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多世界解釈（MWI）における量子力学の波動関数とその幾何学的表現を考慮し、数理モデルを示す。
量子状態はヒルベルト空間 𝓗 のベクトルとして表される。波動関数 |ψ⟩ はこの空間の要素であり、時間発展はシュレーディンガー方程式
iℏ ∂/∂t |ψ(t)⟩ = H |ψ(t)⟩
によって記述される。ここで、H はハミルトニアン演算子である。観測が行われると、MWIでは波動関数が収縮せず、代わりにヒルベルト空間内での分岐が生じる。この分岐は、異なる固有状態への射影として表現される。
観測による分岐は、波動関数の射影演算子 Pᵢ を用いて次のように表される：
|ψ⟩ → Pᵢ |ψ⟩ = cᵢ |ϕᵢ⟩
ここで、|ϕᵢ⟩ は観測の結果に対応する固有状態であり、cᵢ はその確率振幅である。
次に、MWIにおける幾何学的構造を考える。各分岐は、ヒルベルト空間内の異なる方向への射影として捉えられ、これにより多次元のファイバー束のような構造が形成される。ファイバー束 E は基底空間 B 上に定義され、各ファイバー Fᵦ は異なる分岐に対応する：
E = ⋃ (b ∈ B) Fᵦ
観測によるエントロピーの低下は、観測者の視点から情報が特定されるために起こる。量子エントロピーは、フォン・ノイマンエントロピー
S(ρ) = -Tr(ρ log ρ)
によって定義される。ここで、ρ は密度行列である。観測により、観測者が特定の状態を経験することで、情報が増加し、エントロピーが減少するように見える。
このように、MWIにおける時空の分岐とエントロピーの変化は、量子力学の波動関数の幾何学的性質と深く結びついている。各分岐は、ヒルベルト空間内の異なる方向への射影として捉えられ、これにより多次元の幾何学的構造が形成される。観測によるエントロピーの低下は、観測者の主観的な情報増加として理解され、全体のエントロピーは保存されるか増加するという量子力学の基本原則に従う。
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