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はてなキーワード: 無限小とは
完備確率空間 (Ω, ℱ, ℙ) 上で、右連続増大フィルトレーション {ℱₜ}ₜ≥₀ を考える。
状態空間として、実可分ヒルベルト空間 ℋ を導入し、その上のトレース類作用素のなす空間を 𝓛₁(ℋ) とする。
システムダイナミクスを以下の無限次元確率微分方程式で記述する：
dXₜ = [AXₜ + F(Xₜ, uₜ)]dt + G(Xₜ)dWₜ
ここで、Xₜ ∈ ℋ は状態変数、A は無限次元線形作用素、F, G は非線形作用素、uₜ は制御変数、Wₜ は Q-Wiener プロセスである。
経済主体の最適化問題を、以下の抽象的な確率最適制御問題として定式化する：
ここで、𝓤 は許容制御の集合、L: ℋ × 𝓤 → ℝ は汎関数である。
価値汎関数 V: ℋ → ℝ に対する無限次元Hamilton-Jacobi-Bellman方程式：
ρV(x) = sup{L(x, u) + ⟨AX + F(x, u), DV(x)⟩ℋ + ½Tr[G(x)QG*(x)D²V(x)]}
ここで、DV と D²V はそれぞれFréchet微分と2次Fréchet微分を表す。
システムの確率分布の時間発展を記述する無限次元Fokker-Planck方程式：
∂p/∂t = -divℋ[(Ax + F(x, u))p] + ½Tr[G(x)QG*(x)D²p]
ここで、p: ℋ × [0, ∞) → ℝ は確率密度汎関数、divℋ はヒルベルト空間上の発散作用素である。
dλₜ = -[A*λₜ + DₓF*(Xₜ, uₜ)λₜ + DₓL(Xₜ, uₜ)]dt + νₜ dWₜ
ここで、λₜ は無限次元随伴過程、A* は A の共役作用素である。
価格過程の一般的な表現を、以下の無限次元マルチンゲール問題として定式化する：
Mₜ = 𝔼[M_T | ℱₜ] = M₀ + ∫₀ᵗ Φₛ dWₛ
ここで、Mₜ は ℋ 値マルチンゲール、Φₜ は予測可能な 𝓛₂(ℋ) 値過程である。
Girsanovの定理の無限次元拡張を用いて、以下の測度変換を考える：
dℚ/dℙ|ℱₜ = exp(∫₀ᵗ ⟨θₛ, dWₛ⟩ℋ - ½∫₀ᵗ ‖θₛ‖²ℋ ds)
インフレーション動学を、以下の無限次元確率偏微分方程式で記述する：
dπₜ = [Δπₜ + f(πₜ, iₜ, Yₜ)]dt + σ(πₜ)dWₜ
ここで、Δ はラプラシアン、f と σ は非線形作用素、iₜ は金利、Yₜ は総産出である。
小さなパラメータ ε に関して、解を以下のように関数空間上で展開する：
Xₜ = X₀ + εX₁ + ε²X₂ + O(ε³)
dwₜ = [Bwₜ + H(wₜ, πₜ, iₜ, Yₜ)]dt + K(wₜ)dWₜ
ここで、B は線形作用素、H と K は非線形作用素である。
金利上昇の実質賃金への影響は、以下の汎関数微分で評価できる：
δ𝔼[wₜ]/δiₜ = lim(ε→0) (𝔼[wₜ(iₜ + εh) - wₜ(iₜ)]/ε)
1. 非可換確率論：
量子確率論の枠組みを導入し、不確実性のより一般的な記述を行う。
経済均衡の位相的構造を分析し、均衡の安定性を高次ホモトピー群で特徴付ける。
4. 超準解析：
無限次元確率動的一般均衡モデルは、金利、インフレーション、実質賃金の相互作用を一般的な形で記述している。
モデルの複雑性により、具体的な解を得ることは不可能に近いが、この理論的枠組みは経済現象の本質的な構造を捉えることを目指している。
このアプローチは、金利上昇がインフレ抑制を通じて実質賃金に与える影響を、無限次元確率過程の観点から分析することを可能にする。
しかし、モデルの抽象性と現実経済の複雑性を考慮すると、具体的な政策提言への直接的な適用は不適切である。
このモデルは、経済学の理論的基礎を数学的に提供するものであり、実際の経済分析や政策決定には、この抽象的枠組みから導かれる洞察を、より具体的なモデルや実証研究と慎重に組み合わせて解釈する必要がある。
このレベルの抽象化は、現代の経済学研究の最前線をはるかに超えており、純粋に理論的な探求としての意義を持つものであることを付記する。
今日は朝から頭の中で魔法を数学的に抽象化することを考えてみたんやけど、これがまためちゃくちゃ深いんや。まず、魔法の呪文をバナッハ空間の作用素として考えるっちゅうのは基本やけど、これをさらに進めて、フォン・ノイマン代数の元として捉えてみたんや。ここでは、呪文を自己随伴作用素 T として、スペクトル分解を通じてその効果を解析するんや。これが無限次元空間での作用を考えると、スペクトル理論や作用素環論が絡んできて、ほんまに深遠やわ。
次に、変身術をリー群の作用として捉えるんやけど、これをさらに高次元の多様体上の微分同相群の作用として考えてみたんや。対象の集合 X 上の微分同相群 Diff(X) の滑らかな作用として、g ∙ x = y みたいに表現できるんやけど、ここでリー代数のエレメントを使って無限小変換を考えると、接束や微分形式が出てきて、微分幾何学的な視点がさらに深まるんや。ホンマに、変身術って奥が深いわ。
さらに、魔法の相互作用をホモトピー型理論と∞-カテゴリーを使って考えてみたんや。これを使うと、魔法は∞-グループイドの間の射として捉えられて、ホモトピー同値な空間の間の射として表現されるんや。例えば、呪文 f: A → B は対象 A を対象 B に変える射と見なせて、これがホモトピー同値やったら、逆射が存在するんやで。これを使って、魔法の可逆性とかを高次元のホモトピー理論の文脈で議論できるんや。
最後に、魔法のエネルギー保存をシンプレクティック幾何学の枠組みで考えると、エネルギーの変化をシンプレクティック多様体上のハミルトニアン力学系として解析できるんや。シンプレクティック形式 ω を使って、エネルギー E の時間変化を考慮すると、ハミルトンの方程式が出てきて、これが魔法の持続時間や効果を決定するんや。ほんまに、魔法って物理的にも数学的にも奥が深いわ。
今日はこんなことを考えながら、また一日が過ぎていったわ。魔法のことを考えると、なんや心が落ち着くんや。ほんまに不思議なもんやなぁ。
解像度を上げるには膨大なエネルギーがいるが、地球の外周ぐらいの長さの加速器ではひも理論の検証には不十分
これを考えると、「じゃあエネルギーが無限にあれば無限小の理論が実現できるのか？」という話になるが、無限のエネルギーなんてもんがあるのか？
そんなものがないのだとしたら、人間のもつ解像度じゃ離散スケールの中で生きているってことになるよな？
では時空はどうだ？これは離散的なものなのか、って話になる
そもそも、観測によってズームインしていけば際限なく拡大できると考えるなら、空間も時間も無限に観測できるという話になる...と一見すると思われる
ところが「ある主体がどの時点まで観測したか」という話になると、時間も空間もどれだけズームインしても有限の値になる
ガンマ線のことが知りたくてchatGPTに聞いてみた
AI プランク定数と同じ波長の電磁波は存在しません。プランク定数は最小の電磁波エネルギーを表す定数であり、電磁波の波長がこの定数と同じ場合、波長が無限小になり、エネルギーは無限大になります。
俺 プランク定数は非常に小さい値だけど無限小ではないよね、エネルギーが無限大になるというのは矛盾しているのではないか？
AI 申し訳ございます。プランク定数は非常に小さい定数であり、無限小ではありません。また、プランク定数と同じ波長の電磁波が存在しないということも矛盾することです。実際には、プランク定数は最小のエネルギーを持つ電磁波のエネルギーを示す定数であり、波長が無限小になるというよりも、エネルギーが無限大になることはありません。訂正いたします。
発達障害的には、これはたとえばの話だが、「頭が割れるような痛み」って言葉使っててちゃんと意思疎通できてるのかと思う。
脳か頭蓋骨の膨張によって骨か頭皮を内側から押し上げて圧迫するような感覚の痛みなのか、頭頂を斧でおもいっきり叩かれたらこんな痛みだろうなって想像したのと等しい痛みなのか。
特に後者は単に激痛というのと変わらない気もするが、その一方で、わざわざ激痛と言わず割れるような痛みというからには、何か具体的な質感を伴ってるはずと思うんだよな。
しかしどっちにしろ明らかなのはどういう意味でこの言葉が使われているのが判然としないということ。
痛みがあるときに痛みがあると告げられた相手に期待される行動は限られているから、この痛みの中身がブラックボックスでも、つまり発話者側が前者の意味で言っていたのを受け取り側が後者の意味で捉えた場合、あるいはそのその逆の場合があったとしても問題が起こっていないというだけではないか。やり取りのすれ違いは起こっていないが、意味のすれ違いはそこかしこで起こっている。
それ以前に安易に「割れるような痛み」を使っている人が多すぎないか。なんとなく陳腐な比喩表現を使いたがってるさがみたいなものはないか。同じ陳腐ならだったら「激痛」で済ませた方が簡潔で合理的だと思う。
発達障害の文章で「コックピットに乗っている俺が俺自身の身体を操縦しているような感覚」とか「ビデオを同時再生している感覚」とか書かれていることがあるがこれが気になる。
あまりにも軽々しくないか。表現がおおげさではないか。それはちゃんと自分の意図する実体通りのものを読者に想像させる表現なのか。
なかにはまさしくそういう状態の人もいるのかもしれないが、多くは筆が乗って大げさに書いているというのが実態だと思う。
これはかえって認識の齟齬を生み、本当にコックピットに乗ってるようなと比喩するに等しい感覚なんだねと思った支援者もそう書かないときよりもうまい支援を難しくしていると思う。
文章上から立ち上がって来る実体は安易な比喩であふれている。そういう比喩に「規格化」されている。本当は痛みについても現実にはもっときめ細かに言語上の差別化が可能な多種多様な痛みがあるのに、それらが「頭の割れるような痛み」に文章上では規格化され、かくして読者が想像する痛みが実際に存在し得る痛みよりはるかに限られている。
小説なんか規格化という現象のさいたる対象だ。世の中いろいろな形の鏡が考えられるが、小説に登場する多くは、丸型か、縦長の長方形か、あるいはハート形か、変わり種で星型といったところか。
無修飾、あるいは「不定形の鏡」とでも表現すればその形は読者次第となりかなりありとあらゆる形の鏡が誰かしららの読者の頭の中で形成されうるが、それこそありうる各形鏡に割り振られた想像され得る割合というのは先述の丸型とか長方形に比べれば無限小に等しいだろう。
元素成分分析のグラフで何か所(広義に有限な数だけということ)かだけ極端な高さでピークを持っていて、それ以外の領域では全てほぼ０みたいになっているという感じだ。
まあこの比喩自体規格化されてるかもしれない。ただまあこれは確率分布を元素分析にあてはめてるという点でグラフという次元では同等なのでそこまで齟齬はないと思う・
擦りガラスとはちょっと違うかもしれない隔てた先があまり透けて見えないガラスも全部すりガラス(もちろんマジックミラーならそう書くだろうけど)。
dorawiiより
全くその演算の概念が解らないうちに実際のケースと対応付けて理解すれば理解が進むのはその通りだと思うけど、
実際のケースをどの程度抽象化したものが本人の理解を助けるかは、本人の頭の中でどの程度その演算に関する事例が抽象化されているかによるから、
一概にどれが教え方として正解とは言えないと思う。
算数は知らないが、数学は形式学問(現実世界とは何ら関係のないところで、仮定とルールだけ決めて進めていく遊びみたいなもの)だから、
現実世界では適用できない説明だから教え方として間違っている、というような見方は非常に害があると思う。
数学の成果の中で、現実世界の説明に役に立つものもあれば、立たないものもある、その程度の立場の学問だと思う。
微積分やりはじめたら無限小で割ってその極限を求めるというような操作が出てくるけど、どう頑張っても現実世界では適用できないしね。
京都大学に通っていたころ、ある教授がこんなことを言っていた。
「原発事故で発生する被害はほぼ無限大。いかに確率が小さかろうと、∞を掛ければ∞なのだから、期待値で考えれば原発は火力より危ないと言えるのだ。」
呆れるほど乱暴な議論だった。京大の教授ですらこんな滅茶苦茶なことを言うのかと思った。
（その教授は外部から来ていたうえ、一緒に聴いていた京大生は誰もまともに取り合っていなかったというのを知って安心したが）
上の主張がいかに酷いものであるか、賢明なはてなー諸氏には一目でわかると思うのだが、一応書いておく。
数学的に∞とは、ある変数の変化に伴い際限なく大きくなっていく別の変数の「動き方」を示すのであって、単独で数値として存在するものではない。
仮に有限の物凄く大きな値を、簡単のため∞と置くことが許されたとしよう。
そうであるなら、有限の物凄く０に近い値は、無限小（簡単に言えば、「ほぼ０」）と評価しなければ割に合わない。
原発事故の発生率は、見積もりが大きくバラついているものの、だいたい数千年～数万年に１回という話だから、これを「無限小」と評価しないのは釣り合いが取れないだろう。
ちなみに数学的には、無限大×無限小の掛け算は「不定」である。
そちらの被害額が∞でないとはどうして言えようか？
そもそも原発の被害が∞というわけのわからない評価は「人の命は何よりも重い」という無邪気な前提から来ているのではなかろうか。
そうだとすると、火力だって人が死ぬ可能性はあるのだから、そちらも当然に∞となるはずである。
そうなれば期待値で比較したときに∞と∞の比較になって答えは不定となるはずだ。
本気で比較するならば、正しい手順はおそらく以下のようになるはずだ。
全体的に件の教授は、∞だの期待値だのという数学上の概念を都合よく（そして不正確に）利用して煙に巻こうとしているようにしか見えない。
原発反対という用意した結論があって、どうしてもそこへ誘導したいのだろうが、仮にも旧帝大の学生相手にそれをやるのなら
所持金なんて無限小みたいなもんなわけで
じゃあ、もし時間も金も体力もすべてのリソースが無限にあったとしたら、趣味で何がしたいだろうか？
実体験としては雪国には住んだことがないので、ただ過行く時間と静謐な冬の時間に思いを馳せたい
②人生に意味のを求めて彷徨う少女が行く先々でいろいろなお姉さんに出会う物語をかく
最後は意味なんて無いんだと開き直って、だから今を生きようと前向きになれる作品をつくりたい
③３Ｄで理想の姉をつくってみたい
制服を着せてぐりぐり動かして、下から眺めてみた入りしてみたい
④弟を犯す実姉の物語をかく
弟目線じゃなくて、あえて姉目線で葛藤とか背徳の興奮とかそういう心にグサリとささるものを精緻に描写したい
東大基礎科学科卒。過去250～340年間世界の大数学者達が解こうとして解けなかった、世界史的数学難問4つを解き、現在ロシア科学アカデミー数学の部で審査中。マスターした11ヶ国語を駆使したプロの通訳・翻訳家。矛盾だらけの現代物理学を初め、全科学（自然、社会、人文科学）の主だった物を体系的に批判し各々に別体系を提起。各種受験生(医学部、難関大学入試、数学オリンピック、社会人大学院入試、IT関連資格)支援。
■経 歴
2002年 （至現在）セント・クレメンツ国際大学 物理学教授
2001年 英国系セント・クレメンツ大学で数理物理学の博士号取得
2002年 ロシア科学アカデミー・スミルンフ物理学派論文審査員となる
1999年 英国系ウィットフィールド大学でコンピュータ科学人工知能の博士号取得
1991年 （～1993年）University of California、 Irvine人工知能研究所で確率論批判・学習システムの研究
1988年 （～1991年）世界の認知科学の権威ロージャー・シャンクのCognitive Systemsのデータベース研究所IBSで自然言語処理研究
1986年 （～1988年）欧州先端科学研究プロジェクトESPRITにESPRITディレクターとして仏Telemecanique研究所より参加（生産ラインへの人工知能導入の研究）
1985年 西独ジーメンスのミュンヘン研究所で生産ラインへの人工知能導入の研究
1982年 （～1985年）[仏国]世界一速い列車TGVのメーカーAlsthom社の知能ロボット研究所
1981年 （～1982年）[仏国]グルノーブル大学院、ソルボンヌ大学院で通訳の国家免状取得
1980年 （～1981年）[スペイン]マドリード大学院で言語学履修 西国政府給費留学生
■専門分野
数理物理学Ph.D.、コンピュータ科学人工知能Ph.D.、マスターした11カ国語を駆使したプロの通訳・翻訳家
■講演テーマ
「ビジネスマン、文系卒社員に理工系技術と技術的発明を評価できる眼を」
近年世界の大学でビジネス志向の学生向けに、理系の技術的な事がある程度分かるためのカリキュラム改変が始まっている。しかし申し訳程度であり、また理系の拠って立つ数学物理学の科学理論自体に欠陥が有る事が最近明らかとなっているため、正しい数学と物理学の粋を伝授し、文系でも本物の理系技術評価が出来るように支援する。
「英語を完璧に&現地語（非英語）を或る程度使えるマネジャー急遽創出と、社員の中から各国語通訳をネーティブに肉薄する敏捷性と正確さで急遽育成を支援」
海外のプロジェクトや企業と折衝するとき、英語がネーティブ並みであったり、現地語を自社のディレクター自身がある程度こなせるか、英語、現地語につきネーティブ並みの社員が通訳出来ると先方との話が大きく好転する場合が少なくない。それを本当に実現する教育訓練を私は提供できる。平明に説明し、実体験をしてみたい方がいらっしゃるなら講演会場で手解きをしてみたい。
「発見された言語学理論と外国語訓練方法論を基に、文科省と英会話学校の英語教育訓練方法論の根本的誤りの中枢を詳説」
統語法意味論、文脈意味論、実世界意味論の3レベルで進展するネーティブの母国語習得過程の中、言語能力の真の中枢は解説も無しに親の喋るのを聴いているだけで分かるようになる統語法的意味把握能力で、これは文法用語を全く使っていなくても徹底した文法訓練となっている。ネーティブが敏捷性、精度の点で万全であり、先ず文法的間違いをすることはない理由はここにある。全文法分野について書き換え問題の「即聞即答訓練」を一気に中学生以上の年齢の人に施し、全文法のビビッドな一覧性を習得させるとネーティブに肉薄する敏捷性と精度で外国語を使いこなせるようになることが発見された。
「＜証明された欠陥数学＞ 確率統計と微積分学のビジネス、金融工学、保険業界での使用に対する警告と、それに取って代る新数学体系」
我々物理世界は離散値の世界であることが原因で、物理世界に住む人間の頭脳が考え出した数学の中で連続実数値に基づく確率統計学と微積分学だけが欠陥数学として発現していることが証明された。決して建設的な予測をすることができず、崩壊していく事象に後ろ向きにしか適用できず、せいぜいリスク管理にしか使い道の無い確率統計学をビジネス学の分野では金科玉条の如く信用し積極的やり方で利用しているが、ここに「理論」と現実との間に大きな食い違いが生じている点に警告を発したい。そのためそれに取って代る新数学体系を提起する。全てを分かり易く解説します。
「新エネルギー・エコ向けの発想を大転回した技術的な重要な発明を提起」
20世紀初頭に数理物理学者Henri Poincareは二体問題までは解けるが三体問題(三つの星が互いに重力で引き合いながら運動している時の時々刻々の位置を計算で求める事)以上は微積分学を使って解く事が出来ない事を証明した。これは無限小差分を使う微積分は計算式中で交差する項をほぼ同等とみなして相殺してしまうため、作用反作用の法則(F1*v1=-F2*v2)の取り違い(F1=-F2が作用反作用の法則であると圧倒的多数が信じている)と相俟って、交互に対称な運動しか記述できないため、対称性の有る二体までは記述できても対称性のない三体以上は記述できないためである。この欠陥数学微積分を基に二体までは「エネルギー保存則」を証明したものの三体以上の「エネルギー保存則」は本来的に証明不可能であることが明らかと成った。現に永久磁石がエネルギー保存則を大きく超えることが実証され始めている。それらの実験につき具体的に物理学の素人の方々にも分かりやすく報告したい。
「世界史的体系的誤りに迷い込んだ現代物理学とその使用者への警告とそれに取って代る新物理学」
現代物理学の二本柱、量子力学と相対論の中、量子力学は水素原子の原子核と軌道電子の関係説明を辛うじて試みただけで、水素原子より複雑な原子や分子の構造の説明に実は悉く失敗し、繰り込み・摂動理論はその失敗を隠すため後に持込まれた。軌道電子は光速に比べ無視できぬ速度でクーロン力で原子核に引かれて急カーブしながら等速加速度円運動、大量のエネルギーを消費するが、半永久的に軌道を回る。しかしシュレーディンガーの波動方程式(その波動関数とその共役関数の積は確率)はエネルギー消費に一切言及せず、エネルギー・レベルが一定に保たれるという明らかに矛盾した論を展開する。また確率を持ち込んだからには、エントロピー単調増大法則がここに適用され、水素原子は瞬時に粉々に飛び散らなければならぬ現実に反する二つ目の重大矛盾に遭遇するが、これもシュレーディンガーは見てみぬ振りをする。つまり水素原子の構造の説明にすら量子力学は完全に失敗した。量子力学とは動力学でなく各エネルギー・レベルについての静力学でしかなく、「量子力学」の「力学」なる名前とは裏腹に力を論じられない。論じればエネルギー消費が起こりエネルギーレベル一定論が崩れる。
「現代のフォン・ノイマン型コンピュータ・アーキテクチャーの誤りと、創るべき新コンピュータ・アーキテクチャー」
現代のフォン・ノイマン型コンピュータの計算機モデルが取りも直さずチューリングマシンそのものである。チューリングマシンは決ったパラメータ数の状態間の遷移を静的モデル化したものであるのに対し、歴史的にその直前に発表されたアロンソ・チャーチの計算モデルのラムダ・キャルキュラス(人工知能プラグラミング言語LISPの言語理論でもある)は関数の中に関数が次々に入れ子のように代入されて行き擬パラメータが増えていくダイナミックな仕組みを持つ。この後者は人間が作ったコンピュータを遥かに凌ぎ、宇宙の始原から発生した環境データから関数をf1(t),f2(t),.,fn(t)と次々に学習し入れ子のように代入進化し、次の一ステップの計算には宇宙の始原からの全ての関数f1,f2,...,fnを思い起こし、そのそれぞれの差分を取って掛け合わせる事をしているコンピュータとも言える物理世界とその時間の学習・進化を時系列順に模写するのに持って来いの仕組である。関数と言っても多項式で充分である事を世界の7大数学難問の一つPolynomial=Non-Polynomialの私の証明も交えて平明に解説する。これは日本の国と世界の先進諸国のコンピュータ科学の今後の研究方向を左右する発言となる。
■実 績
【講演実績】
Trinity International University
「コンピュータ科学」 学士号コースの学生に卒業まで全コースを講義
St.-Clements University
「金融工学に必要な数学・物理学」の博士号コースの学生3年間に渡って講義、研究テーマと研究内容、博士論文のアドバイス
St.-Clements University
研究テーマ「コルモゴロフ複雑系の二進ビット・ストリングの下限＝Lower bound for binary bitstring in Kolmogorov complexity」の博士号コースの学生Dr. Bradley Ticeに英語でアドバイス
St.-Clements University
外国語学部のポルトガル語・伊語の通訳・翻訳の学士号コースの学生に教養学部のレベルから全社会科学（経済学、法律学、社会学、経営学）、人文科学（哲学、言語学、心理学、歴史学）、自然科学（数学、物理学、化学、生物学、医学、計算機数学）、エンジニヤリング（Information Technology、ソフトウエア工学、電気工学、電子工学）の各々の学科の全講義を行う。
Госдарственный Университет Санктпетербургской Гражданской Авиации (サンクトペテルブルグ国立航空大学)
物理学学会の論文発表会で幾多の論文の露語によるプリゼンテーション。
【メディア出演】
【執筆】
ti-probabilistic Learning by Manifold Algebraic Geometry, SPIE Proceeding, 1992 Orlando 等 人工知能学会論文
そういえば昔そんなことを習った気もしますし、実際その通りでしょうね。
0.999...と1と1.000...はすべて誤差の範囲内なんで全部同じ。
整数しか認識できないモデルで、9.9と10と10.1を区別できずに全部10になる、というのと同じ。
まじめに答えてみました。
他のトラバでも似た様たこと書いてる人いるけど。
よくある証明
ですが、ここで
a=(1/3)=0.333...
b=0.3+0.03+0.003+...=0.333...
これがa=bであるということと、0.999...=1であるというのは同じ意味。
どちらも、無限に近い=同じであるという前提がないと成立しないので。
上の証明式は、a,bともに小数点表現が0.333...であることを利用して、途中でaとbが摩り替わってます。
そうでなければこの式展開にならない。1=(1/3)×3=0.333...×3=1と戻るだけ。(この場合の0.333...はあくまで(1/3)の言い換えなので)。
無限に近い=同じ、という前提があれば別にaとbを摩り替えてもいいですが、
だったらいちいち式展開しなくても、"無限に近い=同じ、なので0.999...=1です"って言えば済む話。
また、次の証明も同様。
x=0.999...①
②-①で、9x=9→x=1
なんで②-①の右辺が9.0と言えるのか。
1桁で考えてみると右辺の値は9.0-0.9。2桁で、9.9-0.99=9.0-0.09。
なので、桁を無限にした場合右辺は9.0に対して、0.9×(0.1)^∞の誤差がある（無限小の差)
この無限小=0としないと式が成立しない。やはり証明になってない。
(あるいは、そもそも無限桁同士の引き算て何ですか？という話であり、引き算結果が正しいことを別に証明しなければならない)
他に、limとったらどうこう、てのもこの場合証明になってない。
とはいえ、だから0.999...=1でないと言えるか？はまた別の話。
より高度な証明であれば、疑念の余地なく証明されるかもしれません。
私には分からないけど。
1そのものと、1に限りなく近いが1より小さい数(概念)は存在するはず。
それが0.999...でなくて一体なんなんですか？というのが興味深いとこですね。
基本的には前項の内容に関する指摘・修正等はトラックバックでしていただいた通りです。
少しマイルドな形でトラックバックを利用させていただき、また元の疑問に対して再提示しましょう。
・代数的な意味での「無限大」、極限で用いる「無限大」、複素関数の意味での「無限大」は異なる。
→無限大、という言葉は様々な定義、文脈上で発生する一概念であり、ひとまとめに語ることはできない。
→ 様々な観点でとらえらることができるが、∞は四則演算可能な数とは考えないのが無難。
四則演算可能とする立場でも、通常の四則演算則は成立しないことが分かっているため、
高校の間では考えないのが良い。
高校の間でこの表現に触れるのは微分だけであり、そこなら触れなくても大丈夫。
どうしても触れたい場合は、解析で用いるε-δ論法の軽い解説をするのが良いです。
・不定形の極限について
不定形の極限という表現そのものが(便利ではあるが)危険なので、使用しない。
→代数としての無限大と、極限値としての無限大との混同の怖れがあるため。
(受験期にこれを混同することがそれほど問題とは思えないのですが、とはいえ生徒の今後の混乱を招く可能性もあります。)
次のような表現、説明とする。
ここまで書いて、
がナゼ無限大にならないことがあるかを説明するには、
数列同士の差が完備性を持っていることについて=コーシー数列についての説明をしないといけないことに気付きまして。
この3つの条件について、「数学が苦手な生徒に」「分かりやすく」説明するプランを何か考えないといけないですね。
・暫定として
数列Anと数列Bnの差を取る時、nがある一定以上の値とする。以降、δAn＞δBnならば、An-Bnは常にその差分だけ増加していく。
ずっとδA =δBn ならば、差は0。
(*:1値の取り方によってはアウト。差分数列がコーシー数列である場合。)
数列Anで数列Bnを割る時、nがある一定以上の値とする。その商Cnが無限大に発散するならば、
An/Bnは無限大に発散する。
(*:2値の取り方によってはアウト。数列がコーシー数列である場合。)
また暇があったら考えます。
