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はてなキーワード: 応用数学とは
アメリカの某物理学者がo1モデルに対して嫌味ったらしく、AIが苦手なタスクを解かせて失敗させて「これがPhDレベルｗｗ」と煽っていた
そもそも、AIがなぜ具体的な知識問題や計算問題が苦手かというと、言語推論で解ける範疇を超えるから
AIに線型計画法を要する応用数学の問題を定式化せよと言えば、見事にモデルを完成させるだろう
しかし具体的な計算をせよと言えば、失敗するのが目に見えている
この「アルゴリズムの実行」の部分を、wolfram alphaやgurobi optimizerなどの代替ツールの入出力に置き換え、AIがツールを使えるようにすればもっと高度なことができるようになるだろう
プログラミング言語の入出力を直にAIが使えるようにする方法もある
十分な長さの入出力と記憶を保持できるなら、AIに好きなものを自動的に作らせることも可能になる
Fラン大で「応用数学１」っていう名前の半期授業を持っているんだけど、期末レポートは「9800円の31%引きは何円か」みたいなのが１０問程度
真面目に授業を受けた人は頑張って電卓を弾いて正解してくれるんだけど、これって本当に計算方法がわかったといえるのか疑問だ
多分うちのクラスは電卓の使い方は分かっていても、小数の掛け算の意味を理解している人はほとんどいない
打ち間違えて検算しなかった人はさっきの問題で５桁の数字を書いて平気な顔をしている
数学の世界には無限の可能性が広がっている。無数のパターンやそれらに隠された法則。
三人の応用数学者が、自分の全霊魂を賭けてある難問に挑んでいる。
ドミニク・シュタイナーはベルリンの研究室で、論理的な一連の方程式を前にしていた。彼は数学が絶対的な真理を解き明かすものであり、そこには一切の曖昧さが許されないと信じていた。数式は純粋であり、その解は厳密でなければならない。
その日、彼のデスクに届いた論文は、アレクサンドラ・イワノフからのものだった。彼女はロシアの数学者で、非線形ダイナミクスを用いた社会変革のモデルを研究している。ドミニクはその論文に目を通し、数式の整合性や論理性を冷静に評価した。
パリでの国際数学会議で、ドミニクは自身の研究成果を発表した。壇上に立ち、彼は無駄のない言葉で論理の精緻さを示す数式の力を説明した。彼の発表は冷静であり、数学的な厳密さに基づいていた。聴衆は静かに耳を傾け、数学の普遍性に魅了されているようだった。
発表が終わると、アレクサンドラ・イワノフが手を挙げた。彼女は冷静に質問を始めた。
「シュタイナー教授、あなたの理論は数理的に整合していますが、社会の複雑な相互作用を完全に捉えているでしょうか？非線形ダイナミクスを適用することで、社会変革の予測可能性が高まると考えられませんか？」
ドミニクは一瞬考え、冷静に答えた。
「イワノフ教授、非線形方程式は確かに複雑系の挙動を捉えるには有効かもしれませんが、その安定性が保証されていない場合、結果は信頼できません。数学の役割は、ランダム性を排除し、真理を探求することです。過剰に変数を導入することで、モデルの頑健性が失われるリスクがあります。」
「そのリスクは承知していますが、社会変革は非線形な過程であり、そこにこそ数学の力を発揮する余地があると考えます。複雑系の理論に基づくシミュレーションによって、より現実に即したモデルが構築できるのではないでしょうか？」
ドミニクは彼女の意見に静かに耳を傾けた後、言葉を選びながら答えた。
「社会変革が非線形であるという見解は理解できますが、モデルの複雑性を高めることが必ずしも精度の向上を意味するわけではありません。安定した予測を行うためには、シンプルで確定的なモデルが必要です。」
「シュタイナー教授、イワノフ教授、両方のアプローチにはそれぞれの強みがありますが、私は数学的美学の観点から異なる提案をさせていただきます。リーマン幾何や複素解析の観点から、数式が持つ内在的な対称性やエレガンスは、解が収束するかどうかの指標となる可能性があります。特に、複素平面上での調和関数の性質を用いることで、社会変革のような複雑なシステムでも、特定のパターンや法則が見出せるかもしれません。」
「タカハシ教授、あなたの視点は興味深いものです。調和関数の性質が社会変革にどのように適用できるのか、具体的な数理モデルを提示していただけますか？」
「例えば、調和関数を用いたポテンシャル理論に基づくモデルは、複雑系の中でも安定した解を導き出せる可能性があります。リーマン面上での解析を通じて、社会的変革の潜在的なエネルギーを視覚化し、それがどのように発展するかを追跡することができます。エネルギーの収束点が見えるなら、それが社会の安定点を示すかもしれません。」
「そのアプローチは確かに興味深いですが、実際の社会では多数の変数が絡み合い、単純なポテンシャル理論だけでは捉えきれない動きもあります。その点を考慮すると、複雑系のシミュレーションとの併用が必要ではないでしょうか？」
「もちろんです。私が提案するのは、調和関数を基盤とした解析が複雑系のシミュレーションと補完し合う可能性です。単独のアプローチでは見落とされがちなパターンや収束性を明確にするための道具として捉えていただければと思います。」
三人は、お互いに目配せをすると別れを惜しむかのようににこやかに近付き合い、お互い談笑しながら出口へと歩みを進めた。
一方その日のパリは過去にないほどの快晴で、会議場の外ではどういうわけか、太陽の下で穏やかにほほえむ人々で溢れ返っていた。
何が含まれるかといえば、数学、論理学、統計学、言語学あたりがメジャー。
更に最近だとコンピュータサイエンス、即ち計算機科学も含まれると。
というかこの計算機科学、なんで「科学」にカテゴライズされるのかずーっと疑問だった。
まあ人文科学でも社会科学でもないのは明らかなので、科学に含めるなら消去法で自然科学なんだろうけど、でも物理や化学の法則が効いてくる世界ではない。
むしろ自然界の制約が一切及ばない何でもありな世界とか、それもう科学でもなんでもねーじゃんと思ってたんだわ。
でも違った。科学にはもう一つ形式科学というものがあったなんて、今の今まで全く知らなかったよ。
一応、プログラミングで数字や論理記号はそれなりに使う機会があるので、まあ応用数学的な何か？とは思ってたけど、そうすると数学は自然科学に含まれるんだっけ？という別の疑問が湧いてきたり。
なんか、システム開発というかソフトウェアの開発がハードと同じようにはうまく行かないとか話題になってるけど、形式科学という言葉を知ってしまうと、そりゃそうだろって思うわ。
メカやエレキ含むハードは自然科学中心の世界なのに対し、ソフトは完全に形式科学中心。その時点で畑が違いすぎ。
まあ物理とかは数学をツールとして使うどころか「理論物理学」「数理物理学」なんて分野もあるから、クロスオーバーしてる部分があるのは認める。
でもCSに限って言えば自然科学にかすっている部分を探すほうが多分難しそう。
あと日本のソフト軽視とかいうのも、形式科学という知見の欠如に由来するところが大いにありそう。
まあ最近はAI（というかLLMや基盤モデル）のせいでデータセンターの需要がでかいから、そういうところでのSWE需要は増えてるのかもなと思う。
金融は本来はそういうのの塊なんだろうけど、日本はみずほみたいに勘定系システムで政治的に揉めまくってるとかいう感じだからなあ。
俺はSWE的な意味ではプログラミング全くできないけど、昔競プロやってみたときに学んだ計算量やデータ構造、メモ化みたいなメモリと計算量の関係なんかのイメージは役には立っている。
プログラミング特化の人たちは逆に応用数学的・物理学的な感覚が弱すぎるなって感じるけど、それは脳みそが違うから仕方がないことで、お互いちょっとずつ歩み寄るくらいがせいぜいなんじゃないの？って思うわ。
数学と統計学の関係: 数学は数、量、形、パターンの研究で、抽象的な概念と論理的な推論に焦点を当てて問題を解決します1。一方、統計学は数学の一部門であり、データの収集、分析、解釈、提示、および組織化に関わります1。統計学は数学的な技術を用いてデータを理解し、結論を導き出します1。
純粋数学と応用数学: 純粋数学は数学の一部門で、数、形、構造、およびそれらの関係の研究に焦点を当てています1。一方、応用数学は数学の原理を実世界の問題解決に適用することに焦点を当てています1。
統計学は応用数学か？: 統計学は応用数学の一部と見なすことができます1。しかし、統計学は数学の一部門であり、数学的な技術を用いてデータを理解し、結論を導き出します1。
数学だけ学んでいても統計学は理解できない: 数学と統計学は密接に関連していますが、それぞれには独自の特性があります1。したがって、数学の原理を理解していても、統計学の特定の側面（例えば、データの収集や解釈）を理解するためには、統計学特有の知識と技術が必要です1。
以上の情報を踏まえると、議論の中で述べられている一部の主張（例えば、「統計学は応用数学だから、数学ではない」）は誤解を招く可能性があります。統計学は数学の一部門であり、数学的な技術を用いてデータを理解し、結論を導き出します1。しかし、統計学は数学の他の部門とは異なる特定の知識と技術を必要とします1。したがって、数学だけを学んでも、統計学の全てを理解することはできません1。この点を理解することは、数学と統計学の間の適切な区別を理解する上で重要です。1
詳細情報
1
thisvsthat.io
2
leverageedu.com
3
askdifference.com
4
indeed.com
5
stats.stackexchange.com
6
usu.edu
7
investopedia.com
8
statanalytica.com
- 5 その他
もうかなり前です。
留学した当時は，その大学はスポーツ推薦はありませんでした。それが誇りでもあったと聞いたことがありますが，さすがにコンファレンスでいい成績が出ない。僕が帰国してからだったと記憶しますが，スポーツ推薦を始めたようです。
ただし，その大学だけじゃなく，最近バスケットボールで留学した渡邊君も言ってましたが，学期ごとに成績がある基準を下がると試合には出られなくなります。
ですから，そうなりそうな学生は，同級生の中からチューターを雇用して（もちろんお金がかかります），夕食後に図書館などで深夜まで勉強を教えてもらっていました。スポーツができるだけでは卒業はできない仕組みです。
さて，講義レベルのことですが，まず米国の入試では，共通テスト (SAT) 等以外に筆記試験がありません。
つまり日本の一般入試というシステムではなく，日本のAO（今の総合型）入試が，米国入試を真似たシステムです。
そして，共通テストの内容は，日本人の高校３年生が受ければ，多分簡単です。中学校レベルに毛が生えたくらいだと言われることもあります。これは，米国の中等教育の
しかし，SAT の成績がいいから合格するってわけでもありません。MIT も昨年度までは，入試の合否で SAT などのスコアを使っていませんでした。つまり面接や応募書類の中身で合否判定をしていたわけです。
しかしとうとう，今年からだったか MIT も共通テストのスコアを参考にすることになったようです。
秋ごろの日本の全国紙に，ハーバード大学が調査した大学卒業率の記事がありました。
米国の全国大学平均で，卒業率は50％，つまり二人に一人は退学になって卒業できないんです。これが入試に筆記試験が無いからなのかどうかは，記事には書いてありませんでしたが，さすがにハーバード大などの研究型大学の卒業率はもちろん90％を超えます。当たり前です。
さて，そういう事情ですから，例えば米国の研究型大学１年生と，東大の１年生に，東大の理科 I 類の１年生の数学の中の線形代数の試験を受けさえると，東大生が80％は合格するのに対し，米国大学の学生は20％しか合格しないかもしれません。
僕は留学先で，試しに１・２年生を対象とした複素関数の講義の一回目に（ひやかしで）座ってみました。日本の大学の数学の講義よりも丁寧で，分かりやすいです。
ところが60分の講義が終わった途端にひとりの学生が挙手をして質問しました。「先生，この時間内でしょっちゅう出てくる i って何ですか？」です。
日本の大学生なら，文系の学生でもこの発言にはびっくりしますよね。
つまり虚数単位を知らない学生が，世界大学ランキングで東大よりも上位の大学の１年生に，少なくとも一人はいたわけです。
これが，米国の高校までの教育目標と日本のそれが異なることの一例ではないでしょうか。
ところが，例えば工学部３年生以上の講義科目の内容を日米で比較してみましょう。ほぼ同じです。実際僕は，その両方を履修していますから，これは本当のことです。
僕の知人が勤めている日本の旧帝大工学部のある学科は毎年のように優秀な学生で英語で不自由しない３年生を，１年間の交換留学させていて，米国で取得した専門科目の単位を持ち帰ること（読み替えること）が可能でした。
ところが，東大よりもランキング上位の大学に留学した旧帝大学生の成績があまりにも悪いということが数年続いてしまいました。
講義内容は，３年生なら日米ではそんなに違いがありませんが，quarter 制度のあの詰め込み講義と毎週の宿題と，応用問題が出される期末試験でいい成績をおさめられないってわけです。
卒論は，オプションです。やる学生は圧倒的に少ないと感じましたが，これについては統計も何も持っていません。
僕が勤めていた大学では，工学部３年生の応用数学や力学などの一部の講義をすべて英語で実施しています。
これは，交換留学の公式のプログラムに，欧米やアジアの成績がいい３年生が半年か１年留学受け入れがあり，その学生が，日本人に提供している講義を一部だけ全部英語で実施しているものです。
僕の英語があまりにも上手だからでしょうか，日本人の学生には不評な講義でしたが，日本人の学生も80％は70点以上をとります。80点前後にピークが来ます。70点あたり
に分布の谷があり，残りの20％が65点未満くらいに分布するという状況です。
最近、我が老境において、喜びの種となりつつあるのは、ビックバンセオリーを眺めることでござる。
インテリ気取りのオタクの愚痴っぽい振る舞いが、滑稽さを誘い出し、わが老眼に微笑みをもたらす次第である。
シェルドンなる輩は、ひも理論の奥深さに耽溺し、しかもデニスキムの出現以来、中東問題解決と称して、何やら意味不明な提案を披露し、微妙に差別的な言葉も交えておる。
年を重ねても理解に苦しむ世の謎は尽きることなく、これが老いというものかと、我が老いびれた心に感じ入りたり。
さて、余は昔より数学の魅力に惹かれ続けてまいりました。
あまりにも純粋な数学よりも、応用数学の方が余には心地よいものでござる。
したがって、利潤を最大化させんが為に必要な推薦システムの機巧に興味を抱く次第でござる。
ユーザー、プロバイダー、システムの三者関係を形式化し、マルチステークホルダー問題として考察すれば、トレードオフの難しさが浮かび上がってくる。
システムの運用を最適化すればするほど、マッチングの機会均等性が損なわれるという難しい事態が生じる次第でござる。
この機会均等の欠如が引き起こす長期的な悪影響として、プロバイダーの離脱が挙げられる。
しかしながら、絶妙な場合では単価競争が巧みに行われ、我が利益も増進するであろう。
サービスの価値が低ければ低いほど、プロバイダー離脱の危機が高まる。
なぜなら、サービスそのものが他社と競争しており、「そんなに高いなら他のところへ行きます」との言葉が飛び交うのでござる。
故に、効用だけでなく、公平性も見逃すべからざる重要な要素となる次第でござる。
話は変わり、老齢においても脳の活性化を促す趣味を模索しておる次第でござる。
何よりも自分が楽しむことが第一であるが、たとえばチェスとヨガを比較し、どちらがボケを防ぐに効果的かを考察せざるを得まい。
多くのエビデンスが示す通り、運動は脳の活性化に寄与するものである。
まあ、美しいお尻を手に入れることを目指してみるのも悪くはないかもしれぬな。
文系学問は文系でもできる範囲で発達しているに過ぎないと思う。
物事には理系にしかできない論理構造というのがあって、それが必要なものについてはいまだ解明されていないと思う。
文系の論理はなんというか線条的なんだ。ああなったら、こうなるという論理。雨降って地固まるというような思考様式さえ理解できるなら片がつく。双方向的な論理もあるかもしれないが所詮は一次元のなかでのUターンに過ぎない。
俺はディ二の定理もガウス積分も「理解できない」ことで完全に理系の素養がないと悟った何者かである。
https://mathlandscape.com/dini-theorem/
たとえば上リンクのディ二の定理の説明に使ってるグラフによる関数列の定義が理解できない。
fn（x）についてfn（2/n）=1とは一体どういうことだと言うのか。
xについて解けばn=2のときx=1らしそうだがそれってどういうことなのか。つまり関数列のxを固定して数列としてみたfn(1)についてn=2のときの項は少なくとも1だということになるがそれ以外のnについても項が全く不明ではないのか？
ガウス積分も同様だ。どうしても変数変換のところで理解が追いつかない。rとθが同時に動くような状況を理解しなくてはいけない。高校の置換積分とは理解に必要な脳のスペックCPUでいうならbit数が根本的に違う。
ようするにこれらは変数の数の問題だ。文系の論理は変数でいえば一個の変化を辿っていくようなものでしかない。
しかし理系のそれは二個以上が容赦なく変化するような論理の流れを追えなければ理解が追いつかないということになる。
しかし私のような人間は一つの変数についてたどろうとするとそれ以外の変数に対する考慮がおろそかになってしまうような理解しかできないのだ。
この状況は絡まった糸で例えられるかもしれない。糸の端が外側に出ているという前提であれば、複数の糸がそのように絡まった糸玉に対してある端から辿ってその糸の別の端を探すということはできるはずだ。
理系がやばいのはこの辿るという作業を二つ以上の糸に対して同時に行えてしまうようなところにあるのだと思う。とてもじゃないがワーキングメモリーが足りねえよ。
つまり二つ以上の変数を一挙に思考の範囲内に収めてみんなまとめて辿れてしまうんだ理系ってのは。
応用数学を解いたり、初等的な計算が早かったり、フラッシュ暗算が得意だったりというところだ。なかには理系以上の計算力を持ってる人もいる。
しかし理系もみんなそれなりの計算力はあるのである。大事なのは、計算力があるなら理系であるとは限らないこと。百ます計算や公文式で得意げになってる子供に理系としての将来を期待するのは早計なのだ。
だって俺でもガウス積分を使わなければならない問題でも一定の演習を積めば答えの法則をそれとなく察してパズルのように解けるようにはなってしまうと思うから。高校数学の延長上の応用数学はみんなパズルである。ナンプレと大差ない。パズルとして解こうとする限り計算問題はみな線条的な論理理解力があれば事足りるのである。
しかし原理的な理解がなければ既存の定理を発展させることはできない。
実は文系という人間にありがちと思われるのは、正しく新しい定理を証明までできた気になって得意げになってるか、既存の定理について延々と具体的な数値を代入してみたりして納得を試みようとするが一般的にそうだと言えることについてはついに何度人に教えてもらってもいまいち理解には辿り着けないかのどっちかだろう。
前者は無知の知すら弁えてない傲慢な人間、後者は合理的な知性主義によって既存の知性となんとかすり合わせを行おうとしているがそれができない、という違いだ。
ちなみにツイッターに棲息していがちな、法律の話で独自解釈をしているのにそれに気づかない人間は前者である。
やや急進的な言い方かもしれないが、位相集合を基盤とした数論幾何をはじめとする現代数学と一部の物理以外はだから文系なのである。理論や主張を腹落ちするのに複数の糸を同時に辿れるような能力はいらない。
というかそういう人間しか研究に携わってきてないから、そこから出力される理論もその程度なのだろう。理系の頭をもってしか理解できない領域が人文社会科学にもあるならば、それについてはいまだベールに包まれたままなのかもしれない。しかしなぜか真の理系人間の誰一人として文系学問には進まないか、文系学問において理系脳をフル回転させようとしないのだと思われる。
dorawiiより
