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はてなキーワード: 量子論とは
今日も相変わらず、隣人と同居人が恋愛の話題で盛り上がっていた。
彼らの会話を聞いていると、まるで原子核物理学の講義を猿に聞かせているようだ。
そう、猿にとって量子力学が理解できないのと同じように、僕には彼らの会話が理解できない。
さて、本題に入ろう。
今日、僕は11次元の超弦理論における位相的場の量子論の新しい展開について考えていた。
特に、M理論とF理論の統合に関する新しいアプローチを思いついたんだ。
これは宇宙の根本的な構造を理解する上で革命的な進展になるかもしれない。
友人のエンジニアが僕の部屋に来て、なぜ僕がこんなにも興奮しているのか尋ねてきた。
彼に説明しようとしたが、途中で彼の目がグラスになっているのに気づいた。
まあ、仕方ない。天才の思考を平凡な頭脳で理解するのは難しいからね。
今夜はラジエーターの音を聞きながら、この新理論の数式を完成させることに専念しよう。
バシャールはともかく、あらゆるオカルト・スピリチュアルな立場の人が、
物質的に実在しえない、高次のナニカの存在を語っているんだよ。
現代科学ですら、ダークマターやダークエネルギーのような、光学的に検出不可能なのに、
その存在を仮定しないと物理現象を説明できない状態にあるわけ。
宇宙は重力で空間が歪むのだから、空間そのものは3次元より大きな次元の中に存在しているのは間違いない。
人の意識の存在は量子論的な存在ではないか？という考え方も出てきている。
ブクマカの常識では、意識は脳内の純粋な化学反応であり、脳が機能停止すれば意識は消失する。
そもそも宇宙が3次元より高い次元である場合、その高い次元の側にだけ存在する意識があっても
ありえないとは言い切れないでしょう。
バシャールのことはよく知らないけど、ただの集金装置だったり、、自滅につながるカルト思想のようなものでなければ、
そういう存在を仮に実在すると仮定して生きることで、人生が充実したり生きやすくなるなら、
存在価値は十分にあると思うよ。
超弦理論の時間依存背景とド・ジッター空間における量子論のモデルについて述べる。
基本的な設定として、(M, g)なる時空を考慮する。ここでMは(d+1)次元多様体、gはその上の計量である。dは超弦理論では9、標準的なド・ジッター空間では3となる。
統一的モデルの作用積分は S = Sstring + SdS + Sint と定義される。Sstringは超弦理論の作用、SdSはド・ジッター空間の作用、Sintは相互作用項を表す。
超弦理論部分はPolyakov作用を基にし、以下のように表される:
Sstring = -1/(4πα') ∫ d²σ √(-h) hᵃᵇ ∂ₐXᵘ ∂ᵇXᵛ Gμν(X) + フェルミオン項
ここでα'は弦の張力、hₐᵇはワールドシート計量、Xᵘは標的空間座標、Gμνは標的空間計量である。
SdS = 1/(16πG) ∫ d^(d+1)x √(-g) (R - 2Λ)
ここでGはニュートン定数、Rはリッチスカラー、Λは正の宇宙定数である。
相互作用項は Sint = ∫ d^(d+1)x √(-g) Lint(Xᵘ, φ) と定義される。φはド・ジッター空間上の場、Lintは相互作用ラグランジアンである。
系の量子化は経路積分形式で Z = ∫ DXDGDΦ exp(iS[X,g,φ]) と表される。
Seff = 1/(16πGeff) ∫ d⁴x √(-g) (R - 2Λeff) + 高次項
ここでGeffとΛeffは量子補正を含む有効的なニュートン定数と宇宙定数である。
AdS/CFT対応の拡張として、Zstring[J] = ZCFT[J] なる関係を仮定する。
ド・ジッター空間の状態方程式 p = wρ, w = -1 を考慮する。pは圧力、ρはエネルギー密度、wは状態方程式パラメータである。
非摂動的効果を含めるため、Z = Zpert + Σn Cn exp(-Sinst,n) なるインスタントン寄与を考慮する。
時空のトポロジー変化を記述するため、コボルディズム理論を用い、∂M = Σ1 ∪ (-Σ2) なる関係を考える。
量子ゆらぎを考慮するため、gμν = g⁽⁰⁾μν + hμν なる計量の揺らぎを導入する。
ジョン・ホイーラーの "it from bit" 仮説の数学的定式化を行う。
まず、圏論的基礎として量子情報圏 Q を定義する。Q の対象は完備von Neumann代数であり、射は完全正写像である。次に、古典情報圏 C を定義する。C の対象は可測空間であり、射は確率核である。
量子-古典対応を表現するために、量子-古典関手 F: Q → C を導入する。この関手は量子系の観測過程を表現する。
情報理論的構造を捉えるために、エントロピー関手 S: Q → Vec を定義する。ここで Vec は実ベクトル空間の圏である。S(A) = (S_von(A), S_linear(A), S_max(A)) と定義し、S_von はvon Neumannエントロピー、S_linear は線形エントロピー、S_max は最大エントロピーを表す。
トポス理論的解釈として、量子論理トポス T を構築する。T の対象は量子命題の束であり、部分対象分類子 Ω は量子確率値を取る。
"It from Bit" の数学的定式化として、以下の定理を提示する：
定理 1 (It from Bit): 任意の量子系 A ∈ Ob(Q) に対して、以下が成り立つ：
∃ {Bi}i∈I ⊂ Ob(C), ∃ {φi: F(A) → Bi}i∈I :
A ≅ lim←(Bi, φi)
ここで、≅ は Q における同型を、lim← は逆極限を表す。
証明は以下の手順で行う：
2. 各 p ∈ P(A) に対して、射影測定 Mp: A → C({0,1}) を定義する。
3. {Mp}p∈P(A) から誘導される射 φ: A → ∏p∈P(A) C({0,1}) を構築する。
4. 普遍性により、A ≅ lim←(C({0,1}), πp∘φ) が成り立つ。
系 1 として、S(A) = lim→ S(F(Bi)) が成り立つ。
この定理と系は、任意の量子系が古典的な二値観測の無限の組み合わせとして再構成可能であり、そのエントロピーが古典的観測のエントロピーの極限として表現できることを示している。
一般化として、n-圏 Qn を導入し、高次元の量子相関を捉える。予想として、Qn の対象も同様に古典的観測の極限として表現可能であると考えられる。
量子力学において、系の状態はヒルベルト空間 𝓗 上の状態ベクトル |ψ⟩ で表される。従って、現実は次のように定式化できる：
|ψ⟩ ∈ 𝓗
𝑖ħ (∂/∂𝑡) |ψ(t)⟩ = 𝐻 |ψ(t)⟩
ここで、ħ はディラック定数、𝐻 は系のハミルトニアン演算子。
量子系の観測により波動関数の収縮が生じ、それによってエントロピーが減少する。この過程は次のように表される：
|ψ⟩ → |ψ'⟩ = (𝑃ₖ |ψ⟩) / √(⟨ψ| 𝑃ₖ |ψ⟩)
観測によって選択される状態は観測者の現在の知識（条件付き確率）に基づく。これを次のように表現：
𝑃(|ψ'⟩ | 観測者の知識) = | ⟨ψ'| 𝑃ₖ |ψ⟩ |²
多世界解釈では、観測により状態が分岐し、観測者の意識もそれに応じて分岐する。これは次のように記述することができる：
|ψ⟩ = Σₖ 𝑐ₖ |ϕₖ⟩ → {
観測者1: |ϕ₁⟩
観測者2: |ϕ₂⟩
⋮
}
上記をまとめると、現実、時間発展、観測、知識依存、意識の分岐の一連の過程は、量子力学の枠組みで以下の通り定式化できる：
1. |ψ(t)⟩ ∈ 𝓗
2. 𝑖ħ (∂/∂𝑡) |ψ(t)⟩ = 𝐻 |ψ(t)⟩
3. |ψ⟩ → |ψ'⟩ = (𝑃ₖ |ψ⟩) / √(⟨ψ| 𝑃ₖ |ψ⟩), ここで, 𝑆(ρ') < 𝑆(ρ)
4. 𝑃(|ψ'⟩ | 知識) = | ⟨ψ'| 𝑃ₖ |ψ⟩ |²
5. |ψ⟩ = Σₖ 𝑐ₖ |ϕₖ⟩ → {
観測者1: |ϕ₁⟩
観測者2: |ϕ₂⟩
⋮
}
お前みたいなアホは坂本 眞人の本で勉強せえや。量子論で分からんとこあるならDavid J. GriffithsのIntroduction to Quantum Mechanicsでも読んどけやボケが
何ていうかイメージの話なんよ。素粒子と言う『分野』を研究するための『道具』が場の量子論であるというイメージが(少なくとも俺には)あるんよ。例えば『物理数学』というと道具っぽいイメージしませんか？相対論とかもそうですが、物理の場合は分野横断的な話が多いので分野は便宜的に分けてる訳です。分野というか領域といったほうが適切だと思いますが
横だが、「場の量子論という分野」という語で調べたら普通に用例はあるぞ
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/transp/abstract.pdf
https://sci.kyoto-u.ac.jp/ja/academics/programs/macs/colloquium/20180427
量子状態と観測過程を圏論的に記述するため、以下の圏を導入する：
エントロピーを抽象化するため、モノイド (M, ·, e) を導入する。ここで、M は可能なエントロピー値の集合、· は結合則を満たす二項演算、e は単位元である。
知識状態の変化を記述するため、位相空間 X 上の層 ℱ を導入する。ここで、X は可能な知識状態の空間を表す。
観測による状態変化をホモトピー同値の観点から捉えるため、位相空間の圏 𝕋op における弱同値を考える。
量子確率過程を記述するため、𝕧𝕟𝔸 上のマルコフ圏 𝕄arkov(𝕧𝕟𝔸) を導入する。
観測過程の連続性を記述するため、超関数空間 𝔇'(X) を考える。
以下の普遍性を満たす圏 ℂ と関手 U: ℂ → 𝕄eas が存在する：
1. ℂ は完備かつ余完備である。
3. 任意の対象 A, B ∈ ℂ に対し、自然な同型 Homℂ(A, B) ≅ Hom𝕄eas(U(A), U(B)) が存在する。
さらに、以下の性質を満たす ℂ の対象 Q （量子状態を表す）と射 f: Q → Q （観測を表す）が存在する：
4. H(G(F(Q))) ≅ U(Q) （量子状態と測度空間の対応）
6. f によって誘導される U(Q) 上の写像は測度を保存する。
1. エントロピーの減少：
∃m₁, m₂ ∈ M such that m₁ · m₂ = e and m₁ ≠ e
2. 知識獲得：
∃s ∈ Γ(X, ℱ) such that s|U ≠ s|V for some open sets U, V ⊂ X
∃h: I → I' in 𝕋op such that h is a weak equivalence and I ≇ I'
ここで、I と I' はそれぞれ観測前と観測後の可能な世界の空間を表す。
この定式化により、量子観測、エントロピーの減少、知識の獲得、そして特定の世界への「移動」を、最も一般的かつ抽象的な数学的枠組みで表現することができる。
つまり、（モデル理論における）「数学的構造」の形式的定義と同型性の形式的定義があり、そして実際、これは新しい主張でもなければ、洞察でもないのだが、この意味での数学的構造のすべてのタイプは、形式論理学の意味での理論である。
物理学のいかなる形式化された理論も、この意味での理論である（あるいはそうなるであろう）。これは数理論理学の基本中の基本である。
ここで主張されているように、数理論理学の意味でのすべての理論を物理学の理論と呼ぶべきかどうかは別の問題である。
より興味深いのは、形式論理学の理論が物理学の理論として適格であるかどうかの特徴付けであろう。この種の問題に生涯を通じて取り組んできた一人に、ウィリアム・ローヴィア（William Lawvere）がいる。
http://ncatlab.org/nlab/show/William+Lawvere#MotivationFromFoundationsOfPhysics
Lawvereは、例えば、連続体力学で遭遇するような運動方程式の定式化を認めるある種の無限理論の運動法則のトポスhttp://ncatlab.org/nlab/show/Toposes+of+laws+of+motionについて述べている。これは少し改良して、局所的な場の量子論 http://ncatlab.org/nlab/show/Higher+toposes+of+laws+of+motion も捉えることができる。
いずれにせよ、これらは形式理論、つまり「数学的構造」の一種であり、現代物理学の大部分を形式化することができる。ここでの同型性の概念は明確であり、議論の余地はない。問題は、物理学のどの部分が形式化されるかである。
