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はてなキーワード: 写像とは
位相的弦理論は、宇宙の不思議を解き明かそうとする特別な考え方です。普通の物理学では、物がどう動くかを細かく調べますが、この理論では物の形や繋がり方だけに注目します。
例えば、ドーナツとマグカップを考えてみましょう。形は全然違うように見えますが、どちらも真ん中に1つの穴があります。位相的弦理論では、この「穴が1つある」という点で同じだと考えるんです。
この理論では、宇宙を細い糸（弦）でできていると考えます。でも、普通の弦理論とは違って、糸がどう振動するかは気にしません。代わりに、糸がどんな形をしているか、どう繋がっているかだけを見ます。
これを使って、科学者たちは宇宙の秘密を解き明かそうとしています。難しそうに聞こえるかもしれませんが、実は私たちの身の回りの物の形を観察することから始まるんです。宇宙の謎を解くのに、ドーナツの形が役立つかもしれないなんて、面白いと思いませんか？
位相的弦理論は、通常の弦理論を単純化したモデルで、1988年にEdward Wittenによって提唱されました。この理論の主な特徴は、弦の振動モードの中で位相的な性質のみを保持し、局所的な自由度を持たないことです。
1. A-モデル：ケーラー幾何学と関連し、2次元の世界面を標的空間の正則曲線に写像することを扱います。
2. B-モデル：複素幾何学と関連し、標的空間の複素構造に依存します。
これらのモデルは、時空の幾何学的構造と密接に関連しており、特にカラビ・ヤウ多様体上で定義されることが多いです。
4. グロモフ・ウィッテン不変量など、新しい数学的不変量を生み出す
この理論は、物理学と数学の境界領域に位置し、両分野に大きな影響を与えています。例えば、代数幾何学や圏論との深い関連が明らかになっており、これらの数学分野の発展にも寄与しています。
大学生の段階では、位相的弦理論の基本的な概念と、それが通常の弦理論とどう異なるかを理解することが重要です。また、この理論が物理学と数学の橋渡しをどのように行っているかを把握することも大切です。
位相的弦理論は、N=(2,2) 超対称性を持つ2次元の非線形シグマモデルから導出されます。この理論は、通常の弦理論の世界面を位相的にツイストすることで得られます。
A-モデル：
B-モデル：
両モデルは、ミラー対称性によって関連付けられます。これは、あるカラビ・ヤウ多様体上のA-モデルが、別のカラビ・ヤウ多様体上のB-モデルと等価であるという驚くべき予想です。
大学院生レベルでは、これらの概念を数学的に厳密に理解し、具体的な計算ができるようになることが期待されます。また、位相的弦理論が現代の理論物理学や数学にどのような影響を与えているかを理解することも重要です。
位相的弦理論は、N=(2,2) 超対称性を持つシグマモデルから導出される位相的場の理論です。この理論は、超対称性のR-対称性を用いてエネルギー運動量テンソルをツイストすることで得られます。
1. A-ツイスト：
- スピン接続をR-電荷で修正: ψ+ → ψ+, ψ- → ψ-dz
2. B-ツイスト：
- スピン接続を異なるR-電荷で修正: ψ+ → ψ+dz, ψ- → ψ-
A-モデル：
ここで、M はモジュライ空間、evi は評価写像、αi はコホモロジー類、e(V) はオブストラクションバンドルのオイラー類
B-モデル：
ここで、X はカラビ・ヤウ多様体、Ω は正則体積形式、Ai は変形を表す場
A-モデルとB-モデルの間の等価性は、導来Fukaya圏と連接層の導来圏の間の圏同値として理解されます。これは、Kontsevich予想の一般化であり、ホモロジー的ミラー対称性の中心的な問題です。
最近の発展：
1. 位相的弦理論とGopakumar-Vafa不変量の関係
3. 非可換幾何学への応用
専門家レベルでは、これらの概念を深く理解し、最新の研究動向を把握することが求められます。また、位相的弦理論の数学的構造を完全に理解し、新しい研究方向を提案できることも重要です。
位相的弦理論の究極的理解には、以下の高度な概念と最新の研究動向の深い知識が必要です：
1. 導来圏理論：
- 安定∞圏を用いた一般化
- 非可換幾何学との関連
- SYZ予想との関連
- 導来代数幾何学の応用
- 圏化されたDT不変量
- ∞圏論を用いた定式化
これらの概念を完全に理解し、独自の研究を行うためには、数学と理論物理学の両分野において、最先端の知識と技術を持つ必要があります。また、これらの概念間の深い関連性を見出し、新しい理論的枠組みを構築する能力も求められます。
位相的弦理論の「廃人」レベルでは、これらの高度な概念を自在に操り、分野の境界を押し広げる革新的な研究を行うことが期待されます。また、この理論が量子重力や宇宙論といった基礎物理学の根本的な問題にどのような洞察を与えるかを探求することも重要です。
RSA暗号は、代数的構造、特に合同算術および整数環における準同型写像を用いた公開鍵暗号である。
RSAの安全性は、環の自己同型写像の一方向性と、有限生成群の元の分解が困難であることに基づいている。
この暗号方式は整数環 Z/NZ（N = p・q）上の準同型写像の一方向性を活用する。
まず、RSAにおける鍵生成は、代数的に以下のように構築される：
互いに素な大きな素数 p および q を選び、合成数 N = p・q を作成する。
これにより、商環 Z/NZ が定義される。ここで、N はRSAにおける「モジュラス」として機能する。
この商環は、全体として単位的な環であり、RSA暗号の計算基盤となる。
オイラーのトーシェント関数 φ(N) を次のように計算する：
φ(N) = (p - 1)(q - 1)
これは環 Z/NZ の単数群 (Z/NZ)* の位数を表し、RSAの準同型構造における指数の計算に用いられる。
単数群 (Z/NZ)* は、φ(N) を位数とする巡回群であり、一般に生成元 g ∈ (Z/NZ)* を持つ。
RSAでは、この群の生成元から得られる公開指数 e は、φ(N) と互いに素な整数として選ばれる。公開指数 e はRSAの「公開鍵指数」となる。
e・d ≡ 1 (mod φ(N))
これは、e に対する逆元 d の存在を保証し、秘密指数として機能する。ここで d はユークリッド互除法により効率的に求められる。
以上により、公開鍵 (N, e) と秘密鍵 (N, d) が生成される。これらの鍵は、合同算術と商環上の準同型写像によって定義される。
RSA暗号は、モジュラー演算によるべき乗写像を使用した暗号化および復号過程である。この操作は、(Z/NZ)* 上の自己同型写像に基づいている。
任意のメッセージ M ∈ Z/NZ に対し、公開鍵 (N, e) を用いて次の準同型写像を作用させる：
C = σ(M) = M^e (mod N)
ここで σ: M → M^e は (Z/NZ)* の自己同型写像として作用し、得られた C は暗号文となる。
この写像はモジュラ指数写像として同型写像であるが、一方向的であるため暗号化に適している。
暗号文 C を受け取った受信者は、秘密指数 d を用いて復号を行う。具体的には次のように計算する：
M = C^d (mod N) = (M^e)^d (mod N) = M^(e・d) (mod N)
ここで e・d ≡ 1 (mod φ(N)) であるため、e・d = kφ(N) + 1（整数 k）と表すことができ、したがって
M^(e・d) = M^(kφ(N) + 1) = (M^(φ(N)))^k・M ≡ 1^k・M ≡ M (mod N)
により、元のメッセージ M を復元することができる。ここでオイラーの定理に基づき、(M^(φ(N))) ≡ 1 (mod N) が成り立つため、この復号化が成立する。
RSA暗号は、Z/NZ の構成において N = p・q の因数分解が困難であることを仮定する。
合成数 N の素因数分解問題は、現在の計算アルゴリズムにおいて指数時間に近い計算量が必要であり、代数的には解読が非常に難しい問題であるとされる。
RSA暗号における暗号化は群の自己同型写像によって構成されるが、逆写像を求めることは一般に困難である。
これはRSAの一方向性を保証し、現実的に解読不可能な構造を形成している。
RSA暗号の解読は逆写像としてのべき乗の逆操作を計算することに相当し、これを効率的に解決する手段が存在しないことが安全性の根拠となる。
RSA暗号の構造は合同算術に基づく準同型性を有し、M → M^e (mod N) というモジュラ指数写像によりメッセージ空間上の一対一対応を実現する。
この準同型性により計算効率が保証されつつも一方向性を持ち、安全な暗号化が可能である。
以上より、RSA暗号は合同算術、準同型写像、群の生成元と逆元の難解さに基づく暗号であり計算量理論と抽象代数からその安全性が保証されている。
RSA暗号の解読可能性は準同型写像の逆像を効率的に求める方法が存在しないことに基づいており数学的にはこの逆像問題の困難性がRSA安全性を支えているといえる。
ジョン・ホイーラーの "it from bit" 仮説の数学的定式化を行う。
まず、圏論的基礎として量子情報圏 Q を定義する。Q の対象は完備von Neumann代数であり、射は完全正写像である。次に、古典情報圏 C を定義する。C の対象は可測空間であり、射は確率核である。
量子-古典対応を表現するために、量子-古典関手 F: Q → C を導入する。この関手は量子系の観測過程を表現する。
情報理論的構造を捉えるために、エントロピー関手 S: Q → Vec を定義する。ここで Vec は実ベクトル空間の圏である。S(A) = (S_von(A), S_linear(A), S_max(A)) と定義し、S_von はvon Neumannエントロピー、S_linear は線形エントロピー、S_max は最大エントロピーを表す。
トポス理論的解釈として、量子論理トポス T を構築する。T の対象は量子命題の束であり、部分対象分類子 Ω は量子確率値を取る。
"It from Bit" の数学的定式化として、以下の定理を提示する：
定理 1 (It from Bit): 任意の量子系 A ∈ Ob(Q) に対して、以下が成り立つ：
∃ {Bi}i∈I ⊂ Ob(C), ∃ {φi: F(A) → Bi}i∈I :
A ≅ lim←(Bi, φi)
ここで、≅ は Q における同型を、lim← は逆極限を表す。
証明は以下の手順で行う：
2. 各 p ∈ P(A) に対して、射影測定 Mp: A → C({0,1}) を定義する。
3. {Mp}p∈P(A) から誘導される射 φ: A → ∏p∈P(A) C({0,1}) を構築する。
4. 普遍性により、A ≅ lim←(C({0,1}), πp∘φ) が成り立つ。
系 1 として、S(A) = lim→ S(F(Bi)) が成り立つ。
この定理と系は、任意の量子系が古典的な二値観測の無限の組み合わせとして再構成可能であり、そのエントロピーが古典的観測のエントロピーの極限として表現できることを示している。
一般化として、n-圏 Qn を導入し、高次元の量子相関を捉える。予想として、Qn の対象も同様に古典的観測の極限として表現可能であると考えられる。
複素数体上の楕円曲線 E と、そのミラー対称である双対楕円曲線 Eᐟ を考える。このとき、E のフクヤ圏 𝓕(E) は、Eᐟ の連接層の有界導来圏 𝔇ᵇ(𝐶𝑜ℎ(Eᐟ)) と三角圏として同値である。
𝓕(E) ≃ 𝔇ᵇ(𝐶𝑜ℎ(Eᐟ))
証明：
1. 交点の特定： L₀ と L₁ が E 上で交わる点の集合を 𝑃 = L₀ ∩ L₁ とする。
2. 生成元の設定： フロアーコホモロジー群の生成元は、各交点 𝑝 ∈ 𝑃 に対応する形式的なシンプレクティック・チェーンである。
3. 次数の計算： 各交点 𝑝 の次数 𝑑𝑒𝑔(𝑝) は、マスロフ指標やラグランジアンの相対的な位置関係から決定される。
4. 微分の定義： フロアー微分 𝑑 は、擬正則ストリップの数え上げによって定義されるが、楕円曲線上では擬正則ディスクが存在しないため、微分は消える（𝑑 = 0）。
5. コホモロジー群の計算： よって、𝐻𝐹ⁱ((L₀, ∇₀), (L₁, ∇₁)) は生成元の自由加群となる。
𝐻𝑜𝑚ⁱ(𝓔, 𝓕) = 𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓔, 𝓕)
Φ(L, ∇) = 𝑝₂*(𝑝₁*(𝓛ₗ) ⊗ 𝓟)
ここで、𝑝₁: E × Eᐟ → E、𝑝₂: E × Eᐟ → Eᐟ は射影であり、𝓛ₗ は L に対応するラインバンドルである。
- L₀ と L₁ の交点 𝑝 ∈ 𝑃 に対し、そのフロアーコホモロジー群は生成元 [𝑝] で張られる。
- 次数 𝑑𝑒𝑔([𝑝]) は、ラグランジアンの相対的な位相データとモノドロミーから決定される。
2. Ext 群の計算：
- Φ(L₀, ∇₀) = 𝓛₀、Φ(L₁, ∇₁) = 𝓛₁ とすると、Ext 群は
𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓛₀, 𝓛₁) ≅
{ ℂ, 𝑖 = 0, 1
0, 𝑖 ≠ 0, 1 }
3. 対応の確立： フロアーコホモロジー群 𝐻𝐹ⁱ((L₀, ∇₀), (L₁, ∇₁)) と Ext 群 𝐸𝑥𝑡ⁱ(𝓛₀, 𝓛₁) は次数ごとに一致する。
超弦理論を数学的に抽象化するために、場の理論を高次圏（∞-圏）の関手として定式化する。
𝒵: 𝐵𝑜𝑟𝑑ₙᵒʳ → 𝒞ᵒᵗⁿ
ここで、𝒞ᵒᵗⁿ は対称モノイダル (∞, n)-圏（例：鎖複体の圏、導来圏など）。
超弦理論におけるフィールドのモジュライ空間を、導来代数幾何の枠組みで記述する。
BV形式はゲージ対称性と量子化を扱うためにホモトピー代数を使用する。
Δ exp(𝑖/ℏ 𝑆) = 0
ミラー対称性はシンプレクティック幾何学と複素幾何学を関連付ける。
𝓕(𝑋) ≃ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))
以上の数学的構造を用いて、超弦理論における重要な定理である「ホモロジカル・ミラー対称性の定理」を証明する。
ミラー対称なカラビ・ヤウ多様体 𝑋 と 𝑌 があるとき、𝑋 のフクヤ圏 𝓕(𝑋) は 𝑌 の連接層の有界導来圏 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) と三角圏として同値である。
𝓕(𝑋) ≅ 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌))
1. フクヤ圏の構築：
- 対象：𝑋 上のラグランジアン部分多様体 𝐿 で、適切な条件（例えば、スピン構造やマスロフ指数の消失）を満たすもの。
- 射：ラグランジアン間のフロアーコホモロジー群 𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁)。
2. 導来圏の構築：
- 射：Ext群 𝐻𝐨𝐦*(𝒜, 𝐵) = Ext*(𝒜, 𝐵)。
- 合成：連接層の射の合成。
- ファンクターの構成：ラグランジアン部分多様体から連接層への対応を定義する関手 𝐹: 𝓕(𝑋) → 𝐷ᵇ(𝒞𝑜ʰ(𝑌)) を構築する。
- 構造の保存：この関手が 𝐴∞ 構造や三角圏の構造を保存することを示す。
- 物理的対応：𝑋 上の 𝐴-モデルと 𝑌 上の 𝐵-モデルの物理的計算が一致することを利用。
- Gromov–Witten 不変量と周期：𝑋 の種数ゼロのグロモフ–ウィッテン不変量が、𝑌 上のホロモルフィック 3-形式の周期の計算と対応する。
5. 数学的厳密性：
- シンプレクティック幾何学の結果：ラグランジアン部分多様体のフロアーコホモロジーの性質を利用。
- 代数幾何学の結果：連接層の導来圏の性質、特にセール双対性やベクトル束の完全性を利用。
結論：
以上により、フクヤ圏と導来圏の間の同値性が確立され、ホモロジカル・ミラー対称性の定理が証明される。
ラグランジアン部分多様体 𝐿₀, 𝐿₁ に対し、フロアー境界演算子 ∂ を用いてコホモロジーを定義：
∂² = 0
𝐻𝐹*(𝐿₀, 𝐿₁) = ker ∂ / im ∂
∑ₖ₌₁ⁿ ∑ᵢ₌₁ⁿ₋ₖ₊₁ (-1)ᵉ 𝑚ₙ₋ₖ₊₁(𝑎₁, …, 𝑎ᵢ₋₁, 𝑚ₖ(𝑎ᵢ, …, 𝑎ᵢ₊ₖ₋₁), 𝑎ᵢ₊ₖ, …, 𝑎ₙ) = 0
Extⁱ(𝒜, 𝐵) ⊗ Extʲ(𝐵, 𝒞) → Extⁱ⁺ʲ(𝒜, 𝒞)
幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係を、抽象数学を用いて厳密に数理モデル化する。
まず、以下のデータを考える。
- このスタックはアルティンスタックであり、代数幾何学的な手法で扱われる。
- 𝑋 上の ᴸ𝐺-局所系（つまり、平坦 ᴸ𝐺-束）の同型類全体のスタック。
- これは、基本群 π₁(𝑋) の表現のモジュライスタックと同一視できる。
幾何学的ラングランズ予想は、以下のような圏の同値を主張する。
𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))
ここで、
この同値は、フーリエ–ムカイ変換に類似した核関手を用いて構成されると予想されている。
核関手 𝒫 を 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) 上の適切な対象として定義し、それにより関手
Φ\_𝒫: 𝐷ᵇ\_ℎₒₗ(𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋)) → 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋))
Φ\_𝒫(ℱ) = 𝑅𝑝₂ₓ(𝑝₁∗ ℱ ⊗ᴸ 𝒫)
ここで、
𝑝₁: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋), 𝑝₂: 𝐵𝑢𝑛\_𝐺(𝑋) × 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋) → 𝐿𝑜𝑐\_{ᴸ𝐺}(𝑋)
問題点は、この核 𝒫 を具体的に構成することが難しく、これが幾何学的ラングランズ予想の核心的な課題となっている。
ヒッチン写像を導入する。
ℎ: ℳₕ(𝐺) → 𝒜 = ⨁ᵢ₌₁ʳ 𝐻⁰(𝑋, Ωₓᶦᵈⁱ)
ここで、ℳₕ(𝐺) は 𝐺-ヒッグス束のモジュライ空間、ᶦᵈⁱ は 𝐺 の基本不変式の次数。
完全可積分系: ヒッチンファイブレーション ℎ は完全可積分系を定義し、そのリウヴィル可積分性がモジュライ空間のシンプレクティック構造と関係する。
Kontsevich のホモロジカルミラー対称性予想に基づく。
𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ(ℳₕ(𝐺)) ≃ 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ(ℳₕ(ᴸ𝐺))
ここで、
- 𝐷ᵇ\_𝑐ₒₕ は連接層の有界導来圏。
- 𝐷ᵖⁱ 𝐹ᵘₖ はフカヤ圏のコンパクト対象からなる導来圏。
この同値は、ヒッチンファイブレーションを介してシンプレクティック幾何と複素幾何の間の双対性を示唆する。
𝐷ᵇ(𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋)) ≃ 𝐷ᵇ(𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋))
ここで、
- 𝐹ₗₐₜ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の平坦 𝐺-束のモジュライスタック。
- 𝐻ᵢ₉₉ₛ\_𝐺(𝑋) は 𝑋 上の 𝐺-ヒッグス束のモジュライスタック。
作用素:
M 理論におけるブレーンの配置:
- ℝ¹,³ は 4 次元の時空。
- Σ は曲線 𝑋。
Lurie の高次圏論:
幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係は、以下の数学的構造を通じてモデル化される。
これらの数学的構造を組み合わせることで、幾何学的ラングランズ・プログラムと M 理論・超弦理論の関係性をモデル化できる。
2. 波動関数がシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。
Hilb は次の性質を持つ。
- (S ∘ T)† = T† ∘ S†
- (T†)† = T
- id_H† = id_H
- (T ⊗ S)† = T† ⊗ S†
- 評価射: eval_H: H* ⊗ H → ℂ
- 共評価射: coeval_H: ℂ → H ⊗ H*
- (id_H ⊗ eval_H) ∘ (coeval_H ⊗ id_H) = id_H
- (eval_H ⊗ id_H*) ∘ (id_H* ⊗ coeval_H) = id_H*
⟨φ|ψ⟩ = (φ† ∘ ψ): ℂ → ℂ
⟨A⟩ψ = (ψ† ∘ A ∘ ψ): ℂ → ℂ
U(t) = exp(-iHt/ħ): H → H
- 射: t₁ → t₂ は t₂ - t₁ ∈ ℝ
- 射の対応: F(t₁ → t₂) = U(t₂ - t₁)
ψ(t₂) = U(t₂ - t₁) ∘ ψ(t₁)
U(t₃ - t₁) = U(t₃ - t₂) ∘ U(t₂ - t₁)
H_total = H_BH ⊗ H_rad
U_total(t): H_total → H_total
- U_total(t) はユニタリ射。
E(ρ_in) = Tr_H_BH (U_total ρ_in ⊗ ρ_BH U_total†)
- Tr_H_BH: H_BH 上の部分トレース
- 存在定理: 任意の完全正なトレース保存マップ E は、あるヒルベルト空間 K とユニタリ作用素 V: H_in → H_out ⊗ K を用いて表現できる。
E(ρ) = Tr_K (V ρ V†)
- バルクの圏 Hilb_bulk: ブラックホール内部の物理を記述。
- 境界の圏 Hilb_boundary: 境界上の物理を記述。
- G は忠実かつ充満なモノイドダガー関手であり、情報の完全な写像を保証。
- バルク: F_bulk: Time → Hilb_bulk
- 境界: F_boundary: Time → Hilb_boundary
- 各時刻 t に対し、η_t: F_bulk(t) → G(F_boundary(t)) は同型射。
η_t₂ ∘ U_bulk(t₂ - t₁) = G(U_boundary(t₂ - t₁)) ∘ η_t₁
- これにより、バルクと境界での時間発展が対応し、情報が失われないことを示す。
量子力学を圏論的に定式化し、ユニタリなダガー対称モノイド圏として表現した。ブラックホール情報パラドックスは、全体系のユニタリ性とホログラフィー原理を圏論的に導入することで解決された。具体的には、ブラックホール内部と境界理論の間に忠実かつ充満な関手と自然変換を構成し、情報が圏全体で保存されることを示した。
超弦理論では、時空は10次元の滑らかな微分多様体 M^{10} としてモデル化されます。各点の近傍 U ⊆ M^{10} に局所座標 x^{μ}: U → ℝ^{10} を導入します（μ = 0,1,…,9）。
弦の運動は、パラメータ σ^{α}（α = 0,1）で記述される2次元の世界面（ワールドシート） Σ 上の埋め込み写像 X^{μ}(σ^{α}) を用いて表されます。
S = -T/2 ∫_{Σ} d²σ √(-h) h^{αβ} ∂_{α} X^{μ} ∂_{β} X^{ν} g_{μν}(X),
ここで：
- T は弦の張力（T = 1/(2πα')）、
- h_{αβ} は世界面の計量、
- g_{μν}(X) は時空の計量テンソル、
M理論では、時空は11次元の微分多様体 M^{11} となり、M2ブレーンやM5ブレーンのダイナミクスが中心となります。M2ブレーンの世界体積は3次元で、埋め込み写像 X^{μ}(σ^{a})（a = 0,1,2）で記述されます。作用は次のように与えられます：
S = -T_{2} ∫ d³σ √(-det(G_{ab})) + T_{2} ∫ C_{μνρ} ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} ∂_{c} X^{ρ} ε^{abc},
ここで：
- G_{ab} = ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} g_{μν} は誘導計量、
カラビ–ヤウ多様体は、超弦理論のコンパクト化において重要な役割を果たす複素代数多様体であり、スキームの言葉で記述されます。
例えば、3次元カラビ–ヤウ多様体は、射影空間 ℙ^{4} 内で次の斉次多項式方程式の零点として定義されます：
f(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) = 0,
ここで [z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3} : z_{4}] は射影座標です。
各点 x は、局所環 ℴ_{X,x} の極大イデアル ℳ_{x} に対応します。これにより、特異点やその解消、モジュライ空間の構造を厳密に解析できます。
弦理論では、世界面 Σ から時空多様体 M への写像の空間 Map(Σ, M) を考えます。この空間の元 X: Σ → M は、物理的には弦の配置を表します。
特に、開弦の場合、端点はDブレーン上に固定されます。これは、境界条件として写像 X がDブレーンのワールドボリューム W への射 ∂Σ → W を満たすことを意味します。
この設定では、開弦のモジュライ空間は、境界条件を考慮した写像の空間 Hom(Σ, M; ∂Σ → W) となります。
弦理論の物理量は、しばしば背景多様体のコホモロジー群の要素として表現されます。
- ラマンド–ラマンド（RR）場は、時空のコホモロジー群の要素 F^{(n)} ∈ H^{n}(M, ℝ) として扱われます。
- Dブレーンのチャージは、K理論の元として分類されます。具体的には、Dブレーンの分類は時空多様体 M のK群 K(M) の元として与えられます。
- グロモフ–ウィッテン不変量は、弦のワールドシート上のホモロジー類 [Σ] ∈ H_{2}(M, ℤ) に対応し、弦の瞬間子効果を計算するために使用されます。
例えば、グロモフ–ウィッテン不変量は、モジュライ空間 ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) 上のコホモロジー類の積分として計算されます：
⟨∏_{i=1}^{n} γ_{i}⟩_{g,β} = ∫_{[ℤ̄{M}_{g,n}(M, β)]^{vir}} ∏_{i=1}^{n} ev_{i}^{*}(γ_{i}),
ここで：
- g はワールドシートの種数、
- β ∈ H_{2}(M, ℤ) は曲面のホモロジー類、
- γ_{i} ∈ H^{*}(M, ℝ) は挿入するコホモロジー類、
- ev_{i} は評価写像 ev_{i}: ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) → M。
弦理論の摂動論的計算では、世界面をパンツ分解などの方法で細分化し、それらの組み合わせを考慮します。
- パンツ分解: リーマン面を基本的なペアオブパンツ（3つの境界を持つ曲面）に分割し、それらを組み合わせて高次の曲面を構築します。
- 世界面のトポロジーを組合せ論的に扱い、弦の散乱振幅を計算します。
弦の散乱振幅は、各トポロジーに対して次のようなパス積分として与えられます：
A = ∑_{g=0}^{∞} g_{s}^{2g-2} ∫_{ℳ_{g}} D[h] ∫ D[X] e^{-S[X,h]},
ここで：
- g_{s} は弦の結合定数、
- D[h] は計量に関する積分（ファデエフ–ポポフ法で適切に定義）、
- S[X,h] はポリャコフ作用。
- 共形対称性: ワールドシート上の共形変換は、ビラソロ代数
[L_{m}, L_{n}] = (m - n) L_{m+n} + c/12 m (m^{2} - 1) δ_{m+n,0}
{G_{r}, G_{s}} = 2 L_{r+s} + c/3 (r^{2} - 1/4) δ_{r+s,0},
[L_{n}, G_{r}] = (n/2 - r) G_{n+r}
を満たします。
- T-双対性: 円状にコンパクト化された次元において、半径 R と α'/R の理論が等価である。このとき、運動量 p と巻き数 w が交換されます：
p = n/R, w = m R → p' = m/R', w' = n R',
ここで R' = α'/R。
- S-双対性: 強結合と弱結合の理論が等価であるという双対性。弦の結合定数 g_{s} が変換されます：
g_{s} → 1/g_{s}。
時空の計量 g_{μν} は、弦の運動を決定する基本的な要素です。背景時空がリッチ平坦（例えばカラビ–ヤウ多様体）の場合、以下を満たします：
R_{μν} = 0。
β関数の消失条件から、背景場は次のような場の方程式を満たす必要があります（一次順序）：
- 重力場：
R_{μν} - 1/4 H_{μλρ} H_{ν}^{\ λρ} + 2 ∇_{μ} ∇_{ν} Φ = 0、
- B-フィールド：
∇^{λ} H_{λμν} - 2 (∂^{λ} Φ) H_{λμν} = 0、
- ディラトン場：
4 (∇Φ)^{2} - 4 ∇^{2} Φ + R - 1/12 H_{μνρ} H^{μνρ} = 0。
M理論では、三形式場 C_{μνρ} とその場の強度 F_{μνρσ} = ∂_{[μ} C_{νρσ]} が存在し、11次元超重力の場の方程式を満たします：
- 場の強度の方程式：
d * F = 1/2 F ∧ F、
- アインシュタイン方程式：
R_{μν} = 1/12 (F_{μλρσ} F_{ν}^{\ λρσ} - 1/12 g_{μν} F_{λρσδ} F^{λρσδ})。
エレメンタリートポスの枠組みを用いることで、情報と存在の関係を数学的にモデル化できる。このモデルでは、存在をトポスの対象として、情報をその間の射や、内部論理における命題として表現する。
- 射の集合：任意の対象 A, B ∈ Ob(𝓔) に対し、射の集合 Hom𝓔(A, B)。
- 合成写像：∘ : Hom𝓔(B, C) × Hom𝓔(A, B) → Hom𝓔(A, C)。
- 恒等射：各対象 A に対し、idA ∈ Hom𝓔(A, A)。
- 合成の結合律：f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h。
- 恒等射の単位性：idB ∘ f = f、f ∘ idA = f。
1. 有限極限の存在：𝓔 は有限極限（特に、積と等化子）を持つ完備な圏である。
2. 指数対象の存在：任意の対象 A, B ∈ 𝓔 に対し、指数対象 BA が存在し、以下の自然同型が成り立つ。
Hom𝓔(C × A, B) ≅ Hom𝓔(C, BA)
3. 部分対象分類子の存在：特別な対象 Ω ∈ 𝓔 と単射 true: 1 → Ω が存在し、任意のモノ射（単射） m: U ↪ A に対し、一意的な射（特性射） χU: A → Ω が存在して以下の可換図式を満たす。
U ↪ A
↓ ↓
1 → Ω
1. 射としての情報：存在間の関係や変換を表す射 f: A → B は、存在 A から存在 B への情報の伝達や変換をモデル化する。
2. 部分対象としての情報：対象 A の部分対象 m: U ↪ A は、存在 A の特定の性質や部分構造（情報）を表す。これはモノ射として表現される。
3. 特性射と命題：部分対象 m: U ↪ A に対応する特性射 χU: A → Ω は、存在 A の要素が部分対象 U に属するかどうかを示す情報を提供する。
トポス 𝓔 の内部では、高階直観主義論理が展開される。ここで、以下の対応が成立する。
- 論理積（AND）：P ∧ Q は積対象を用いて、χP∧Q = ⟨χP, χQ⟩ : A → Ω × Ω → Ω。
- 論理和（OR）：P ∨ Q は余積（和）を用いて表現される。
- 含意（IMPLIES）：P ⇒ Q は指数対象を用いて、χP⇒Q: A → ΩΩ。
- 否定（NOT）：¬P は、χ¬P = χP⇒⊥ として表され、⊥ は偽を表す部分対象である。
1. 一致性：開被覆 { fi: Ui → U } に対し、各 F(Ui) の要素が F(Ui ×U Uj) 上で一致するなら、それらは F(U) の要素から誘導される。
2. 貼り合わせ可能性：F(U) の要素は、その制限が各 F(Ui) の要素に一致する。
以上の構造を組み合わせることで、情報と存在の関係を統一的にモデル化できる。
- 射 f: A → B は存在間の情報の伝達や変換を示す。
- 部分対象 m: U ↪ A は存在の部分的な情報や性質を示す。
以下は、M理論と超弦理論の幾何学を抽象化した数学的枠組みでのモデル化について述べる。
まず、物理的対象である弦や膜を高次の抽象的構造としてモデル化するために、∞-圏論を用いる。ここでは、物理的プロセスを高次の射や2-射などで表現する。
∞-圏 𝒞 は、以下を持つ：
これらの射は、合成や恒等射、そして高次の相互作用を満たす。
次に、デリーブド代数幾何学を用いて、空間や場の理論をモデル化する。ここでは、デリーブドスタックを使用する。
デリーブドスタック 𝒳 は、デリーブド環付き空間の圏 𝐝𝐀𝐟𝐟 上の関手として定義される：
𝒳 : 𝐝𝐀𝐟𝐟ᵒᵖ → 𝐒
ここで、𝐒 は∞-グルーポイドの∞-圏（例えば、単体集合のホモトピー圏）である。
物理的なフィールドやパーティクルのモジュライ空間は、これらのデリーブドスタックとして表現され、コホモロジーやデリーブドファンクターを通じてその特性を捉える。
非可換幾何学では、空間を非可換代数 𝒜 としてモデル化する。ここで、スペクトラルトリプル (𝒜, ℋ, D) は以下から構成される：
作用素 D のスペクトルは、物理的なエネルギーレベルや粒子状態に対応する。幾何学的な距離や曲率は、𝒜 と D を用いて以下のように定義される：
∞-トポス論は、∞-圏論とホモトピー論を統合する枠組みである。∞-トポス ℰ では、物理的な対象やフィールドは内部のオブジェクトとして扱われる。
フィールド φ のグローバルセクション（物理的な状態空間）は、次のように表される：
Γ(φ) = Homℰ(1, φ)
ここで、1 は終対象である。物理的な相互作用は、これらのオブジェクト間の射としてモデル化される。
ゲージ対称性やその高次構造を表現するために、L∞-代数を用いる。L∞-代数 (L, {lₖ}) は次元付きベクトル空間 L = ⊕ₙ Lₙ と多重線形写像の族 lₖ からなる：
lₖ : L⊗ᵏ → L, deg(lₖ) = 2 - k
∑ᵢ₊ⱼ₌ₙ₊₁ ∑ₛᵢgₘₐ∈Sh(i,n-i) (-1)ᵉ⁽ˢⁱᵍᵐᵃ⁾ lⱼ ( lᵢ(xₛᵢgₘₐ₍₁₎, …, xₛᵢgₘₐ₍ᵢ₎), xₛᵢgₘₐ₍ᵢ₊₁₎, …, xₛᵢgₘₐ₍ₙ₎) = 0
ここで、Sh(i,n-i) は (i, n - i)-シャッフル、ε(sigma) は符号関数である。
これにより、高次のゲージ対称性や非可換性を持つ物理理論をモデル化できる。
安定ホモトピー理論では、スペクトラムを基本的な対象として扱う。スペクトラム E は、位相空間やスペースの系列 {Eₙ} と構造写像 Σ Eₙ → Eₙ₊₁ からなる。
πₙˢ = colimₖ→∞ πₙ₊ₖ(Sᵏ)
ここで、Sᵏ は k-次元球面である。これらの群は、物理理論における安定な位相的特性を捉える。
物理的な相関関数は、コホモロジー類を用いて以下のように表現される：
⟨𝒪₁ … 𝒪ₙ⟩ = ∫ₘ ω𝒪₁ ∧ … ∧ ω𝒪ₙ
ここで、ℳ はモジュライ空間、ω𝒪ᵢ は観測量 𝒪ᵢ に対応する微分形式またはコホモロジー類である。
先に述べた抽象数学的枠組みを用いて、M理論の重要な定理であるM理論とIIA型超弦理論の双対性を導出する。この双対性は、M理論が11次元での理論であり、円 S¹ に沿ってコンパクト化するとIIA型超弦理論と等価になることを示している。
時空間の設定：
H•(ℳ₁₁, ℤ) ≅ H•(ℳ₁₀, ℤ) ⊗ H•(S¹, ℤ)
これにより、11次元のコホモロジーが10次元のコホモロジーと円のコホモロジーのテンソル積として表される。
C-場の量子化条件：
M理論の3形式ゲージ場 C の場の強度 G = dC は、整数係数のコホモロジー類に属する。
[G] ∈ H⁴(ℳ₁₁, ℤ)
デリーブド代数幾何学では、フィールド C はデリーブドスタック上のコホモロジー類として扱われる。
非可換トーラスの導入：
円 S¹ のコンパクト化を非可換トーラス 𝕋θ としてモデル化する。非可換トーラス上の座標 U, V は以下の交換関係を満たす。
UV = e²ᵖⁱθ VU
非可換トーラス上のK-理論群 K•(𝕋θ) は、Dブレーンのチャージを分類する。
K•(ℳ₁₁) ≅ K•(ℳ₁₀)
𝕊ₘ ≃ Σ𝕊ᵢᵢₐ
ここで、Σ はスペクトラムの懸垂（suspension）函手である。
デリーブド代数幾何学、非可換幾何学、および安定ホモトピー理論の枠組みを用いると、11次元のM理論を円 S¹ 上でコンパクト化した極限は、IIA型超弦理論と数学的に等価である。
(b) 非可換性の考慮
匿名サイト上のコミュニケーションシステムを、抽象的な非可換力学系として捉えます。この系を記述するため、von Neumann 代数 M 上の量子力学的フレームワークを採用します。
M を II_1 型因子とし、その上のトレース状態を τ とします。系の時間発展は、M 上の自己同型写像 α_t: M → M (t ∈ R) によって与えられるとします。この α_t は強連続な一径数自己同型群を成すと仮定します。
系のエントロピーを、Connes-Størmer エントロピーとして定義します：
h(α) = sup{h_τ(α,N) | N ⊂ M は有限次元von Neumann部分代数}
ここで、h_τ(α,N) は N に関する相対エントロピーレートです。
エントロピー最小化問題を、以下の変分問題として定式化します：
この問題に対するアプローチとして、非可換 Lp 空間の理論を用います。p ∈ [1,∞] に対し、Lp(M,τ) を M の非可換 Lp 空間とし、||x||_p = (τ(|x|^p))^(1/p) をそのノルムとします。
エントロピー汎関数の連続性を保証するため、超弱位相よりも強い位相を導入します。具体的には、L1(M,τ) と M の積位相を考えます。この位相に関して、エントロピー汎関数 h の下半連続性が成り立ちます。
次に、Tomita-Takesaki モジュラー理論を適用します。τ に付随するモジュラー自己同型群を σ_t とし、KMS 条件を満たす平衡状態を考察します。これにより、系の熱力学的性質とエントロピーの関係を明らかにします。
エントロピー最小化のための具体的な戦略として、非可換 Lp 空間上の勾配流を考えます。エントロピー汎関数 h の L2-勾配を ∇h とし、以下の発展方程式を導入します：
dα_t/dt = -∇h(α_t)
この方程式の解の存在と一意性を、非線形半群理論を用いて証明します。さらに、解の長時間挙動を分析し、エントロピー最小の状態への収束を示します。
系の構造をより詳細に理解するため、M の部分因子 N ⊂ M を考え、Jones の基本構成 M_1 = ⟨M,e_N⟩ を行います。ここで e_N は N 上への条件付き期待値の拡張です。この構成を繰り返すことで、Jones タワー
N ⊂ M ⊂ M_1 ⊂ M_2 ⊂ ...
を得ます。各段階でのエントロピーの変化を追跡することで、系の階層構造とエントロピー最小化の関係を明らかにします。
最後に、自由確率論の観点から系を分析します。M 内の自由独立な部分代数の族 {A_i} を考え、それらの自由積 *_i A_i を構成します。自由エントロピーを
χ(X_1,...,X_n) = lim_m→∞ (1/m) S(tr_m ⊗ τ)(p_m(X_1),...,p_m(X_n))
と定義し、ここで X_1,...,X_n ∈ M、p_m は m 次の行列代数への埋め込み、S は古典的エントロピーです。
この自由エントロピーを用いて、系の非可換性とエントロピー最小化の関係を探ります。特に、自由次元 δ(M) = n - χ(X_1,...,X_n) を計算し、これが系のエントロピー最小化能力の指標となることを示します。
以上のフレームワークにより、匿名サイト上のエントロピー最小化問題を、非可換確率論と作用素代数の言語で記述し、解析することが可能となります。
量子力学の観測問題を、高次圏論、導来代数幾何学、および量子位相場の理論を統合した枠組みで定式化する。
基礎構造として、(∞,n)-圏 C を導入し、その導来スタック Spec(C) を考える。観測過程を表現するために、Spec(C) 上の導来量子群スタック G を定義する。G の余代数構造を (Δ: O(G) → O(G) ⊗L O(G), ε: O(G) → O(Spec(C))) とする。ここで ⊗L は導来テンソル積を表す。
観測を ω: O(G) → O(Spec(C)) とし、観測後の状態を (id ⊗L ω) ∘ Δ: O(G) → O(G) で表す。エントロピーを高次von Neumannエントロピーの一般化として、S: RMap(O(G), O(G)) → Sp^n として定義する。ここで RMap は導来写像空間、Sp^n は n-fold loop space のスペクトラム対象である。観測によるエントロピー減少は S((id ⊗L ω) ∘ Δ) < S(id) で表現される。
デコヒーレンスを表す完全正(∞,n)-関手 D: RMap(O(G), O(G)) → RMap(O(G), O(G)) を導入し、S(D(f)) > S(f) for f ∈ RMap(O(G), O(G)) とする。
観測者の知識状態を表現するために、G-余加群スタック M を導入する。観測過程における知識状態の変化を (ω ⊗L id) ∘ ρ: M → M で表す。ここで ρ: M → O(G) ⊗L M は余作用である。
分岐を表現するために、O(G) の余イデアルの(∞,n)-族 {Ii}i∈I を導入する。各分岐に対応する射影を πi: O(G) → O(G)/LIi とする。観測者の知識による分岐の選択は、自然(∞,n)-変換 η: id → ∏i∈I ((O(G)/LIi) ⊗L -) として表現される。
知識状態の重ね合わせは、M の余積構造 δ: M → M ⊗L M を用いて表現される。
さらに、量子位相場の理論との統合のために、Lurie の圏化された量子場の理論の枠組みを採用する。n次元ボルディズム(∞,n)-圏 Bord_n に対し、量子場理論を表す対称モノイダル(∞,n)-関手 Z: Bord_n → C と定義する。
観測過程は、この関手の値域における状態の制限として記述される。具体的には、閉じたn-1次元多様体 Σ に対する状態 φ: Z(Σ) → O(Spec(C)) を考え、ボルディズム W: Σ → Σ' に対する制限 φ|W: Z(W) → O(Spec(C)) を観測過程として解釈する。
sup_{x ∈ U(X)} x subject to φ(x) ≤ w
ここで、φ: U(X) → ℝ は連続線形汎関数、w ∈ ℝ は初期富である。
sup_{y ∈ T_p𝓜} ω(y)
生産対応を η: T*𝓜 → 2^{T𝓜} とし、以下の条件を満たす：
∀ω ∈ T*𝓜, η(ω) = {y ∈ T_p𝓜 : dω(y) = 0}
ℰ = ((ℋ_i, π_i, Ω_i)_{i ∈ I}, (T_j)_{j ∈ J})
ここで、
状態 (ψ_i*)_{i ∈ I} と価格作用素 P ∈ 𝒜 が均衡であるとは、以下を満たすことを言う：
1. ∀i ∈ I, ψ_i* = arg max_{ψ ∈ ℋ_i} ⟨ψ, π_i(P)ψ⟩ subject to ⟨ψ, π_i(P)ψ⟩ ≤ ⟨Ω_i, π_i(P)Ω_i⟩ + ∑_{j ∈ J} θ_{ij} τ(PT_j)
2. ∀j ∈ J, T_j = arg max_{T ∈ 𝒜} τ(PT)
3. ∑_{i ∈ I} (ψ_i* - Ω_i) = ∑_{j ∈ J} T_j
ここで、τ は 𝒜 上のトレース、θ_{ij} は消費者 i の生産者 j に対する利潤シェアである。
(𝒜, ℋ, D)
ここで、
[D, π(a)] = 0, ∀a ∈ 𝒜_{eq}
ここで、𝒜_{eq} ⊂ 𝒜 は均衡状態を表す部分代数、π は 𝒜 の ℋ 上の表現である。
H: [0,1] × X → X
ここで、X は経済状態空間、H(0,x) = x_0（初期状態）、H(1,x) = x*（均衡状態）である。
M理論の幾何学を最も抽象的かつ厳密に記述するには、圏論的アプローチが不可欠でござる。
M理論の幾何学的構造は、三角圏の枠組みで捉えることができるのでござる。特に、カラビ・ヤウ多様体 X の導来圏 D⁰(Coh(X)) が中心的役割を果たすのでござる。
定義：D⁰(Coh(X)) は連接層の有界導来圏であり、以下の性質を持つのでござる：
1. 対象：連接層の複体
この圏上で、Fourier-向井変換 Φ: D⁰(Coh(X)) → D⁰(Coh(X̂)) が定義され、これがミラー対称性の数学的基礎となるのでござる。
2. 各対の対象 X,Y に対する次数付きベクトル空間 hom𝒜(X,Y)
3. 次数 2-n の演算 mₙ: hom𝒜(Xₙ₋₁,Xₙ) ⊗ ⋯ ⊗ hom𝒜(X₀,X₁) → hom𝒜(X₀,Xₙ)
これらは以下のA∞関係式を満たすのでござる：
∑ᵣ₊ₛ₊ₜ₌ₙ (-1)ʳ⁺ˢᵗ mᵣ₊₁₊ₜ(1⊗ʳ ⊗ mₛ ⊗ 1⊗ᵗ) = 0
この構造は、Fukaya圏の基礎となり、シンプレクティック幾何学とM理論を結びつけるのでござる。
M理論の完全な幾何学的記述には、高次圏論、特に(∞,1)-圏が必要でござる。
定義：(∞,1)-圏 C は以下の要素で構成されるのでござる：
2. 各対の対象 x,y に対する写像空間 MapC(x,y)（これも∞-グルーポイド）
3. 合成則 MapC(y,z) × MapC(x,y) → MapC(x,z)（これはホモトピー整合的）
この構造により、M理論における高次ゲージ変換や高次対称性を厳密に扱うことが可能になるのでござる。
M理論の幾何学は、導来代数幾何学の枠組みでより深く理解できるのでござる。
定義：導来スタック X は、以下の関手として定義されるのでござる：
X: CAlg𝔻 → sSet
ここで、CAlg𝔻 は単体的可換環の∞-圏、sSet は単体的集合の∞-圏でござる。
この枠組みにおいて、M理論のモジュライ空間は導来スタックとして記述され、その特異性や高次構造を厳密に扱うことが可能になるのでござる。
M理論の幾何学的側面は、量子コホモロジー環 QH*(X) を通じて深く理解されるのでござる。
定義：QH*(X) = H*(X) ⊗ ℂ[[q]] で、積構造は以下で与えられるのでござる：
α *q β = ∑A∈H₂(X,ℤ) (α *A β) qᴬ
ここで、*A はGromov-Witten不変量によって定義される積でござる：
α *A β = ∑γ ⟨α, β, γ∨⟩₀,₃,A γ
Vを社会福祉とすると、V(W_1,...,W_H)と表せる。
1,...,Hは社会のメンバーに割り当てられた番号であり、Wは満足度である。
また、それぞれのメンバーhに財貨やサービスの転換T_hを課す(e.g. 所得税)。
また、T=(T_1,...,T_H)とおく。
Tが与えられた時、実現可能ベクトルの組(G,I)の集合をK_Tと表す。
hの実現可能集合F_hはG,I, T_hによって定まるので、F_h(G,I,T_h,X_{-h})と記す。ただしX_hは消費ベクトルである。
W_hは消費ベクトルX_hからW_h(X_h)によって決まる。
社会均衡X^*に到達していることとその均衡が一つしかないことを仮定する。均衡X^*はG,I,Tの関数である。
政府はその均衡を予測し、V(W(X_1^*),...,W(X_H^*))の結果を最大化するようにG,I,Tを選択する。
ここで、A: ℝᵐ × ℝⁿ → ℝᵖ は線形写像、B: ℝᵏᴴ → ℝᵖ は凸関数
ここで、Cₕ: ℝˡ × ℝᵐ × ℝⁿ × ℝᵏ → ℝᵠ は凸関数、Dₕ: ℝˡ⁽ᴴ⁻¹⁾ → ℝᵠ は線形写像
均衡 X*: ℝᵐ × ℝⁿ × ℝᵏᴴ → ℝˡᴴ の存在を証明するために：
一意性の証明：
1. Wₕ の Xₕ に関する Hessian 行列が負定値であることを示す
max[G∈ℝᵐ, I∈ℝⁿ, T∈ℝᵏᴴ] V(W₁(X₁*(G, I, T), G, I, T₁), ..., Wᴴ(Xᴴ*(G, I, T), G, I, Tᴴ))
制約条件：A(G, I) ≤ B(T)
L(G, I, T, λ) = V(...) - λᵀ(A(G, I) - B(T))
KKT条件：
1. ∇ᴳL = ∇ᴵL = ∇ᵀL = 0
2. λ ≥ 0
3. λᵀ(A(G, I) - B(T)) = 0
4. A(G, I) ≤ B(T)
均衡 X* のパラメータ (G, I, T) に関する感度を分析するために：
1. 陰関数定理を適用：∂X*/∂(G, I, T) = -[∇ₓF]⁻¹ ∇₍ᴳ,ᴵ,ᵀ₎F
ここで、F は均衡条件を表す関数
時間を連続変数 t ∈ [0, ∞) として導入し、動的システムを以下のように定義：
dX/dt = f(X, G, I, T)
ここで、f: ℝˡᴴ × ℝᵐ × ℝⁿ × ℝᵏᴴ → ℝˡᴴ は Lipschitz 連続
確率空間 (Ω, ℱ, P) を導入し、確率変数 ξ: Ω → ℝʳ を用いて不確実性をモデル化：
max[G,I,T] 𝔼ξ[V(W₁(X₁*(G, I, T, ξ), G, I, T₁, ξ), ..., Wᴴ(Xᴴ*(G, I, T, ξ), G, I, Tᴴ, ξ))]
制約条件：P(A(G, I) ≤ B(T, ξ)) ≥ 1 - α
ここで、α ∈ (0, 1) は信頼水準
2. 確率的勾配降下法を用いて数値的に解を求める
非可換幾何学は、空間の幾何学的性質を非可換代数を通じて記述する理論である。ここでは、空間を古典的な点集合としてではなく、代数的な対象として扱う。
∥ab∥ ≤ ∥a∥ ∙ ∥b∥, ∥a*a∥ = ∥a∥²
ここで、∥·∥ はノルムを表す。この代数のスペクトル理論を通じて、空間の幾何学的性質を解析する。
量子群は、リー群の代数的構造を量子化したもので、非可換幾何学や統計力学において重要な役割を果たす。
(Δ ⊗ id) ∘ Δ = (id ⊗ Δ) ∘ Δ, (ε ⊗ id) ∘ Δ = id = (id ⊗ ε) ∘ Δ
トポロジカル量子場理論は、トポロジーと量子物理を結びつける理論であり、コボルディズムの圏における関手として定義される。
量子コホモロジーは、シンプレクティック多様体のコホモロジー環を量子化したもので、フロアホモロジーを用いて定義される。
a *_q b = a ∪ b + Σ_{d>0} q^d ⟨a, b, γ⟩_d
位相的K理論は、超弦理論におけるD-ブレーンの分類に本質的な役割を果たす。具体的には、時空多様体XのスピンC構造に関連付けられたK理論群K(X)およびK^1(X)が重要である。
ここで、X+はXの一点コンパクト化を表し、K(X+)はX+上のベクトル束の同型類のGrothedieck群である。
Type IIB理論では、D-ブレーン電荷はK(X)の要素として分類され、Type IIA理論ではK^1(X)の要素として分類される。これは以下の完全系列に反映される：
... → K^-1(X) → K^0(X) → K^1(X) → K^0(X) → ...
背景にNS-NS H-フラックスが存在する場合、通常のK理論は捻れK理論K_H(X)に一般化される。ここでH ∈ H^3(X, Z)はH-フラックスのコホモロジー類である。
捻れK理論は、PU(H)主束のモジュライ空間として定義される：
K_H(X) ≅ [X, Fred(H)]
ここで、Fred(H)はヒルベルト空間H上のフレドホルム作用素の空間を表す。
D-ブレーンのアノマリー相殺機構は、微分K理論を用いてより精密に記述される。微分K理論群K^0(X)は、以下の完全系列で特徴付けられる：
0 → Ω^{odd}(X)/im(d) → K^0(X) → K^0(X) → 0
ここで、Ω^{odd}(X)はXの奇数次微分形式の空間である。
アノマリー多項式は、微分K理論の言葉で以下のように表現される：
I_8 = ch(ξ) √Â(TX) - ch(f!ξ) √Â(TY)
ここで、ξはD-ブレーン上のゲージ束、fはD-ブレーンの埋め込み写像、ch(ξ)はチャーン指標、Â(TX)はA-hat種を表す。
Kasparovの KK理論は、弦理論の様々な双対性を統一的に記述するフレームワークを提供する。KK(A,B)は、C*-環AとBの間のKasparov双モジュールの同型類のなす群である。
KK(C(X × S^1), C) ≅ KK(C(X), C(S^1))
導来圏D^b(X)は、複体の導来圏として定義され、K理論と密接に関連している：
K(X) ≅ K_0(D^b(X))
ホモロジカルミラー対称性は、Calabi-Yau多様体XとそのミラーYに対して、以下の圏同値を予言する：
(H, ⟨·|·⟩)を可分なヒルベルト空間とし、B(H)をH上の有界線形作用素の集合とする。
S(H) = {ρ ∈ B(H) : ρ ≥ 0, Tr(ρ) = 1}を密度作用素の集合とする。A ⊂ B(H)を自己共役作用素の部分代数とし、これを観測量の集合とする。
ユニタリ群{Ut}t∈ℝを考え、シュレーディンガー方程式を以下のように表現する：
S(H)上にトレース距離を導入し、位相空間(S(H), τ)を定義する。
A上にC*-代数の構造を導入し、局所的な部分代数の族{A(O)}O⊂ℝ⁴を定義する。ここでOは時空の開集合である。
A(O1)とA(O2)が可換であるとき、O1とO2は因果的に独立であると定義する。これにより、ℝ⁴上に因果構造を導入する。
状態ρ ∈ S(H)に対し、関数dρ : A × A → ℝ+を以下のように定義する：
dρ(A, B) = √Tr(ρ[A-B]²)
この関数から、ℝ⁴上の擬リーマン計量gμνを再構成する手続きを定義する。
(ℝ⁴, gμν)を基底時空とし、これに対して商位相を導入することで、等価類の空間M = ℝ⁴/∼を定義する。Mを創発した時空多様体とみなす。
写像Φ : S(H) → Mを構成し、量子状態と時空点の対応を定義する。
シュレーディンガー方程式による時間発展ρ(t) = Ut ρ Ut*が、M上の滑らかな曲線γ(t) = Φ(ρ(t))に対応することを示す。
量子状態と観測過程を圏論的に記述するため、以下の圏を導入する：
エントロピーを抽象化するため、モノイド (M, ·, e) を導入する。ここで、M は可能なエントロピー値の集合、· は結合則を満たす二項演算、e は単位元である。
知識状態の変化を記述するため、位相空間 X 上の層 ℱ を導入する。ここで、X は可能な知識状態の空間を表す。
観測による状態変化をホモトピー同値の観点から捉えるため、位相空間の圏 𝕋op における弱同値を考える。
量子確率過程を記述するため、𝕧𝕟𝔸 上のマルコフ圏 𝕄arkov(𝕧𝕟𝔸) を導入する。
観測過程の連続性を記述するため、超関数空間 𝔇'(X) を考える。
以下の普遍性を満たす圏 ℂ と関手 U: ℂ → 𝕄eas が存在する：
1. ℂ は完備かつ余完備である。
3. 任意の対象 A, B ∈ ℂ に対し、自然な同型 Homℂ(A, B) ≅ Hom𝕄eas(U(A), U(B)) が存在する。
さらに、以下の性質を満たす ℂ の対象 Q （量子状態を表す）と射 f: Q → Q （観測を表す）が存在する：
4. H(G(F(Q))) ≅ U(Q) （量子状態と測度空間の対応）
6. f によって誘導される U(Q) 上の写像は測度を保存する。
1. エントロピーの減少：
∃m₁, m₂ ∈ M such that m₁ · m₂ = e and m₁ ≠ e
2. 知識獲得：
∃s ∈ Γ(X, ℱ) such that s|U ≠ s|V for some open sets U, V ⊂ X
∃h: I → I' in 𝕋op such that h is a weak equivalence and I ≇ I'
ここで、I と I' はそれぞれ観測前と観測後の可能な世界の空間を表す。
この定式化により、量子観測、エントロピーの減少、知識の獲得、そして特定の世界への「移動」を、最も一般的かつ抽象的な数学的枠組みで表現することができる。
厚生経済学の基本定理を多様体の言葉で定式化することにより、経済的効率性と市場均衡の概念を幾何学的に表現することができる。以下にその試みを示す。
厚生経済学の第1基本定理は、「完全競争市場において、すべての市場均衡はパレート効率的である」というものである。これを多様体の言葉で表現する。
消費者の選択空間を多様体 𝑀 とする。ここで、各点 𝑥 ∈ 𝑀 は異なる消費バンドルを表す。消費者の効用関数は、𝑈: 𝑀 → ℝ として定義され、多様体上で滑らかな関数とする。
生産者の技術集合を多様体 𝑁 とし、各点 𝑦 ∈ 𝑁 が異なる生産計画を示す。生産技術は、技術制約関数 𝑇: 𝑁 → ℝⁿ により記述される。
市場均衡は、消費者と生産者の選択が整合する点として、多様体 𝑀 × 𝑁 上の点 (𝑥*, 𝑦*) により表される。この点は、需要と供給が一致し、価格ベクトル 𝑝 により支持される。
パレート効率性は、選択空間 𝑀 と技術空間 𝑁 上の接ベクトル場により定義される。具体的には、任意の改善方向が存在しないことを意味し、接ベクトル場がゼロとなる点 (𝑥*, 𝑦*) がパレート最適である。
厚生経済学の第1基本定理を多様体の言葉で表現すると、以下のようになる：
定理: 多様体 𝑀 × 𝑁 上の市場均衡点 (𝑥*, 𝑦*) は、接ベクトル場がゼロとなる点であり、パレート効率的である。
この定式化により、厚生経済学の基本定理を幾何学的に理解することが可能になる。
市場均衡がパレート効率性を持つことは、選択空間と技術空間の接ベクトル場の観点から、改善の余地がないことを示している。
digraph WelfareEconomics {
node [shape=ellipse];
// Nodes for main concepts
M [label="選択空間 (M)"];
N [label="技術空間 (N)"];
Utility [label="効用関数 (U)"];
TechConstraint [label="技術制約 (T)"];
MarketEquilibrium [label="市場均衡"];
ParetoEfficiency [label="パレート効率性"];
Cohomology [label="コホモロジー条件"];
// Edges to show relationships
M -> Utility [label="スカラー場"];
N -> TechConstraint [label="技術写像"];
M -> MarketEquilibrium;
N -> MarketEquilibrium;
MarketEquilibrium -> ParetoEfficiency [label="接ベクトル場"];
MarketEquilibrium -> Cohomology [label="整合性保証"];
ParetoEfficiency -> Cohomology [label="ホモトピー同値"];
}
|<
経済を表現する空間を E とし、これを局所凸位相線形空間とする。価格空間 P を E の双対空間 E* の部分集合とし、商品空間 X を E の部分集合とする。
Z: P × Ω → X を一般化された超過需要関数とする。ここで Ω は外生パラメータの空間である。Z は以下の性質を満たす：
(b) 一般化された同次性：任意の λ ＞ 0 に対して Z(λp, ω) ≈ Z(p, ω)
(c) 一般化されたワルラスの法則：＜p, Z(p, ω)＞ = 0
ここで ＜・,・＞ は E* と E の間の双対性を表す
(d) 境界条件：p が P の境界に近づくとき、||Z(p, ω)|| は無限大に発散
価格の動的調整を表現するために、以下の無限次元力学系を導入する：
dp/dt = F(Z(p, ω))
ここで F: X → TP は C^1 級写像であり、TP は P の接束を表す。
定理1（均衡の存在）：適切な位相的条件下で、Z(p*, ω) = 0 を満たす p* ∈ P が存在する。
証明の概略：KKM（Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz）の定理を一般化した不動点定理を応用する。
定理2（局所安定性）：p* の近傍 U が存在し、初期値 p(0) ∈ U に対して、解軌道 p(t) は t → ∞ のとき p* に収束する。
証明の概略：リャプノフ関数 V(p) = ||Z(p, ω)||^2 / 2 を構成し、V の時間微分が負定値となることを示す。
不均衡状態における経済主体の行動を記述するために、以下の最適化問題を導入する：
最大化 U_i(x_i)
制約条件 ＜p, x_i＞ ≤ w_i + Σ_j p_j min{z_ij, 0}
ここで U_i は効用汎関数、w_i は初期富、z_ij は財 j に対する主体 i の超過需要である。
確率空間 (Ω, F, P) 上で、以下の確率微分方程式を考察する：
dp(t) = F(Z(p(t), ω))dt + σ(p(t), ω)dW(t)
ここで W(t) は適切な次元のウィーナー過程、σ はボラティリティ作用素である。
ε dp/dt = F(Z(p, ω))
この解析により、短期的な価格調整と長期的な均衡の関係を明らかにする。
定理3（一般化された不動点定理）：P が局所凸位相線形空間 E の非空、凸、コンパクト部分集合であり、F: P → P が連続写像であるとき、F は不動点を持つ。
この定理を用いて、より一般的な経済モデルにおける均衡の存在を証明できる。
ε → 0 のとき、特異摂動問題 ε dp/dt = F(Z(p, ω)) の解の漸近挙動は、元の動的システムの長期的均衡と一致する。