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2024-11-21

anond:20241121193842

違いまーす

テレンス・タオエドワードウィッテンでーす

はーいろんぱっぱ😝

2024-11-20

TQFTの概要

量子場理論過去数十年にわたり幾何学に多大な影響を与えてきた。

その例として、ミラー対称性グロモフ・ウィッテン不変量、マッケイ対応などがあり、これらはすべて位相的量子場理論(TQFT)に関連している。

チェコティ、ヴァファらの先駆的な研究から派生した多くの興味深い発展は今や分散しているが、TQFTの幾何学のものに関する基本的な疑問はまだ残されている。

このプロジェクトの大きな目的は、TQFTの幾何学統一的で決定的な全体像を見出すことだった。

数学の4つの主要分野が取り上げられた:シンプレクティック幾何学可積分系特異点理論圏論、モジュラー形式である

プロジェクト基本的な側面は以下の通りだった: 位相的量子場理論、共形場理論特異点理論可積分系の関連付け(ヴェントランド)、シンプレクティック場理論位相的場理論可積分系(ファベール)、行列模型理論可積分系(アレクサンドロフ)、圏論 - 特に行列分解 - 位相的場理論幾何学特異点理論(ヘルプスト、シュクリャロフ)、そしてTQFTにおけるモジュラー形式の応用、特にグロモフ・ウィッテン不変量の文脈での応用(シャイデッガー)。

より詳細には以下である

2024-11-19

[] 2024-11-19

午前6:00 - 起床。いつも通り、6時ちょうどに目が覚めた。完璧な生体リズムは、僕の知性の証だ。

午前6:30 - 朝食。シリアルを食べながら、今日研究計画を立てる。チャーン・サイモン理論の新しいアプローチを思いついた。3次元位相理論4次元拡張できるかもしれない。

午前7:30 - 出発。車中で同居人に、チャーン・サイモン理論の美しさについて語る。彼が理解できないのは残念だ。

午前8:30 - 到着。ノートに数式を書き始める。S[A] = k/4π ∫ᴍ Tr(A ∧ dA + ⅔A ∧ A ∧ A)

午後12:00 - 昼食。カフェテリアで友人2人とチェスをしながら食事。彼らの戦略の穴を指摘してあげる。

午後1:00 - 再開。チャーン・サイモン理論と量子重力の関連性について考察エドワードウィッテン論文を再読。

午後6:00 - 帰宅アパートで隣人に今日研究成果を説明しようとするが、彼女理解できないようだ。

午後7:00 - 夕食。タイ料理火曜日同居人と隣人と一緒に食事をしながら、最新のSF映画について議論

午後8:00 - オンラインゲーム時間。他のプレイヤーを圧倒する。僕の戦略完璧だ。

午後10:00 - 就寝準備。パジャマに着替え、歯を磨く。

午後10:30 - 就寝。明日も素晴らしい発見の日になることを願いながら眠りにつく。

2024-11-13

位相的弦理論レベル分け説明

1. 小学6年生向け

位相的弦理論は、宇宙不思議を解き明かそうとする特別な考え方です。普通物理学では、物がどう動くかを細かく調べますが、この理論では物の形や繋がり方だけに注目します。

例えば、ドーナツマグカップを考えてみましょう。形は全然違うように見えますが、どちらも真ん中に1つの穴があります位相的弦理論では、この「穴が1つある」という点で同じだと考えるんです。

この理論では、宇宙を細い糸(弦)でできていると考えます。でも、普通の弦理論とは違って、糸がどう振動するかは気にしません。代わりに、糸がどんな形をしているか、どう繋がっているかだけを見ます

これを使って、科学者たちは宇宙秘密を解き明かそうとしています。難しそうに聞こえるかもしれませんが、実は私たち身の回りの物の形を観察することから始まるんです。宇宙の謎を解くのに、ドーナツの形が役立つかもしれないなんて、面白いと思いませんか?

2. 大学生向け

位相的弦理論は、通常の弦理論単純化したモデルで、1988年にEdward Wittenによって提唱されました。この理論の主な特徴は、弦の振動モードの中で位相的な性質のみを保持し、局所的な自由度を持たないことです。

位相的弦理論には主に2つのバージョンがあります

1. A-モデル:ケーラー幾何学と関連し、2次元世界面を標的空間の正則曲線に写像することを扱います

2. B-モデル:複素幾何学と関連し、標的空間の複素構造依存します。

これらのモデルは、時空の幾何学構造と密接に関連しており、特にラビ・ヤウ多様体上で定義されることが多いです。

位相的弦理論重要性は以下の点にあります

1. 複雑な弦理論計算を簡略化できる

2. 弦理論数学構造をより明確に理解できる

3. ミラー対称性など、重要数学概念との関連がある

4. グロモフ・ウィッテン不変量など、新しい数学的不変量を生み出す

この理論は、物理学数学境界領域位置し、両分野に大きな影響を与えています。例えば、代数幾何学圏論との深い関連が明らかになっており、これらの数学分野の発展にも寄与しています

大学生の段階では、位相的弦理論基本的概念と、それが通常の弦理論とどう異なるかを理解することが重要です。また、この理論物理学数学の橋渡しをどのように行っているかを把握することも大切です。

3. 大学院生向け

位相的弦理論は、N=(2,2) 超対称性を持つ2次元非線形シグマモデルから導出されます。この理論は、通常の弦理論世界面を位相的にツイストすることで得られます

ツイスト操作の結果:

1. 作用素に異なるスピンが与えられる

2. 理論局所的な自由度を失う

3. エネルギー運動量テンソルがQEXACT形式になる

A-モデルとB-モデルの主な特徴:

A-モデル

B-モデル

モデルは、ミラー対称性によって関連付けられます。これは、あるカラビ・ヤウ多様体上のA-モデルが、別のカラビ・ヤウ多様体上のB-モデル等価であるという驚くべき予想です。

位相的弦理論の応用:

1. 量子コホモロジー環の計算

2. グロモフ・ウィッテン不変量の導出

3. ミラー対称性検証

4. 代数幾何学問題への新しいアプローチ

大学院生レベルでは、これらの概念数学的に厳密に理解し、具体的な計算ができるようになることが期待されます。また、位相的弦理論現代理論物理学数学にどのような影響を与えているか理解することも重要です。

4. 専門家向け

位相的弦理論は、N=(2,2) 超対称性を持つシグマモデルから導出される位相的場理論です。この理論は、超対称性のR-対称性を用いてエネルギー運動量テンソルツイストすることで得られます

A-ツイストとB-ツイストの詳細:

1. A-ツイスト

- スピン接続をR-電荷修正: ψ+ → ψ+, ψ- → ψ-dz

- 結果として得られるA-モデルは、ケーラー構造にの依存

2. B-ツイスト

- スピン接続を異なるR-電荷修正: ψ+ → ψ+dz, ψ- → ψ-

- 結果として得られるB-モデルは、複素構造にの依存

モデルの相関関数

A-モデル

ここで、M はモジュライ空間evi評価写像、αi はコホモロジー類、e(V) はオブストラクションバンドルオイラー

B-モデル

ここで、X はカラビ・ヤウ多様体、Ω は正則体積形式Ai は変形を表す場

ミラー対称性

A-モデルとB-モデルの間の等価性は、導来Fukaya圏と連接層の導来圏の間の圏同値として理解されます。これは、Kontsevich予想の一般化であり、ホモロジーミラー対称性の中心的な問題です。

最近の発展:

1. 位相的弦理論とGopakumar-Vafa不変量の関係

2. 位相重力理論との関連

3. 非可換幾何学への応用

4. 位相M理論提案

専門家レベルでは、これらの概念を深く理解し、最新の研究動向を把握することが求められます。また、位相的弦理論数学構造を完全に理解し、新しい研究方向を提案できることも重要です。

5. 廃人向け

位相的弦理論の究極的理解には、以下の高度な概念と最新の研究動向の深い知識必要です:

1. 導来圏理論

- 導来Fukaya圏とD^b(Coh(X))の圏同値

- 安定∞圏を用いた一般

- 非可換幾何学との関連

2. ホモロジーミラー対称性

- Kontsevich予想の一般

- SYZ予想との関連

- 非アーベル的ホッジ理論への応用

3. 位相的場理論の高次元化:

- 4次元Donaldson-Witten理論

- 6次元(2,0)理論との関係

- コホモロジーホール代数との関連

4. 位相的弦理論と量子重力

- AdS/CFT対応との関連

- 位相M理論の構築

- 非摂動効果系統的理解

5. 代数幾何学との深い関係

- 導来代数幾何学の応用

- モチーフ理論との関連

- 圏化されたDT不変量

6. 位相的弦理論数学的基礎:

- ∞圏論を用いた定式化

- 位相的再正規化群の理論

- 量子群位相的弦理論関係

7. 最新の研究トピック

- 位相的弦理論と量子情報理論の接点

- 位相的弦理論を用いた宇宙論的特異点研究

- 非可換幾何学に基づく位相的弦理論一般

8. 計算技術

- 位相的頂点作用素代数の応用

- 局所技法の高度な応用

- 数値的手法機械学習の導入

これらの概念を完全に理解し、独自研究を行うためには、数学理論物理学両分野において、最先端知識技術を持つ必要があります。また、これらの概念間の深い関連性を見出し、新しい理論的枠組みを構築する能力も求められます

位相的弦理論の「廃人レベルでは、これらの高度な概念自在に操り、分野の境界を押し広げる革新的研究を行うことが期待されます。また、この理論が量子重力宇宙論といった基礎物理学根本的な問題にどのような洞察を与えるかを探求することも重要です。

2024-09-23

超弦理論数学抽象化

1. 高次圏論とトポロジカル量子場理論

超弦理論数学的に抽象化するために、場の理論を高次圏(∞-圏)の関手として定式化する。

𝒵: 𝐵𝑜𝑟𝑑ₙᵒʳ → 𝒞ᵒᵗⁿ

ここで、𝒞ᵒᵗⁿ は対称モノイダル (∞, n)-圏(例:鎖複体の圏、導来圏など)。

2. 導来代数幾何とモジュライスタック

超弦理論におけるフィールドのモジュライ空間を、導来代数幾何の枠組みで記述する。

3. ホモトピカル量子場理論

場の理論ホモトピー理論文脈考察する。

4. オペラドとモジュライ空間

オペラドは演算代数構造符号化する。

5. BV形式ホモトピー代数

BV形式はゲージ対称性量子化を扱うためにホモトピー代数使用する。

Δ exp(𝑖/ℏ 𝑆) = 0

6. DブレーンとK-理論

DブレーンのチャージはK-理論によって分類される。

7. ミラー対称性と導来圏

ミラー対称性はシンプレクティック幾何学と複素幾何学を関連付ける。

𝓕(𝑋) ≃ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))

8. 重要定理証明

以上の数学構造を用いて、超弦理論における重要定理であるホモロジカルミラー対称性定理」を証明する。

定理ホモロジカルミラー対称性):

ミラー対称なカラビ・ヤウ多様体 𝑋 と 𝑌 があるとき、𝑋 のフクヤ圏 𝓕(𝑋) は 𝑌 の連接層の有界導来圏 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) と三角圏として同値である

𝓕(𝑋) ≅ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))

証明概要

1. フクヤ圏の構築:

- 対象:𝑋 上のラグランジアン部分多様体 𝐿 で、適切な条件(例えば、スピン構造やマスロフ指数消失)を満たすもの

- 射:ラグランジアン間のフロアコホモロジー群 𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁)。

- 合成:フロア理論における 𝐴∞ 構造写像を用いる。

2. 導来圏の構築:

- 対象:𝑌 上の連接層(例えば、加群や層)。

- 射:Ext群 𝐻𝐨𝐦*(𝒜, 𝐵) = Ext*(𝒜, 𝐵)。

- 合成:連接層の射の合成。

3. 同値性の確立

- ファンクターの構成ラグランジアン部分多様体から連接層への対応定義する関手 𝐹: 𝓕(𝑋) → 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) を構築する。

- 構造の保存:この関手が 𝐴∞ 構造三角圏の構造を保存することを示す。

- 完全性:関手 𝐹 が忠実かつ完全であることを証明する。

4. ミラー対称性の利用:

- 物理対応:𝑋 上の 𝐴-モデルと 𝑌 上の 𝐵-モデル物理計算が一致することを利用。

- Gromov–Witten 不変量と周期:𝑋 の種数ゼログロモフ–ウィッテン不変量が、𝑌 上のホロモルフィック 3-形式の周期の計算対応する。

5. 数学的厳密性:

- シンプレクティック幾何学の結果:ラグランジアン部分多様体フロアコホモロジー性質を利用。

- 代数幾何学の結果:連接層の導来圏の性質特にセール双対性ベクトル束の完全性を利用。

結論

以上により、フクヤ圏と導来圏の間の同値性が確立され、ホモロジカルミラー対称性定理証明される。

9. 追加の数学的詳細

ラグランジアン部分多様体 𝐿₀, 𝐿₁ に対し、フロア境界演算子 ∂ を用いてコホモロジー定義

∂² = 0

𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁) = ker ∂ / im

構造写像 𝑚ₙ: ℋⁿ → ℋ が以下を満たす:

∑ₖ₌₁ⁿ ∑ᵢ₌₁ⁿ₋ₖ₊₁ (-1)ᵉ 𝑚ₙ₋ₖ₊₁(𝑎₁, …, 𝑎ᵢ₋₁, 𝑚ₖ(𝑎ᵢ, …, 𝑎ᵢ₊ₖ₋₁), 𝑎ᵢ₊ₖ, …, 𝑎ₙ) = 0

ここで、𝑒 は符号規約依存

  • Ext群と射の合成:

射の合成により、Ext群のカップ積を定義

Extⁱ(𝒜, 𝐵) ⊗ Extʲ(𝐵, 𝒞) → Extⁱ⁺ʲ(𝒜, 𝒞)

2024-09-18

超弦理論の7つの観点からの定式化

1. 多様体: 座標系、つまり局所的にモデル空間と関連付けることにより記述

超弦理論では、時空は10次元の滑らかな微分多様体 M^{10} としてモデル化されます。各点の近傍 U ⊆ M^{10} に局所座標 x^{μ}: U → ℝ^{10} を導入します(μ = 0,1,…,9)。

弦の運動は、パラメータ σ^{α}(α = 0,1)で記述される2次元世界面(ワールドシート) Σ 上の埋め込み写像 X^{μ}(σ^{α}) を用いて表されます

作用はポリャコフ作用で与えられます

S = -T/2 ∫_{Σ} d²σ √(-h) h^{αβ} ∂_{α} X^{μ} ∂_{β} X^{ν} g_{μν}(X),

ここで:

- T は弦の張力(T = 1/(2πα'))、

- h_{αβ} は世界面の計量、

- g_{μν}(X) は時空の計量テンソル

- α' は逆張力で、弦の長さの二乗に比例。

M理論では、時空は11次元微分多様体 M^{11} となり、M2ブレーンやM5ブレーンのダイナミクスが中心となりますM2ブレーンの世界体積は3次元で、埋め込み写像 X^{μ}(σ^{a})(a = 0,1,2)で記述されます作用は次のように与えられます

S = -T_{2} ∫ d³σ √(-det(G_{ab})) + T_{2} ∫ C_{μνρ} ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} ∂_{c} X^{ρ} ε^{abc},

ここで:

- T_{2} はM2ブレーンの張力

- G_{ab} = ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} g_{μν} は誘導計量、

- C_{μνρ} は11次元重力の三形式ポテンシャル

2. スキーム: 局所関数を通じて記述。点は関数空間での極大イデアル対応する。

ラビ–ヤウ多様体は、超弦理論コンパクト化において重要役割を果たす複素代数多様体であり、スキーム言葉記述されます

例えば、3次元ラビ–ヤウ多様体は、射影空間 ℙ^{4} 内で次の斉次多項式方程式の零点として定義されます

f(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) = 0,

ここで [z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3} : z_{4}] は射影座標です。

各点 x は、局所環 ℴ_{X,x} の極大イデアル ℳ_{x} に対応します。これにより、特異点やその解消、モジュライ空間構造を厳密に解析できます

3. 与えられた空間を他の空間からの射、すなわち構造を保つ写像(の全体)Hom(-,S)を通じて記述

理論では、世界面 Σ から時空多様体 M への写像空間 Map(Σ, M) を考えます。この空間の元 X: Σ → M は、物理的には弦の配置を表します。

特に、開弦の場合、端点はDブレーン上に固定されます。これは、境界条件として写像 X がDブレーンのワールドボリューム W への射 ∂Σ → W を満たすことを意味します。

この設定では、開弦のモジュライ空間は、境界条件考慮した写像空間 Hom(Σ, M; ∂Σ → W) となります

4. コホモロジー論におけるように不変量を通じて特徴づける。

理論物理量は、しばしば背景多様体コホモロジー群の要素として表現されます

- ラマンド–ラマンド(RR)場は、時空のコホモロジー群の要素 F^{(n)} ∈ H^{n}(M, ℝ) として扱われます

- Dブレーンのチャージは、K理論の元として分類されます。具体的には、Dブレーンの分類は時空多様体 M のK群 K(M) の元として与えられます

- グロモフ–ウィッテン不変量は、弦のワールドシート上のホモロジー類 [Σ] ∈ H_{2}(M, ℤ) に対応し、弦の瞬間子効果計算するために使用されます

例えば、グロモフ–ウィッテン不変量は、モジュライ空間 ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) 上のコホモロジー類の積分として計算されます

⟨∏_{i=1}^{n} γ_{i}⟩_{g,β} = ∫_{[ℤ̄{M}_{g,n}(M, β)]^{vir}} ∏_{i=1}^{n} ev_{i}^{*}(γ_{i}),

ここで:

- g はワールドシートの種数、

- β ∈ H_{2}(M, ℤ) は曲面のホモロジー類、

- γ_{i} ∈ H^{*}(M, ℝ) は挿入するコホモロジー類、

- ev_{i} は評価写像 ev_{i}: ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) → M。

5. 局所的断片(単体、胞体)から空間を再構築して、空間性質がその構築のパターン組合せ論に帰着されるようにする。

理論摂動論的計算では、世界面をパンツ分解などの方法で細分化し、それらの組み合わせを考慮します。

- パンツ分解: リーマン面基本的ペアオブパンツ(3つの境界を持つ曲面)に分割し、それらを組み合わせて高次の曲面を構築します。

- 世界面のトポロジー組合せ論的に扱い、弦の散乱振幅を計算します。

弦の散乱振幅は、各トポロジーに対して次のようなパス積分として与えられます

A = ∑_{g=0}^{∞} g_{s}^{2g-2} ∫_{ℳ_{g}} D[h] ∫ D[X] e^{-S[X,h]},

ここで:

- g_{s} は弦の結合定数、

- ℳ_{g} は種数 g のリーマン面のモジュライ空間

- D[h] は計量に関する積分(ファデエフポポフ法で適切に定義)、

- S[X,h] はポリャコフ作用

6. 構造を保つ変換の成す群の言葉空間を特徴づける。

対称性の群は、弦理論M理論基本的性質を決定します。

- 共形対称性: ワールドシート上の共形変換は、ビラソロ代数

[L_{m}, L_{n}] = (m - n) L_{m+n} + c/12 m (m^{2} - 1) δ_{m+n,0}

に従います。ここで c は中心電荷

- 超対称性: ℕ = 1 の超共形代数は、

{G_{r}, G_{s}} = 2 L_{r+s} + c/3 (r^{2} - 1/4) δ_{r+s,0},

[L_{n}, G_{r}] = (n/2 - r) G_{n+r}

を満たします。

- T-双対性: 円状にコンパクト化された次元において、半径 R と α'/R の理論等価である。このとき運動量 p と巻き数 w が交換されます

p = n/R, w = m R → p' = m/R', w' = n R',

ここで R' = α'/R。

- S-双対性: 強結合と弱結合の理論等価であるという双対性。弦の結合定数 g_{s} が変換されます

g_{s} → 1/g_{s}。

7. 距離空間: その元の間の距離関係を通じて空間定義

時空の計量 g_{μν} は、弦の運動を決定する基本的な要素です。背景時空がリッチ平坦(例えばカラビ–ヤウ多様体)の場合、以下を満たします:

R_{μν} = 0。

β関数消失条件から、背景場は次のような場の方程式を満たす必要があります(一次順序):

- 重力場:

R_{μν} - 1/4 H_{μλρ} H_{ν}^{\ λρ} + 2 ∇_{μ} ∇_{ν} Φ = 0、

- B-フィールド

∇^{λ} H_{λμν} - 2 (∂^{λ} Φ) H_{λμν} = 0、

- ディラトン場:

4 (∇Φ)^{2} - 4 ∇^{2} Φ + R - 1/12 H_{μνρ} H^{μνρ} = 0。

M理論では、三形式場 C_{μνρ} とその場の強度 F_{μνρσ} = ∂_{[μ} C_{νρσ]} が存在し、11次元重力の場の方程式を満たします:

- 場の強度の方程式

d * F = 1/2 F ∧ F、

- アインシュタイン方程式

R_{μν} = 1/12 (F_{μλρσ} F_{ν}^{\ λρσ} - 1/12 g_{μν} F_{λρσδ} F^{λρσδ})。

2024-09-14

理論ダイナミクス

1. 11次元重力タイプIIA弦理論の強結合極限

ウィッテンは、タイプIIA弦理論の強結合極限において、理論11次元重力帰着することを提案した。タイプIIA弦理論における結合定数 λ が無限大に近づくと、11次元への拡張必要となり、次のように示される:

lim₍λ→∞₎ (IIA superstring, d=10) = 11-dimensional supergravity

この結果、11次元重力理論タイプIIA弦理論の強結合の非摂動的な極限として現れる。これはカルツァ=クライン理論の枠組みを通じて理解され、弦理論の高次元的な構造を強調する。

2. デュアリティと強結合での質量スケーリング

S-duality および U-duality は、弦理論において強結合 (λ → ∞) および弱結合 (λ → 0) の極限での理論的な対応関係表現する。特に次元 d < 10 でのU-dualityは次の形式を取る:

U-duality: SL(2, ℤ) × T-duality

このデュアリティは、質量スケーリング重要役割を果たす。BPS状態における質量 M は以下の不等式を満たす:

M ≥ c/λ |W|

ここで、W は電荷、λ は結合定数であるBPS状態ではこの不等式が飽和され、質量は λ⁻¹ に比例し、強結合時には軽い粒子が現れる。11次元重力において、この質量スケーリングは以下のように記述される:

M_KK ∼ 1/r(λ), r(λ) ∼ λ²/³

この関係は、強結合極限において次元の半径が拡大し、11次元現象が顕著化することを示している。

3. Kaluza-Klein 理論11次元重力

ウィッテンは、11次元重力理論タイプIIA弦理論の強結合極限で有効となることを示した。カルツァ=クラインモード質量 M_KK は次のようにスケールする:

M_KK ∼ 1/λ

これは、KKモード質量11次元重力における次元サイズに逆比例することを示唆しており、強結合において11次元理論重要役割を果たすことを示している。

4. 弦理論におけるU-Dualityとコンパクト

ウィッテンは、次元 d < 10 における弦理論の強結合極限での振る舞いを、U-dualityを通じて詳細に分析した。トーラスコンパクト化により、真空のモジュライ空間 𝓜 は次のように表される:

𝓜_vacua = G/K

ここで、G は非コンパクトLie群、K はそのコンパクト部分群である。このコンパクト化によって、次元縮退が起こり、KKモードや非摂動効果顕在化する。質量スケーリングは次のように与えられる:

M ∼ 1/λ |n|

ここで、n は量子化されたチャージであり、強結合時に軽い粒子が現れることを示している。

5. string-stringデュアリティ次元の関連性

String-string duality は、異なる次元での弦理論の強結合極限において現れる。例えば、5次元ヘテロティック弦理論の強結合極限が6次元タイプIIB理論対応する:

lim₍λ→∞₎ (heterotic string, d=5) = (Type IIB, d=6)

さらに、6次元ヘテロティック弦理論の強結合極限はタイプIIA理論対応する。このように、異なる次元の弦理論デュアリティを通じて結びつけられ、統一的に説明される。

2024-06-05

幾何学ラングランズ、ホバノフホモロジー、弦理論

エドワードウィッテンは、幾何学的なラングランズ・プログラムの一部とアイデアとの関係について「電気磁気の二重性と幾何学的なラングランズ・プログラム」を執筆した。

ラングランズ プログラムに関する背景: 1967 年、ロバート ラングランズは、当時同研究所教授だったアンドレ ヴェイユ17ページの手書き手紙を書き、その中で大統一理論提案した。それは、数論、代数幾何学、保型形式理論における一見無関係概念を関連付ける。読みやすくするためにヴェイユ要望作成されたこ手紙タイプされたコピーは、1960 年代後半から 1970 年代にかけて数学者の間で広く流通し、数学者たちは 40 年以上にわたりラングランズ プログラムとして総称されるその予想に取り組んできた。

理論ゲージ理論双対性の背景を持つ物理学者は、カプースチンとの幾何学ラングランズに関する論文理解できるが、ほとんどの物理学者にとって、このトピックは詳細すぎて興味をそそるものではない。

一方で、数学者にとっては興味深いテーマだが、場の量子論や弦理論の背景には馴染みのない部分が多すぎるため、理解するのは困難(厳密に定式化するのは困難)。

短期的にどのような進歩があれば、数学者にとって幾何学的なラングランズのゲージ理論解釈が利用できるようになるのかを見極めるのは、実際には非常に難しい。

ゲージ理論とホバノフホモロジー数学者によって認識され評価されるのを見られるだろうか。

数論者が好むものの多くは物理学に登場している。

理論研究者として取り組んでいる物理理論が数論として興味深いものであることを示す多くのことがわかっている。

ここ数年、4 次元の超対称ゲージ理論とその親戚である 6 次元に取り組んでいる物理学者は、臨界レベルでの共形場理論役割に関わるいくつかの発見を行っているため、この点を解決する時期が来たのかもしれない。

過去20年間、数学物理学相互作用は非常に豊かであり続けただけでなく、その多様性が発展したが、私は恥ずかしいことにほとんど理解できていない。

これは今後も続くだろう、それが続く理由は場の量子論と弦理論がどういうわけか豊かな数学秘密を持っているからだ。

これらの秘密の一部が表面化すると、物理学者にとってはしばしば驚きとなることがよくある。

なぜなら、超弦理論物理学として正しく理解していないから。つまり、その背後にある核となる考え方を理解していない。

数学者は場の量子論を完全に理解することができていないため、そこから得られる事柄は驚くべきものである

したがって、生み出される物理学数学アイデアは長い間驚くべきものになるだろう。

1990 年代に、さまざまな弦理論が非摂動双対性によって統合されており、弦理論ある意味本質的量子力学的なものであることが明らかになり、より広い視野を得ることができた。

しかし、その根底にある原理が明確になっていない主題について、さまざまな側面を数学者物理学者研究である

今日若者にはさらに大きな発見のチャンスがある。

2023-12-06

マゾヒスト(M)のひも男で良いの?

万物理論」になるのは簡単ではない。

アルバート アインシュタイン一般相対性理論説明したように、大規模なスケールでは重力が時空構造の曲線のように見えるように、重力自然の量子法則に適合させるという非常に困難な仕事を担っている。

どういうわけか、時空の湾曲は、重力エネルギー量子化単位、つまり重力子として知られる粒子の集合的な影響として現れる。

しかし、重力子がどのように相互作用するかを単純に計算しようとすると、無意味無限が生じ、重力についてより深く理解する必要があることがわかる。

M理論は、宇宙のあらゆるもの理論の有力な候補としてよく言われる。

しかし、それについての経験証拠や、重力が他の基本的な力とどのように統合されるかについての代替アイデアはない。

では、なぜM理論が他の理論よりも優れているのか?

この理論は、重力子、電子光子、その他すべてのものは点粒子ではなく、さまざまな方法振動する、目に見えないほど小さなエネルギーの「糸」である仮定していることは有名である

1980 年代半ばに弦理論への関心が高まり物理学者は弦理論量子化重力数学的に一貫した記述を与えることに気づいた。

しかし、ひも理論の既知の 5 つのバージョンはすべて「摂動的」であり、一部の体制では破綻することを意味していた。

理論家は、2 つの重力子の紐が高エネルギーで衝突したときに何が起こるかを計算できるが、ブラック ホール形成するほど極端な重力子の合流がある場合には計算できない。

その後、1995 年に物理学者エドワードウィッテンがすべての弦理論の母を発見した。

彼は、摂動理論が一貫した非摂動理論に適合することを示すさまざまな兆候発見し、これを M 理論と名付けた。

M 理論は、異なる物理文脈におけるそれぞれの弦理論に似ているが、それ自体には、すべての理論の主要な要件である有効性の領域制限がない。

2 年後、物理学者フアン・マルダセナが AdS/CFT 対応関係発見したとき、別の研究が爆発的に起こった。

これは、反ド シッター (AdS) 空間と呼ばれる時空領域重力を粒子の量子記述 (と呼ばれる) に結び付けるホログラムのような関係である「共形場理論」がその領域境界上を動き回る。

AdS/CFT は、AdS 時空幾何形状の特殊なケースに対する M 理論の完全な定義提供する。

AdS 時空幾何形状には負のエネルギーが注入されており、私たち宇宙とは異なる方法で曲がる。

このような想像上の世界では、物理学者は、原理的にはブラック ホール形成蒸発を含む、あらゆるエネルギーでのプロセス記述することができる。

この基本的な一連の出来事により、ほとんどの専門家は M 理論を有力な TOE 候補とみなすようになった。

ただし、私たちのような宇宙におけるその正確な定義は依然として不明である

その理論が正しいかどうかは全く別の問題である

それが想定する文字列、およびこれらの文字列が動き回ると思われる余分なカールした空間次元は、大型ハドロン衝突型加速器のような実験解決できるものよりも 1,000 万分の 1 倍小さい。

そして、宇宙ひもや超対称性など、見られたかもしれない理論の巨視的な兆候のいくつかは現れていない。

一方、他の TOE アイデアにはさまざまな技術問題があるとみなされており、重力子-重力子散乱計算など、弦理論による数学一貫性実証再現したものはまだない。

遠い競争相手には、漸近的安全重力、E8 理論、非可換幾何学、因果フェルミオン系などがある。

たとえば、漸近的に安全重力は、無限に悩まされる計算解決するために、より小さなスケールに進むにつれて重力の強さが変化する可能性があることを示唆している。

2023-11-22

超弦理論って結局なんなの?

超ひも理論は、光子からクォークに至るまで、すべての粒子がゼロ次元の点ではなく1次元のひもであるという理論的枠組みのこと。

もし、あらゆる文脈で成り立つ超ひも理論バージョン発見されれば、宇宙性質記述するための単一数学モデルとして機能することになり、重力説明できない物理学標準モデルに取って代わる「万物理論」となるとされる。

超ひも理論の全貌を理解するには、広範な勉強必要だが、超ひも理論の主要な要素を知れば、その核となる概念基本的理解が得られるだろう。

 

1. 弦とブレーン

弦は一次元フィラメントで、開いた弦と閉じた弦の2種類がある。

開放弦は両端がつながっておらず、閉鎖弦は閉じたループ形成する。

ブレーン(「膜」という言葉に由来する)はシート状の物体で、その両端に弦を取り付けることができる。

ブレーンは量子力学ルールに従って時空を移動することができる。

 

2. 追加の空間次元

物理学者は、宇宙には3つの空間次元があると認めているが、超ひも理論家は、空間の追加次元記述するモデルを主張している。

超ひも理論では、カラビ・ヤウ多様体と呼ばれる複雑な折りたたみ形状にしっかりと圧縮されているため、少なくとも6つの追加次元は検出されない。

 

3. 量子重力

理論は量子物理学一般相対性理論を融合させようとしているため、量子重力理論である

量子物理学原子素粒子のような宇宙で最も小さな物体研究するが、一般相対性理論は通常、宇宙でよりスケールの大きな物体に焦点を当てる。

 

4. 超対称性

超弦理論としても知られる超対称性は、2種類の粒子、ボソンフェルミオン関係記述する。

超対称弦理論では、ボソン(または力の粒子)は常にフェルミオン(または物質の粒子)と対になるものを持ち、逆もまた同様である

超対称性概念はまだ理論的なもので、科学者はまだこれらの粒子を見たことがない。

一部の物理学者は、ボソンフェルミオンを生成するには、とてつもなく高いエネルギーレベル必要からだと推測している。

これらの粒子は、ビッグバンが起こる前の初期の宇宙存在していたかもしれないが、その後、現在見られるような低エネルギーの粒子に分解されたのかもしれない。

大型ハドロン衝突型加速器世界で最も高エネルギーの粒子衝突型加速器)は、ある時点でこの理論を支持するのに十分なエネルギーを発生させるかもしれないが、今のところ超対称性証拠は見つかっていない。

 

5. 統一された力

理論家は、相互作用する弦を使って、自然界の4つの基本的な力(重力電磁気力、強い核力、弱い核力)がどのように万物統一理論を作り出しているか説明できると考えている。

 

超弦理論歴史

2023-06-16

anond:20230616194738

人類の上位0.0001%くらいの知能を持ってそうな異常個体は割と文系専攻にいる感じがする(理系ももちろんいるけど)。

エドワードウィッテン哲学専攻だったのと同じようなやつ。

2023-02-06

anond:20230206175714

数論以外は多かれ少なかれ学際的な分野だしなぁ(もちろん数論だって他分野との関わりはたくさんあるが)

ミレニアム問題で有名な質量ギャップ問題とかも数学の未解決問題と言う扱いだし、ウィッテンフィールズ賞受賞してる

次元トポロジーとか(ドナルドソン以降の)ゲージ理論を多少なりとも聞きかじってないとモグリよ(まあ数学者の言う「ゲージ理論」と物理学者の言う「ゲージ理論」は多分全然違うけど)


あ、「低次元トポロジー」ならちょうどいい回答になるか?

2021-12-01

anond:20211201005416

からそれは数学科じゃなくて物理学科だろうが。アーノルドの本なんていつの話だよ。少なくとも「ここ数年」なんていうレベルでは全く無いだろうが。

数学物理の接近がどうとか言うならウィッテンとかがやってるような話をしろよ(知らんけど)。古典力学の数理は所詮微分幾何だろ。数学的には基本も基本。作用素環とは随分段階が違うと思うが。

2021-07-29

ヒルベルトガロアに並ぶ男性数学者現代にもいる

https://anond.hatelabo.jp/20210728111035

上記エントリヒルベルトガロアに並ぶ数学者について質問されたので例示するけど

その前に何故ヒルベルトガロアを挙げたかについても説明します。

まずヒルベルト集合論に基づく20世紀前半の様々な数学理論の構築に重大な貢献をした人として挙げた。

一方で現在は高次圏論に基づく数学理論の構築が進んでるけど

その中でヒルベルトみたいな貢献をしている人としてジェイコブ・ルーリーという数学者がいる。

現在代数理論根本的な部分から新しい基礎を作り位相的場理論代数幾何学の理論の構築まで行ってるのは

メチャクチャ凄い数学者だと思う。

次にガロア方程式が解ける解けないという性質の裏に隠れた対称性を見事に発見した発想力の凄い人として挙げたけど

この隠れた対称性を見つけるという発想は現在の様々な数学理論に影響が及んでいる。

現在ガロアのような発想をした人としてエドワードウィッテンという数学者がいる。

彼は物理学者という意見も多いが数学者としても凄いのは間違いないと思う。

ウィッテンは様々な幾何的な不変量に対して物理的なモデルを考える事で別の求め方が出来る事を発見した。

こうして今まで重要と考えられてきた様々な幾何的な対象について物理的なモデルを用いて

今まで分かって無かった性質を見つけるという方法現在幾何において重要なやり方として大きく発展している。

この多大な影響を及ぼした発想をしたウィッテンメチャクチャ凄い数学者だと思う。

以上現代数学者ヒルベルトくらい凄い数学者の一人としてジェイコブ・ルーリー

ガロアくらい凄い数学者の一人としてエドワードウィッテンを挙げました。

2018-02-14

独立研究者 森田真生は山師

しかしたら数年前に決着のついてる話かもしれないが森田真生の話をする。

一応どういう人か簡単説明しておく。Wikipediaや本人のHPによれば「独立研究者」という肩書

大学等の研究機関に属さずに数学テーマとした研究をしている在野の研究者

著作もいくつかあり、中でも「数学する身体」という本は小林秀雄賞をとっているらしい。

また「数学演奏会」なるイベントを定期的に開いているとのこと。

僕はこの人の著作を読んだこともないし、「数学演奏会」に行ったこともないので正直あまり知らない。

ただ僕が簡単アクセスできるこの人の情報から判断するにこの人は胡散臭い

多分この人が話題になったのは結構前の事だと思うが、今更書くのは僕が注意を向けたのが最近の事だからだ。

前々から書店に陳列される著作を通じて存在は知っていたが読んだことは無かった。

本の見た目からして一般向けの啓蒙書という感じなのでスルーしていた。

しか最近知り合いがこの人の名を挙げたので気になって調べてみたら思ったよりも浅薄で、

数学の専門知識の無い人をおかしな方向に誘導しているように見えたので、注意喚起意味を込めてこの文章を書くことにした。

森田問題点は単純で「数学知識があまり無いのに、まるで数学を知っているかのように語っている」というのに尽きる。

これだけだと説得力もないし、内容も不明瞭なので森田数学知識があまり無いと判断する根拠を記す。

何をもって知識が無いと判断するかは難しいところだが大きく、森田の語る内容が表層的という点からそう判断した。

森田はTEDで講演している。是非見てほしい。(他にもいくつかYouTube森田動画があがっている。)

森田のTEDでの講演

https://www.youtube.com/watch?v=Hx6ZNEWydCU

浅すぎないだろうか。この内容を話すのに数学の専門知識必要な部分は一つもない。

一貫して根拠のないフワッとした話ばかりで最終的には岡潔を引いて「数学とは自分内面出会うことだ」などと言うが、

説明あやふや哲学的にもお粗末なものだ。

かにトーク性質からしてあまりテクニカルな話はできない。

ただ専門知識仮定しなくても実りある話はできる。

次のフィールズメダリストのVillaniによるTEDでの講演を見てほしい。

https://www.ted.com/talks/cedric_villani_what_s_so_sexy_about_math?language=ja

この講演は本当に凄い。専門的なバックグラウンドもつ話を一般人向けの話にうまく落とし込んでいる。

Villaniが例外的に上手い部分はあるとはいえ、一般人向けにある程度深い数学の話をするのが不可能ではないことが分かる。

森田が誰にでもできる程度の講演しかしないのはその程度の知識しかいからだと思っている。

森田研究者というが論文特に書いていないため、知識の程度はわからない。

検索で引っかかる唯一の森田による大学数学レベル記述は「哲学者のための圏論入門」というタイトルpdfだが、

内容としては圏論哲学系の人に紹介するものなので、その目的からしても当然のことだが入門的内容のまとめに過ぎず、

ここから知識の程度を測るのは難しい。これをあえて書いたのはこのpdf存在森田知識証左になると考える人いるかもしれないため。

これくらいは数学科卒なら大抵書ける。

また森田の話に出てくる数学者はグロタンディーク岡潔マクレーンチューリングウィッテングロモフ等といった

ビッグネームばかりでしかも分野もばらけているというのも不思議だ。

何らかの研究対象があればその分野で一流の研究者名前が挙がっていいはずだと思うのだが。

他にも本人のTwitterなどを多少見たが、特定の分野に対する造詣は感じられないし、一般啓蒙書的な数学理解を超えるものは見られない。

森田知識がない分には一向に構わないが、無い知識数学を語らないでほしい。

数学を語るのが数学者だけの特権と言うつもりは全くないが、専門知識を語るのは難しいことだということを強調したい。

数学書を理解するのは一定の訓練で出来るようになるが、その内容をテキストから離れた自分文脈に組み込んで話すのはずっと難しい。

しかしそれが出来なくては一般人のレベルに専門知識を落とし込むことは出来ない。森田はこのレベルには達していない。

数学について語るのではなく、自身数学観について語るのは構わないが、それならばビッグネーム名前を借りるべきでは無く、

徹頭徹尾自分言葉で語るべきだろう。権威の名を出して森田数学観を語れば、一般人にはそれが独自見解と気づくのは難しいのではないか

僕には森田数学観とこれまで数学者によって積み上げられてきた数学は大きく異なると思う。

数学に関心を持つ人が森田数学観に感化されて、数学を学ぶ機会を逃してしまうとすればそれは不幸なことだ。

2015-04-16

http://anond.hatelabo.jp/20150416201757

そんなに自分の頭に自信あるなら数学やれよ。素粒子論でもいいぞ。

望月新一とかテレンス・タオとかエドワードウィッテンとか、そういう人類の至宝級の本気の化け物とやりあえるぞ。

2012-12-07

http://anond.hatelabo.jp/20121207162109

そういうマジキチな奴らを集めた集団の中でさらに群を抜いてるのがウィッテンとかその辺の人間辞めてると思われる連中。

あと20回くらい輪廻を繰り返して1回くらいはせめてその集団に入れるくらいに生まれたいと思って生きてる。

今回の人生は正直絶望しかないけど、次の輪廻のために徳を積んでると思って頑張ってるし、そう思うくらいしか心の支えがない。

2008-07-26

物理オタが非オタ彼女物理世界を軽く紹介するための10人

via : http://anond.hatelabo.jp/20080721222220

まあ、どのくらいの数の物理オタがそういう彼女をゲットできるかは別にして、

「オタではまったくないんだが、しかし自分のオタ趣味を肯定的に黙認してくれて、

 その上で全く知らない物理世界とはなんなのか、ちょっとだけ好奇心持ってる」

ような、ヲタの都合のいい妄想の中に出てきそうな彼女に、物理のことを紹介するために

見せるべき10人を選んでみたいのだけれど。

(要は「脱オタクファッションガイド」の正反対版だな。彼女物理布教するのではなく

 相互のコミュニケーションの入口として)

あくまで「入口」なので、時間的に過大な負担を伴うマニアックな人物は避けたい。

できれば伝記が出てる人物、少なくともブルーバックスレベルにとどめたい。

あと、いくら物理的に基礎といっても古びを感じすぎるものは避けたい。

物理好きが『ケプラー』は外せないと言っても、それはちょっとさすがになあ、と思う。

そういう感じ。

彼女の設定は

物理知識はいわゆる「ブルーバックス」的なものを除けば、中学校程度の物理は知ってる

サブカル度も低いが、頭はけっこう良い

という条件で。

まずは俺的に。出した順番は実質的には意味がない。

アルバート・アインシュタイン

まあ、いきなりかよとも思うけれど、「アインシュタイン以前」を濃縮しきっていて、「アインシュタイン以後」を決定づけたという点では

外せないんだよなあ。知名度もあるし。

ただ、ここでオタトーク全開にしてしまうと、彼女との関係が崩れるかも。

情報過多なアインシュタインの業績の数々について、特にリーマン空間上の時空の幾何学という数学的側面が強い一般相対論について、

どれだけさらりと、嫌味にならず濃すぎず、それでいて必要最小限の情報彼女

伝えられるかということは、オタ側の「真のコミュニケーション能力」試験としてはいいタスクだろうと思う。

アイザック・ニュートン

アレって典型的な「オタクが考える一般人に受け入れられそうな物理学者(そうオタクが思い込んでいるだけ。実際は全然受け入れられない)」そのもの

という意見には半分賛成・半分反対なのだけれど、それを彼女にぶつけて確かめてみるには

一番よさそうな素材なんじゃないのかな。

物理オタとしてはニュートン力学万有引力法則は“常識”としていいと思うんだけど、率直に言ってどう?」って。

スティーブン・ホーキング

ある種のSF物理オタが持ってる時空制御やタイムトラベルへの憧憬と、一方で時間順序保護仮説を唱えるオタ的な理論物理へのこだわりを

彼女に紹介するという意味ではいいなと思うのと、それに加えていかにもSFオタ的な

「一般相対論破綻」を記述する特異点定理

量子力学重力統合」を提唱する量子重力理論

の二つをはじめとして、オタ好きのする理論世界にちりばめているのが、紹介してみたい理由。

ジョン・フォン・ノイマン

たぶんこれを見た彼女は「モーツァルトだよね」と言ってくれるかもしれないが、そこが狙いといえば狙い。

これほどの変態的天才がその後続いていないこと、これがアメリカでは軍事への貢献で大人気になったこと、

数学から経済学までのあらゆる分野に影響を残した天才ぶりはアメリカなら実写テレビドラマになって、

それが日本に輸入されてもおかしくはなさそうなのに、

日本国内でこういう天才が生まれないこと、なんかを非オタ彼女と話してみたいかな、という妄想的願望。

ジェームズクラークマクスウェル

「やっぱり物理は目に見える自然現象を説明するためのものだよね」という話になったときに、そこで選ぶのは「アンリ・ナビエ」

でもいいのだけれど、そこでこっちを選んだのは、電磁気学にかけるマクスウェルの思いが好きだから。

(以下思いつかねえ)

レオンハルトオイラー

今の若年層でオイラーを目指す人はそんなにいないと思うのだけれど、だから紹介してみたい。

量子力学よりも前の段階で、力学現象を解析的に取り扱う哲学位相空間の技法は彼で頂点に達していたとも言えて、

こういうクオリティ物理学者数学者の片手間でこの時代に生まれていたんだよ、というのは、

別に俺自身がなんらそこに貢献してなくとも、なんとなく物理好きとしては不思議に誇らしいし、

いわゆるニュートン力学でしか物理を知らない彼女には見せてあげたいなと思う。

アマリー・エミー・ネーター

(還元論的)物理の「本質」あるいは「原理」をオタとして教えたい、というお節介焼きから見せる、ということではなくて。

「あらゆる基本的な物理量は保存する」的な感覚がオタには共通してあるのかなということを感じていて、

だからこそ理論物理学の最も基本的な量はハミルトニアン以外ではあり得なかったとも思う。

複雑系を取り扱う新しい物理」というオタの感覚今日さらに強まっているとするなら、その「オタクの気分」の

源はハミルトニアン(時間並進対称性に起因する保存量)にあったんじゃないか、という、そんな理屈はかけらも口にせずに、

単純に対称性と保存量の美しい関係を楽しんでもらえるかどうかを見てみたい。

エドワードウィッテン

これは地雷だよなあ。地雷が火を噴くか否か、そこのスリルを味わってみたいなあ。

こういう純粋数学チックな物理を元文系の天才物理学者が推進していて、それが非オタに受け入れられるか

気持ち悪さを誘発するか、というのを見てみたい。

リチャード・P・ファインマン

9人まではあっさり決まったんだけど10人目は空白でもいいかな、などと思いつつ、便宜的にファインマンを選んだ。

アインシュタインから始まってファインマンで終わるのもそれなりに収まりはいいだろうし、場の量子論以降の

素粒子物理時代の先駆けとなった人物でもあるし、紹介する価値はあるのだろうけど、もっと他にいい人物がいそうな気もする。

というわけで、俺のこういう意図にそって、もっといい10人目はこんなのどうよ、というのがあったら

教えてください。

「駄目だこの増田は。俺がちゃんとしたリストを作ってやる」というのは大歓迎。

こういう試みそのものに関する意見も聞けたら嬉しい。

10人は疲れるなこれ…。穴だらけだわ。そういう意味では元増田すげえな…。

ディラックとかハイゼンベルグとかシュレディンガーあたりを入れたかったが入らなかった。

あと湯川秀樹朝永振一郎も入れたかった。

 
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