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はてなキーワード: 加法とは
三角関数やその加法定理を教える事や測量などへの応用を教える事まではいいとしておいて…
数IIIや数Cまで学習する高校生には三角関数の微分（と積分）まで教えるのが当然という風潮があるがそれでいいのか少し疑問はある
というのも三角関数の微分というのは高校生が学習するには難しい部分が多分に含まれているからだ。加法定理より難しい
まず sinx/x=1 (x→0) さえ証明できれば加法定理を使ってsinxの微分が分かり
その後に他の関数の微分可能性や微積分が求まるのは事実である。しかしsinx/xの極限については証明が中々難しい
S^1を合同変換群の制限と同型になるような群とみなして実数群R^1からS^1への準同型のパラメーター表示として与えられるものやその亜種が
sinx,cosxの幾何的な定義であり高校数学の三角関数もこの類に連なる定義を採用している。この場合はsinx/xの極限は直ちに求まるものではなく
高校数学の範囲で証明しようとするとうっかり循環論法になる事がある。証明が台無しになるのを避けるのが中々難しいのだ。
一方で代数関数の積分として逆三角関数を定義してそこから三角関数を定義する流儀もあり、高木貞治の解析概論ではこの定義を採用している。
この場合は微積分はほぼ自明なものとして導かれるが上記の幾何的な定義との同値性を示さない事には
三角関数の幾何的なお話が全く出来なくなってしまい教育として足りなくなってしまう。
このように三角関数はどのように定義しようが微積分が難しいか幾何的な性質との関係を示すのが難しいかの何れかの困難が立ちはだかる物なのである。
そこを曖昧なままにして大雑把に教えるやり方もあるが、その場合は当の高校生達に「数学が厳密な学問ってギャグなの？」と笑われても仕方ないものになる。
結局どうすればいいのやら…
たとえばマンションとか結婚相手とかを検索するような状況で、なんだけどさ。
「『年収500万円以上』に限った検索結果を出す」てのはどこでもできる。
当たり前。
「『年収500万円未満』に限った検索結果を出す」てのもしばしば可能。
ネガティブ要素を敢えて入れて検索するのは、「自分は年収は求めていないから、その分、他の条件が良い人を出してくれ」という意図なわけじゃん。
「『年収500万円未満』に限った上で、通常の年収込みの評価関数でランキングをつけた検索結果を出す」では、その意図に合わないわけ。
もし評価関数がたとえば加法分離的なら「年収の係数をゼロにしてランキング」みたいな設定で意図を実現できるけど、
今は機械学習でフィッティングしたぐちゃぐちゃな評価関数を使っているから、そんな簡単にはいかない。
婚活してもマッチングできない人に「妥協しろ」と言う光景はネットでよく見かけるけど、
実際に相手を探す局面の中で「妥協」でより良い選択肢にたどり着くのは、そう簡単じゃないと思う。
このあたりの点について、意思決定論でもゲーム理論でもORでもいいんだけど、ちゃんと数学として教えてくれる本や展望論文、無いのかなあ。
https://twitter.com/mathmatsuri
問3
エクセルで計算させたい衝動を抑えつつ、出題者に指示されるがままにTn(x)について考えてみる。
T1(x)=x
T3(x)=4x^3-3x
T4(x)=2(2x^2-1)^2-1=8x^4-8x^2+1
法則が見えてくるだろうか。自信がなければ気が済むまで計算すればよいのだろうが、
・Tn(x)の次数はnに等しい
・最高次数の係数は2^(n-1)
・nと偶奇が一致しない次数の係数は0(項は1次飛ばしで登場する)
Πに慣れていないとKの式にビビるかもしれないが、下の説明の通りにk=1～40を代入すると
K=cos(π/79)cos(3π/79)cos(5π/79)…cos(77π/79)cos(79π/79)とわかる。 …①
さてTn(x)を利用するとして、右辺はT1(x)T3(x)T5(x)…T77(x)T79(x)にx=cos(π/79)を代入したものに等しいけれど、さすがに厳しそう。1+3+…+77+79=1600次の整式を取り扱うのは狂気だし、xもよくわからない値だし。
nを一つだけ選ぶとしていくつにすればよさそうか。まず思いつくのは79だろう。
上で推測した性質からT79(x)=2^78x^79+?x^77+…+?x^3+?xとなりそう。 …②
x=cos(π/79)を代入すると左辺はT79(cos(π/79))=cos(79π/79)=-1となる。
もしや…
x=cos(3π/79)を代入すると左辺はT79(cos(3π/79))=cos(79*3π/79)=-1となる。
x=cos(5π/79)を代入すると左辺はT79(cos(5π/79))=cos(79*5π/79)=-1となる。
・
・
・
x=cos(79π/79)を代入すると左辺はT79(cos(79π/79))=cos(79*79π/79)=-1となる。
つまりT79(x)=-1の解がx=cos(π/79), cos(3π/79), cos(5π/79), …, cos(77π/79), cos(79π/79)となることがわかる。解の個数は40個。
y=T79(x)は-1≤x≤1の範囲で極大値1と極小値-1を交互に取っていくので、これとy=-1の交点を考えるとx=cos(π/79), cos(3π/79), cos(5π/79), …, cos(77π/79)は二重解となることがわかる。x=cos(79π/79)だけは一重解。
参考：y=T5(x)のグラフ。これとy=-1はx=cos(π/5), cos(3π/5)で接してx=cos(5π/5)で交わる。
https://twitter.com/totsuration/status/1301359506748633089
つまり二重解を解2つとカウントすると解の個数は79個。②が正しいとすればT79(x)は79次式なのでT79(x)+1=k(x-cos(π/79))^2(x-cos(3π/79))^2(x-cos(5π/79))^2…(x-cos(77π/79))^2(x-cos(79π/79))と因数分解できる。x^79の係数を比較してk=2^78。
①の形が現れたことに気づいただろうか。そう、定数項を比較すればよい。1=-2^78cos^2(π/79)cos^2(3π/79)cos^2(5π/79)…cos^2(77π/79)cos(79π/79)である。
右辺はK^2/cos(79π/79)=-Kに等しいので1=2^78 K^2よりK=-2^(-39)とわかった。
[|log2|K||]=39
終了！…ではない。②で使用した冒頭のTn(x)の性質3項目(補題)を示す必要がある。漸化式→帰納法に持ち込めれば楽そう。加法定理の公式を考えると2項間の漸化式は難しそうなので3項間の漸化式を求める。
cos(n+2)θ+cos(nθ)=2cos(n+1)θcosθなので
T1(x)=x
でありn=1,2で
・Tn(x)の次数はnに等しい
・最高次数の係数は2^(n-1)
・nと偶奇が一致しない次数の係数は0
は満たされる。
n=k+2においてT(k+2)(x)=2xT(k+1)(x)-Tk(x)も
・次数はk+2に等しい
・最高次数の係数は2^(k+1)
・k+2と偶奇が一致しない次数の係数は0
が言える。
[|log2|K||]=39
ここでいう「ユークリッド幾何学」とは、座標空間、ベクトル、三角関数、微分積分などの解析的手法を用いないいわゆる総合幾何学のことです(*1)。2020年8月現在の高校数学のカリキュラムでいえば、「数学A」の「図形の性質」に該当する分野です。
ユークリッド幾何学が不要だと思う理由は単純明快で、何の役にも立たないからです。大学に入って、「補助線を引いて、相似な三角形を作って～」とか「コンパスと定規による作図」みたいなパズルゲームをやることは絶対にありません(*2)。これは常識で考えても分かると思います。たとえば工学の研究で、ある物体の弧長や面積などを測定しなければならないとして、ユークリッド幾何学の補助線パズルが適用できる多角形や円などしか測れないのでは話になりません。一方、座標空間、ベクトル、三角関数、微分積分などの手法は一般的な現象を記述する上で必ず必要になります。
もちろん、たとえば三角比を定義するには、「三角形の内角の和は180度である」とか「2角が等しい三角形は相似である」といった初等幾何学の性質が必要になります。そのようなものを全て廃止せよと言っているわけではありません。しかし、高校1年生で習う余弦定理:
を証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学の問題は解けます。それ以降は、ユークリッド幾何学的な手法や問題設定にこだわる必要はないと思いますし、実際それで問題ありません。
現状、少なくない時間がユークリッド幾何学に費やされています。数学の1単元を占めているだけではなく、その他の単元にもユークリッド幾何学の発想に影響された例や問題が多く登場します。たとえば、複素平面において4点の共円条件や垂直二等分線を求めさせる問題など。そして最も労費されているのは生徒の自習時間です。以前よりマシになったとはいえ、大学入試等には技巧的な図形問題が出題されるため、受験生はその対策に多大な時間を費やしています。
高校数学では以下のような事項が重要だと思います。ユークリッド幾何学を学ばせている時間があったら、このような分野を優先的に修められるようにすべきです。
これらの分野は数学の手法としても非常に強力ですし、大学以降で数学を学ぶ際、現実的な問題を数学や物理の問題として正確に記述する際に必ず必要になります。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で応用されるとしても、微分積分などと同レベルに重要だと真剣に主張する人っていらっしゃるでしょうか？
ユークリッド幾何学を初等教育で教えるべきだとする根拠には、大雑把に言って以下の4つがあると思います。
まず①は明らかにおかしいです。ユークリッド幾何学に限らず、数学のあらゆる命題は証明されるべきものだからです。高校の教科書を読めば、相加平均・相乗平均の不等式、点と平面の距離の公式、三角関数の加法定理、微分のライプニッツ則や部分積分の公式など、どれも証明されています。そもそも、数学の問題はすべて証明問題です。たとえば、関数の極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であるかそうでないかを定義や既知の性質に基づいて示す必要があります。したがって、ユークリッド幾何学だけが特に証明の考え方を学ぶのに有効だという理由はありません。
②もおかしいです。図形問題を扱うのはユークリッド幾何学だけではないからです。ベクトルや微分積分でも図形問題を扱います。たとえば、三角形の5心の存在や、チェバの定理、メネラウスの定理などはベクトルを用いても容易に示すことができます。また言うまでもなく、曲線の接線は微分で求めることができ、面積や体積は積分で求めることができます。また、ユークリッド幾何学の手法は問題ごとに巧い補助線などを発見しなければいけないのに対し、解析的な手法は一般に方針が立てやすく汎用的です。したがって、図形問題を扱うのにユークリッド幾何学の手法にこだわる理由はありません。
③は単なる個人の思い込みであり、科学的な根拠はありません。そもそも、数学教育の目的は「地頭」などを鍛えることではなく、「大学や実社会において必要な数学の素養を身につけること」のはずです。また、これも上ふたつと同様に「ユークリッド幾何学以外の数学では、『数学的直観』などは鍛えられないのか」という疑問に答えられておらず、ユークリッド幾何学を特別視する理由になっていません。
④もおかしいです。そもそも「歴史的に重要である」ことと「初等教育で教えるべき」という主張には何の関係もありません。歴史的に重要ならば教えるというなら、古代バビロニア、インド、中国などの数学は特に扱わないのはなぜでしょうか。もっと言えば、文字式や＋－×÷などの算術記号が使われ始めたのでさえ、数学史的に見ればごく最近のことですが、昔はそれらを使わなかったからといって、今でもそれらを使わずに数学を記述するべき理由があるでしょうか。
数学で重要なのはその内容であるはずです。ユークリッド幾何学を擁護する論者は、「（表面的に）計算問題に見えるか、証明問題に見えるか」のようなところに価値を置いて、一方が数学教育的に有意疑だと見なしているようですが、そんな分類に意味は無いと思います。
大昔は代数の計算や方程式の解法（に対応するもの）は作図問題に帰着していたようですが、現代でそれと同様の手法を取るべき理由は全くありません。記述する内容が同じであれば、多項式や初等解析のような洗練された方法・重要な結果を導きやすい方法を用いればよいに決まっています（数学史家は別として）。同様に、ユークリッド幾何学も、解析的な手法で解ければそれでよく、技巧的な補助線パズルなどに興じたり、公理的な方法にこだわる必要はありません。
たとえば、放物線は直線と点からの距離が等しい点の軌跡として定義することもできますが、初等教育で重要なのは明らかに2次関数のグラフとして現れるものです。放物線を離心率や円錐の断面などを用いて導入したところで、結局やるのは二次関数の増減問題なのですから、最初から2次関数のグラフとして導入するのは理にかなっています。数学教育の題材は「計算問題か証明問題か」などではなく、このような観点で取捨選択すべきです。
三角比などを学んだあともユークリッド幾何学を教えたり、解析的な手法では煩雑になるがユークリッド幾何学の範疇ではエレガントに解けるような問題を出して受験生を脅したりするのは、意味が無いと思います。それは、「掛ける数」と「掛けられる数」を区別したり、中学で連立方程式を学ぶのに小学生に鶴亀算を教えるのと同様に、無駄なことをしていると思います。
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(*1)
現代数学では、n次元ベクトル空間R^n = Re_1⊕...⊕Re_nに
(e_i, e_j) = δ_i,j (クロネッカーのデルタ)
で内積が定義される空間上の幾何学はすべてユークリッド幾何学に分類されます。したがって、上にあげた座標空間、ベクトル、微分積分、一次変換なども敢えて分類すればユークリッド幾何学です。しかし、ここではその意味でのユークリッド幾何学が不要と言っているのではありません。飽くまでも、技巧的な補助線問題や、公理的な方法にこだわることが不要だと言っています。
(*2)
数学科の専門課程で学ぶガロア理論では、コンパスと定規による作図可能性が論じられますが、これは「作図問題にガロア理論が応用できる」というだけであり、「ガロア理論を学ぶのに作図の知識が必要」というわけではありません。
そんなことは言っていない。
あと、「導出に時間がかかるから覚える」なんてことも言っていない。
文中で挙げた例では、加法定理の証明などはそこそこ長いが、こいつは回転が1次変換であることと、(1, 0), (0, 1)が平面の基底であるという当たり前の事実が分かっていれば、cos(π/2+θ)とsin(π/2+θ)の値だけから決まるということが分かる。
そんな話はしていない。
置換積分や部分積分の公式は、合成関数や積の微分に対応するんだから、覚える必要ないよね。
log(x)の積分なんかはテクニカルかも知れんが、部分積分が適用できる好例だし、そもそもこんな単純な初等関数の微分や積分なんか、習得して当たり前。そんなもんを「覚えなければいけない」なんて感じるのは、意識の問題。
まあ結果を覚えるというより導出を覚えるべきなんだけど、
そんなことも言っていない。
そもそも、「覚えなければいけない」の対義語は「自分でおもいつく」じゃない。
たとえば、数学がまともにできる人で、(a + b)(c + d)の展開公式を覚えている人はいないだろう。分配法則を知っていれば計算できるからだ。そして、多項式に対して分配法則が成り立つことは（もちろん厳密に証明することはできるが）自然な感覚であり、これも覚える必要はない。
こんな自明な例に限らず、数学で何かを覚えることが、遠回りであり、本末転倒であることを説明する。
また、読解力の低い奴のために補足しておくが、「覚えなくていい」というのは「勉強しなくていい」ということではない。まあ、こういう勘違いをする奴らはこの一文自体読めないから無駄なんだが、少なくとも俺が「ここに書いてあるだろボケ」と言うための根拠にはなる。
無い。
「定義や公理は他の事実から導かれないので覚える必要がある」という意見があるが、間違いだ。
それは単に論理的に導かれないというだけであって、考えている問題に対してそのように概念を定義すべき理由は存在するからだ。
たとえば、複素数は実数係数の2次方程式の解として生じるからi^2=-1と導入するのは自然であるし、三角形は2角と1辺の長さが決まれば決定されるから三角比の定義は自然なものである。
そもそも、どのような経緯でそのような概念が導入されるのか理解することは、別に数学に限らず重要である。
無い。
数学の公式はすべて論理的に導出できるのだから、覚える必要はない。特に、高校数学程度の定理・公式などに大して証明が難しいものは無いのだから、瞬時に正しく導けなければいけない。
また、大抵の公式は、その意味が理解できていればいくつかの具体例で試せば分かる。たとえば、三角関数の加法定理は、cos(π/2+θ)とsin(π/2+θ)さえ分かれば求められる。
無い。
用語などはどうでもいい。
たとえば、平方完成という名前を知らなくても、二次方程式の解の公式の導出や、二次関数の極値問題が解ければ全く問題ない。
無い。
そもそも、数学の理解度を確かめるために具体的な問題があるのであって、問題の解き方を覚えるのは完全に本末転倒である。
あの愚かしい「掛け算の順番」論を小学校２年生で教えるように文部科学省からの「解説」が出たのは，平成２９年７月のことであった。学習指導要領は平成２８年１２月の中央教育審議会答申を踏まえて平成２９年３月３１日に改訂され，文部省による「解説」が平成２９年７月に公開されたのである。
「掛け算の順番」は，中央教育審議会の答申で加わったものなのか，それとも「解説」で加わったものなのか。後者である。
中央教育審議会や，その初等中等教育分科会，さらにその中の教育課程部会小学校部会や教育課程部会算数・数学ワーキンググループの議事録は，国立国会図書館が保存している。
中央教育審議会： https://warp.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/11293659/www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo0/index.htm
初等中等教育分科会： https://warp.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/11293659/www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/index.htm
議事録をそれぞれ開いて検索しても，「乗法」「かける数」の順番についての言及は無い。
ところが，学習指導要領の「解説」113頁以下で突如として，「被乗数と乗数の順序が…本質的な役割を果たしている」などという言葉が出てくるのである。
もっとも，この「解説」が，中央教育審議会での検討結果を適切に踏まえて作成された可能性もある。
したがって，掛け算の順番を指導すべきか否かについて，確認すべき点が２点ある。
第一に，中央教育審議会教育課程部会算数・数学ワーキンググループの委員ら（ https://warp.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/11293659/www.mext.go.jp/b_menu/shingi/chukyo/chukyo3/meibo/1370594.htm ）は，掛け算の順番を指導することを意図していたか。第二に，「解説」113頁以下の執筆過程である。
もっとも，「解説」が中央教育審議会の真意を反映していないと推認させる事情がある。「解説」対象としているはずの表現が，指導要領の文言と異なっているのだ。以下は「解説」113頁以下の抜粋である（二重引用は，解説中で引用されている指導要領である。）。
A(3)乗法
(3)乗法に関わる数学的活動を通して，次の事項を身に付けることができるよう指導する。
(ア) 乗法の意味について理解し，それが用いられる場合について知ること。
(イ) 乗法が用いられる場面を式に表したり，式を読み取ったりすること。
(ウ) 乗法に関して成り立つ簡単な性質について理解すること。
(エ) 乗法九九について知り，1位数と1位数との乗法の計算が確実にできること。
(オ) 簡単な場合について，2位数と1位数との乗法の計算の仕方を知ること。
(ア) 数量の関係に着目し，計算の意味や計算の仕方を考えたり計算に関して成り立つ性質を見いだしたりするとともに，その性質を活用して，計算を工夫したり計算の確かめをしたりすること。
(内容の取扱い)
(4) 内容の「A数と計算」の(3)のアの(ウ)については，主に乗数が1ずつ増えるときの積の増え方や交換法則を取り扱うものとする。
第1学年では，加法の意味について理解することや，その計算の仕方を考えることを指導してきた。また，第2学年では，数のまとまりに着目し，数を2ずつ，5 ずつなどの同じ大きさの集まりにまとめて数えることを指導してきている。
第2学年では，乗法が用いられる実際の場面を通して，乗法の意味について理解できるようにする。また，この意味に基づいて乗法九九を構成したり，その過程で乗法九九について成り立つ性質に着目したりするなどして，乗法九九を身に付け，1位数と1位数との乗法の計算が確実にできるようにするとともに，計算を生活や学習に活用する態度を養うことをねらいとしている。
なお，ここでの学習の内容は，第3学年の多数桁の乗法や除法の学習の素地となるものである。
乗法は，一つ分の大きさが決まっているときに，その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。
例えば，「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を求めることについて式で表現することを考える。
「5個のまとまり」の4皿分を加法で表現する場合，5+5+5+5と表現することができる。また，各々の皿から1個ずつ数えると，1回の操作で4個数えるこ とができ，全てのみかんを数えるために5回の操作が必要であることから，4+4 +4+4+4という表現も可能ではある。しかし，5個のまとまりをそのまま書き 表す方が自然である。そこで，「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を 乗法を用いて表そうとして，一つ分の大きさである5を先に書く場合5× 4と表 す。このように乗法は，同じ数を何回も加える加法，すなわち累加の簡潔な表現と も捉えることができる。言い換えると，(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ 分かに当たる大きさ)と捉えることができる。
また乗法は，幾つ分といったことを何倍とみて，一つ分の大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるという意味も，併せて指導する。このときも，一つ分 に当たる大きさを先に，倍を表す数を後に表す場合，「2mのテープの3倍の長さ」 であれば2× 3と表す。
なお，海外在住経験の長い児童などへの指導に当たっては，「4×100 mリレー」 のように，表す順序を日本と逆にする言語圏があることに留意する。
ここで述べた被乗数と乗数の順序は，「一つ分の大きさの幾つ分かに当たる大き さを求める」という日常生活などの問題の場面を式で表現する場合に大切にすべきことである。一方，乗法の計算の結果を求める場合には，交換法則を必要に応じて活用し，被乗数と乗数を逆にして計算してもよい。
乗法による表現は，単に表現として簡潔性があるばかりでなく，我が国で古くか ら伝統的に受け継がれている乗法九九の唱え方を記憶することによって，その結果 を容易に求めることができるという特徴がある。
「(ア) 乗法が用いられる場合とその意味」という見出しが付されていることから，「解説」を執筆した文部科学省初等中等教育局長髙橋道和およびその部下たちは，学習指導要領における「乗法の意味について理解し，それが用いられる場合について知ること」を「乗法が用いられる場合とその意味」と読み替えた上で，後者について解説してることが分かる。
そして文科省初等中等部教育局は，「用いられる場合」のあり方について縷々説明をする。「その意味」が「乗法の意味」ではなく「乗法が用いられる場合の意味」を指すように，意味が変更されたことの現れである。順序が本質的な役割を果たすとして交換を拒む彼らが，表現の順序を交換しているのは皮肉であるが，そこでは交換法則が成立していない。
学習指導要領は，「乗法の意味」には「理解」を求め，「それが用いられる場合」は「知ること」を求めている。後者は知るだけで良いのであって，深い分析の如きは求められていない。そこには，文科省の官僚が言うような「被乗数と乗数の順序に関する約束が必要であることやそのよさを児童が理解することが重要である」というような視点はなかったのである。
位数が有限な体のことです。
集合Fに二項演算+: F×F→Fが定義され、以下の性質を満たすとき、Fは群であるという。
Fの元の個数をFの位数という。
上に加えて、さらに次の性質を満たすとき、Fをabel群という。
Fが環であるとは、2つの二項演算+: F×F→F、*: F×F→Fが定義され、以下を満たすことである。
Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは可換環であるという。
Fが環であり、さらに以下を満たすとき、Fは斜体または可除環であるという。
Fが可換環であり、斜体であるとき、Fは体または可換体であるという。
位数有限な斜体は、可換体である。（Wedderburn）
逆に、任意の素数pと自然数n≧1に対して、位数p^nである体が同型を除いて一意的に存在する。q=p^nとして、この体をF_qと書く。
有限体F_qの有限拡大はF_(q^m)の形。
これはすべてGalois拡大であり、そのGalois群はFrobenius準同型
φ_q: x→x^q
中学高校の数学から、いわゆるユークリッド幾何学は廃止してよい。理由は単純明快で、何の役にも立たないからだ。
大学に入ったら、どの学部に行っても、「補助線を引いて、相似な三角形を作って〜」などと言ったパズルをやることは絶対にない。メネラウスの定理を高校卒業以降（高校数学の指導以外で）使ったことのある現代人はいないだろう。こういうことは、別に高等数学の知識の無い高校生でも、常識で考えて分かると思う。たとえば工学で、弧長や面積を測定する機器が必要になったとして、補助線パズルが適用できるごく一部の多角形などしか測れないのでは話にならない。現代の数学および科学技術を支えているのは、三角関数やベクトルや微分積分などを基礎とする解析的な手法である。
もちろん、たとえば三角比を定義するには「三角形の内角の和は180°である」とか「2角が等しい三角形は相似である」等のユークリッド幾何学の定理が必要になる。そういうものを全て廃止せよと言っているわけではない。しかし、余弦定理まで証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学の問題は解ける。また、実用上もそれで問題ない。したがって、余弦定理を初等的な方法で示したら、ユークリッド幾何学の手法はお役御免でよい。
これらはいずれも、高等数学を学ぶ際に欠かせない基礎となる分野である。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で使われるとしても、いくらなんでも微分積分などと同等以上に重要だと主張する人はいないだろう。
現在、これらの分野は十分に教えられていない。微分方程式と一次変換は現在（2020年5月）のカリキュラムでは教えられておらず、ベクトルは文系の範囲から除かれ、代わりにほとんど内容の無い統計分野が教えられている。また、高校生にもなって、コンパスと定規による作図みたいなくだらないことをやっている。本当に、どうかしているとしか言い様がない。
ユークリッド幾何学を教えるべきとする根拠の代表的なものは、証明の考えに触れられるというものだ。つまり、代数や解析は計算が主体であるが、ユークリッド幾何学は証明が主体なので、数学的な思考力を鍛えられるというものだ。
しかし、これは明らかに間違っている。別にユークリッド幾何学の分野に限らず、数学のあらゆる命題は証明されなければならないからだ。実際、高校数学の教科書を読めば、三角関数の加法定理や、微分のライプニッツ則など、証明が載っている。そもそも、数学の問題は全て証明問題である。関数の極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であることを定義に基づいて示さねばならない。数学的思考力を養うのに、ユークリッド幾何学が他の分野より効果的だという根拠は無い。
https://enjoy.sso.biglobe.ne.jp/archives/windows_logo/
・加法混色(色を加えるほど明るくなる)の三原色がRGBレッドグリーンブルー
・減法混色(色を加えると暗くなる)の三原色がCMYシアンマゼンタイエロー(これにKブラックを足すと印刷の四原色)
昔から絵の具は「赤黄緑青」を四原色にして色を作り出していた。
ウィンドウズ以外も「新しい物を作り出す」(画家が絵の具から芸術を作るように)という意図を込めたいからこの色をみんな使いたがるんじゃないかと思う(多分)。
ポップな印象を与えつつ、納まりもいいし。
また、うろ覚えだから間違ってたら申し訳ないけど、少し歴史的な話をすると、
原色を使った有名な作品としては、ピエト・モンドリアンの抽象画がある(ピンこなくても見ればわかるはず)。
モンドリアンが主導した前衛運動デ・ステイルでも原色がアイコン化されているので、直接の影響はモンドリアンやデ・ステイルにあるのかも知れない。(緑はあまり使われていない気がするが)
また、同時代にはバウハウスやロシア構成主義といった「近代的な、機能的で合理的な」表現を目指すモダニズムの運動があり、これらも原色を使った表現が特徴。
「表現におけるモダニズム」は合理性を重んじているため、ITやゲーム界隈と相性がいいのかもしれない。
他に原色といえばデンマーク発祥の「レゴブロック」があるが、デンマークのデザインの特徴もシンプルさと機能性。
他にはポップアートなども関連性がありそう。
専門ではないので、話半分に読んで
まずは
1. ガロア理論
2. 楕円曲線
この二つは19世紀以前の数学の最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います。
またIUTでは楕円曲線のガロア理論を用いて数の加法や乗法の構造を調べるというようなことをしています。
1. ガロア理論
ガロア理論は方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的な問題が解決されました。これを理解するためには代数学、特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります。
さらに整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論を勉強なさるのがよいと思います。p進体では（普通の対数関数と同じように）logを定義することができ、これはIUTでも重要な役割を果たします。類体論の特別な場合として円分体のガロア理論を理解すると、例えばガウスなんかの整数論の話もより深く理解できると思います。
2. 楕円曲線
楕円曲線は楕円関数論をある種代数的に扱うようなものです。楕円関数というのは、三次式の平方根の積分でこの積分を表すために導入された関数です。19世紀の数学でかなり研究されたものですが、これについては複素解析という複素数平面上で微積分をするということについて理解する必要があります。
さらにその後の発展として、リーマン面や基本群、ホモロジーといった概念が考えられました。基本群やホモロジーというのはトポロジーという分野で研究されているものですが、数論幾何でも重要な役割を果たします。
上の二つの話は独立したものではなく、相互に関連しあうものです。例えば、基本群とガロア群はある意味では同じものだと観ることができます。このような視点を持って整数の研究をするのが数論幾何という分野です。
まとめると、まずはガロア理論を目標として代数の基本的なこと、楕円関数を目標にして複素解析を学ぶのが良いと思います。
上に書いたようなことは数論幾何を専門にするなら学部生ぐらいで知っている話です。これらを踏まえてIUTにより近い専門的な内容を学んでいくのが良いでしょう。私もその辺りについて詳しいことは言えないのですが、例えば京都大学の星先生の書かれたIUTのサーベイをご覧になってみるのが良いのではないでしょうか。
