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「エントロピー」という概念がよくわかりません。 - Mond
https://mond.how/ja/topics/25cvmio3xol00zd/t242v2yde410hdy
https://b.hatena.ne.jp/entry/s/mond.how/ja/topics/25cvmio3xol00zd/t242v2yde410hdy
「エントロピー」は名前自体は比較的よく知られているものの、「何を意味しているのか今一つ分からない」という人の多い概念である。その理由の一つは、きちんと理解するためには一定レベルの数学的概念（特に、微積分と対数）の理解が必要とされるからであろう。これらを避けて説明しようとしても、「結局何を言いたいのかすっきりしない」という印象になってしまいやすい。
「エントロピー」を理解し難いものにしているもう一つの理由は、「エントロピー」という概念が生まれた歴史的経緯だと思われる。
エントロピーが提唱された時代は、物質を構成する「原子」や「分子」の存在がまだ十分に立証されておらず、それらの存在を疑う物理学者も少なくなかった。エントロピーの提唱者クラウジウスは、「原子や分子の存在を前提しなくても支障がないように」熱力学の理論を構築し、現象の可逆性と不可逆性の考察から「エントロピー」という量を発見し、非常に巧妙な手法で定義づけたのである。
その手法は実にエレガントで、筆者はクラウジウスの天才性を感じずにはいられない。だが、その反面、熱力学における「エントロピー」概念は簡単にイメージしづらい、初学者には敷居の高いものとなってしまったのだ。
その後、ボルツマンが分子の存在を前提とした（よりイメージしやすい）形で「エントロピー」を表現し直したのだが、分子の存在を認めない物理学者達との間で論争となった。その論争は、アインシュタインがブラウン運動の理論を確立して、分子の実在が立証されるまで続いたのである。
現代では、原子や分子の存在を疑う人はまず居ないため、ボルツマンによる表現を心置きなく「エントロピーの定義」として採用することができる。それは次のようなものである。
例えば、容積が変わらない箱に入れられた、何らかの物質を考えて欲しい。
箱の中の物質の「体積」や「圧力」「物質量」などは具体的に測定することができる。また、箱の中の物質の「全エネルギー」は測定は難しいが、ある決まった値をとっているものと考えることができる。
ここに、全く同じ箱をもう一つ用意し、全く同じ物質を同じ量入れて、圧力や全エネルギーも等しい状態にするとしよう。このとき、二つの箱の「巨視的状態」は同じである。では、内部の状態は「完全に」同じだろうか？
そうではあるまい。箱の中の物質の構成分子の、それぞれの位置や運動状態は完全に同じにはならない。これらの「分子の状態」は刻一刻と変化し、膨大なパターンをとりうるだろう。
このような分子レベルの位置や運動状態のことを「微視的状態」と呼ぶ。
「微視的状態」のパターンの個数（場合の数）はあまりに多いので、普通に数えたのでは数値として表現するのも難しい。そこで「対数」を用いる。
例えば、巨視的状態Aがとりうる微視的状態の数を1000通り、巨視的状態Bがとりうる微視的状態の数を10000通りとする。このとき、Aの「パターンの多さ」を3、Bの「パターンの多さ」を4、というように、桁数をとったものを考えるのである。
この考え方には、単に「とてつもなく大きな数を表現するための便宜的手法」という以上の意味がある。
先の例では、AとBを合わせた微視的状態の数は1000×10000=10000000通りであるが、「パターンの多さ」は7となり、両者それぞれの「パターンの多さ」の和になるのである。
「微視的状態のパターンの個数」をΩ通りとしたとき、エントロピーSは次のように表現できる。
S = k*logΩ
（ただし、kはボルツマン定数と呼ばれる定数であり、対数logは常用対数ではなく自然対数を用いる。）
この「エントロピー」は、同じ巨視的状態に対して同じ数値をとるものであるから、「体積」や「圧力」などと同じく「状態量」の一つである。
このような「目に見えない状態量」を考えることに、どのような意味があるのだろうか？
その疑問に答えるには、エントロピーとエネルギーの関係について考える必要がある。
再び箱に入った物質を考えよう。この箱に熱を加え、箱内の物質のエネルギーを増加させると、エントロピーはどうなるだろうか？
まず、総エネルギーが増加することにより、各分子に対する「エネルギーの分配パターン」が増える。さらに、個々の分子の平均エネルギーが増えた分、可能な運動パターンも増える。このため、エネルギーが増えるとエントロピーは増加すると考えていいだろう。
では、エントロピーの「上がり方」はどうか？
エントロピーは微視的状態パターンの「桁数」（対数をとった値）であるから、エネルギーを継続的に与え続けた場合、エントロピーの増加の仕方はだんだん緩やかになっていくだろうと考えられる。
ここで、多くのエネルギーを与えた「熱い物質A」の入った箱と、少量のエネルギーしか与えていない「冷たい物質B」の入った箱を用意しよう。箱同士を接触させることで熱のやりとりが可能であるものとする。
物質Aには、熱を与えてもエントロピーがさほど増加しない（同様に、熱を奪ってもエントロピーがさほど減少しない）。言いかえると、エントロピーを一定量増加させるのに多くのエネルギーを要する。
物質Bは、熱を与えるとエントロピーが大きく増加する（同様に、熱を奪うとエントロピーが大きく減少する）。つまり、エントロピーを一定量増加させるのに必要なエネルギーが少ない。
箱を接触させたとき、AからBに熱が流入したとしよう。Aのエントロピーは下がり、Bのエントロピーは上がるが、「Aのエントロピー減少分」より「Bのエントロピー増加分」の方が多くなるので、全体のエントロピーは増加するだろう。
もし、逆にBからAに熱が流入したとするとどうか？ Aのエントロピーは上がり、Bのエントロピーは下がるが、「Aのエントロピー増加分」より「Bのエントロピー減少分」の方が多いので、全体のエントロピーは減少することになる。
エントロピーが多いとは、微視的状態パターンが多いということである。従って、「AからBに熱が流入した」状態パターンと、「BからAに熱が流入した」状態パターンとでは、前者のパターンの方が圧倒的に多い（エントロピーは微視的状態パターン数の対数なので、エントロピーの数値のわずかな差でも、微視的状態パターン数の違いは何十桁・何百桁にもなる）。これは、前者の方が「起こる確率が圧倒的に高い」ということを意味している。
これが、「熱は熱い物体から冷たい物体に移動する」という現象の、分子論的な理解である。
冷たい物体から熱い物体へ熱が移動する確率は0ではないが、無視できるほど小さいのである。
物体が「熱い」ほど、先程の「エントロピーを一定量増加させるのに必要なエネルギー」が多いといえる。そこで、この量を「絶対温度」Tとして定義する。
エントロピーの定義のときに出て来た「ボルツマン定数」kは、このTの温度目盛が、我々が普段使っているセルシウス温度（℃）の目盛と一致するように定められている。
さて、ここで用いた「エントロピーが減少するような変化は、そうなる確率が非常に低いので現実的にはほぼ起こらない」という論法は、2物体間の熱のやりとりだけでなく、自然界のあらゆる現象に適用することができる。
すなわち、「自然な（自発的な）変化ではエントロピーは常に増加する」と言うことができる。これが「エントロピー増大の法則」である。
ただし、外部との熱のやりとりがある場合は、そこまで含めて考える必要がある。
例えば、冷蔵庫にプリンを入れておくと、プリンの温度は「自然に」下がってエントロピーは減少する。
しかし、冷蔵庫が内部の熱を外部に排出し、さらに冷蔵庫自身も電気エネルギーを熱に変えながら動いているため、冷蔵庫の外の空気のエントロピーは内部の減少分以上に増加しており、そこまで含めた全体のエントロピーは増加しているのである。
最初に、「エントロピーの理解には微積分と対数の理解が必要」であると述べたが、なるべくそうした数学的概念に馴染みがなくても読み進められるようにエントロピーの初歩的な話をまとめてみた。如何だったであろうか。
筆者は熱力学・統計力学の専門家でもなんでもないので、間違ったことを書いている可能性もある。誤りがあればご指摘いただけると幸いである。
クラウジウスによる「原子・分子の存在を前提としない」エントロピーの定義については、筆者よりはるかに優秀な多くの方が解説記事を書かれているが、中でも「EMANの熱力学」https://eman-physics.net/thermo/contents.html が個人的にはおすすめである。興味ある方はご参照いただきたい。
多変数微積分の問題に没頭していく中で、数学の魅力と深遠さを再び見つけました。
関数と曲線の振る舞いを探求し、微小な変動が全体に及ぼす影響を追求する過程で、数学は私にとってまるで美術館の中の至宝を鑑賞しているかのように感じられました。
数学の問題はその複雑性から挑戦的でありながら、それを解明する喜びと充実感は何よりも素晴らしいものです。
数学は単なる計算や公式の羅列ではなく、知の探求の旅でもあります。
微積分を通じて、数学は宇宙や自然の法則を解き明かす手段であり、知識の宝庫であることを改めて理解しました。
関数と微分方程式の背後にある論理的な構造や、微小な変化が物理現象や経済の動向にどのように影響を及ぼすかという洞察力は、数学の美しい魅力の一部です。
数学の世界は無限大であり、それを探求することは知的好奇心を満たすための果てしない冒険です。
新しい概念を学び、新しい問題に挑むたびに、私の思考能力が高まり、知識の深化が加速します。
数学は私にとって知的な挑戦の場であり、同時にクリエイティブな問題解決のプレイグラウンドでもあります。
まともな英語動画を見て「俺の英語嫌いって、教わり方のせい？」となり始めてるワイ。
いやこういう意見言う人めっちゃ多いけどバカじゃないのかなと。
学校の先生が悪かったらそれで人生詰むんか。だったらなんで受験勉強頑張らなかった。
学校の先生が悪かったら自分でいい参考書探して勉強すればいいだろ。
どうせ学生の時は「英語が勉強できない別の理由」を思いついてただけだろ。
特に物理。中１の時から微積をつかって授業する頭のおかしな教師だった。
なんというかこういうことこのクソデカ主語でさらっと書いちゃうあたりすげー勉強も研究もできなさそう感が・・・
そもそもタイトルからして何が言いたいのか意味不明だから、学部でちょっとかじった知識でドヤ顔する前に国語力を鍛えたほうがよさそうではある
何に必要なのですか
沢山の可能性というのか、能力が未知の子供達の脳の発達に必要なんじゃ？
これからどの道に進むのか分からない子供達の行く末に必要になるかもしれない、
若しくは、今はまだ開花していないが、何らかの学問を進める事でその道（例えば数学や物理）で
開花するかもしれない子供達の為に、高等教育に到達する前の準備として、
んー、言葉にしようとすると長たらしくなってめんどくさい。
多くの人達は、三角比とか三角関数とか、微積分なんて卒業したら使わないよ。
（俺は仕事で少々使ったけど、学問の範囲から言ったらそれは微々たるものだと思う。）
だからと言って学ばなくて良いものかといったら、そうではないと思うよ。
色んな人が可能性を持ってい居て、誰が数学に関心が有るとか、数学の方面で伸びるとか、誰にも分からないだろうし。
それに、脳みその発達の為にも色々な事を勉強する事で脳に刺激を与えることになって、発達が促進されるとか言われてなかったっけ。
同じ事ばかりやってても脳の発達は促進されないような事を言われてたと思う。
筋力トレーニングも同じようなもので、毎回同じようなトレーニングばかりしていると、
筋肉に対する刺激が少なくて、発達しにくくなるから違うメニューを取り入れるとか。
家の子は将来音楽家になりますから数学は不要です、という親がいたとしたら、その通りにさせてみたい。
その結果がどうなるのかも見てみたい。偏った人間になるんじゃないかな？
小中高での引きこもりやいじめ、大学生活での留年やギャンブル沼なども全て回避したのに、まさか就活に失敗してニートになるとは思わなかった。
なんかすごい悔しい。
2020年の4月を思い出す。新生活に希望を膨らませながら、必修落とさないように微積分復習して、線形代数とミクロ経済学の予習して、料理や洗濯を身につけたりしてた。一人暮らし始めて一週間後には高校から付き合ってた彼女が泊まりに来てそこで童貞も卒業した。4月下旬や5月には色々なサークルの新歓行って、アルバイトも始めた。その後の生活もあっという間だったけど楽しかったのに。
電磁気学の回路の問題とか、受験の問題設定程珍妙な構造の回路の電流やら電気容量やら解く場面には遭遇しないにしても、それにそれなりに近い回路を扱うというときには、自分が解いてきた問題の設定を単純化すればいいんだから、より複雑な問題を解いてる経験があるなら、それより単純な問題も解けるって点で、安心感が出るんだよな。大学以上の理論をいくら勉強してもそこまでくるともはや単純化しても目の前の問題の状況に帰着できない、別質なものになっちゃってるっていうか、やっぱ高校のを完璧にしないと大学のをいくらやっても埋められない、問題の解決能力のギャップってあるような気がする。
下手なたとえだが、小学校中学校の勉強一切すっとばして高校の勉強からはじめてパズル感覚で方程式もベクトルも微積分も解けるようになったということになっても、それをいくら単純化しても時計の読み方にはたどりつかないでしょみたいな。
特に物理数学、いやそ例外でもいいんだけど難関大見据えた参考書に書いてある「ひねった問題」をいまだ解けないであろう状態で断捨離するのに抵抗があった。
ああいうのってかりに大学レベル以上の知識や問題演習を積み重ねても、それより下位の問題としてのああいった受験特有の問題が自ずと解ける力が身についてるとは限らないと思うんだよね。もちろんずば抜けて応用力がある、一を聞いて十を知るタイプなら、高校の参考書なんか全部捨てちゃって、常に前を見て学び続けた方が効率よく賢くなれるんだろうが。
んでそういうひねった問題を解くのに必要なものの考え方が足りてないのがネックになって、大学レベルの理論の理解でつっかえるというケースも多分無きにしもあらず。微積分の極意とか難問題の系統に載ってるような問題を解くのに使うものの考え方が、学術書の解説ではそんなの当たり前というように省かれているのだと思う。問題演習してきてる人はその経験が思考のエンジン、目の前の文章にパズルのピースとして情報を補うようにしてなんなく読みこなせるが、それを怠ってる人はつまづいてしまう。
望月新一とか言う人の証明がもし本当に正しければ彼の理論を知ってればフェルマーの最終定理は数行で証明できるそうだが、全てが全て、上位の理論を理解してればそれより下位の理論を解けるというようにはできてないだろう。
でもまあ結局親から迫られて捨てちゃった…赤チャートの数Cだけ線形代数とかベクトル解析とかする前にやっといたほうがいいんだろうってこっそり残しておいたが…うーんコンプレックス。
本屋でチャート式を立ち読みしたが、「こんな算数はsagemath, mathematica, simpyなどで計算できる」とやる気をなくす
今やりたいのは計算知識獲得というより、現実世界の問題を定式化する大雑把な知識である
しかしそういう類の本はいくつか読んでおり、つまるところ定式化に確たる決まった手順などなく、道具や想像力を使いこなすためにケーススタディを解くものが多い
道具を多く知る事と、ケーススタディを多く知る事とで、オンラインで無料のリソースがたくさんあり、書籍を買う必要もないかもしれない
自分で道具を発明するためにちゃんと証明するというのは、プロの数学者がやることではあるが、私の想像できる範囲のことぐらいは試行されているはずである
とはいっても、グラフダイナミカルシステムのような未発展な分野もいくつか存在し、数学的構造が無数にありえることを踏まえれば、人間の想像力というリソースをどこに割くかというタイパコスパ話になるのは仕方がないのだろうか…
end basketball
Gorilla: QaQbOWxTRlsvkPNrARm6TZW_MrgFDwXaYAlEFB2SMNeJ7w0YvZ1u3IkfCxwieDGKBj91OrXSmSq2o7oSF9U2YiaicRXCHjB6jaTGew3in01Apt0wwF_Bi2Yv0mmNJdohDaPIfZlVZ1Q0e3y81dltTsWFoeLzCDLe9IfVbEQPljBAjYAtAXKyxZN_LOz50Fd0imfyKcZazaPdK4bwFcwFcp1M1qStZi2X_Z33Uadk5zn9N8GXlzk4qaidO6VNcnPxBjTSR6XD4nHx0O11WYxiWvyaRXpqHkGEzjHGT6yZIQTpcoBDdYP0Y82girjIztUvcPiogADxkDQ7PbndtoCBAc9eMYRDk8bU4IGFeOjoQyhnhOYN6EKHneMgbdcf8exoihZddjXheEkPUFMqYZRTlvT2wvUsuxOsChxgbDZoyd84pqO9xWSJegNEw9NaZWFcYA_paIK2eV0KOTT3Nwy74eY0Ya9LiX5hxFkyJo6gT7aH8ufOxsdwNsYKE7DFB4jGKBqMn3SXS1MQS4iEh___KPgUlgLHcRR22W2yZqpVlFH9QyDsOLiXImDinDekRvREh5udJovjW6PDTUPiBUFHPy3s9TFBXrmlR6tq_r7jf9DfKk9VzK_S0WCDmGMHHxIwQYGUEKHTCuV15_Mh_E7LppDwSbDICbi7K9pXwelQt03b2zumMRzxOr23LEteURWT5pTQSlJNxv4NmYeVC0Vgolio_0MWUq1GwAGCDET8aF2sfInfHyVG34NnEOHoTeJjAKbqzxHz9DuB2ZGhukxuqT9S7oPsbHZbPrG_WDThexoODt5_8r5S_lBdJLVuDz2Vdbn01Kt8vvNb0M3QzGMJRvvKO6VhzxpvffqL0g3HheJyTlpTg_p7phTqvaXGldCZrybw9Uax3lnREX3h0N3Ze4CXa0A72jujElEyXG9OyXp1gS7jNfJnn7_lRM639h0ewOh_pKGFFD4Y0qZ9imzJ6PorunLZIGqrrmME_v438avkgv7hHQxsbW5FCe43lH5r
専門学生のタカシは普通に学生生活を送っていたが、ある日突然、自分が体感していた時間はほんの一部であったことを知り、自分以外の時間が動き出す体感に襲われる。後に彼は、自分の数学能力が高いことがその原因であることを知る。彼以外の人々は、あらゆる思考が現実化する世界線で生きており、タカシが意識を取り戻すまでの間に様々な研究開発を行っていたことを知る。
ある日、タカシがカビの生えたみかんを食べたことがきっかけで、自分時間が止まっている時の周囲の様子が見れるようになった。数学の授業に参加している時、教師が「大丈夫です、あいつの時間は止まっていて気がついていません。」と叫んだが、タカシはその声を聞くことができた。異常世界の住人は、使える時間が長い分、IQが低いということを知る。そのため、タカシが微積分の公式通りに問題をスラスラと解くと、「え、なんでだ、あいつが一瞬で答えを書いている」などと言っているようだった。
タカシは、カビの能力は自分の思考を現実化するという周囲の能力を自分の能力としても使えることに気づく。学校の5階の椅子で窓を見ながら座っていると、「この気持ち悪い世界の住人は、俺が今眠っている間に、1億年の労働を強いられる。しかも、俺に手出しをすることも不可能。1億年後にはすばらしい技術発展を遂げた世界がある」と思考を練った。目を覚ますと、外には巨大なカメラがタカシを見ていた。友人に聞くと、「それより、何か飲みたくない？」と言われ、自販機でミネラルウォーターを買う。
タカシは驚きと不安を抱きながら、特別講義の怪しいプレゼンを見ていた。プレゼンの中では、主人公の少年が実は女性であること、そしてその女性が謎の暗号で会話する集団に通常言語で話しかけても通じなかったことに、彼は混乱していた。更に驚いたことに、その女性の脳が野生の猿と宇宙人とリンクされているという内容までプレゼンには含まれていた。
タカシは、この世界が異常であることを確信し、トイレに逃げ込むようにしてその場を去った。しかし、教師に呼び止められ、「帰りたいんだよな？」と尋ねられた。タカシは教師が何を言っているのか理解できず、「帰りたいに決まってるだろボケ」と答えた。
その後、タカシはこの異常な世界から抜け出すために実家へ帰ったが、そこでは正常な生活が営まれていた。彼は地図アプリを開き、外にあった巨大カメラがなくなっていることに気づいた。彼はこの異常な現象に疑問を持ち、この世界がどういうものなのかを解明するために行動を開始するのだった。
タカシが精神科でその話をしたら入院となったが、医師に驚愕の事実を告げられる。「実は、君の脳自体が異常世界を作り出したようなのだ。君のクローンをこの異常世界に残すから、本体はもっと正常な世界に送ろう。」
タカシは、医師から告げられた事実に戸惑いながらも、自分自身が異常世界を作り出したことを受け入れた。クローンが残されることには複雑な思いもあったが、彼はもう二度と異常世界に戻ることはないだろうと安心した。
精神病院に入院してからしばらくして、タカシはテレビで放送されているアニメに出くわした。そのアニメは、思ったことがそのとおりになる異常世界と、自由に思考できる現実世界とを対比して描いたものだった。タカシは、自分が経験した異常世界のことを思い出しながら、アニメに心を奪われた。
ところで、異常世界のカメラの映像によると、彼は相変わらず5階に座っていた。そして頭に奇妙な装置を着用しており、脳を強制的に正常世界につなぎ止めているようだった。理論的には、異常世界のタカシが死んでも、タカシは正常世界の中で生き続けることになっているが、これはこれで面白いので放置しておこう。
