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はてなキーワード: ホモロジーとは

2024-09-18

超弦理論の7つの観点からの定式化

1. 多様体: 座標系、つまり局所的にモデル空間と関連付けることにより記述

超弦理論では、時空は10次元の滑らかな微分多様体 M^{10} としてモデル化されます。各点の近傍 U ⊆ M^{10} に局所座標 x^{μ}: U → ℝ^{10} を導入します(μ = 0,1,…,9)。

弦の運動は、パラメータ σ^{α}(α = 0,1)で記述される2次元世界面(ワールドシート) Σ 上の埋め込み写像 X^{μ}(σ^{α}) を用いて表されます

作用はポリャコフ作用で与えられます

S = -T/2 ∫_{Σ} d²σ √(-h) h^{αβ} ∂_{α} X^{μ} ∂_{β} X^{ν} g_{μν}(X),

ここで:

- T は弦の張力(T = 1/(2πα'))、

- h_{αβ} は世界面の計量、

- g_{μν}(X) は時空の計量テンソル

- α' は逆張力で、弦の長さの二乗に比例。

M理論では、時空は11次元微分多様体 M^{11} となり、M2ブレーンやM5ブレーンのダイナミクスが中心となりますM2ブレーンの世界体積は3次元で、埋め込み写像 X^{μ}(σ^{a})(a = 0,1,2)で記述されます作用は次のように与えられます

S = -T_{2} ∫ d³σ √(-det(G_{ab})) + T_{2} ∫ C_{μνρ} ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} ∂_{c} X^{ρ} ε^{abc},

ここで:

- T_{2} はM2ブレーンの張力

- G_{ab} = ∂_{a} X^{μ} ∂_{b} X^{ν} g_{μν} は誘導計量、

- C_{μνρ} は11次元重力の三形式ポテンシャル

2. スキーム: 局所関数を通じて記述。点は関数空間での極大イデアル対応する。

ラビ–ヤウ多様体は、超弦理論コンパクト化において重要役割を果たす複素代数多様体であり、スキーム言葉記述されます

例えば、3次元ラビ–ヤウ多様体は、射影空間 ℙ^{4} 内で次の斉次多項式方程式の零点として定義されます

f(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}) = 0,

ここで [z_{0} : z_{1} : z_{2} : z_{3} : z_{4}] は射影座標です。

各点 x は、局所環 ℴ_{X,x} の極大イデアル ℳ_{x} に対応します。これにより、特異点やその解消、モジュライ空間構造を厳密に解析できます

3. 与えられた空間を他の空間からの射、すなわち構造を保つ写像(の全体)Hom(-,S)を通じて記述

理論では、世界面 Σ から時空多様体 M への写像空間 Map(Σ, M) を考えます。この空間の元 X: Σ → M は、物理的には弦の配置を表します。

特に、開弦の場合、端点はDブレーン上に固定されます。これは、境界条件として写像 X がDブレーンのワールドボリューム W への射 ∂Σ → W を満たすことを意味します。

この設定では、開弦のモジュライ空間は、境界条件考慮した写像空間 Hom(Σ, M; ∂Σ → W) となります

4. コホモロジー論におけるように不変量を通じて特徴づける。

理論物理量は、しばしば背景多様体コホモロジー群の要素として表現されます

- ラマンド–ラマンド(RR)場は、時空のコホモロジー群の要素 F^{(n)} ∈ H^{n}(M, ℝ) として扱われます

- Dブレーンのチャージは、K理論の元として分類されます。具体的には、Dブレーンの分類は時空多様体 M のK群 K(M) の元として与えられます

- グロモフ–ウィッテン不変量は、弦のワールドシート上のホモロジー類 [Σ] ∈ H_{2}(M, ℤ) に対応し、弦の瞬間子効果計算するために使用されます

例えば、グロモフ–ウィッテン不変量は、モジュライ空間 ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) 上のコホモロジー類の積分として計算されます

⟨∏_{i=1}^{n} γ_{i}⟩_{g,β} = ∫_{[ℤ̄{M}_{g,n}(M, β)]^{vir}} ∏_{i=1}^{n} ev_{i}^{*}(γ_{i}),

ここで:

- g はワールドシートの種数、

- β ∈ H_{2}(M, ℤ) は曲面のホモロジー類、

- γ_{i} ∈ H^{*}(M, ℝ) は挿入するコホモロジー類、

- ev_{i} は評価写像 ev_{i}: ℤ̄{M}_{g,n}(M, β) → M。

5. 局所的断片(単体、胞体)から空間を再構築して、空間性質がその構築のパターン組合せ論に帰着されるようにする。

理論摂動論的計算では、世界面をパンツ分解などの方法で細分化し、それらの組み合わせを考慮します。

- パンツ分解: リーマン面基本的ペアオブパンツ(3つの境界を持つ曲面)に分割し、それらを組み合わせて高次の曲面を構築します。

- 世界面のトポロジー組合せ論的に扱い、弦の散乱振幅を計算します。

弦の散乱振幅は、各トポロジーに対して次のようなパス積分として与えられます

A = ∑_{g=0}^{∞} g_{s}^{2g-2} ∫_{ℳ_{g}} D[h] ∫ D[X] e^{-S[X,h]},

ここで:

- g_{s} は弦の結合定数、

- ℳ_{g} は種数 g のリーマン面のモジュライ空間

- D[h] は計量に関する積分(ファデエフポポフ法で適切に定義)、

- S[X,h] はポリャコフ作用

6. 構造を保つ変換の成す群の言葉空間を特徴づける。

対称性の群は、弦理論M理論基本的性質を決定します。

- 共形対称性: ワールドシート上の共形変換は、ビラソロ代数

[L_{m}, L_{n}] = (m - n) L_{m+n} + c/12 m (m^{2} - 1) δ_{m+n,0}

に従います。ここで c は中心電荷

- 超対称性: ℕ = 1 の超共形代数は、

{G_{r}, G_{s}} = 2 L_{r+s} + c/3 (r^{2} - 1/4) δ_{r+s,0},

[L_{n}, G_{r}] = (n/2 - r) G_{n+r}

を満たします。

- T-双対性: 円状にコンパクト化された次元において、半径 R と α'/R の理論等価である。このとき運動量 p と巻き数 w が交換されます

p = n/R, w = m R → p' = m/R', w' = n R',

ここで R' = α'/R。

- S-双対性: 強結合と弱結合の理論等価であるという双対性。弦の結合定数 g_{s} が変換されます

g_{s} → 1/g_{s}。

7. 距離空間: その元の間の距離関係を通じて空間定義

時空の計量 g_{μν} は、弦の運動を決定する基本的な要素です。背景時空がリッチ平坦(例えばカラビ–ヤウ多様体)の場合、以下を満たします:

R_{μν} = 0。

β関数消失条件から、背景場は次のような場の方程式を満たす必要があります(一次順序):

- 重力場:

R_{μν} - 1/4 H_{μλρ} H_{ν}^{\ λρ} + 2 ∇_{μ} ∇_{ν} Φ = 0、

- B-フィールド

∇^{λ} H_{λμν} - 2 (∂^{λ} Φ) H_{λμν} = 0、

- ディラトン場:

4 (∇Φ)^{2} - 4 ∇^{2} Φ + R - 1/12 H_{μνρ} H^{μνρ} = 0。

M理論では、三形式場 C_{μνρ} とその場の強度 F_{μνρσ} = ∂_{[μ} C_{νρσ]} が存在し、11次元重力の場の方程式を満たします:

- 場の強度の方程式

d * F = 1/2 F ∧ F、

- アインシュタイン方程式

R_{μν} = 1/12 (F_{μλρσ} F_{ν}^{\ λρσ} - 1/12 g_{μν} F_{λρσδ} F^{λρσδ})。

2024-09-12

M理論幾何学

定義 1: M理論の基礎空間を (M, g) とする。ここで M は 11 次元 C∞ 多様体、g は符号 (-,+,...,+) のローレンツ計量とする。

定義 2: M 上の主束 P(M, Spin(1,10)) をスピン構造とし、関連するスピノール束を S とする。

定義 3: M 上の外積代数を Λ*(M) とし、特に Λ³(M) と Λ⁴(M) に注目する。

場の理論構造

定義 4: M理論の場の配位空間を以下で定義する:

C = {(g, C, ψ) | g ∈ Met(M), C ∈ Γ(Λ³(M)), ψ ∈ Γ(S)}

ここで Met(M) は M 上のローレンツ計量全体、Γ は滑らかな切断を表す。

 

定理 1 (作用汎関数): M理論作用 S: C → ℝ は以下で与えられる:

S[g, C, ψ] = ∫_M (R * 1 - 1/2 dC ∧ *dC - 1/6 C ∧ dCdC - ψ̄D̸ψ) vol_g

ここで R はスカラー曲率、D̸ はディラック作用素、vol_g は g による体積要素である

 

定理 2 (場の方程式): δS = 0 から以下の Euler-Lagrange 方程式が導かれる:

1. Einstein 方程式: Ric(g) - 1/2 R g = T[C, ψ]

2. C-場の方程式: d*dC + 1/2 dCdC = 0

3. Dirac 方程式: D̸ψ = 0

ここで Ric(g) は Ricci テンソル、T[C, ψ] はエネルギー運動量テンソルである

幾何学構造

定義 5: M の 7 次元コンパクト化を X とし、M = R^(1,3) × X と分解する。

定義 6: X 上の G₂ 構造を φ ∈ Ω³(X) とし、以下を満たすものとする:

1. dφ = 0

2. d*φ = 0

3. (x ↦ i_x φ ∧ i_y φ ∧ φ) は X 上の Riemann 計量を定める。

 

定理 3 (Holonomy reduction):X が G₂ 構造を持つとき、X の holonomy 群は G₂ の部分群に含まれる。

定義 7: X 上の接束の構造群を G₂ に制限する縮約を σ: P → X とする。ここで P は主 G₂ 束である

位相構造

定義 8: M の K 理論群を K(M) とし、その Chern 指標を ch: K(M) → H^even(M; ℚ) とする。

 

定理 4 (Anomaly cancellation): M理論の量子異常が相殺されるための必要十分条件は以下である

I₈ = 1/48 [p₂(M) - (p₁(M)/2)²] = 0

ここで p₁(M), p₂(M) は M の Pontryagin 類である

 

定理 5 (Index theorem): M 上の Dirac 作用素 D̸ の指数は以下で与えられる:

ind(D̸) = ∫_M Â(M) ch(S)

ここで Â(M) は M の Â-genus、ch(S) は S の Chern 指標である

双対性

定義 9: 位相CW 複体の圏を Topアーベル群の圏を Ab とする。

 

定理 6 (T-duality): 適切な条件下で、以下の同型が存在する:

K(X × S¹) ≅ K(X × S¹)

ここで X は CW 複体、右辺の S¹ は双対円を表す。

 

定理 7 (S-duality): 適切な条件下で、以下の同型が存在する:

H^k(M; ℤ) ≅ H_{11-k}(M; ℤ)

ここで H^k は k 次コホモロジー群、H_k は k 次ホモロジー群を表す。

2024-09-02

量子幾何学概要

非可換幾何学

非可換幾何学は、空間幾何学性質を非可換代数を通じて記述する理論である。ここでは、空間古典的な点集合としてではなく、代数的な対象として扱う。

∥ab∥ ≤ ∥a∥ ∙ ∥b∥, ∥a*a∥ = ∥a∥²

ここで、∥·∥ はノルムを表す。この代数スペクトル理論を通じて、空間幾何学性質を解析する。

量子群

量子群は、リー群代数構造量子化したもので、非可換幾何学統計力学において重要役割を果たす。

(Δ ⊗ id) ∘ Δ = (id ⊗ Δ) ∘ Δ, (ε ⊗ id) ∘ Δ = id = (id ⊗ ε) ∘ Δ

これにより、量子群代数対称性記述する。

ポロジカル量子場理論 (TQFT)

ポロジカル量子場理論は、トポロジーと量子物理を結びつける理論であり、コボルディズムの圏における関手として定義される。

量子コホモロジー

量子コホモロジーは、シンプレクティック多様体コホモロジー環を量子化したもので、フロアホモロジーを用いて定義される。

a *_q b = a ∪ b + Σ_{d>0} q^d ⟨a, b, γ⟩_d

ここで、q は形式変数、⟨a, b, γ⟩_d は次数 d のフロアホモロジーによる量子補正である

2024-08-16

クラインの壺ホモロジー群について

クラインの壺は、二次元の閉じた向き付け不可能な曲面である

円筒の片方の端をひっくり返して反対側に接続することで構成される。

通常の三次元空間内では実現できない特異なトポロジーを持つ。

クラインの壺ホモロジー群とコホモロジー群は、その代数特性理解するための手段である

クラインの壺ホモロジー群は次のように計算される。

コホモロジー群はホモロジー群に対して双対的な関係を持つ。

  • 𝐻⁰(𝐾) ≅ ℤ
  • 𝐻¹(𝐾) ≅ ℤ ⊕ ℤ/2ℤ
  • 𝐻²(𝐾) ≅ 0

クラインの壺ホモロジー群の計算には、マイヤー・ヴィートリス完全系列使用されることがある。

クラインの壺を二つのメビウスの帯に分解し、それらの交わりが円にホモトピー同値であることを利用して計算を行う。

クラインの壺の高次元ホモロジー群が消えることが示される。

2024-06-05

幾何学ラングランズ、ホバノフホモロジー、弦理論

エドワードウィッテンは、幾何学的なラングランズ・プログラムの一部とアイデアとの関係について「電気磁気の二重性と幾何学的なラングランズ・プログラム」を執筆した。

ラングランズ プログラムに関する背景: 1967 年、ロバート ラングランズは、当時同研究所教授だったアンドレ ヴェイユ17ページの手書き手紙を書き、その中で大統一理論提案した。それは、数論、代数幾何学、保型形式理論における一見無関係概念を関連付ける。読みやすくするためにヴェイユ要望作成されたこ手紙タイプされたコピーは、1960 年代後半から 1970 年代にかけて数学者の間で広く流通し、数学者たちは 40 年以上にわたりラングランズ プログラムとして総称されるその予想に取り組んできた。

理論ゲージ理論双対性の背景を持つ物理学者は、カプースチンとの幾何学ラングランズに関する論文理解できるが、ほとんどの物理学者にとって、このトピックは詳細すぎて興味をそそるものではない。

一方で、数学者にとっては興味深いテーマだが、場の量子論や弦理論の背景には馴染みのない部分が多すぎるため、理解するのは困難(厳密に定式化するのは困難)。

短期的にどのような進歩があれば、数学者にとって幾何学的なラングランズのゲージ理論解釈が利用できるようになるのかを見極めるのは、実際には非常に難しい。

ゲージ理論とホバノフホモロジー数学者によって認識され評価されるのを見られるだろうか。

数論者が好むものの多くは物理学に登場している。

理論研究者として取り組んでいる物理理論が数論として興味深いものであることを示す多くのことがわかっている。

ここ数年、4 次元の超対称ゲージ理論とその親戚である 6 次元に取り組んでいる物理学者は、臨界レベルでの共形場理論役割に関わるいくつかの発見を行っているため、この点を解決する時期が来たのかもしれない。

過去20年間、数学物理学相互作用は非常に豊かであり続けただけでなく、その多様性が発展したが、私は恥ずかしいことにほとんど理解できていない。

これは今後も続くだろう、それが続く理由は場の量子論と弦理論がどういうわけか豊かな数学秘密を持っているからだ。

これらの秘密の一部が表面化すると、物理学者にとってはしばしば驚きとなることがよくある。

なぜなら、超弦理論物理学として正しく理解していないから。つまり、その背後にある核となる考え方を理解していない。

数学者は場の量子論を完全に理解することができていないため、そこから得られる事柄は驚くべきものである

したがって、生み出される物理学数学アイデアは長い間驚くべきものになるだろう。

1990 年代に、さまざまな弦理論が非摂動双対性によって統合されており、弦理論ある意味本質的量子力学的なものであることが明らかになり、より広い視野を得ることができた。

しかし、その根底にある原理が明確になっていない主題について、さまざまな側面を数学者物理学者研究である

今日若者にはさらに大きな発見のチャンスがある。

2024-05-23

  ホモロジー代数を作って超対称性計算するくらいやると勝てそうに思うが、何の役にも立たない。

2023-12-15

[] 2023-12-15

近くのホームセンター本棚を買いました。

しかし、こういった商品は運びやすいように組み立て式になっており、しかDIYしている気分になれるので一石二鳥なのです。

本棚を組み立て終わると、デスクの上に積んであった本の山をすっぽりと収めることができました。

しかし、私は本棚がもう一つ欲しくなってしまいました。

というのも、私は数学愛好家なので、リファレンスとして数学書を大人買いしたいのです。

仕事柄、特に線形代数や離散最適化のような数学は使いますが、私が興味のあるのはそういった実用志向アルゴリズムではありません。

しろ取り組みたいのは、フェルマーの最終定理ラングランズ予想のような、一見すると実用からは遠いけれど、数学本質を突くような深淵です。

数学には二種類の文化があり、アルゴリズム的な問題解決者と、深淵理論を目指す者がいます

プログラマーであればほぼ例外なく前者の立場になりますが、後者というのは「理論Aの理解のためにはBの理解必要で、その理解にはCの理解必要で、その理解のためには...」という階層が非常に深いものを表します。

はいまだに、コホモロジーとはなんであるかについてよくわからないのです。

コホモロジーGPTに対し「小学生にもわかるように説明せよ」とやったものが以下です。

コホモロジーは、数学の中のとても難しい概念ですが、小学生にわかやす説明するために、一緒に想像の旅に出かけてみましょう。

まず、コホモロジーは、ある種の「形」や「パターン」を見つけるための道具と考えてみてください。例えば、あなた宝探しをしていて、地図があるとします。この地図は、宝物がどこにあるかを示していますしかし、この地図はただの紙切れで、宝物自体地図にはありません。でも、地図を使って、宝物のありかを見つけることができますよね。

コホモロジーも同じようなものです。コホモロジーは、数学的な「地図」のようなもので、それを使って、数学世界に隠された「宝物」を見つけることができます。この「宝物」は、数学の中の特定パターンや形、構造などを指します。

しかし、コホモロジーはとても複雑で、大人でも理解するのが難しいです。だから小学生あなたがすぐに理解できなくても大丈夫です。大切なのはコホモロジーのような難しい概念に挑戦する勇気と、学び続ける意欲を持つことです。これからも、色々なことに興味を持ち、学び続けてくださいね!。

これじゃあ、なにも理解していないのと同じでしょう。結局、深淵理解するためには地道な努力必要です。

理論構築者の観点からみると、数学登山に似ていると思います

コホモロジーにたどり着くためには、集合論群論位相幾何学ホモロジー理論と順を追っていかなければならないのです。

これまでの私は、理論構築者ではなく、問題解決者だったので、「問題」という単位物事理解してきました。

アルゴリズムなので、問題を解くための前提知識はさほど必要なく、むしろ必要なのはIQです。

ところが、ラングランズプログラム超弦理論といった深淵は、IQに加えて、山登りの体力や努力時間必須になります

しかも、仮に山を登り終えたとしても、プログラマー仕事としてなんの役にも立たないのです。

深淵に取り組むというのは、そういう廃人的な努力必要とするので、職業的数学者でない限り努力の誘因が失われてしまます

深淵登山をして、誰にも認められることな自己満足して、何が楽しいのでしょうか。

結局、理解した物事を外側に発信(例えば論文執筆)して社会との接点を作らなければ、本当の廃人になってしまうでしょう。

まあ、廃人日記を書くぐらいだから、それでもいいんですけどね。

2023-02-06

数学の分科のうち数論幾何研究にあたって必要知識が最も多いと言われていますが、必要知識量がこれに匹敵してするものはありますか?ある場合はその中でももっとも数論幾何場合とは研究に要する前提知識において重複が少ない分科をあげてください。

数論幾何匹敵すると言われている学問としては、代数学解析学があります。また、数論幾何とは別の枠組みで研究されている分科としては、トポロジー微積分学などがあります。数論幾何とは研究に要する前提知識において重複が少ないと言われている分科としては代数学トポロジーが挙げられます

いや数論幾何にはトポロジーどころかホモロジーとか普通に必要じゃん何言ってんのこのクソアホAiは。

俺は数論幾何とは結構研究対象が食い違ってる中でそれを研究してたら天才と言われる数論幾何とタメを張れる数学学問領域はあるかって聞いてるんだよ

解析学も、代数学も、トポロジーも、数論幾何という高みから見たらそれを理解するための踏み台たたき台しかねえ。下位互換学問勉強等の最終目標にしたって仕方ねえんだよ。大は小を兼ねるってやつだ。

同じような知識必要とする学問だと多少異なってても現に天才と言われてるやつに実績で敵う可能性は低いからな。毛色の異なる分野で対抗する方が賢明だし、それを探すには前提知識の重複具合を基準に考えるのが手っ取り早い。

2021-12-07

anond:20211206191058

ホモロジートポロジーを使わず多様体説明するのは不可能に近いけどな(もちろん啓発書にありがちな「分かった気にさせる」レベルは付加)

しかしそれらの数学言語として習得するには読書百遍も然りだがやはり一種地頭も不可欠なわけで…

2020-07-21

宇宙宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」の感想

Amazonレビューなどに書くと過去レビューから身バレする可能性があるのと、わざわざ別アカウントを作ってまで批評するほどのものではないと思ったので、こちらに書きます

初めに断っておきますが、本稿は別に加藤文元先生人格や業績などを否定しているわけではありません。また、IUT理論やその研究者に対する批判でもありません。「IUT理論が間違っている」とか「望月論文査読体制問題がある」などと言う話と本稿は全く無関係です。単純にこの本に対する感想しかありません。

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加藤文元先生の「宇宙宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」を読みました。結論から言って、読む価値の無い本でした。その理由は、

ほとんど内容がない」

この一言に尽きます数学書としても、一般書としてもです。

本書の内容と構成

本書は、RIMS(京都大学数理解析研究所)の望月新一教授が発表した数学理論である、IUT理論宇宙タイミューラー理論)の一般向けの解説書です。

1~3章では、数学研究活動一般説明や、著者と望月教授交流の話をし、それを踏まえて、IUT理論画期的であること、またそれ故に多くの数学者には容易には受け入れられないことなどを説明しています

4~7章では、IUT理論の基本理念(だと著者が考えているアイデア)を説明しています技術的な詳細には立ち入らず、アイデア象徴する用語フレーズを多用し、それに対する概念的な説明や喩えを与えています

8章がIUT理論解説です。

まず、数学科の学部3年生以上の予備知識がある人は、8章だけ読めばいいです。1~7章を読んで得られるものはありません。これはつまり「本書の大部分は、IUT理論本質的関係ない」ということです。これについては後述します。

各章の内容

1~3章は、論文受理されるまでの流れなどの一般向けに興味深そうな内容もありましたが、本質的には「言い訳」をしているだけです。

IUT理論が多くの数学者に受け入れられないのは、従来の数学常識を覆す理論から

望月教授が公開された研究集会などを開かないのは、多数の人に概要だけを話しても理解できないから。

などの言い訳が繰り返し述べられているだけであり、前述の論文発表の流れなどもその補足のために書かれているに過ぎません。こういうことは、数学コミュニティの中でIUT理論懐疑的人達説明すればいい話であって、一般人に長々と説明するような内容ではないと思いますもっとも、著者が一般大衆も含めほとんどの人がIUT理論懐疑的である認識して本書を書いたのなら話は別ですが。

4~7章は、「足し算と掛け算の『正則構造』を分離する」とか「複数の『舞台』の間で対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズが繰り返し出てくるだけで、それ自体の内容は実質的説明されていません。

正則構造とは、正方形の2辺のように独立に変形できないもの

対称性とは群のことで、回転や鏡映などの操作抽象化したもの

のように、そこに出てくる「用語」にごく初等的な喩えを与えているだけであり、それが理論の中で具体的にどう用いられるのかは全く分かりません(これに関して何が問題なのかは後述します)。そもそも、本書を手に取るような人、特に1~3章の背景に共感できるような人は、ここに書いてあるようなことは既に理解しているのではないでしょうか。特に6~7章などは、多くのページを費やしているわりに、数学書に換算して1~2ページ程度の内容しか無く(誇張ではなく)、極めて退屈でした。

8章はIUT理論解説ですが、前章までに述べたことを形式的につなぎ合わせただけで、実質的な内容はありません。つまり、既に述べたことを並べて再掲して「こういう順番で議論が進みます」と言っているだけであり、ほとんど新しい情報は出て来ません。この章で新しく出てくる、あるいはより詳しく解説される部分にしても、

複数数学舞台対称性通信をすることで、「N logΘ ≦ log(q) + c」という不等式が示されます。Θやqの意味は分からなくてもいいです。

今まで述べたことは局所的な話です。局所的な結果を束ねて大域的な結果にする必要がありますしかし、これ以上は技術的になるので説明できません。

のような調子で話が進みますいくら専門書ではないとはいえ、これが許されるなら何書いてもいいってことにならないでしょうか。力学解説書で「F = maという式が成り立ちます。Fやmなどの意味は分からなくていいです」と言っているようなものだと思います

本書の問題

本書の最大の問題点は、「本書の大部分がIUT理論本質的関係ない」ということです(少なくとも、私にはそうとしか思えません)。もちろん、どちらも「数学である」という程度の意味では関係がありますが、それだけなのです。これがどういうことか、少し説明します。

たとえば、日本には「類体論」の一般向けの解説書がたくさんあります。そして、そのほとんどの本には、たとえば

素数pに対して、√pは三角関数特殊値の和で表される。(たとえば、√5 = cos(2π/5) - cos(4π/5) - cos(6π/5) + cos(8π/5)、√7 = sin(2π/7) + sin(4π/7) - sin(6π/7) + sin(8π/7) - sin(10π/7) - sin(12π/7))

4で割って1あまる素数pは、p = x^2 + y^2の形に表される。(たとえば、5 = 1^2 + 2^2、13 = 2^2 + 3^2)

のような例が載っていると思います。なぜこういう例を載せるかと言えば、それが類体論典型的重要な例だからです。もちろん、これらはごく特殊な例に過ぎず、類体論一般論を説明し尽くしているわけではありません。また、類体論一般的な定理証明に伴う困難は、これらの例とはほとんど関係ありません。そういう意味では、これらの例は類体論理論的な本質を示しているわけではありません。しかし、これらの例を通じて「類体論が論ずる典型的現象」は説明できるわけです。

もう一つ、より初等的な例を出しましょう。理系なら誰でも知っている微分積分です。何回でも微分可能実関数fをとります。そして、fが仮に以下のような無限級数に展開できたとします。

f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... (a_n ∈ ℝ)

このとき、両辺を微分して比較すれば、各係数a_nは決まります。「a_n = (d^n f/dx^n (0))/n!」です。右辺の級数を項別に微分したり積分したりしていい場合、これはかなり豊かな理論を生みます。たとえば、等比級数の和の公式から

1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... (|x| < 1)

両辺を積分し、形式的にx = 1を代入すると

arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...

π/4 = 1 -1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

のような非自明な等式を得ることができます。これは実際に正しい式です。また、たとえば

dy/dx - Ay = B (A, B ∈ ℝ、A≠0)

のような微分方程式も「y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...」のように展開できて項別に微分していいとすれば、

Σ((n+1)a_{n+1} - Aa_n) = B

  • a_1 - Aa_0 = B
  • (n+1)a_{n+1} - Aa_n = 0 (n ≧ 1)

よって、

  • a_{n+1} = Aa_n/(n+1) = A^n (B + A a_0)/(n+1)! (n ≧ 0)

a_0 = -B/A + C (Cは任意の定数)とおけば、

  • a_n = C A^n/n! (n ≧ 1)

「e^x = Σx^n/n!」なので、これを満たすのは「y = -B/A + Ce^(Ax)」と分かります

上の計算正当化する過程で最も困難な箇所は、このような級数収束するかどうか、または項別に微分積分ができるかどうかを論ずるところです。当然、これを数学科向けに説明するならば、そこが最も本質的な箇所になりますしかし、そのような厳密な議論とは独立に「微分積分が論ずる典型的現象」を説明することはできるわけです。

一般向けの数学の本に期待されることは、この「典型的現象」を示すことだと思います。ところが、本書では「IUT理論が論ずる典型的現象」が数学的に意味のある形では全く示されていません。その代わり、「足し算と掛け算を分離する」とか「宇宙間の対称性通信を行う」などの抽象的なフレーズと、それに対するたとえ話が羅列されているだけです。本書にも群論などの解説は出て来ますが、これは単に上のフレーズに出てくる単語注釈しかなく、「実際にIUT理論の中でこういう例を考える」という解説ではありません。これは、上の類体論の例で言えば、二次体も円分体も登場せず、「剰余とは、たとえば13 = 4 * 3 + 1の1のことです」とか「素因数分解ができるとは、たとえば60 = 2^2 * 3 * 5のように書けるということです」のような本質的関係のない解説しかないようなものです。

もちろん、「本書はそういう方針で書く」ということは本文中で繰り返し述べられていますから、そこを批判するのはお門違いなのかも知れません。しかし、それを考慮しても本書はあまりにも内容が薄いです。上に述べたように、誇張でも何でもなく、数学的に意味のある内容は数学書に換算して数ページ程度しか書かれていません。一般向けの数学の本でも、たとえば高木貞治の「近世数学史談」などは平易な言葉で書かれつつも非常に内容が豊富です。そういう内容を期待しているなら、本書を読む意味はありません。

繰り返し述べるように本書には数学的に意味のある内容はほとんどありません。だから、極端なことを言えば「1 + 1 = 2」や「1 + 2 = 3」のような自明な式を「宇宙宇宙をつなぐ」「正則構造を変形する」みたいに言い換えたとしても、本書と形式的に同じものが書けてしまうでしょう。いやもっと言えば、そのような言い換えの裏にあるもの数学的に正しい命題意味のある命題である必要すらありません。本書は少なくとも著者以外にはそういうもの区別が付きません。

本書の続編があるなら望むこと

ここまでネガティブなことを書いておいて、何食わぬ顔でTwitter加藤先生ツイートを拝見したり、東工大京大に出向いたりするのは、人としての信義に反する気がするので、前向きなことも書いておきます

まず、私は加藤先生ファンなので、本書の続編が出たら買って読むと思います。まあ、ご本人はこんな記事は読んでいないでしょうが、私の考えが人づてに伝わることはあるかも知れませんから、「続編が出るならこんなことを書いてほしい」ということを書きます

まず、上にも書いたような「IUT理論が論ずる典型的現象」を数学的に意味のある形で書いていただきたいです。類体論で言う、二次体や円分体における素イデアル分解などに相当するものです。

そして、IUT理論既存数学との繋がりを明確にしていただきたいです。これは論理的な側面と直感的な側面の両方を意味します。

論理的な側面は単純です。つまり、IUT理論に用いられる既存重要定理、およびIUT理論から導かれる重要定理を、正式ステートメント証明抜きで紹介していただきたいです。これはたとえば、Weil予想からRamanujan予想が従うとか、谷山-志村予想からFermatの最終定理が従うとか、そういう類のものです。

直感的な側面は、既存数学からアナロジーの部分をより専門的に解説していただきたいです。たとえば、楕円曲線のTate加群が1次のホモロジー群のl進類似であるとか、Galois理論位相空間における被覆空間理論類似になっているとか、そういう類のものです。

以上です。

加藤文元先生望月新一先生、およびIUT理論研究・普及に努めていらっしゃるすべての方々の益々のご健勝とご活躍を心から祈り申し上げます

2020-06-03

双対空間の具体例って何?

内積を取る線形汎関数

Vを内積(・,・)をもつn次元ベクトル空間としv∈Vを任意の元とすると、w∈Vに対して(v, w)を対応させる写像線形汎関数であって、この写像の全体はn次元ベクトル空間になるからV*と同型

微分形式

微分多様体の各点の1次微分形式は、その点の接ベクトル空間双対空間

コホモロジー

ホモロジーの各次数のチェインの双対空間を取ると、コホモロジーになる

2018-09-02

anond:20180902103608

整数論専門院卒、非数学者です。

まずは

1. ガロア理論

2. 楕円曲線

の二つについて理解することを目標にされるといいと思います

この二つは19世紀以前の数学最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います

またIUTでは楕円曲線ガロア理論を用いて数の加法乗法構造を調べるというようなことをしています

以下では、上の二点についてもう少し詳しく説明してみます

1. ガロア理論

ガロア理論方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的問題解決されました。これを理解するためには代数学特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります

さら整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論勉強なさるのがよいと思います。p進体では(普通対数関数と同じように)log定義することができ、これはIUTでも重要役割を果たします。類体論特別場合として円分体のガロア理論理解すると、例えばガウスなんかの整数論の話もより深く理解できると思います

2. 楕円曲線

楕円曲線は楕円関数論をある種代数的に扱うようなものです。楕円関数というのは、三次式の平方根積分でこの積分を表すために導入された関数です。19世紀数学でかなり研究されたものですが、これについては複素解析という複素数平面上で微積分をするということについて理解する必要があります

さらにその後の発展として、リーマン面や基本群、ホモロジーといった概念が考えられました。基本群やホモロジーというのはトポロジーという分野で研究されているものですが、数論幾何でも重要役割を果たします。

上の二つの話は独立したものではなく、相互に関連しあうものです。例えば、基本群とガロア群はある意味では同じものだと観ることができます。このような視点を持って整数研究をするのが数論幾何という分野です。

まとめると、まずはガロア理論目標として代数基本的なこと、楕円関数目標にして複素解析を学ぶのが良いと思います

これは同時並行に進めることをお勧めします。

上に書いたようなことは数論幾何を専門にするなら学部生ぐらいで知っている話です。これらを踏まえてIUTにより近い専門的な内容を学んでいくのが良いでしょう。私もその辺りについて詳しいことは言えないのですが、例えば京都大学の星先生の書かれたIUTのサーベイをご覧になってみるのが良いのではないでしょうか。

2015-05-13

圏論がどうとか知らんわ

ホモロジー群が関手ですとか言われてもんん????って感じ。

プログラミングオリエンテッドじゃねーからプログラミング理論関係ない数学はそれなりに知ってるよ。

プログラマー連中はプログラミング関係ない数学を知らなさすぎだからな。

圏がどうとか言う前に微分方程式の基礎くらい知っとけよって思う。

2008-10-31

http://anond.hatelabo.jp/20081031222722

タイトルリンクを張った増田さんのコメントは、「君」という言葉コメントに出てくることから、書き手が元増田の私一人を相手に書いているように推測されるので、返答してみます。

http://anond.hatelabo.jp/20081031114504

http://anond.hatelabo.jp/20081031121513

http://anond.hatelabo.jp/20081031160755

以上を書いた元増田です。とりあえず、今の学年を言っておくと修士2年です。

他の専攻の内容知らないし、勉強しなかったの反省しているから、他分野の専攻の人の感情を害さないように気をつけて発言しているつもりなのですが・・・

結論から言うと、俺は物理をはじめ、他専攻を舐めていないし、むしろ、知らないから怖がってすらいます。

私が物理についてコメントしたのは、

情報科学は、物理以上に数学が必要な分野だと思う。

物理化学なら、数学ダメでも実験おもしろい成果が出せることもある。

これだけだと思います。

これは、理系全般に話を持っていこうとした人がいたので、「数学をどれぐらい使うかは専攻や研究室によって違うから、勝手理系全般に話を広げないでくれ」っていう背景で書きました。

別に、「情報数学使うけど、物理化学実験で成果が出るから数学使わなくていいなぁ」って言っているわけじゃなかったのですが、もう一回読み直してみましたが、どう見ても、そう読めますね。

ただ、物理化学をはじめ、どの分野でも、科学である以上、「数学をそこまで使わなくても実験結果がおもしろければ評価される研究がある」ことは事実だと思います。

物理化学なら、数学ダメでも実験おもしろい成果が出せることもある。

これは、何がいいたかったのかというと、「数学が全てってわけじゃないよね。実験やっている人は実験やっている人で、毎日深夜まで残って大変だよね」というように、実験やっている人に配慮したつもりだったのですが、今見ると、どう見てもそうは読めませんね。すみません。

数値解析も確率過程も物理で使いまくる(というか物理ルーツとさえ言える)し、情報幾何で出てくる幾何学の知識なんてたとえば一般相対論を学ぶのに必要な知識に比べたらたかが知れてるんだけど。

数値解析や確率過程を物理で使わない、と発言した覚えはありません。

情報幾何で出てくる幾何学の知識が、一般相対論を学ぶのに必要な知識に比べたらたかが知れている」

というのは、情報幾何も一般相対論もやったことがないので知りませんでした。

たとえば君、ホモロジー論わかる?ガロア理論わかる?関数解析わかる?この辺は数学科の3年後期レベルだけど、たぶん勉強したことないんじゃないの?

端的に言えば、あなたから見れば、「何もやっていないに等しい」ということだと思います。

一応、群の定義ぐらいはわかります。ホモロジーはやったことありません。

関数解析は、授業は一応聞いていましたが、理解してないし切ってしまったので、問題が解ける気がしません。

プラス物理生物化学やなどが必要になってくるけど,基本的に数学科並みに数学が必要。情報科学って一応応用数学だからね。

これを発言したのは私ではありません。

あんまり「俺は偉い」みたいなこと言わない方がいい。第一線の研究者学問の垣根なんて平気で踏み越えていくらでも勉強してる。はっきり言って君は並の量しか勉強してないし、それで「俺は数学科並に数学ができる」なんて言ったら馬鹿にされるだけだよ。

俺自身、学部時代は専門以外の時間数学ばかり勉強してたから、その辺は一応忠告しておくけど。

「俺は偉い」とか、「数学科並に数学ができる」なんて思ったことも言ったこともありません。

むしろ、「僕は数学ができない」と回りに言いまくってます。最初の書き込みを見ていただければ、「数学ができる人はいいなぁ、自分は数学ができなくて損をしているなぁ」というニュアンスで発言しているのが分かっていただけると思います。「君は並の量しか勉強してないし」は、そうだと思います。

自分は、数学勉強しても演習問題が解けない人です。

どの本にも、大抵、理解したかどうかをチェックするために、演習問題がついていますよね。あれが、解けないんです。

言っていることはわかるし、解答を見れば理解した気にはなれるのですが、演習問題が解けないんです。

「解けないってことは、本当に理解していないのだ」といわれてしまったら、それは、その通りだと思います。

結局、最終的に自分の専門にどう生かせるのかが、問題に出会った時に思い浮かばないと、学ぶ意味がないですよね。

学部のうちは、「この知識は、本当に将来使うのか?」ということに拘って知識を取捨選別してしまいました。

授業もそうやって選んでいたわけですし。当時は、なんとなく、「将来、時間があって必要なときに覚えればいい」みたいに思っていたのです。

実際に修士になってみて、激しく後悔しました。本当に専門以外のことを勉強する余裕がない。数学は、演習問題ぐらい解けるようにならないと、理解したことにはならないし、自分の専門にも応用できなくて勉強した甲斐がなくなってしまうのに、演習問題を解く時間がない。

学部のうちは、専門以外の勉強をちゃんとやっておくべきだったのだなぁ、と思っています。

http://anond.hatelabo.jp/20081031160755

応用数学屋から情報屋に転向した者だけど、やっぱり物理舐めすぎ。

数値解析も確率過程も物理で使いまくる(というか物理ルーツとさえ言える)し、情報幾何で出てくる幾何学の知識なんてたとえば一般相対論を学ぶのに必要な知識に比べたらたかが知れてるんだけど。

プラス物理生物化学やなどが必要になってくるけど,基本的に数学科並みに数学が必要。情報科学って一応応用数学だからね。

数学科も舐めすぎ。はっきり言って情報関係で必要な数学数学科の3年前期レベルまでで事足りる。要するに他の理系と変わらない。

たとえば君、ホモロジー論わかる?ガロア理論わかる?関数解析わかる?この辺は数学科の3年後期レベルだけど、たぶん勉強したことないんじゃないの?

あんまり「俺は偉い」みたいなこと言わない方がいい。第一線の研究者学問の垣根なんて平気で踏み越えていくらでも勉強してる。はっきり言って君は並の量しか勉強してないし、それで「俺は数学科並に数学ができる」なんて言ったら馬鹿にされるだけだよ。

俺自身、学部時代は専門以外の時間数学ばかり勉強してたから、その辺は一応忠告しておくけど。

 
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