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M理論と行列模型の数理は、拡張された超対称チャーン-サイモンズ理論に根ざしている。
Let M be a (2+1)-dimensional manifold. The action of the supersymmetric Chern-Simons theory is given by:
S = ∫_M Tr(A ∧ dA + (2/3)A ∧ A ∧ A) + ∫_M Ψ̄ ∧ DΨ
ここで、A はゲージ場、Ψ はMajorana spinor field、D は共変微分を表す。
M理論の行列模型として知られるBFSS模型のハミルトニアンは以下で与えられる：
H = Tr[1/2 Π_i^2 + 1/4 [X_i, X_j]^2 + 1/2 θ^T γ_i [X_i, θ]]
ここで、X_i (i = 1, ..., 9) は N×N エルミート行列、Π_i はその共役運動量、θ は16成分のMajorana-Weyl spinor である。
11次元のM理論から BFSS 模型への次元還元は、以下の対応を通じて実現される：
∂/∂t → [iH, ·], X^i → A^i, θ → Ψ
この対応により、M理論の動力学が行列模型の言葉で記述される。
N → ∞ の極限で、離散的な行列構造が連続的な膜の描像に移行する。この極限で、行列交換子は Poisson bracket に対応する：
lim(N→∞) [·,·] → {·,·}_PB
チャーン-サイモンズ理論の重要な特徴は、そのトポロジカル不変性にある。Wilson loop の期待値は、結び目不変量（例：Jones 多項式）と関連付けられる：
⟨W(C)⟩ = exp(ikCS(A)) = J(q), q = exp(2πi/(k+2))
ここで、CS(A) はチャーン-サイモンズ汎関数、J(q) は Jones 多項式を表す。
M理論における BPS 状態は、行列模型中の特定の配位に対応する。これらは超対称性を部分的に保存し、以下の方程式を満たす：
[X_i, X_j] = iε_ijk X_k
この関係は、Lie 代数 su(2) の交換関係と同型であり、ファジー球面の構造を示唆する。
M理論の行列模型は、AdS/CFT 対応の文脈でも重要な役割を果たす。特に、AdS_4 × S^7 背景での M2-ブレーンの理論は、3次元の超対称チャーン-サイモンズ理論（ABJM 理論）と双対である：
S_ABJM = S_CS(A) - S_CS(Â) + S_matter
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