/CFT対応は、ブラックホール情報パラドックスに対して以下の洞察を提供する：

1. ユニタリ性: CFTの時間発展はユニタリであり、これはAdS空間でのブラックホール形成と蒸発過程全体がユニタリであることを意味する。

2. 情報の保存: ブラックホールに落ち込んだ情報は、CFTの状態に完全に符号化される。形式的には：

S(ρ_CFT,initial) = S(ρ_CFT,final)

ここで、S(ρ)はフォン・ノイマン・エントロピーである。

3. スクランブリング: 情報のスクランブリングは、CFTの非局所的演算子の成長によって記述される：

⟨[W(t), V(0)]²⟩ ∼ e^(λ_L t)

ここで、λ_Lはリャプノフ指数で、λ_L ≤ 2πT（カオス束縛）を満たす。

量子誤り訂正とブラックホール

AdS/CFTは量子誤り訂正コードとしても解釈できる。境界CFTの部分系Aに符号化された情報は、バルクのサブリージョンaに再構成できる：

Φ_a = ∫_A dx K(x; a) O(x)

ここで、Φ_aはバルク場、K(x; a)は再構成カーネル、O(x)は境界演算子である。

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