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はてなキーワード: 数学者とは
あれは、４ｋ＋１→４ｋ＋２→４ｋ＋９というちょっとぶっとんだ定理を発見して証明しなければいけない問題ですので、さすがにそれなりのところで訓練を受けた人ではないと無理です。
他にも色々な証明がありますが理想的なのはこれで、左半分はできますが、右半分は専門的な議論になるので、読んだだけではすぐには分かりません。ただしそれが出来たら
満点ということになります。あれはＩＭＯでもほとんどの人が解けなかった奴ですので、誰がやっても解けないと思います。ここの
上の定理を発見するのを驚愕的な技術つって、こういうのがあるのが面白いから数学者は数学をしてるわけです。 問題自体の方も凄いが、技術の方が凄いからやるわけです。
その回答も「「以」にはいくつかの意味がありますが」と書いているとおり、以には非常に多くの意味があって、その中には以の前を含む用法も含まない用法もある。
「以=より・から」なんてのは、「より・から」と意味で使う場合の読み下しから遡っただけの、循環論法に過ぎない。
以の基本的な意味は承接。A以Bは「AそしてB」とかそういう意味で、そこから、Aの目的語を受けたりする何らかの意味を生じていく。あまりに便利に・何となく使われてるものだから、翻訳も文脈を読んで適当に訳してる。
ハーディ空間で有名な数学者のハーディは何でも数学は驚愕しないと駄目なのだと述べているが、東大理系数学は別に驚愕的な体験がなくても出来ますので、
北予備の田辺先生から教わった、 数列が a(n)になっているものがあったらそれを、ｎ等分して、AMGM不等式をかませればいいのだ、ということを講義で口頭で教わっただけでも
似たような問題に使えるようになりましたので、私は何もその辺のことが驚愕しないとできないとは思いません。
法律学においては、教わったというか、猪股辰之警部補から、刑訴法においては、あまり時間が経過していると使用窃盗ではなくなる、という説明を受けましたが
言われただけで何を言ってるか分からなかったので。それからなんか、六法の条文は、一般的な概念で技術的に制定されているのでそれだけであると思います。
あとなんか、わざわざ大それた驚愕的な証明をしなくても、スマートで簡潔な証明の方が経済的で合理的というかそれしかないから構成においてそれが選択されている場合もあるので
多くの数学者は最も美しい証明を見つけることに意欲を持っており、数学を芸術の一形態と呼ぶことがよくある。
「なんて美しい定理だろう」「なんてエレガントな証明だろう」と言う。
完璧な部屋の形状は、ルネッサンスの建築家によって、壁が一定の比率を持つ長方形の部屋であると定義され、それを「黄金分割」と呼んだ。
建築家は今日でも、最も調和のとれた部屋には黄金分割比があると信じている。
この数値は、多くの数学的現象や構造に現れる (例:フィボナッチ数列の極限)。
レオナルド・ダ・ヴィンチは、均整のとれた人体と顔の黄金分割を観察した。
西洋文化やその他の文明では、均整のとれた人体の黄金分割比は、上部 (へその上) と下部の間（へその下）にある。
モザイクは、固体部分（木、石、ガラスなど）を重なりや隙間なく平らな面に組み立てる芸術形式である。
その洗練された形式では、モザイクには認識可能なパターンがあり、それが 2 つの異なる方向に繰り返され、中心も境界も優先方向も焦点も特定されない。
19 世紀には、数学的な観点から、タイリングには 17 個の対称性しか存在しないことが証明された。
アルハンブラ宮殿のモザイクは、考えられる 17 の対称性をすべて表していることが発見された。
タイリングを形成するとは、2 次元平面を幾何学的形状 (多角形または曲線で囲まれた形状) で重なりなく完全に覆うことを意味する。
タイリング画像を変更せずに仮想的に回転または反射できる場合、タイリングは対称と呼ばれる。
歴史上最も印象的なモザイクは、中世のイスラム世界で活躍した芸術家、特にスペインのアルハンブラ宮殿の美しく洗練されたモザイクを作成した芸術家によって制作された。
アルハンブラ宮殿は、グラナダの旧市街を見下ろす赤土の丘に、13 世紀初頭にムーア人によって建てられた。
ここは、膨大な量の模様、装飾品、書道、石の彫刻など、イスラム教の建築とデザインを展示するものである。
オランダ人芸術家MC エッシャーはアルハンブラ宮殿を 2 度訪れ、宮殿と周囲の中庭のタイルに見られる華やかな模様をスケッチし、カタログ化した。
これは、タイルが一定の間隔で表示または発生することを意味する。
何百年にもわたる熟練した建築、タイル張り、 （調和する力としての）対称性への深い敬意、（宗教と商業のための）幾何学の研究と知識により、17 の考えられる対称性グループすべてがアルハンブラ宮殿の壁に表現される。
自然界の結晶(雪の結晶、鉱物、宝石など) は、秩序と対称性規則に従って原子的に構築される。
非周期的タイリング、つまり周期性のないタイリングは 1960 年代に数学的に可能であることが証明されたが、当時は秩序はあっても周期性を持たない固体構造は自然界には存在しないと考えられていた。
1982 年、イスラエルのテクニオン大学のダン シェクトマン教授は、後に準結晶として知られる自然が作る非周期結晶の存在を予測した。
このような自然で作られた石は、ロシアの山岳地帯で最初に発見された。
2009年、この発見はプリンストン大学の教授であるポール・スタインハートによって科学的に発表された。
2011 年、シェクトマンはその予測によりノーベル化学賞を受賞した。
そうでないなら、美しさは見る人の目にあるか？
この論文は最初は、「ある種の不定方程式の解に関する研究」として開始されたが
x^p+y^p=z^p に対しては、クンマーという教授が、６７％ではＯＫであるというイデアル理論という珍奇理論によりやったが、全部証明ではないということで、解釈が間違っているから
両辺をｚで割って、
楕円関数と有理数点で扱って、 有理数体と、楕円関数の複素関数上のモジュラー性を考えないといけない。
予想（Conjecture）であってまだ定理かどうか分からなかったということです。 １９５０年代の数学者は、定理には、驚愕性が必要だが、このコンジェクチャーにはそれが備わっていないということで
それはいいとしても、高等学校程度で習う定理だと、 sinの加法定理とかがありますが、 sin(α＋β）は書き下せるというものである。 sinとcosには、 sinθ^2＋cosθ^2＝１
という有名な関係がある。
数えることを学ぶときに無限に遭遇し、永遠に数え続けることができることに気づきます。
それほど独創的な観察ではないですが、いつでも1を足してさらに大きな数を得ることができるため、数えることに終わりがないことが、無限の重要な性質です。
無限にはさまざまな種類があるため、それほど単純ではありません。 1、2、3 などの自然数の量は「可算無限」と呼ばれる最も単純な種類の無限にすぎません。
正式には、自然数から他の集合への1対1の写像(注: 勝間さんではありません)がある場合、この集合は自然数と同様に無限であることを意味し、同じ種類の無限です。
実数の場合、その写像が存在しないので、より大きな無限となります。
さて、無限に演算を定義するとどうなるでしょうか。無限大に1を加えても無限大になります。自然数のある数を無限大で割るとゼロになります。
つまり無限大に1を加算すると、結果は同じ種類の無限大になることを意味します。
これらの関係を方程式として記述する場合には問題が起こってしまうことがよく知られます。
無限大を無限大で割ったり、無限大にゼロを乗算したりする場合はさらに意味不明になります。
実際には数学者は無限に対処する方法をよく知っています。ただ注意しなければならないのは、その無限がどこから来たのかを追跡することです。
たとえばxが無限大になると無限大になるx squareのような関数があるとします。
無限大がどこから来るのかがわかっていれば、もう一方から1を引くこともできます。
たとえば、1/イプシロン、1/イプシロン二乗、イプシロンの対数などの用語がある場合があります。
しかし2つの項が同じ無限大であり、イプシロンの同じ関数であることがわかっている場合は、数値と同様に加算または減算できます。
物理学では通常、これを行う目的は計算の最後にそれらがすべて互いに打ち消し合い、すべてが理にかなっていることを示すことです。
したがって数学的には無限は興味深いですが問題はありません。数学に関して言えば、無限をうまく処理する方法を知っています。
数学的な意味で存在します。つまりその特性を分析してそれについて話すことができるという意味です。
科学的には、観察を説明する必要がある場合にのみ、自然理論の要素が「存在する」と言えるからです。
そして無限を測定することができないので、観察するものを記述するために実際には無限を必要としません。
無限大は測定できないという問題は、ゼロの問題と密接に関係しています。
たとえば、点の数学的抽象化を考えてみましょう。物理学者は点粒子を扱うときに常にこれを使用します。点のサイズはゼロです。
しかし、実際にサイズがゼロであることを示すには、無限に正確に測定する必要があります。
したがって、測定精度が許容するものよりも小さいことしか示せません。
宇宙や時空のような一見無害なものであっても。空間の数学を書き留めた瞬間、そこにはギャップがないと想定します。
無限に多くの無限の小さな点で構成された完全に滑らかな連続体であると仮定します。
数学的にはこれは扱いやすいため便利な仮定です。そしてそれはうまく機能しているようです。
それがほとんどの物理学者があまり心配していない理由です。彼らは無限を有用な数学的ツールとして使用しているだけです。
おそらく物理学で無限とゼロを使用すると間違いが生じるのは、これらの仮定が科学的に正当化されていないためです。
そしてこれは、宇宙や量子力学の理解に役割を果たす可能性があります。
ジョージ エリス、ティム パーマー、ニコラス ギシンなどの一部の物理学者が、無限を使用せずに物理学を定式化する必要があると主張したのはこのためです。
数学的結論が美しい状態であるとすれば、しかし、ものであるかどうかは数学者が言っていないので分からない。例えば、素数の中にはどんな等差数列でもあるというのは、ものなのか
状態なのか、まだ分かっていない。
仮に状態であるとして世の中の誰もがその届かない状態を目指しているとしても、何をしてほしいのか、一向に分からない。 みんながみんな、何らかの装置や体系を認識し、
そこにいるわけではない。Youtubeをみていたら、頭が腐った状態になって、タテマエが分からない状態になっているかも知れない。しかし、 世の中の残酷なもぐらは、その目の前の相手が
腐った状態になっているのを見ていたり知っていたりしているのを前提で、寝ている間に何かをしようとしているのではないかと思う。そうするとその腐っている方からしたらたまらない。
なおかつ腐っている方は対処や対応のしようがない。それはともかく・・・ 世の中の残酷なもぐらと言っても、誰がそれであるのかにわかに認識し難い・・・
いわなくても分かるだろ、社会にはそうやっていう者がいる。確かに犯罪性は高い。かといって、私が覚醒して移動している間に誰かから切り付けられた体験がない。国道は自動車が走っていると
認識し、ホテルに入ればそこには誰もいない。切り付けられた経験がないから危機感など持ちようがない。
確かに、はるか昔に、かつて、頭がそういう状態になっていたことはあるが、その後に頭を書き換えられたので、その当時の事は頭にない。今は普通に安心してネット動画をみられるような
量子力学における観測者問題についてはよく知られるように、人間の主観性が量子実験の結果に重要な役割を果たしている。
ドイツの物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルクによる有名な引用がある。
「私たちが観察するのは現実そのものではなく、私たちの質問の方法にさらされた現実です。」
例えば有名なダブルスリット実験では、スリットの後ろに検出器を置かなければ電子は波として現れるが、検出器を置くと粒子として表示される。
したがって実験プロトコルの選択は、観察する行動パターンに影響する。これにより、一人称視点が物理学の不可欠な部分になる。
さて、数学にも一人称視点の余地はあるか。一見すると、答えは「いいえ」のように見える。
ヒルベルトが言ったように、数学は「信頼性と真実の模範」のようである。
それはすべての科学の中で最も客観的であり、数学者は数学的真理の確実性と時代を超越した性質に誇りを持っている。
ピタゴラスが生きていなかったら、他の誰かが同じ定理を発見しただろう。
さらに定理は、発見時と同じように、今日の誰にとっても同じことを意味し、文化、育成、宗教、性別、肌の色に関係なく、今から2,500年後にすべての人に同じ意味があると言える。
さて、ピタゴラスの定理は、平面上のユークリッド幾何学の枠組みに保持される直角三角形に関する数学的声明である。しかし、ピタゴラスの定理は、非ユークリッド幾何学の枠組みでは真実ではない。
何が起こっているのか?
この質問に答えるには、数学的定理を証明することの意味をより詳しく調べる必要がある。
定理は真空中には存在しない。数学者が正式なシステムと呼ぶものに存在する。正式なシステムには、独自の正式な言語が付属している。
つまり、アルファベットと単語、文法は、意味があると考えられる文章を構築することを可能にする。
その言語には、「点」や「線」などの単語と、「点pは線Lに属する」などの文章が含まれる。
次に正式なシステムのすべての文のうち、有効または真実であると規定した文を区別する。これらは定理である。
それらは2つのステップで構築されれる。まず、最初の定理、証明なしで有効であると宣言する定理を選択する必要がある。これらは公理と呼ばれる。
公理からの演繹は、すべての数学がコンピュータで実行可能な印象を生む。しかし、その印象は間違っている。
公理が選択されると、正式なシステムで定理を構成するものに曖昧さがないのは事実である。
これは実際にコンピュータでプログラムできる客観的な部分である。
例えば平面のユークリッド幾何学と球の非ユークリッド幾何学は、5つの公理のうちの1つだけで異なる。他の4つは同じである。
しかしこの1つの公理(有名な「ユークリッドの5番目の仮定」)はすべてを変える。
ユークリッド幾何学の定理は、非ユークリッド幾何学の定理ではなく、その逆も同様。
ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の場合、答えは明確である。これは、単に説明したいものに対応している。
数学は広大であり、どのように公理を選択するかという問題は、数学の基礎に深く行くと、はるかに感動的になる。
すべての数学的オブジェクトは、いくつかの追加構造を備えたセットと呼ばれるものであるということだ。
たとえば自然数のセット1,2,3,4,...は加算と乗算の演算を備えている。
集合論は特定の正式なシステムによって記述される。Ernst ZermeloとAbraham Fraenkelと、選択の公理と呼ばれる公理の1つに敬意を表して、ZFCと呼ばれる。
今日の数学者は、すべての数学を支える集合論の正式なシステムとしてZFCを受け入れている。
彼らは、無限の公理と呼ばれるZFCの公理の1つを含めることを拒否する。
言い換えれば、有限主義者の正式なシステムは、無限の公理のないZFCである。
無限大の公理は、自然数の集合1,2,3,4,...が存在すると述べている。すべての自然数に対してより大きな数があるという声明(「ポテンシャル無限大」と呼ばれる)よりもはるかに強い声明である。
有限主義者は、自然数のリストは決して終わらないことに同意するが、いつでも自然数の集合の有限の部分集合のみを考慮することに限定する。
彼らは一度にまとめたすべての自然数の合計が実在することを受け入れることを拒否する。
この公理を取り除くと、有限主義者が証明できる定理はかなり少なくなる。
正式なシステムを判断し、どちらを選択するかを決定することができるいくつかの客観的な基準...なんてものはない。
「時間と空間を超越した何かを象徴しているので無限大が大好きだ」と言えば無限大の公理を受け入れることができる。
ゲーデルの第二不完全性定理は、十分に洗練された正式なシステム(ZFC等)は、自身の一貫性を証明することができないと述べている。
数学者は、今日のすべての数学の基礎であるZFCが確固たる基盤にあるかどうかを実際に知らない。
そしておそらく、決して知ることはない。
なぜなら、ゲーデルの第二の不完全性定理によって、より多くの公理を追加することによってZFCから得られた「より大きな」正式なシステムにおけるZFCの一貫性を証明することしかできなかったから。
一貫性を証明する唯一の方法は、さらに大きな正式なシステムを作成することだけだ。
数学を行うためにどの公理を選択すべきかについて、実際には客観的な基準がないことを示唆している。
要するに、数学者が主観的に選んでいるというわけである。自由意志に任せて。
公理のための主観的な基準というのは、より豊かで、より多様で、より実りある数学に導くものを選ぶという人は多い。
これは自然主義と呼ぶ哲学者ペネロペ・マディが提唱する立場に近い。
特定の公理のセットを選択する行為は、量子物理学の特定の実験を設定する行為に似ている。
それには固有の選択肢があり、観察者を絵に導く。
記号操作が一意に定まらないとするなら、それは推論規則や公理系が成立しないことを意味する
数学者も最も基本的な体系が証明できないことは認識しているわけで、「特定の規則や公理を真と仮定とした場合において」他の命題を導こうとするのが数学の考え方
定義と表現が別ではないというなら、そもそも数学者が定義を考える最中の頭の中の、定義にあたる思考内容は、やっぱり記号列を想起してるときの記号列そのものってことか？
ならたとえば「→」ならばという記号や、もっと直接的にはゲーデル文の一覧表みたいなので記号列を頭のなかで想起して記号列の書き換えについて定義するのだろうし、他人が書いた→が使われた記号列や一覧表を規則としてみれば、それに従った書き換えもまたできるわけだけど。
だとしたら「書き換える」みたいな操作はどうやって身に着けた？全く言語的でそれ以外には一切よってないのか？
そうではなく、書き換えるという動作がなんであるかを身体感覚として知っているから
じゃあ、数学者の、厳密を形容詞的なものじゃなくそうであるかないかだけの性質的なものとして思ってた、その認識はやっぱり誤りなのかもしれんね。実装できてもなお間があるのだから。
じゃあ、定義が先にあって、「定義」を書いた記号列はその表現に過ぎない別物なのであり、表現が一意でないとしても定義が一意じゃないわけではないという考え方があるけど
「定義」と「表現」が別物なら、人間は言語で思考するという前提に立つとき、定義者が定義を構築するまさに一部始終において「表現」すなわち定義そのものだと思うんだけど。
逆にここでも表現と定義が別物だというなら、その定義者の頭の中の「表現」と切り分け可能に紐づけられた「定義」にあたる思考内容部分は一体どんなものなの？数学者が忌み嫌う、感覚依存の何かじゃないの？
別の話と分けて考えられると言い切るには無理があるよ思う。
虹に対して認識する色の数が言語によって異なる話じゃないけど、数学者が定義を構築するとき記号列、といっても記号はなんでもいいはずなので、その並び方というべきだが、それを考えること即定義を作り出しているということなら、
そもそも定義を構築するときの,外部への伝達表現としての機能も担わされている記号と、「定義に対する認識」でもあり「定義という概念自体」ともみなせる思考内容?を、分けて考えるところはできるのか？と思ってる。概念的実体とそれへの認識との主格未分?（だいぶ言ってみただけ感強いけど）
「～主張する人をどう説得するか」という考えには、自分が自分で定義した推論規則を事実として正しく理解していて、その理解を共有してやるんだ、という前提があるが、果たしてその理解(上記で言うなら「定義に対する認識」)は事実なのか。
ようするに有名な話だけど人間は言葉を抜きに思考(少なくとも数学の範疇に入る高度な思考は)できないということで、言葉と観念(ここでは、定義者が定義を正しく理解してるという前提なので、定義という事実に相当)はわけられない。
これはあると思う。
この自分の中の言葉を他人の言葉に共有できるように翻訳するのがだるくって
世界の大発見みたいな定理の証明（の正解）を一人でできちゃったけど、世の中に言ってないだけ、でそのまま死んでる数学者
けっこういると思ってる
