  |
はてなキーワード: 複素数とは
ここでいう「ユークリッド幾何学」とは、座標空間、ベクトル、三角関数、微分積分などの解析的手法を用いないいわゆる総合幾何学のことです(*1)。2020年8月現在の高校数学のカリキュラムでいえば、「数学A」の「図形の性質」に該当する分野です。
ユークリッド幾何学が不要だと思う理由は単純明快で、何の役にも立たないからです。大学に入って、「補助線を引いて、相似な三角形を作って～」とか「コンパスと定規による作図」みたいなパズルゲームをやることは絶対にありません(*2)。これは常識で考えても分かると思います。たとえば工学の研究で、ある物体の弧長や面積などを測定しなければならないとして、ユークリッド幾何学の補助線パズルが適用できる多角形や円などしか測れないのでは話になりません。一方、座標空間、ベクトル、三角関数、微分積分などの手法は一般的な現象を記述する上で必ず必要になります。
もちろん、たとえば三角比を定義するには、「三角形の内角の和は180度である」とか「2角が等しい三角形は相似である」といった初等幾何学の性質が必要になります。そのようなものを全て廃止せよと言っているわけではありません。しかし、高校1年生で習う余弦定理:
を証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学の問題は解けます。それ以降は、ユークリッド幾何学的な手法や問題設定にこだわる必要はないと思いますし、実際それで問題ありません。
現状、少なくない時間がユークリッド幾何学に費やされています。数学の1単元を占めているだけではなく、その他の単元にもユークリッド幾何学の発想に影響された例や問題が多く登場します。たとえば、複素平面において4点の共円条件や垂直二等分線を求めさせる問題など。そして最も労費されているのは生徒の自習時間です。以前よりマシになったとはいえ、大学入試等には技巧的な図形問題が出題されるため、受験生はその対策に多大な時間を費やしています。
高校数学では以下のような事項が重要だと思います。ユークリッド幾何学を学ばせている時間があったら、このような分野を優先的に修められるようにすべきです。
これらの分野は数学の手法としても非常に強力ですし、大学以降で数学を学ぶ際、現実的な問題を数学や物理の問題として正確に記述する際に必ず必要になります。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で応用されるとしても、微分積分などと同レベルに重要だと真剣に主張する人っていらっしゃるでしょうか？
ユークリッド幾何学を初等教育で教えるべきだとする根拠には、大雑把に言って以下の4つがあると思います。
まず①は明らかにおかしいです。ユークリッド幾何学に限らず、数学のあらゆる命題は証明されるべきものだからです。高校の教科書を読めば、相加平均・相乗平均の不等式、点と平面の距離の公式、三角関数の加法定理、微分のライプニッツ則や部分積分の公式など、どれも証明されています。そもそも、数学の問題はすべて証明問題です。たとえば、関数の極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であるかそうでないかを定義や既知の性質に基づいて示す必要があります。したがって、ユークリッド幾何学だけが特に証明の考え方を学ぶのに有効だという理由はありません。
②もおかしいです。図形問題を扱うのはユークリッド幾何学だけではないからです。ベクトルや微分積分でも図形問題を扱います。たとえば、三角形の5心の存在や、チェバの定理、メネラウスの定理などはベクトルを用いても容易に示すことができます。また言うまでもなく、曲線の接線は微分で求めることができ、面積や体積は積分で求めることができます。また、ユークリッド幾何学の手法は問題ごとに巧い補助線などを発見しなければいけないのに対し、解析的な手法は一般に方針が立てやすく汎用的です。したがって、図形問題を扱うのにユークリッド幾何学の手法にこだわる理由はありません。
③は単なる個人の思い込みであり、科学的な根拠はありません。そもそも、数学教育の目的は「地頭」などを鍛えることではなく、「大学や実社会において必要な数学の素養を身につけること」のはずです。また、これも上ふたつと同様に「ユークリッド幾何学以外の数学では、『数学的直観』などは鍛えられないのか」という疑問に答えられておらず、ユークリッド幾何学を特別視する理由になっていません。
④もおかしいです。そもそも「歴史的に重要である」ことと「初等教育で教えるべき」という主張には何の関係もありません。歴史的に重要ならば教えるというなら、古代バビロニア、インド、中国などの数学は特に扱わないのはなぜでしょうか。もっと言えば、文字式や＋－×÷などの算術記号が使われ始めたのでさえ、数学史的に見ればごく最近のことですが、昔はそれらを使わなかったからといって、今でもそれらを使わずに数学を記述するべき理由があるでしょうか。
数学で重要なのはその内容であるはずです。ユークリッド幾何学を擁護する論者は、「（表面的に）計算問題に見えるか、証明問題に見えるか」のようなところに価値を置いて、一方が数学教育的に有意疑だと見なしているようですが、そんな分類に意味は無いと思います。
大昔は代数の計算や方程式の解法（に対応するもの）は作図問題に帰着していたようですが、現代でそれと同様の手法を取るべき理由は全くありません。記述する内容が同じであれば、多項式や初等解析のような洗練された方法・重要な結果を導きやすい方法を用いればよいに決まっています（数学史家は別として）。同様に、ユークリッド幾何学も、解析的な手法で解ければそれでよく、技巧的な補助線パズルなどに興じたり、公理的な方法にこだわる必要はありません。
たとえば、放物線は直線と点からの距離が等しい点の軌跡として定義することもできますが、初等教育で重要なのは明らかに2次関数のグラフとして現れるものです。放物線を離心率や円錐の断面などを用いて導入したところで、結局やるのは二次関数の増減問題なのですから、最初から2次関数のグラフとして導入するのは理にかなっています。数学教育の題材は「計算問題か証明問題か」などではなく、このような観点で取捨選択すべきです。
三角比などを学んだあともユークリッド幾何学を教えたり、解析的な手法では煩雑になるがユークリッド幾何学の範疇ではエレガントに解けるような問題を出して受験生を脅したりするのは、意味が無いと思います。それは、「掛ける数」と「掛けられる数」を区別したり、中学で連立方程式を学ぶのに小学生に鶴亀算を教えるのと同様に、無駄なことをしていると思います。
----
(*1)
現代数学では、n次元ベクトル空間R^n = Re_1⊕...⊕Re_nに
(e_i, e_j) = δ_i,j (クロネッカーのデルタ)
で内積が定義される空間上の幾何学はすべてユークリッド幾何学に分類されます。したがって、上にあげた座標空間、ベクトル、微分積分、一次変換なども敢えて分類すればユークリッド幾何学です。しかし、ここではその意味でのユークリッド幾何学が不要と言っているのではありません。飽くまでも、技巧的な補助線問題や、公理的な方法にこだわることが不要だと言っています。
(*2)
数学科の専門課程で学ぶガロア理論では、コンパスと定規による作図可能性が論じられますが、これは「作図問題にガロア理論が応用できる」というだけであり、「ガロア理論を学ぶのに作図の知識が必要」というわけではありません。
たとえば、数学がまともにできる人で、(a + b)(c + d)の展開公式を覚えている人はいないだろう。分配法則を知っていれば計算できるからだ。そして、多項式に対して分配法則が成り立つことは（もちろん厳密に証明することはできるが）自然な感覚であり、これも覚える必要はない。
こんな自明な例に限らず、数学で何かを覚えることが、遠回りであり、本末転倒であることを説明する。
また、読解力の低い奴のために補足しておくが、「覚えなくていい」というのは「勉強しなくていい」ということではない。まあ、こういう勘違いをする奴らはこの一文自体読めないから無駄なんだが、少なくとも俺が「ここに書いてあるだろボケ」と言うための根拠にはなる。
無い。
「定義や公理は他の事実から導かれないので覚える必要がある」という意見があるが、間違いだ。
それは単に論理的に導かれないというだけであって、考えている問題に対してそのように概念を定義すべき理由は存在するからだ。
たとえば、複素数は実数係数の2次方程式の解として生じるからi^2=-1と導入するのは自然であるし、三角形は2角と1辺の長さが決まれば決定されるから三角比の定義は自然なものである。
そもそも、どのような経緯でそのような概念が導入されるのか理解することは、別に数学に限らず重要である。
無い。
数学の公式はすべて論理的に導出できるのだから、覚える必要はない。特に、高校数学程度の定理・公式などに大して証明が難しいものは無いのだから、瞬時に正しく導けなければいけない。
また、大抵の公式は、その意味が理解できていればいくつかの具体例で試せば分かる。たとえば、三角関数の加法定理は、cos(π/2+θ)とsin(π/2+θ)さえ分かれば求められる。
無い。
用語などはどうでもいい。
たとえば、平方完成という名前を知らなくても、二次方程式の解の公式の導出や、二次関数の極値問題が解ければ全く問題ない。
無い。
そもそも、数学の理解度を確かめるために具体的な問題があるのであって、問題の解き方を覚えるのは完全に本末転倒である。
集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。
K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。
C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である。
L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式f(X)が存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。
そのような多項式が存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。
なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式
X^2 -(z + z*)X + zz* = 0
の解だから。
Kを体とする。K上の任意の多項式F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで
と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のものが存在し、Fの（最小）分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である。
LをFの分解体とする。Lの部分環Vを
K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))
の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるから、aiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元のベクトル空間である。
Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像は全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である。
Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである。
さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないものが存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□
L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限次代数拡大という（上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である）。
M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。
α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。
[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つものが存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。
Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。
任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。
L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。
L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。
[L : K] = 2なので、α∈L＼Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。
α∉Kより、K⊕KαはK上2次元のベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。
σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□
C/RはGalois拡大。
L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。
L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである。
K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式が重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。
nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 ＜ m ＜ n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である。
L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式が重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。
体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。
F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。
実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。
L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。
K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。
部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。
逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。
次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。
L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。
- H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
- K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
- 中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
- 部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
- 中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大（L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大）であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。
K=Q, L=Q(√2, √3)とすると、Gal(L/K)はσ√2→-√2とする写像σと、√3→-√3とする写像τで生成される位数4の群Z/2Z×Z/2Zである。
この部分群は{id}, {id, σ}, {id, τ}, {id, στ}, {id, σ, τ, στ}の5種類があり、それぞれ中間体L, Q(√2), Q(√3), Q(√6), Kに対応する。
中学高校の数学から、いわゆるユークリッド幾何学は廃止してよい。理由は単純明快で、何の役にも立たないからだ。
大学に入ったら、どの学部に行っても、「補助線を引いて、相似な三角形を作って〜」などと言ったパズルをやることは絶対にない。メネラウスの定理を高校卒業以降（高校数学の指導以外で）使ったことのある現代人はいないだろう。こういうことは、別に高等数学の知識の無い高校生でも、常識で考えて分かると思う。たとえば工学で、弧長や面積を測定する機器が必要になったとして、補助線パズルが適用できるごく一部の多角形などしか測れないのでは話にならない。現代の数学および科学技術を支えているのは、三角関数やベクトルや微分積分などを基礎とする解析的な手法である。
もちろん、たとえば三角比を定義するには「三角形の内角の和は180°である」とか「2角が等しい三角形は相似である」等のユークリッド幾何学の定理が必要になる。そういうものを全て廃止せよと言っているわけではない。しかし、余弦定理まで証明してしまえば、原理的にはユークリッド幾何学の問題は解ける。また、実用上もそれで問題ない。したがって、余弦定理を初等的な方法で示したら、ユークリッド幾何学の手法はお役御免でよい。
これらはいずれも、高等数学を学ぶ際に欠かせない基礎となる分野である。仮にユークリッド幾何学が何らかの場面で使われるとしても、いくらなんでも微分積分などと同等以上に重要だと主張する人はいないだろう。
現在、これらの分野は十分に教えられていない。微分方程式と一次変換は現在（2020年5月）のカリキュラムでは教えられておらず、ベクトルは文系の範囲から除かれ、代わりにほとんど内容の無い統計分野が教えられている。また、高校生にもなって、コンパスと定規による作図みたいなくだらないことをやっている。本当に、どうかしているとしか言い様がない。
ユークリッド幾何学を教えるべきとする根拠の代表的なものは、証明の考えに触れられるというものだ。つまり、代数や解析は計算が主体であるが、ユークリッド幾何学は証明が主体なので、数学的な思考力を鍛えられるというものだ。
しかし、これは明らかに間違っている。別にユークリッド幾何学の分野に限らず、数学のあらゆる命題は証明されなければならないからだ。実際、高校数学の教科書を読めば、三角関数の加法定理や、微分のライプニッツ則など、証明が載っている。そもそも、数学の問題は全て証明問題である。関数の極値問題は、単に微分が0になる点を計算するだけではなく、そこが実際に極値であることを定義に基づいて示さねばならない。数学的思考力を養うのに、ユークリッド幾何学が他の分野より効果的だという根拠は無い。
ケーキを切るのは難しいので、円の面積を等分することを考える。
何等分するにしても、円の中心を求めるとその後が簡単になる。
適当に弦を取る。これをＡＢとする。ＡＢをＡの方に延長してＡＢ＝ＡＢ’となる点Ｂ’を取る。
ＢＢ’について垂直二等分線の作図を行い円と交わった点をＣとする。ＢＣが直径となるので二等分できた。ＢＣについて垂直二等分線を書くと中心が求まり四等分が出来る。中心をＯとすると、ＢからＯＢと同じ長さの点を円上に取ると正三角形が出来る。中心の角度は60°なので、この方法により６等分出来る。従って三等分も出来る。２，３，４等分出来ているので、次は５等分だが、これには１の原始５乗根を求める。複素数になるけれども、実部が作図できれば、そこから垂直二等分線を描いて円との交点を求めればいい。
「元素記号やサイン・コサイン・タンジェント、どこで使うの？使ったためしがない」と橋下徹氏が語ったことについて、話題だ。橋下氏は「最低限学ばなきゃいけないこと」以外の例としてこれらを挙げており、「（学ぶかどうかは）選択制でいいと思う」としている。
ソース：https://abematimes.com/posts/5496054
これに対してネット（主にTwitter）では、「あれにも使うしこれにも使う。お前の人生で使ってこなかっただけだろう」と非難轟々。
同氏は同じ場で「勉強のできる人たちは"そういうのも教養だ"というが、今はインターネットで色々なことは調べられる」と語ったそうだが、まずは自分以外の人たちが元素記号や三角関数をどのように使っているのか、インターネットで調べてから発言すべきだったといえる。
まあ、数学の学習指導要領の中でも例えば複素数平面や合同式あたりは入ったり外れたりしているので、そういう意味では「何が学習指導要領として重要か」という議論はあってもいいだろう（氏は複素数平面も合同式も使ったことがないかもしれないが）。
つまり、インターネットでろくに調べもせずに元素記号や三角関数を「いらない教養」として発言してしまったこと自体が橋下氏の失敗であることに他ならないのだが、その辺には目をつむって最大限良い方向に気持ちを汲み取ってあげると、氏は「教養とかいろいろあるけどさ、いろんな子がいるんだしみんなに画一的な教育じゃなくてその子の特性を伸ばせる教育作ろうよ」と言いたかったのだと思う。
そう取れるのは、話の前段で乙武氏が「型破りな子を伸ばせる人材として、今までの教員免許の枠組み以外から教員を一部採用するべきだ」（意訳）と主張しているからだ。
乙武氏は新しい採用方法を取るべき理由について、「（現システムでは）免許を取る人はめちゃくちゃ真面目な人ばかりで、レールの上を歩くような人しか教員になれない」から、型破りな子を伸ばせないとしている。
つまり乙武氏は、教員免許を取る教養がなくても教師として教えることができてもいいんじゃないかと主張している。
その上で、大学で教員免許を取る過程も踏めない人が常勤教師として「型破りな子たち」（学校に何人いるんだ）に義務教育で何を教えるのだろうか。きっと元素記号や三角関数よりも大事な新しい単元があるのだろうから、ぜひ乙武氏には具体的な案を提示してもらいたい。さぞ義務教育期間にやるべき大切なことなんだろう。
そもそも、乙武氏の「教員免許を取るためには、大学で相当な数の授業を取らなければいけない。その時点で、何かにのめり込んだり、旅に行きまくったような人たちは厳しい」という発言自体が、教養を放り投げると未来の職業の選択肢が狭まるという当たり前の事実を映していて香ばしい。
教員へのモチベーションがあるのなら、旅に明け暮れて３０代になろうが、その後大学に入って勉学に励めば教員免許は取れる。
強いて問題を挙げるなら、その後の教員採用試験に合格するか、そして職場がイレギュラーな人材を受け入れられるかどうかという方ではないだろうか。
てか、現状でも大学教員に免許はないし、教養を付けた型破りな子は大学で良い先生に巡り会えれば良い方向に伸びるんじゃないんですかね、知らんけど。
新聞に、数学検定１級に最年少で合格した子のことが載っていた。11歳で
合格したんだとか…。数学検定1級といえば、大学教養レベルであり、合格率が
1割を切るという難関資格。とにかく凄いとしか言いようがない。
でも、もっと凄いなあ、と感じたのは、小1の時に、数学検定2級に合格した、と
いうこと。数学検定2級は高2レベルで、ベクトルや数列、複素数なども入っている。
この内容を小1で理解できた、ということが信じられない。
数学検定は1次試験が計算で、2次試験が記述式の問題になっている。百歩譲って
1次試験であれば、計算問題なので、公文なんかに通って訓練しまくったら合格できる可能性は
無くはないと思われるが、それでは2次試験には通らない。だって、2次試験は
問題の意味や数学的な概念をちゃんと理解しないと解けないようになっているから。
まず、小1だと、漢字が読めないのと、単語の意味が分からないのとで、問題文を読むこと
すら普通は不可能だろうし…。数学の能力だけでなく、一定の国語力も必要になってくる。
いったい、どうやってこの子は、そんな短期間の間に、数学力と国語力を磨いたんだろうか…。
何か、とてつもない才能を持ってるのではないか？と思う。
あと、これだけの能力を持ってたら、学校の授業がとてつもなくヒマそう。日本には
飛び級の制度がないので、大学入学まで、ヒマな授業に付き合わないといけないことに
「学習指導要領から○○が消えたー。あり得ない。」は、教わった世代のノスタルジーを含むケースが多い。
「ベクトルが消えた！物理が教えられない！」 → 「力の合成くらい物理教師が頑張れ。どうせ微積を使わない高校物理なんか制限だらけだ。」
「行列が消えた！３ＤＣＧや機械学習が理解できない！」 → 「大学の線形代数で頑張らせろ。どうせ高校の行列なんてタダの計算練習かパズル。行列式も固有値も教えない程度だ。」
「数学Ｃがなくなっていた時代がかわいそう」 → 「数学Ⅲ 3単位と数学Ｃ 2単位を新しい数学Ⅲ 5単位として教えていただけ。どうせ数学Ｃ取ってる奴はほぼ数学Ⅲやってたんだし。」
と個人的には思うのだが、「理工系人材には高校数学の○○が必要だ」というのは高校数学に期待しすぎ。
あとは90％以上の人間が高校まで進学する時代に、共通の教養として必要な内容が高校数学でしょ？
ちなみに新しい学習指導要領でも復活する数学Ｃまで学習すればベクトルあるよ？ 高校物理の力学に間に合わないだけで。
今の学習指導要領で数学Ｉに統計が入り、箱ひげ図や四分位図が必修だけど、40代以下はこんなのやってないっしょ。
今度はそれらは中学数学に下りていく。統計の検定まで高校数学に入ってくる。
新しい学習指導要領で学ぶ内容は、これら。
数学Ⅰ：① 数と式 ② 図形と計量 ③ 二次関数 ④ データの分析（仮説検定の考え方を含む）
数学Ａ：① 図形の性質 ②場合の数と確率 （期待値を含む） ③数学と人間の活動（整数、ユークリッドの互除法、2進数など）
数学Ⅱ：① いろいろな式 ② 図形と方程式 ③ 指数関数・対数関数 ④ 三角関数 ⑤ 微分・積分の考え
数学Ｂ：① 数列 ② 統計的な推測（区間推定及び仮説検定を含む） ③数学と社会生活（散布図に表したデータを一次関数などとみなして処理することも扱う）
数学Ｃ：① ベクトル ② 平面上の曲線と複素数平面 ③ 数学的な表現の工夫（工夫された統計グラフや離散グラフや行列などを取り扱う）
ベクトルあるよ？
行列あるよ？
今は、一般受験以外に多様な方法で大学に入学してくる。既習範囲の理解度確認や基礎の定着のために、まともな理工系大学なら昨今は非一般受験組にはe-ラーニングなどで補習や指導をしている。
そういう意味では、大学から教養部を廃止して、早くから専門バカを作り出す改革が失敗だったのでは？
まずは
1. ガロア理論
2. 楕円曲線
この二つは19世紀以前の数学の最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います。
またIUTでは楕円曲線のガロア理論を用いて数の加法や乗法の構造を調べるというようなことをしています。
1. ガロア理論
ガロア理論は方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的な問題が解決されました。これを理解するためには代数学、特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります。
さらに整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論を勉強なさるのがよいと思います。p進体では（普通の対数関数と同じように）logを定義することができ、これはIUTでも重要な役割を果たします。類体論の特別な場合として円分体のガロア理論を理解すると、例えばガウスなんかの整数論の話もより深く理解できると思います。
2. 楕円曲線
楕円曲線は楕円関数論をある種代数的に扱うようなものです。楕円関数というのは、三次式の平方根の積分でこの積分を表すために導入された関数です。19世紀の数学でかなり研究されたものですが、これについては複素解析という複素数平面上で微積分をするということについて理解する必要があります。
さらにその後の発展として、リーマン面や基本群、ホモロジーといった概念が考えられました。基本群やホモロジーというのはトポロジーという分野で研究されているものですが、数論幾何でも重要な役割を果たします。
上の二つの話は独立したものではなく、相互に関連しあうものです。例えば、基本群とガロア群はある意味では同じものだと観ることができます。このような視点を持って整数の研究をするのが数論幾何という分野です。
まとめると、まずはガロア理論を目標として代数の基本的なこと、楕円関数を目標にして複素解析を学ぶのが良いと思います。
上に書いたようなことは数論幾何を専門にするなら学部生ぐらいで知っている話です。これらを踏まえてIUTにより近い専門的な内容を学んでいくのが良いでしょう。私もその辺りについて詳しいことは言えないのですが、例えば京都大学の星先生の書かれたIUTのサーベイをご覧になってみるのが良いのではないでしょうか。
高校 教科 で検索したら一番上にでてきたこれを見ながら与太話をしていきます。 http://www.edu.pref.ibaraki.jp/board/gakkou/koukou/gakkodukuri/guide/nyugaku/0144.html
実用性があるということにについては当然なのだけど、もうちょっと日本語文法とかについて講義したほうがいいんじゃないかとか思う。
まったくよく知らんのでテキトウに検索して調べた。 http://www.nhk.or.jp/kokokoza/tv/kokuhyou/
俺の時こんな教科なかったような、、、 なんか実用しか考えてない感じですね
文学鑑賞。石原千秋が昔こういう教科は道徳教育であって右翼の陰謀みたいなこと言ってて面白かった。右翼は右翼で逆のことを言っているであろう。
どうも古文は文学に寄りすぎだし、漢文は漢代ぐらいのが多すぎだし実用性という観点ではどうなんでしょうか。武士の祐筆が書いた行政文書とか、宋のころの漢文とかそういうもうちょっと現代社会に通じるような内容をある程度扱ってもいいんじゃないかとずっと思ってる。結局中学高校の授業時間程度じゃ何やるにせよ全然足りないのかもしれませんが。
外人と話をしたりするためには必須の知識だろうと思う。中央アジア史や太平洋島嶼史とかが完全に無視されていて気に食わない。
知らないと話にならない。
この教科の実用性云々というか日本思想というのがこの教科でせいぜい西田幾多郎、和辻哲郎、柳田国男ぐらいしか扱われないことを日本人はよくかんがえたほうがいいのだと思う。西洋思想に触れるまで高校生に教えるに値しない思想を日本人は何一つ作り出すことが出来なかったということが明らかになっている。しかしいずれにせよ実際には日本人は日本思想によって生きているので、結果としてこの教科は実用性に欠けるものになっているのだと思います。
https://www.benesse.jp/teikitest/kou/math/math1/
なんかどれもよく使うやつっぽい。サインコサインとかいらんみたいなこと言う人にはゲーム作る時に丸かいたりするのによく使うよって一言いえばいいと思っている。
https://www.benesse.jp/teikitest/kou/math/math2/
複素数とか何に使うんだよこんなもんとか思ってたらロボット遊びしはじめたらすぐ使うようになった。
https://www.benesse.jp/teikitest/kou/math/math3/
これ III とかいって切り出す必要あるのか？ 1 や 2 に混ぜとけばいいのでは、、、
https://www.benesse.jp/teikitest/kou/math/matha/
実用的っぽい。
https://www.benesse.jp/teikitest/kou/math/mathb
高校の体育の授業クソだったなあ。この辺教師との相性問題っぽい感じ。
実用的。
実用的。
借金玉がやってる発達障害者ハウツー、たとえば「女性が実際に生き抜く上では男性社会に適応することが現実問題として必要なので気立てのよさを身に着けましょう」とか言ってるのと何が違うのかわからないので全く信用する気にはなれない。「発達障害者が実際に生き抜く上では健常者社会に適応することが現実問題として必要なので健常者仕草を身に着けましょう」。当然それはある女性／発達障害者が個人として実践する生き方だったならばそれを否定することはできないけど、それを運動にし始めたなら社会変革を理念的目標とするフェミニストにとっては迷惑でしかない。多分、借金玉は「発達障害が基本的にデメリットであることは疑いようがない」と思ってるんだろうなと思う。物忘れが多いとか、ルールを守ることができないとか、根気がないとかが、まったく問題にならないような社会を作ることが必要だという意識を持っていない、もしくは無視している。借金玉がやってるのは個人のローカルな実践の延長やみたいなことを多分言ってるんだけど、集団を動員している以上それではすまないところもある。『みなさん、やっていきましょう』。外からみたら運動の動員にしか見えないわけだから。ある種の価値観を広めていることは間違いないわけだから。
関係ないけどここ数日のツイッターバトルは運動とか実践とか当事者とか学術とかコロコロ自分の属性を操作して無敵になろうとしてるのが激ヤバムーブ過ぎて普通に複素数太郎かわいそうだなとおもいました（こなみかん）。
