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はてなキーワード: 多項式とは
特に、チャーン・サイモンズ理論、M理論、AdS/CFT対応、そしてDブレーンの役割について、深く掘り下げていこう。
チャーン・サイモンズ理論は、3次元の位相場理論であり、その作用は次のように定義される：
S = (k / 4π) ∫M Tr(A ∧ dA + (2 / 3) A ∧ A ∧ A)
ここで、A は接続1-形式であり、k は整数である。この作用は、リー代数に基づいており、特にSU(N)やSO(N)といった群に対して定義されることが多い。チャーン・サイモンズ理論は、結び目理論やトポロジー的量子場理論との関連性から非常に重要である。
ウィッテンによって提唱されたこの理論は、結び目不変量を計算するための強力なツールとなった。具体的には、ウィルソンループの期待値が結び目不変量—ジョーンズ多項式—に対応することが示されている。この結果は、結び目の同値性を判定するための新しいアプローチを提供し、物理学と数学の交差点における重要な発展をもたらした。
チャーン・サイモンズ理論は、その位相的性質から、物質の性質や相互作用に関する新しい視点を提供する。特に、この理論では真空状態がトポロジー的な性質によって決定されるため、通常の場の理論とは異なる振る舞いを示す。このような特性は、物質の相転移や量子ホール効果など、多くの物理現象に関連している。
M理論は、超弦理論を統合する11次元の枠組みであり、その基本構成要素としてDブレーンが存在する。この理論は、低エネルギー極限において超重力理論に帰着し、重力と量子力学を統一する試みとして重要である。
Dブレーンは弦が終端する場所として機能し、その上で粒子が生成される。例えば、D3ブレーン上では様々なフェルミオンやボソンが存在し、その振る舞いが我々が観測する物質の性質を決定づける。Dブレーン間の相互作用は宇宙の膨張や構造形成にも影響を与える可能性があり、この点からも非常に興味深い。
M理論には多くの双対性が存在し、特にS双対性やT双対性が重要である。これらは異なる弦理論間の関係を示し、高エネルギー物理学における新たな洞察を提供する。例えば、T双対性は弦のサイズとカップリング定数との間に関係を持ち、この双対性によって強結合と弱結合の状態が関連付けられる。
AdS/CFT対応は、反ド・シッター空間（AdS）内の重力理論が、その境界上で定義された共形場理論（CFT）と等価であることを示すものである。この対応は量子重力と量子場理論との間に新しい視点を提供し、多くの物理現象への理解を促進する。
具体的には、3次元AdS空間における重力理論とその境界上で定義された2次元CFTとの間には深い関係がある。この対応によって、高エネルギー物理学や宇宙論における多くの問題—例えばブラックホール熱力学や情報パラドックス—が新たな光を当てられている。
AdS/CFT対応はブラックホール熱力学にも適用される。特に、ブラックホールのエントロピーとCFTの自由度との関係が示されており、この結果は情報保持問題への理解を深める手助けとなっている。具体的には、ブラックホール内部で情報がどのように保存されているかという問いが、新たな視点から考察されている。
これら全ての理論は単なる物理的枠組みではなく、高度な数学的美しさを持つ。特にモジュラー形式やホロノミック関係など、高度な数学的手法が駆使されており、それによって宇宙の根本的な法則が明らかになる。このような抽象的な概念は、人間存在そのものについて深く考えさせる。
我々は本当にこの宇宙を理解できるのか？もし11次元やそれ以上の次元が存在するなら、それらをどのように認識できるか？これらの問いは、人間存在そのものに対する根源的な疑問を投げかける。科学と哲学との交差点で考えることこそ、本当の知識への道ではないだろうか？
結局のところ、チャーン・サイモンズ理論、M理論、AdS/CFT対応、およびDブレーンは単なる科学的仮説ではなく、人間知識と存在について深く考えさせるテーマである。君たちの日常生活に埋もれている感情や人間関係などよりも遥かに興味深いこの話題について、一緒に議論できればと思う。この宇宙にはまだ解明されていない謎が無限に広がっている。それを探求することこそ、本当の知識への道ではないだろうか？
M理論と行列模型の数理は、拡張された超対称チャーン-サイモンズ理論に根ざしている。
Let M be a (2+1)-dimensional manifold. The action of the supersymmetric Chern-Simons theory is given by:
S = ∫_M Tr(A ∧ dA + (2/3)A ∧ A ∧ A) + ∫_M Ψ̄ ∧ DΨ
ここで、A はゲージ場、Ψ はMajorana spinor field、D は共変微分を表す。
M理論の行列模型として知られるBFSS模型のハミルトニアンは以下で与えられる：
H = Tr[1/2 Π_i^2 + 1/4 [X_i, X_j]^2 + 1/2 θ^T γ_i [X_i, θ]]
ここで、X_i (i = 1, ..., 9) は N×N エルミート行列、Π_i はその共役運動量、θ は16成分のMajorana-Weyl spinor である。
11次元のM理論から BFSS 模型への次元還元は、以下の対応を通じて実現される：
∂/∂t → [iH, ·], X^i → A^i, θ → Ψ
この対応により、M理論の動力学が行列模型の言葉で記述される。
N → ∞ の極限で、離散的な行列構造が連続的な膜の描像に移行する。この極限で、行列交換子は Poisson bracket に対応する：
lim(N→∞) [·,·] → {·,·}_PB
チャーン-サイモンズ理論の重要な特徴は、そのトポロジカル不変性にある。Wilson loop の期待値は、結び目不変量（例：Jones 多項式）と関連付けられる：
⟨W(C)⟩ = exp(ikCS(A)) = J(q), q = exp(2πi/(k+2))
ここで、CS(A) はチャーン-サイモンズ汎関数、J(q) は Jones 多項式を表す。
M理論における BPS 状態は、行列模型中の特定の配位に対応する。これらは超対称性を部分的に保存し、以下の方程式を満たす：
[X_i, X_j] = iε_ijk X_k
この関係は、Lie 代数 su(2) の交換関係と同型であり、ファジー球面の構造を示唆する。
M理論の行列模型は、AdS/CFT 対応の文脈でも重要な役割を果たす。特に、AdS_4 × S^7 背景での M2-ブレーンの理論は、3次元の超対称チャーン-サイモンズ理論（ABJM 理論）と双対である：
S_ABJM = S_CS(A) - S_CS(Â) + S_matter
複素数体上の楕円曲線 E と、そのミラー対称である双対楕円曲線 Eᐟ を考える。このとき、E のフクヤ圏 𝓕(E) は、Eᐟ の連接層の有界導来圏 𝔇ᵇ(𝐶𝑜ℎ(Eᐟ)) と三角圏として同値である。
𝓕(E) ≃ 𝔇ᵇ(𝐶𝑜ℎ(Eᐟ))
証明：
1. 交点の特定： L₀ と L₁ が E 上で交わる点の集合を 𝑃 = L₀ ∩ L₁ とする。
2. 生成元の設定： フロアーコホモロジー群の生成元は、各交点 𝑝 ∈ 𝑃 に対応する形式的なシンプレクティック・チェーンである。
3. 次数の計算： 各交点 𝑝 の次数 𝑑𝑒𝑔(𝑝) は、マスロフ指標やラグランジアンの相対的な位置関係から決定される。
4. 微分の定義： フロアー微分 𝑑 は、擬正則ストリップの数え上げによって定義されるが、楕円曲線上では擬正則ディスクが存在しないため、微分は消える（𝑑 = 0）。
5. コホモロジー群の計算： よって、𝐻𝐹ⁱ((L₀, ∇₀), (L₁, ∇₁)) は生成元の自由加群となる。
𝐻𝑜𝑚ⁱ(𝓔, 𝓕) = 𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓔, 𝓕)
Φ(L, ∇) = 𝑝₂*(𝑝₁*(𝓛ₗ) ⊗ 𝓟)
ここで、𝑝₁: E × Eᐟ → E、𝑝₂: E × Eᐟ → Eᐟ は射影であり、𝓛ₗ は L に対応するラインバンドルである。
- L₀ と L₁ の交点 𝑝 ∈ 𝑃 に対し、そのフロアーコホモロジー群は生成元 [𝑝] で張られる。
- 次数 𝑑𝑒𝑔([𝑝]) は、ラグランジアンの相対的な位相データとモノドロミーから決定される。
2. Ext 群の計算：
- Φ(L₀, ∇₀) = 𝓛₀、Φ(L₁, ∇₁) = 𝓛₁ とすると、Ext 群は
𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓛₀, 𝓛₁) ≅
{ ℂ, 𝑖 = 0, 1
0, 𝑖 ≠ 0, 1 }
3. 対応の確立： フロアーコホモロジー群 𝐻𝐹ⁱ((L₀, ∇₀), (L₁, ∇₁)) と Ext 群 𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓛₀, 𝓛₁) は次数ごとに一致する。
超弦理論では、時空は10次元の滑らかな微分多様体 M^{10} としてモデル化されます。各点の近傍 U ⊆ M^{10} に局所座標 x^{μ}: U → ℝ^{10} を導入します（μ = 0,1,…,9）。
弦の運動は、パラメータ σ^{α}（α = 0,1）で記述される2次元の世界面（ワールドシート） Σ 上の埋め込み写像 X^{μ}(σ^{α}) を用いて表されます。
S = -T/2 ∫_{Σ} d²σ √(-h) h^{αβ} ∂_{α} X^{μ} ∂_{β} X^{ν} g_{μν}(X),
ここで：
- T は弦の張力（T = 1/(2πα')）、
- h_{αβ} は世界面の計量、
- g_{μν}(X) は時空の計量テンソル、
M理論では、時空は11次元の微分多様体 M^{11} となり、M2ブレーンやM5ブレーンのダイナミクスが中心となります。M2ブレーンの世界体積は3次元で、埋め込み写像 X^{μ}(σ^{a})（a = 0,1,2）で記述されます。作用は次のように与えられます：
S = -T_{2} ∫ d³σ √(-det(G_{ab})) + T_{2} ∫ C_{μνρ} ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} ∂_{c} X^{ρ} ε^{abc},
ここで：
- G_{ab} = ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} g_{μν} は誘導計量、
カラビ–ヤウ多様体は、超弦理論のコンパクト化において重要な役割を果たす複素代数多様体であり、スキームの言葉で記述されます。
例えば、3次元カラビ–ヤウ多様体は、射影空間 ℙ^{4} 内で次の斉次多項式方程式の零点として定義されます：
f(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) = 0,
ここで [z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3} : z_{4}] は射影座標です。
各点 x は、局所環 ℴ_{X,x} の極大イデアル ℳ_{x} に対応します。これにより、特異点やその解消、モジュライ空間の構造を厳密に解析できます。
弦理論では、世界面 Σ から時空多様体 M への写像の空間 Map(Σ, M) を考えます。この空間の元 X: Σ → M は、物理的には弦の配置を表します。
特に、開弦の場合、端点はDブレーン上に固定されます。これは、境界条件として写像 X がDブレーンのワールドボリューム W への射 ∂Σ → W を満たすことを意味します。
この設定では、開弦のモジュライ空間は、境界条件を考慮した写像の空間 Hom(Σ, M; ∂Σ → W) となります。
弦理論の物理量は、しばしば背景多様体のコホモロジー群の要素として表現されます。
- ラマンド–ラマンド（RR）場は、時空のコホモロジー群の要素 F^{(n)} ∈ H^{n}(M, ℝ) として扱われます。
- Dブレーンのチャージは、K理論の元として分類されます。具体的には、Dブレーンの分類は時空多様体 M のK群 K(M) の元として与えられます。
- グロモフ–ウィッテン不変量は、弦のワールドシート上のホモロジー類 [Σ] ∈ H_{2}(M, ℤ) に対応し、弦の瞬間子効果を計算するために使用されます。
例えば、グロモフ–ウィッテン不変量は、モジュライ空間 ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) 上のコホモロジー類の積分として計算されます：
⟨∏_{i=1}^{n} γ_{i}⟩_{g,β} = ∫_{[ℤ̄{M}_{g,n}(M, β)]^{vir}} ∏_{i=1}^{n} ev_{i}^{*}(γ_{i}),
ここで：
- g はワールドシートの種数、
- β ∈ H_{2}(M, ℤ) は曲面のホモロジー類、
- γ_{i} ∈ H^{*}(M, ℝ) は挿入するコホモロジー類、
- ev_{i} は評価写像 ev_{i}: ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) → M。
弦理論の摂動論的計算では、世界面をパンツ分解などの方法で細分化し、それらの組み合わせを考慮します。
- パンツ分解: リーマン面を基本的なペアオブパンツ（3つの境界を持つ曲面）に分割し、それらを組み合わせて高次の曲面を構築します。
- 世界面のトポロジーを組合せ論的に扱い、弦の散乱振幅を計算します。
弦の散乱振幅は、各トポロジーに対して次のようなパス積分として与えられます：
A = ∑_{g=0}^{∞} g_{s}^{2g-2} ∫_{ℳ_{g}} D[h] ∫ D[X] e^{-S[X,h]},
ここで：
- g_{s} は弦の結合定数、
- D[h] は計量に関する積分（ファデエフ–ポポフ法で適切に定義）、
- S[X,h] はポリャコフ作用。
- 共形対称性: ワールドシート上の共形変換は、ビラソロ代数
[L_{m}, L_{n}] = (m - n) L_{m+n} + c/12 m (m^{2} - 1) δ_{m+n,0}
{G_{r}, G_{s}} = 2 L_{r+s} + c/3 (r^{2} - 1/4) δ_{r+s,0},
[L_{n}, G_{r}] = (n/2 - r) G_{n+r}
を満たします。
- T-双対性: 円状にコンパクト化された次元において、半径 R と α'/R の理論が等価である。このとき、運動量 p と巻き数 w が交換されます：
p = n/R, w = m R → p' = m/R', w' = n R',
ここで R' = α'/R。
- S-双対性: 強結合と弱結合の理論が等価であるという双対性。弦の結合定数 g_{s} が変換されます：
g_{s} → 1/g_{s}。
時空の計量 g_{μν} は、弦の運動を決定する基本的な要素です。背景時空がリッチ平坦（例えばカラビ–ヤウ多様体）の場合、以下を満たします：
R_{μν} = 0。
β関数の消失条件から、背景場は次のような場の方程式を満たす必要があります（一次順序）：
- 重力場：
R_{μν} - 1/4 H_{μλρ} H_{ν}^{\ λρ} + 2 ∇_{μ} ∇_{ν} Φ = 0、
- B-フィールド：
∇^{λ} H_{λμν} - 2 (∂^{λ} Φ) H_{λμν} = 0、
- ディラトン場：
4 (∇Φ)^{2} - 4 ∇^{2} Φ + R - 1/12 H_{μνρ} H^{μνρ} = 0。
M理論では、三形式場 C_{μνρ} とその場の強度 F_{μνρσ} = ∂_{[μ} C_{νρσ]} が存在し、11次元超重力の場の方程式を満たします：
- 場の強度の方程式：
d * F = 1/2 F ∧ F、
- アインシュタイン方程式：
R_{μν} = 1/12 (F_{μλρσ} F_{ν}^{\ λρσ} - 1/12 g_{μν} F_{λρσδ} F^{λρσδ})。
抽象数学を用いて、宇宙人レベルで難しい暗号の問題を作成します。
有限体 F₁₀₁（素数 q = 101）上の多項式環を考えます。具体的には、R = F₁₀₁[x]/(x² + 1) とします。ここで、x² + 1 は F₁₀₁ 上で既約なので、R は 101² 個の元を持つ有限体になります。
公開された要素 a ∈ R が与えられています。
エラー項 e ∈ R は小さな係数を持つ多項式で、ここでは計算を簡単にするため e = 0 とします。
次の式が成り立ちます：
b = a · s + e mod 101
公開情報として a と b が与えられているとき、秘密の要素 s を求めなさい。
b = a · s mod 101
となります。したがって、
s = b · a⁻¹ mod 101
ステップ1: a の逆元 a⁻¹ を求める
まず、a = x + 2 の逆元 a⁻¹ を計算します。これは次の等式を満たす u ∈ R を見つけることと同じです：
a · u ≡ 1 mod x² + 1
u を一般的な形 u = u₀ + u₁x（u₀, u₁ ∈ F₁₀₁）とします。
乗算を展開します：
a · u = (x + 2)(u₀ + u₁x)
= xu₀ + x²u₁ + 2u₀ + 2u₁x
x² を置き換えます： x² ≡ -1 mod x² + 1 なので、
x²u₁ ≡ -u₁
式を整理します：
a · u ≡ xu₀ - u₁ + 2u₀ + 2u₁x mod x² + 1
≡ (2u₁x + xu₀) + (2u₀ - u₁)
≡ x(u₀ + 2u₁) + (2u₀ - u₁)
等式を設定します：
u₀ + 2u₁ ≡ 0 mod 101 （x の係数が 0 であるため）
2u₀ - u₁ ≡ 1 mod 101 （定数項が 1 であるため）
u₀ ≡ -2u₁ mod 101
2(-2u₁) - u₁ ≡ 1 mod 101
-5u₁ ≡ 1 mod 101
3. 両辺に -1 を掛けます：
5u₁ ≡ -1 mod 101
4. 5 の逆元を F₁₀₁ で求めます。つまり、5 · 81 ≡ 1 mod 101 なので、5⁻¹ ≡ 81 mod 101。
5. したがって、
u₁ ≡ -81 mod 101
u₁ ≡ 20 mod 101 （なぜなら -81 + 101 × 1 = 20）
6. u₀ を求めます：
u₀ ≡ -2u₁ mod 101
u₀ ≡ -40 mod 101
u₀ ≡ 61 mod 101 （なぜなら -40 + 101 = 61）
したがって、a⁻¹ は：
a⁻¹ = u = u₀ + u₁x = 61 + 20x
ステップ2: s = b · a⁻¹ mod 101 を計算する
b = 45 + 67x と a⁻¹ = 61 + 20x なので、
s = b · a⁻¹ = (45 + 67x)(61 + 20x) mod x² + 1, 係数は mod 101
乗算を展開します：
s = (45)(61) + (45)(20x) + (67x)(61) + (67x)(20x)
= 2745 + 900x + 4087x + 1340x²
1340x² ≡ -1340
項をまとめます：
2745 - 1340 = 1405
900x + 4087x = 4987x
1405 ÷ 101 = 13 余り 92
4987 ÷ 101 = 49 余り 38
∴ 4987 mod 101 = 38
したがって、秘密の要素 s は：
s = 92 + 38x
位相的K理論は、超弦理論におけるD-ブレーンの分類に本質的な役割を果たす。具体的には、時空多様体XのスピンC構造に関連付けられたK理論群K(X)およびK^1(X)が重要である。
ここで、X+はXの一点コンパクト化を表し、K(X+)はX+上のベクトル束の同型類のGrothedieck群である。
Type IIB理論では、D-ブレーン電荷はK(X)の要素として分類され、Type IIA理論ではK^1(X)の要素として分類される。これは以下の完全系列に反映される：
... → K^-1(X) → K^0(X) → K^1(X) → K^0(X) → ...
背景にNS-NS H-フラックスが存在する場合、通常のK理論は捻れK理論K_H(X)に一般化される。ここでH ∈ H^3(X, Z)はH-フラックスのコホモロジー類である。
捻れK理論は、PU(H)主束のモジュライ空間として定義される：
K_H(X) ≅ [X, Fred(H)]
ここで、Fred(H)はヒルベルト空間H上のフレドホルム作用素の空間を表す。
D-ブレーンのアノマリー相殺機構は、微分K理論を用いてより精密に記述される。微分K理論群K^0(X)は、以下の完全系列で特徴付けられる：
0 → Ω^{odd}(X)/im(d) → K^0(X) → K^0(X) → 0
ここで、Ω^{odd}(X)はXの奇数次微分形式の空間である。
アノマリー多項式は、微分K理論の言葉で以下のように表現される：
I_8 = ch(ξ) √Â(TX) - ch(f!ξ) √Â(TY)
ここで、ξはD-ブレーン上のゲージ束、fはD-ブレーンの埋め込み写像、ch(ξ)はチャーン指標、Â(TX)はA-hat種を表す。
Kasparovの KK理論は、弦理論の様々な双対性を統一的に記述するフレームワークを提供する。KK(A,B)は、C*-環AとBの間のKasparov双モジュールの同型類のなす群である。
KK(C(X × S^1), C) ≅ KK(C(X), C(S^1))
導来圏D^b(X)は、複体の導来圏として定義され、K理論と密接に関連している：
K(X) ≅ K_0(D^b(X))
ホモロジカルミラー対称性は、Calabi-Yau多様体XとそのミラーYに対して、以下の圏同値を予言する：
1. 古典力学 (Classical Mechanics):
古典力学では、粒子の運動は時間 t の関数 q(t) で表され、ニュートンの運動方程式を満たすのだ：
q̈ = -U'(q)
ここで、U(q) はポテンシャルエネルギーである。運動方程式は、ラグランジアン L(q) = 1/2q̇² - U(q) に基づく変分問題として再定義でき、作用積分 S(q) = ∫ₐᵇ L(q)dt の極値点として運動を記述するのだ。これは、最小作用の原理とも呼ばれるぞ。
2. 古典場の理論 (Classical Field Theory):
古典場理論では、粒子ではなく、連続的な場 φ(x,t) を考えるのだ。この場は部分微分方程式に従い、例えば波動方程式
□φ = 0
で記述されるぞ。ラグランジアン L(φ) は微分多項式であり、作用積分 S(φ) = ∫_D L(φ)dx dt を極小化することによって運動方程式（オイラー-ラグランジュ方程式）が導かれるのだ。
古典力学と異なり、量子力学では粒子は古典的な軌道を持たず、確率的に動くのだ。ブラウン運動をモデルにして、粒子の位置 q(t) は確率密度
P(q) ∝ e^(-S(q)/κ)
に従い、ここで S(q) = ∫ₐᵇ (1/2q̇² - U(q)) dt は作用、κ は拡散係数である。このような確率的動力学の期待値は、経路積分を用いて計算されるぞ。
量子力学ではブラウン運動モデルを基にしつつ、拡散係数 κ を虚数 iℏ に置き換えるのだ（ℏ はプランク定数）。したがって、量子力学の相関関数は次のように表されるぞ：
⟨q_j₁(t₁) ··· q_jₙ(tₙ)⟩ = ∫ q_j₁(t₁) ··· q_jₙ(tₙ) e^(iS(q)/ℏ) Dq
5. 量子場理論 (Quantum Field Theory):
⟨φ_j₁(x₁, t₁) ··· φ_jₙ(xₙ, tₙ)⟩ = ∫ φ_j₁(x₁, t₁) ··· φ_jₙ(xₙ, tₙ) e^(iS(φ)/ℏ) Dφ
ただし、この積分は複素測度に基づくため、数学的に厳密に定義するのが困難であり、理論物理学における重要な課題となっているのだ。
コンピュータ・サイエンスで取り組まれている問題の一覧を紹介しよう。
P対NP問題は、計算複雑性理論における中心的な未解決問題であり、計算可能性と効率性の境界を探るものである。この問題は、計算モデルの深い理解と数学的厳密さを要し、多くの研究者が取り組んでいる。
NP完全問題は、NPクラス内で特に重要な役割を果たす。問題 L がNP完全であるためには、以下の条件を満たす必要がある：
1. L がNPに属する。
2. NPに属する任意の問題 L' が多項式時間で L に帰着可能である。
クック・レヴィンの定理により、最初に証明されたNP完全問題はサティスフィアビリティ問題（SAT）である。この定理は、任意のNP問題がSATに多項式時間で帰着可能であることを示している。
P対NP問題は、P = NPかP ≠ NPかを問うものである。
もしP = NPが証明されれば、NP完全問題を含むすべてのNP問題に対して効率的な（多項式時間の）解法が存在することになる。
逆に、P ≠ NPが証明されれば、NP完全問題には効率的な解法が存在しないことが示される。
この問題の証明は、いくつかの既存の手法では限界があることが知られている：
P対NP問題は、計算複雑性理論における最も深遠な問いの一つであり、その解決は計算理論全体に革命をもたらす可能性がある。
現在のところ、問題の解決には新しい数学的手法や理論的枠組みが必要とされており、研究者たちは引き続きこの難問に挑んでいる。
超弦理論の基本的な空間は、10次元のローレンツ多様体 M として定義されます。
ここで、R^(1,3) は4次元ミンコフスキー時空を、X は6次元のコンパクト多様体を表します。
1. リッチ平坦
2. 複素構造を持つ
3. ケーラー計量を許容する
f(z1, z2, z3) = 0
ここで f は複素多項式です。
超弦理論の空間を、モジュライ空間 M_CY からの射として記述します：
ここで M_CY はカラビ・ヤウ多様体のモジュライ空間です。
特に、ホッジ数 h^p,q = dim H^p,q(X) が重要です。
X を単体的複体として再構築します：
ここで K は単体的複体、|K| はその幾何学的実現です。
ここで g_μν は計量テンソルです。
ここで γ は p と q を結ぶ測地線です。
これらの定義を組み合わせることで、超弦理論の幾何学をより具体的に特徴づけることができます。各アプローチは理論の異なる側面を捉え、全体として超弦理論の豊かな数学的構造を表現しています。
自然界の法則の探索は、一般相対性理論と量子力学の発展の中で行われてきた。
相対性理論はアインシュタインの理論だが、これによれば、重力は時空の曲率から生じることになり、リーマン幾何学の枠組みで与えられる。
相対性理論においては、時空はアインシュタインの方程式に従って力学的に発展することになる。
すなわち初期条件が入力データとして与えられていたときに、時空がどのように発展していくかを決定することが物理学の問題になるわけである。
相対性理論が天体や宇宙全体の振る舞いの理解のために使われるのに対し、量子力学は原子や分子、原子を構成する粒子の理解のために用いられる。
粒子の量子論（非相対論的量子力学）は1925年までに現在の形が整えられ、関数解析や他の分野の発展に影響を与えた。
しかし量子論の深淵は場の量子論にあり、量子力学と特殊相対性理論を組み合わせようとする試みから生まれた。
場の量子論は、重力を除き、物理学の法則について人類が知っているほどんどの事柄を網羅している。
反物質理論に始まり、原子のより精密な記述、素粒子物理学の標準模型、加速器による検証が望まれている予言に至るまで、場の量子論の画期性は疑いの余地がない。
数学の中で研究されている多くの分野について、その自然な設定が場の量子論にあるような問題が研究されている。
その例が、4次元多様体のドナルドソン理論、結び目のジョーンズ多項式やその一般化、複素多様体のミラー対称性、楕円コホモロジー、アフィン・リー環、などが挙げられる。
こういった断片的な研究はあるが、問題間の関係性の理解が困難である。
理想的な量子コンピュータが作れたとしても、既存のコンピュータでできることの全てが速くなるわけではない。
量子加速が効くアルゴリズムは非常に限られていて、加速されるアルゴリズムであっても指数的に加速するものはさらに少なく大半は多項式加速に過ぎない。
多項式程度の加速だとデコヒーレンスやノイズにかき消されて優位性が消滅しがち。
そして量子計算は原理的に出力が確率的（ヒストグラム）にしか得られないので、厳密な計算が必要となる状況では使えない。
（なお「理想的な量子コンピュータ」を作れる見通しは現状全くなく、原始的な量子誤り訂正をどうにかこうにか実装しようと苦労してる段階）
海外のソースを参照して、運動方程式における因果性について調査しました。以下にその結果をまとめます：
以上の情報から、運動方程式における因果性は、その理論や文脈によって異なる解釈が存在することがわかります。したがって、具体的な状況や問いによって、適切な理論や解釈が変わる可能性があります。¹²³
(1) Causality in gravitational theories with second order equations .... https://arxiv.org/abs/2101.11623.
(2) Causality in gravitational theories with second order equations .... https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.103.084027.
(3) [quant-ph/9508009] Nonlocality as an axiom for quantum .... https://arxiv.org/abs/quant-ph/9508009.
(4) www.repository.cam.ac.uk. https://www.repository.cam.ac.uk/bitstream/handle/1810/319156/causality.pdf?sequence=1.
(5) undefined. https://doi.org/10.48550/arXiv.2101.11623.
(6) undefined. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.103.084027.
定数係数回帰数列が無限に多くの 0 を含むかを判断するアルゴリズムは存在し、もし無限に多くの 0 を含むのであれば、漸化式の特性多項式の根の代数的性質に基づいて、0 の位置の「分解」を周期的な部分列として示すことができる[3]。スコーレム問題の難しい部分は、0 が有限個である（したがって周期的でない）場合に、0 が存在するかを判定する部分で
ま、そんな冗談は置いといてオレ、すきなこ
いるんですわ。もちろん女の子ね（当たり前だろw）何で好きになったかって体育の時、理由は分からないけどその子見学してたんすわ。その時にちょっと苦しいのかお腹ぎゅってしててその姿がめちゃくちゃかわいいんすよ。で、べた褒れってわけなのだwでもまだ
あんまり話はできてないけど…(´- ̯-`)ま、今度話しかけてみるっす勇気出して
、んで本題なんすけどねオレ最近他言語にハマってるんすわ。しかも、めっちゃマイナーな言語（ズール語とかミゾ語とか）そん中でも一番好きな言語がスロバキア語なんすよ。でもまだ単語単語しか覚えてないけど（日本語も怪しいからだろw）でもスロバキア語って
ちょーかっこよくないすか？例えば聖者→ svätýとか 破壊→ zničenieとかめっちゃ気に入ってるんすよ！学校に持ってかない秘密のノートとかもうその単語ばっかりメモしてるwこんなかっこいいなら好きな子に教えたいとかならないすか？最初はこう、簡単な単語からあたふた教えていってでも「Páči sa mi to」ってのだけはなかなか教えないでいてある日突然耳元で囁くんすわ「好きって意味」だって。くーめっちゃたまらないのだ！あ、その子ことなんすけどめっちゃ見た目かわいい
系ですわ。プライベートなんか口紅してるんすよ！ブランドのバック持ってヤバくないすか？？しかも、多分虫歯もないみたいで、歯医者の待合室で偶然会ったことあるんすけど
「今日は検査だね」って受付が言うと「はい」ってにこやかに微笑んでたんす。もう、めっちゃ羨ましい！あれっすね、昔の流行語に「貧乏人は麦を食え」ってあるじゃないすか。
彼女は貧乏でもないし麦じゃなくて愛情をたくさん食べてるんすね！だからオレも告白して愛情たくさん食べてもらいたいっす！阿諛なんか使わない様にしてるけどあの子の前だったらついぽろっと口にしちゃうっす！
ここ数日ブクマでも増田でも散々掘られているように、ソ連に端を発する共産党体制は「科学的」であり、党中枢が決定した具体的な仕様は「真実」とされ、その「真実」を下部組織が現実として社会実装する、観念論を奉じた完全な上意下達体制である。ﾆｬこれはソ連も崩壊後のロシアも、今の中国でも日本共産党でも変わらない。下部構造で行われる議論は上部構造で尽くされた議論に完全に内包される。もちろん全ての議論は科学的であるから、建前で内包していることにして支離滅裂な呪文を書いてお茶を濁すにも限度がある。そして最高指導部だか書記長だかは知らんが、その人間組織のトップは共産党の御立派な理想に恐らく本気で忠誠を誓っている。
なれば普く共産党のやることなすことその御立派な理想と大枠で一貫性を持つ、ということになる。
しかし客観的に言って50年前100年前の御立派な理想など、そもそも生まれた当初は正しかったとて現実とは乖離してくる、いや人間社会の現実は露出度の低いセパレート型スクール水着を新しくフェチズムとして取り込むように意図を持ち明確であり科学的であり硬直したあらゆるものに適応しその意味を失わせるのである。しばし社会や競争環境について適応しないものは生き残れないと言われるのは単に一般的に言って競争は常に激化すると言っているのみならず、多項式の取る値を論じる上での定数項のように意味が薄いということも意味するのである。つまり共産党の科学的であり一貫性があり上意下達を旨とするその体制、その原理、その思想そのものが畢竟、時間とともに存在を失うことを決定されているのである。つまり共産党は真の共産党である限り滅ぶことが定まっているのだ。
余談だがこの硬直した理想主義体制の欠陥はソ連赤軍とその血を引くロシア連邦やウクライナ軍の弱さ、グダグダ感にも現れている。アメリカ実用主義は過程の正しさを重視しないから、末端が「反逆」しようが、上層部が現場に阿ろうが、官軍が敵方を虐殺する不公平な優位性を持つ戦闘を行おうが、勝てば官軍は勝つのである。明らかにその方が正しい。
いやだからさたとえば1=xって等式があるやん。これのxに対する解は明らかに1のみやん？
で、これの両辺を積分するとx=(x^2)/2+Cになるじゃん。これのxに対する解はその個数の時点で明らかに積分前と異なるじゃん？
等式で結ばれてれば両辺積分微分しても同値じゃない例になってるよなこれは。むしろ感覚的には等号で結ばれたものは両辺足しても引いても同じなんだから当然微積分しても同値だって感覚に陥ってそこで思考停止しがちだと思うけど(俺もつい先日までそうだった)。
で、変数分離形dy/dx=f(x)*g(y)は積分しても同値だからこそ、積分することによってf(x)を求めようとするんだよな。
この場合のf(x)やらg(y)やらは先の場合でいうxに対応してると思うんだ。
xに関する多項式の等式は積分すると同値性が崩れるから解も変わる。しかし変数分離形の等式はそもそも積分せずに解けないというのもあるが、積分しても解であるf(x)は変化しない、もっといえば積分前も積分後も等式を満たすf(x)は変化しないわけで、これは積分前後で同値性が崩れないからだよな。(逆に積分して同値性が崩れるならもうこのような等式を解く手法が無くなるともいえるが。)
追記：恒等式か方程式かの違いは考えなきゃいけなかったな。でも変数分離形って関数の方程式じゃないのか…？え、恒等式なの？あーもう頭ぐるぐるぱあだよ。
まあ純粋な数学的証明に挑むんでもないかぎりこのあたりの理解の欠如が誤った計算を助長するということもないから深入りするだけ馬鹿なんだろうけど。
数学書に書いてある日本語は全て完璧で論理的であるかような気がするが、たまには上記のようにしれっと面倒を避ける人間臭いところもあったりする。
上記の言葉は、複数回の微分や偏微分、微分形式などを説明するときに、微分する関数等が何回微分可能なのかをいちいち書き記すのが面倒だから、細かい説明を避けるために使う用語。数学書ではわりとよく出てくる。
でも私なんかは人間関係にこそ必要なだけ微分可能性（ある種の滑らかさ）を仮定して、そうであれば解析しやすい相手の心を数学のごとく計算して易々と生活したいものだと常々思っている。
例えば、相手の心が十分に滑らかであれば、ある時点で微分してテイラー展開できる。そうすれば、相手の心というあんな複雑な関数でも多項式で表せる。
まだ無限の多項式ではあるが、十分なレベルの項まで取れば後は誤差項として切り捨てられる。あんな面倒な相手の心というものが、こんな単純な式に落とせるなんて！
それが普段できないのは微分可能性が証明できないから。読者なんてまさにその典型例。微分可能性を仮定するあの言葉も、そんな叫びを隠したものなんだろうと私の心で思ったりする。
