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はてなキーワード: テイラー展開とは
cosineのcoは数学では「双対」という概念のことなんだよね。「余」とも言う。
だからsin（正弦）に対してco-sine（余正弦 = 余弦）となる。別に三角関数に限った話ではなく、ベクトル（vector）対して余ベクトル（covector）という概念なんかもある。
どっちがどっちの双対とみなすかは対称でどっちでもいい。なおtangentに対してcotangentもある。
tangentは極めて重要で、接線やそれを一般化した概念を表している。接線（接空間）というのは局所的な平面（平坦なユークリッド空間）のことであって、テイラー展開の1次項・線形化に対応すると思ってもいい。線形化というのは人類が何か物事を調べるときの常套手段であって、人類はそれくらいしか武器を持っていないとも言える。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99%E6%9C%AC%E5%8C%96%E5%AE%9A%E7%90%86
前提としてどのくらい数学を知ってるか分からないけど、線形代数（行列式や固有値くらいまで）と解析の基礎（いわゆる"微分積分"とかテイラー展開とかそういうの）くらいはいるだろう。
この辺あんまいい本ない気がするんだよなあ（あるなら俺も知りたい）。
Stephane Mallatが大家なんだろうか。あまりわかりやすいとは言えないが…。
https://www.di.ens.fr/~mallat/papiers/MallatTheory89.pdf
https://www.di.ens.fr/~mallat/papiers/WaveletTourChap1-2-3.pdf
数学書に書いてある日本語は全て完璧で論理的であるかような気がするが、たまには上記のようにしれっと面倒を避ける人間臭いところもあったりする。
上記の言葉は、複数回の微分や偏微分、微分形式などを説明するときに、微分する関数等が何回微分可能なのかをいちいち書き記すのが面倒だから、細かい説明を避けるために使う用語。数学書ではわりとよく出てくる。
でも私なんかは人間関係にこそ必要なだけ微分可能性（ある種の滑らかさ）を仮定して、そうであれば解析しやすい相手の心を数学のごとく計算して易々と生活したいものだと常々思っている。
例えば、相手の心が十分に滑らかであれば、ある時点で微分してテイラー展開できる。そうすれば、相手の心というあんな複雑な関数でも多項式で表せる。
まだ無限の多項式ではあるが、十分なレベルの項まで取れば後は誤差項として切り捨てられる。あんな面倒な相手の心というものが、こんな単純な式に落とせるなんて！
それが普段できないのは微分可能性が証明できないから。読者なんてまさにその典型例。微分可能性を仮定するあの言葉も、そんな叫びを隠したものなんだろうと私の心で思ったりする。
数学者になるような人は、1学んで10修める人です。彼らは、実例を計算したり、同値な言い換えを考えたりしている内に、誰に教わらずとも独自に現代数学の概念を再発見したり（場合によってはオリジナルな結果を発見したり）します。たとえば、テイラー展開を考えている内に自然に解析接続の概念に到達するとか、連立方程式を考えている内に行列式の概念を独自に発見するとかです。
これはそれほど難しいことではありません。数学が好きな人が普通にしているようなことを習慣的にしていれば、いくつかあるものです。つまり、具体例を考えたり、別証明を考えたり、定理を一般化してみたり、仮定を除いて反例を作ったり、と言ったことです。そもそも、数学者は既存の論文に無いオリジナルな成果を出すのが仕事なのですから、これは何も特別なことではありません。
逆に、いつまでも「教えてもらう」という態度では、数学者になるのは明らかに厳しいでしょう。むしろ、上に書いたようなことをするのは当たり前であって、「指導教官の出す課題に取り組んでいれば、困難なく数学者になれる」などと思う方が異常ではないでしょうか。
ところで、こういうことができる人というのは、一日に何時間くらい数学を勉強しているのでしょうか。この答えははっきりしています。
「寝る時間以外ほぼ全部」です。
数学者になるような人のほとんどは、数学が楽しくて仕方なく、気がついたら数学に没頭しているような人です。机に向かって本や論文を読むだけが数学の勉強ではありません。彼らは食事中だろうと入浴中だろうと一途に数学のことを考え続けています。
正直、「数学を勉強しよう」なんて意識している人は、あまり数学者に向いていないと思います。世の中にはもっと楽な道があるのですから、そちらに進んだ方が得です。国立大学の教授なんて、就職倍率は何百倍もあり（それも東大等の中でも極めて優秀な人材の中で）40代後半になってやっとなれるのが普通なのに、年収900万かそこらです。大企業や外資系企業等に就職する方がよほど理にかなっています。
数学者になること自体は、そんなに「天才」でなければいけないということはありません。
があればなれるんじゃないでしょうか。誰でもなれるとは言いませんが、天才である必要はありません。数学の世界での天才というのは、もっと常軌を逸した人たちです。
日本の大学生の多くは、大学に入ったら何も勉強しません。40人のうち約半分が、1〜2年生の勉強にすらついて行けず、以降はギリギリの成績で単位をなんとか取るだけで、何も身に付けずに卒業していきます。
数学で最新の論文が読めるのは早くて学部4年の後半、ふつうは修士1年の後半から2年です。したがって、それまではセミナーで教科書の講読をします。このただの「読書」が、最低限の水準でできるのは、40人中10数人です。最低限の水準とはつまり、
等です。あとの30数名は、セミナーの体を成していません。数学者を目指す場合、まずこの「同学年の上位10数人」に入り込めるかどうかが1つの肝になります。まあ、これは普通に勉強していれば余裕できます。
昔は、この上位10数人だけが大学院に行き、そのうちの半分くらい（全体の上位1割くらい）が学者になったようですが、今は（少なくとも私の周りでは）もっと厳しいです。ポスト自体が少ないのと、大学院生のレベルが下がったので周りに吊られて気が緩むのが原因のようです。
そういうことはいずれは、（数学科なら）いざとなったら分かるレベルにならないといかんが、大学一年生がやって実りあるものとは思えない。
理学系にいくにせよ工学系にいくにせよ、教養の数学でやるべきなのは、高校の微分積分の復習をしつつ、
のような基本的な結果をしっかり理解して使えるようになることじゃないだろうか。
こういうものを示すのには実数の連続性を厳密に定式化しなければいけないが、一年生相手にわざわざ「デデキント切断に順序構造を導入して」などとやらずとも、
というワイエルシュトラスの定理を認めれば十分である。これはデテキント切断による実数の特徴付けと同値であり、他の命題を示す際にも扱いやすく、直感的にも理解できる。
思うに、あらゆることを厳密にやるのが大学数学の「伝統」や「洗礼」などと言った価値観を持っている人が多い気がする。もちろん、それは一面では正しいし、高校数学までは曖昧だった部分がはっきりすることに喜びを感じる学生もいるだろう。しかし、たいていの学生は、数学が嫌いになるんじゃないだろうか。
https://ai-scholar.tech/deep-learning/matrixflow-191/
この人は文系でも使えるＡＩ製品を売り出してデータサイエンティストを全部失業させたいとか言ってる。
で１年くらい昔の話で申し訳ないんだけど、この人こんなことも言ってる
https://twitter.com/tdualdir/status/964134918266605568
この人の言ってる「DNNが任意の関数を表現できる」ってのはディープニューラルネットワークの層を深くすればするほど複雑な表現に対応できて任意の関数に近づけるってことだよね。
関数をテイラー展開して項を増やせば元の関数に近づくみたいな話。万能近似定理とか普遍性定理とかいう名前のやつ。たしかに昔から言われてる。
でもどれくらい深くすればうまく近づけられるかってことは何も言ってなくて、既存の手法よりもうまく行く理由もわかってない。
無限に深いDNNならどんな関数も表現できる、なんて言っても実際にできなかったら使えないじゃん。
だからこそ研究者が現在進行形でいろんなニューラルネットワークを試してうまく行く条件を探してるわけ。
https://www.slideshare.net/masaakiimaizumi1/ss-87972719
は目的の関数が一定の条件下ならDNNが他のどの手法（最小二乗法とか）よりも一番うまく近づけられることを証明したって言ってる。
つまりこれまで分かってなかったことを部分的に解明している。全然違う話。
書いてある数式が難しくて理解できなくても日本語のとこだけ読むだけでも全然違う話をしてることがわかると思うんだけど。文系ならともかく理系ならわかるでしょ。
数学ができるかよりも機械学習で何ができるのか理解してそれを活用できることが重要ってインタビューの中で言ってるけど、本人が理解してないじゃん。
何ていうかさ、知ったかぶってＡＩに強いですよってアピールしたかったのかなって感じ。最近ＡＩブームで目立ってるＡＩ人材ってみんなこんな感じ。
数学に強い理系って経歴をこういうハッタリにしか利用できないのは悲しいよね。
ＡＩ理解の解像度がこの程度の人間がソフト作ってＡＩを全くわからない人間に「はいあなたみたいな文系でもＡＩ使えますよ！」って売りつける構図なんだけど、
作る側も使う側も何も分かってなかったら成果出るわけないしすぐ飽きられそうなんだけど。
それともまだグーグルのAutoMLでも実現してない全自動で最適なニューラルネットを学習してくれるＡＩプラットフォームを自分でゼロから作る予定なのかな？
無限に複雑なDNNなら任意の関数を表現できるって話とどういう条件でDNNが他の方法よりうまく行くって話の違いが分かってない状態じゃ厳しそうだけど。
これもゴールドラッシュのときにツルハシを売る奴が一番儲けるってやつなのかな。
でもよく考えたらこの手のソフトって昔からあるよね。結局使いこなせずに「コンサルタント」とか雇って月単価いくら万円で常駐させてしまうのはいいほうで、たいてい飽きられる。
手を変え品を買え同じことの繰り返しってことか。なんだ。
まあデータサイエンティスト全部失業させたいってのは同意。こういうハッタリが増えればすぐＡＩ幻滅期が来てブーム終わるし。
早く役に立たないＡＩ人材もデータサイエンティストもツルハシを売る奴も共倒れしないかな。
ジャパリパークは個性を認め合う社会だ。人間と違って野生動物はできることよりもできないことのほうが多い。大抵の動物は泳げないし空も飛べないし足も大して早くない。だからこそ、擬態がうまいとかジャンプ力が高いとかとか、できることが光る。できないことはできなくてあたりまえ。でも、できることはすっごーいと褒め合う。この多様性を認め合う姿勢こそがジャパリパークの素晴らしさだ。
中学生の時、勉強の大変さからやる気を無くして不登校になった俺は、そこしか行けるところがなかったから偏差値30の高校に通った。今思うと、偏差値30の高校は、間違いなくジャパリパークだった。周りは不良や元不登校ばかりだった。俺も含めて皆親が貧乏だったし、勉強も進学校と比べるとおままごとのようなレベルだった。でも、だからこそできることが光った。皆個性が強かった。
アルファベット26文字すべて書ける人はすごい、分数の割り算ができる人はすごい、アルバイトで月15万稼ぐ人はすごい、学校の近所の卵が安いスーパーを知っている人はすごい、いけすかない先生をぶん殴って退学になった人はすごい、休まないで学校に来る人はすごい、宝石職人の息子で文化祭の時ものすごい精巧なお化け屋敷を作った人はすごい、現在形の英文を過去形に直せる人はすごい、二次関数の頂点の位置がわかる人はすごい、大学に受かった人はすごい、就職できた人はすごい、ちゃんと卒業した人はすごい。偏差値30の3年間は、肯定の言葉にあふれていた。アルファベット26文字を書くなんて下手したら小学生でもできることだ。でもそれができることは、傷の舐め合いでもなんでもなく、心からすごかった。できないからって馬鹿にするやつなんて居なかった。
現在、俺は偏差値が高校の倍くらいある大学で工学を学んでいる。高校で科学の面白さを知って大学で科学の勉強がしたいと思ったからだ。教育環境は間違いなく向上した。ちゃんと大学レベルの講義を聞けるし、私語をする人はいないし、講義中に紙飛行機を飛ばす人も居ない。でも時々、大学の「できて当たり前」という環境が少し嫌になる。お前はテイラー展開が出来ない。お前はTOEICで500点すら取れない。お前はルジャンドル変換が出来ない。お前はシュレディンガー方程式が解けない。多少のできることよりも、できないことで評価される。それがダメだとは言わない。競争する環境では当然のことだ。競争が悪いことだとは決して思わない。仮に今中学3年生に戻れるとして、俺はきちんと勉強をして進学校を受験し、競争する道を選ぶだろう。減点方式の評価は悪いことではない。でも、なんだか時々、ジャパリパークのようだった偏差値30の母校がどうしようもなく懐かしくなる。
大学生の間に私は成長したのだろうか。 生まれたときから世界には完璧という概念が存在しており 人間が人間であることを放棄しない限り、人間は成長することはないと思っていたので 成長という表現を聞いたときは不快感がずっと存在しておりました。 私の頭の中は、相対評価ではなくて絶対評価であっても、小学生のときがピークでして それから１０年以上、ずっと退化するのに耐え抜くだけの時間を過ごしました。 中学受験塾という環境で過ごして、中学受験をしました。 入学した学校は、とある物差しでは関西で５番目くらいの学校 希学園の偏差値表で、灘が６３、東大寺が６１、甲陽が５９、洛南（併願）が５８、大阪星光が５５ （当時は西大和は５２、今はもう少し大きな数字だと思います）（女子は神戸女学院が５４） 星光の入試配点は国語１２０数学１２０理科８０社会８０の（傾斜）配点で、合格最低点は７割 ７割というのは高い方（６割が平均的）で、得意不得意が日本一レベルだった私には無駄な難関でしかない。 母数のレベルが低いテストによる合否判定は、得意不得意が異常な私は生涯を通して最高でもE判定しか出ないシステムであり 私は当時からその仕組みが理解できたけど、まわりにいた無能たちはそれすらも理解できなくて話が通じることはありませんでした。 そしてその成績の私には、言及するには心理的抵抗が大きかったのですが、灘や甲陽の配点は国語２００算数２００理科１００で合格最低は６割 私の心の奥底には、星光よりも灘の方が簡単ではないのか（妥協して甲陽）と思ったこともあったのですが 灘も甲陽も兵庫県で、非常に残念なことに星光は家の近所にあるという環境の違いもあったりしまして。 当時の私のテストの答案はいつも同じでして 算数は冒頭から順番にすべて正解、一番最後の問題は時間切れ。テストは毎週ありましたが、計算ミスもしないのですべてがその結果になります。 社会も冒頭から比較的には正解率が高かったのですが、正解に自信が持てないので非常に時間がかかり、１００点中後半５０点ほどは常に白紙での提出でした。 理科は物理と化学は算数に同じ。生物と地学は興味がなかったので社会と同じ。 国語は文章問題２題が多くて、いつも片方しか読む時間がありませんでした。そして常にクラスで最下位。塾全体の公開テストでも下から数人目。 公開テストは６００人ほど受けていて、上から１０位までは名前が公開されます。（科目ごと＋３科目合計＋４科目合計） 当時４科目合計で名前が載ってた人は、国際科学オリンピックでメダルをとっていたり、当然のように東大医学部に行ったことまでは把握しています。 そして名前が載るのは「S１クラス」という能力別クラスでの１番目のクラスばかりになるのですが、 算数で時間が足りたことがあって、そのときに「H１」という平均以下のクラス所属で私の名前が載ったことがあります。 すごくどうでもいいですが、能力別クラスでは定期的にクラス替えが行われるのですが、私の成績が算数はクラストップ、国語はクラスビリで安定していて 「H１」という所属クラスってふつうは変動するのですが、なぜか入塾時から小６の途中まですべてH１のままで動くことがありませんでした。 小５までは谷町九丁目教室ではS１からS５とH１からH３、小６からはS０からS８とH１からH６でした。つまりH１っていうのは偏差値では５０以下です。 なので志望校として決定されるのは星光になるわけですね。また星光合格者の中では、私が一番下のクラス所属でした。 自分の記憶力が残念なので想定外に長くなりました。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 さて、小６の３月から２年間にもなる長期間、虐待の日々がはじまりました。 その結果、定期テストの前に、勉強するということもしたことがありません。 中３の時の、通知表の成績は、高校への内部進学の基準になります。 全科目の平均が６０点が条件で、テストの点数そのままが通知表の点数になる科目もありますが、 平常点を用意したり、救済措置を用意して下駄を大量に用意すう教師もいます。 学年人数は２００人で、毎年学校を追い出されるのは１０人とか。他の学校よりも多いと思います。 中学受験での話を想定外に長く書いたので、少しここは省略します。 日本語を話してくれない教師への反発もあって、中３での通知表成績はビリから２番目の人（５０よりは上）よりも１０点くらい下です。 T野（体罰数学教師）の数学で、一番はじめて満点を達成したのは、M君ではなくて私だったりします。 名前が汚いからという減点は毎回受けていましたが。 英語のS水（中１中２での担任）も相当無能でゴミだったし、 国語の学年主任（中３での担任）もゴミだった。愛のかけらなどどこにもなかった。 テストのために勉強する、という行為はしたことがなかったですが、テストの最中は中学受験時代での私の哲学をただただ耐え抜く日々でした。 そして、私の中には中学受験での自己評価をもとにした学力観というものがありまして 勉強したと言えるような時間は、授業中に教師が答える前に自分の脳内で答える予習的学習と テスト時間中における、問題作成者との、問題を通したコミュニケーション、その２つだけ。 私は私自身の美しい過去を尊敬しており、またそう言えるためだけに命をかけております。 信じるかどうかは好きにすればいいと思いますが、勉強したと言えるような時間は上記以外には特にないまま 高校入試を受験するみたいでした。（受け身） 甲陽の高校入試の配点は英語２００数学２００国語２００理科１５０で、合格最低点は脅威の５割。 西大和の高校入試の配点は忘れました５科目で、合格最低点は７割。 西大和の高校入試の数学はレベルが高くても小６レベル以下の問題でびっくりしました。（過去問とかも知らない）計算用紙にポエムを書きました。（計算用紙も提出です） そういえば、テストの最中にはテストに向かい続けるという呪縛を本当に無駄に守り耐えてきたのですが さすがにあれなので、問題用紙に脳内ポエムを絞り出す習慣が発生していました。 私の問題用紙に書かれた脳内ポエムの絞り出し、見たことある人いるでしょうか。 その一部は高校時代にやっていたブログに模写投稿されていたりします。 といいますか、私は言葉から行動に移すような経験が一切ないと思います。 国語という科目が全くわからなくて、表現能力は障害者でしかないのです。 表現というものに、全く価値を感じる機会が今までずっとなかったのです。 （相手の意思とは関係ない）教えてくれる人間が自分視点の環境には存在しなかったってことです。 この世に信頼できる人間が１人もいなかった。 そうすれば、こうなります。 存在する存在空間の、表面結果が表現されるだけで、それだけでしょ。 伝えたいと本気で思える人間が私の前に現れることがなかった。 脱線しましたけど、西大和は不合格になりました。人生初の不合格です。計算用紙になんだこの数学はアホかやるきあんのか、って書いたのが相手を激怒させたのかもしれません。 入試の科目で満点とれてるのは西大和の数学が人生初だと思う。（大学入試では同志社物理とセンター物理が満点。センター物理って小学生でもry） （大学入試数学は私は全く訓練がされてないので、同志社レベルでさえ時間足りないです） そして、甲陽おちた場合、出願は２校しかしていないので、いく高校がないです。 けど合格してた。勉強して合格したわけではないので、何も感じなかった。 自分の人生は他人事で、どうでもよかった。 人は過去を美化するという表現を見かけることがあります。 この表現の意図はこうです。 そんなわけがない、人間をなめるな。しかしすべてを説明するのは一生かけてもできない膨大さ。情報を努力して絞り、本質的な情報を簡略に表現する意図がある。 人間が人間であるための努力だ。 そして過去が存在しない人たちからの言及をそらし、内心ほくそ笑むための表現です。 人間であることを放棄した人が、人間を舐めるな。 人間は、人間を人間だと信じている人たちだけで暮らせばいいです。（そう信じることしかできないんです。） 脱線の方が長くなってしまいました。ごめんなさい。 高校。高３で人生で初めて、通知表に０がつきました。 英語の定期テストで選択問題が初めて０問で、（授業でやった）東大京大等の英訳和訳問題のみだったのです。がんばったけど０点でした。 けど留年とかされても高校にとって迷惑になるので、卒業という形で平和に追い出されました。 中学では宿題をだす教師はいて、平常点が存在しました。 高校では宿題をだす教師はおらず、自分で勉強する人たちが自分の意志で医学部とかにいってた。 東工大の大学入試の配点は理数系が６８パーセントで、合格最低点は忘れました。（ふつうの東大生であれば英語国語０点にしても東工大には合格する程度の合格最低点です） ちなみに早稲田理工は理数系６７パーセントで慶応理工は７０パーセントです センター試験本番は現役時が４７パーセントで、物理に関しても波長って何？λってなんてよむの？らむだってなに？って思いながら知恵とセンスを絞って問題に正解してました。 浪人した時は、波長とはなにか、λがらむだってよむんだって知りました。 一切の本も読まずに、微分とか極限の解釈でただ単に考え事をしていたら、テイラー展開って表現されているものが発見されました。 数学は自分で問題をつくって遊ぶことしかしてなくて、浪人時代の１月も２月も一回も過去問とかやらずに 自分で問題つくっては遊んでました。 (1)30!の一の位は0である。ここから始めて十の位百の位と順に左に見ていく。最初に0でない数字が現れるまでに連続していくつの0が並ぶか。 (2)(1)において最初に現れる0でない数字を求めよ。 (3)ここで「n!は10^kの倍数である」これをみたす自然数kのうち最大のものをpとしてf(n)=10^pとする。このとき以下の数の一の位の数字を求めよ。 (イ)100!÷f(100) (ロ)100000!÷f(100000) (4)100兆の階乗を10進法で表示したとき右から数えて25兆番目にある数字は偶数であるか奇数であるか調べよ。 問題を読んでほしいためこのようにしてみた →方法論は省略して 100兆(10進法)=101101400兆(5進法) 100兆!÷10^(25兆-2)≡2^(25兆-2)×4!1!1!1!1!≡6 …□6が4の倍数なので□は奇数です 普通の電卓を使用して 2の常用対数の小数第10位の値を求めよ。 とかに関しては、あるごりずむとかいうやつっぽい。 AA＞Bと同値はA＞√BまたはA＜-√BまたはB＜0(A実数)または-√(-B)＜Ai＜√(-B)である。ではAA＜Bは? とかに関してはすうがくっぽい。 大学に入ってからも痛感しますが、勉強したことがないので、勉強のやりかたが全くわからない。 環境というものは目には見えない力なのです。 クソみたいな社会に適合してたまるか、という環境も世の中には存在します。 社会に適合化された言葉を使ってしまうのは屈辱でもあります。 なにが世界を破綻させているのか。それは現実主義者の存在です。 「数学に対する価値観は、誤答を解答として提出したのであれば死刑にすべき」 の意図している意識が共通認識となれば、世界は平和になるのではないかと思います。 共通認識と共通認識における努力さえあれば、別に死刑にする必要はないです。 いつかきっと、人類が私の意図を理解することができればいいなって。 おなかがすきましたね。 http://anond.hatelabo.jp/20140617174318
慣れてる人は「ポアソン過程を1次近似すると単純なべき乗で計算してよくなる」という事実と「べき乗の計算はp<<1なら1次近似して単純な割り算で良い」という事実が染み付いてるから、見た瞬間に竹中みたいに概算する。そのときいちいちテイラー展開とか考えないけど、それがわからない馬鹿用に一つずつ説明するときはああやって説明するしかないよね。
1-exp(-ν・30)=0.87をν・30=0の周りでテイラー展開するとν・30=0.87、ν=0.029。
「おかしいだろｗｗ」とか言ってる奴らばっかりで、誰一人として「正しくはこうするべき」って言ってないのが酷すぎるな。
「87%」がポアソン過程を仮定した推定であるとすると、1年当たり頻度をνとして、30年間にk回地震が発生する確率は((ν・30)^k)*exp(-ν・30)/k!だから、
少なくとも1回起こる確率は1-exp(-ν・30)=0.87であって、ν=-log(0.13)/30となる。
この確率過程で1ヶ月後までに少なくとも1回地震が発生する確率は1-exp(-ν・(1/12))。
ν/12は1より十分小さいので、0の周りでテイラー展開して評価すると1-(1-ν/12)。
結局求める確率はν/12で、これにさっきのνを代入して計算すると0.0056くらいとなって、つまり約0.56%。
0.2%はより単純な近似を使ってるからずれてるだけで、はっきり言って十分正しいレベル。そんなことは竹中は百も承知だろう。
つまり突っ込みを入れるなら「ポアソン過程じゃねーだろ」とか「非定常過程だろ」とか、そういう言い方になるべきで
「確率計算がおかしい」というのは自分は分かってない馬鹿ですと言ってるだけに過ぎない。
