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情報と存在の関係を数理化するために、高次圏論、ホモトピー型理論、および量子場の理論を統合した形式化を提案する。
まず、(∞,∞)-圏 C を考える。この圏の n-射は n 次元の情報構造を表現し、これらの間の高次の関係性を捉える。存在を表現するために、この (∞,∞)-圏上の (∞,∞)-シーフを考える。
(∞,∞)-シーフ F: C^op → (∞,∞)-Cat を定義し、これを「存在の超シーフ」と呼ぶ。ここで、(∞,∞)-Cat は (∞,∞)-圏の (∞,∞)-圏である。F(X) は対象 X に関連付けられた存在の可能性の (∞,∞)-圏を表す。
このシーフ F は以下の超層条件を満たす：
任意の対象 X と X 上の ∞-被覆 {U_i → X}_i に対して、以下の ∞-極限図式が (∞,∞)-圏の同値となる：
F(X) ≃ lim[∏_i F(U_i) ⇉ ∏_{i,j} F(U_i ×_X U_j) ⇛ ... ]
次に、ホモトピー型理論 (HoTT) の拡張として、∞-累積階層理論 (∞-CUT) を導入する。これにより、以下の型構成子を定義する：
さらに、高次 univalence 公理を採用し、以下を仮定する：
(A ≃^n B) ≃^(n+1) (A =^n B)
ここで、≃^n は n 次の同値関係を、=^n は n 次の同一性型を表す。
量子場理論の概念を取り入れるために、圏値場の理論を拡張し、(∞,∞)-圏値場 Φ: Bord^(∞,∞) → (∞,∞)-Cat を導入する。ここで、Bord^(∞,∞) は無限次元ボルディズム圏である。この場は以下の公理的場論の条件を満たす：
Φ(M ∐ N) ≃ Φ(M) ⊗ Φ(N)
Φ(∅) ≃ 1
Φ(M^op) ≃ Φ(M)^*
ここで、⊗ は (∞,∞)-圏の対称モノイダル構造を、* は双対を表す。
情報と存在の動的な相互作用を捉えるために、導来高次代数の概念を用いる。C の導来 (∞,∞)-圏 D(C) を考え、F の導来関手 LF: D(C)^op → D((∞,∞)-Cat) を定義する。情報の流れに沿った存在の進化は、以下の超越的余極限として表現される：
hocolim^∞_i LF(X_i)
最後に、情報と存在の根源的な関係を捉えるために、トポス理論を無限次元に拡張した ∞-トポスの概念を導入する。∞-トポス E = Sh^∞(C) 内で、存在を表す対象 Ω^∞ を定義し、これを無限次元部分対象分類子とする。
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