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はてなキーワード: 公理とは
ほんと、なんていったらいいんだろうな。
〇〇に対してと聞かれたら、〇〇が1だとした場合の割合を考えなくては行けないから、○○を1にするためには〇〇の数そのもので割る必要があるよね。
これとかあまりにもセンスを感じられない説明の仕方というか、「〇〇が1だとした場合」とかいう謎操作を導入するせいで何でそんなことをする必要があるのかという聞く側からすれば余計な問題解決が発生しているし、「〇〇が1だとした場合の割合」といって「割合」の説明に「割合」を使ってるというトートロジーに陥ってるし、謎操作の理由を推定する問題解決をしない限り「○○を1にするためには〇〇の数そのもので割る必要があるよね」とかいう説明の理解には進めないんだよな。
「aのbに対する割合」という言葉は「bの何倍がaですか？」なわけで、a = rbがまず先にあると考えるのが自然だろう。この方程式を解くのに両辺をbで割ってももちろんいいわけだが、そんなものは代数の演算規則が満たす性質に過ぎないわけで、この方程式を解くのにそれを使わなければならないわけではない。数学的な規則は頭の中のイメージや表現したい構造を公理化しただけであって、先にあるのは公理ではなくイメージや構造の方だ。このくらいの簡単な話はわざわざ形式化しなくてもイメージをイメージのまま言語化せずに頭の中で操作して結論を出せるものだ。そのイメージの操作を形式化するのは別の作業だ。いきなり形式から入るのは形式化の訓練を十分に積んでいるから可能なのであって、それは小学生にやらせることではないだろう。
数学（というか応用数学）で学ぶべきことは論理ではなく「現象を数学的に記述する」ということだと思う。いわゆる「文系」の人は往々にして数学の「公式」などを唯一絶対の真理みたいに思ってるんだよな。でも現実はそうではない。
数学のキモは現実の現象や構造をいかに数学的に扱える形に定式化するかであって、分かってない人には単なる事実の羅列のように見える公理も実際にはどのような現象や構造を記述したいのかという気持ちがあって作られている。例えば測度論的確率論の公理は「ある物事が一定の割合で観測される」という現象を数学的に記述するために作られている。それは公理系としてはもちろん無矛盾だけど、世の中にあるランダムな現象の全てを扱えるわけではない。実際量子的な現象は測度論的確率論の枠組みには収まらないランダムネスを持っているから、量子確率論とか代数的確率論と呼ばれる別の枠組みが必要になる。
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| 02 | 31 | 2621 | 84.5 | 52 |
| 03 | 10 | 1803 | 180.3 | 29 |
| 04 | 5 | 910 | 182.0 | 44 |
| 05 | 27 | 2850 | 105.6 | 69 |
| 06 | 27 | 3229 | 119.6 | 31 |
| 07 | 60 | 3635 | 60.6 | 35.5 |
| 08 | 66 | 7545 | 114.3 | 44 |
| 09 | 127 | 11185 | 88.1 | 40 |
| 10 | 152 | 17980 | 118.3 | 42.5 |
| 11 | 255 | 20614 | 80.8 | 40 |
| 12 | 263 | 22180 | 84.3 | 34 |
| 13 | 172 | 18511 | 107.6 | 42.5 |
| 14 | 221 | 18281 | 82.7 | 34 |
| 15 | 175 | 13449 | 76.9 | 41 |
| 16 | 168 | 15759 | 93.8 | 48 |
| 17 | 205 | 22292 | 108.7 | 37 |
| 18 | 211 | 18346 | 86.9 | 38 |
| 19 | 110 | 12942 | 117.7 | 35.5 |
| 20 | 111 | 9755 | 87.9 | 37 |
| 21 | 132 | 21074 | 159.7 | 45 |
| 22 | 153 | 15272 | 99.8 | 50 |
| 23 | 130 | 14035 | 108.0 | 42 |
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五感で得た情報を司り、言語という枠を使って漠然としたイメージを表現する一種の記号である。
言語は想起のための指標である。それは経験や知識の曳き手であって、イメージのリアリティではない。
書くことは、他者とのコミュニケーションが可能であることを前提に、ラベル付けされた一連の記号を用いて、他者に対して主張や理性を主張する方法の一つである。
口頭での主張は、私たちが獲得した仮説推論の致命的な能力と、類似点を見つける病気を悪用して、メディアやミームに感染させる一種のツールである。
インターネットを通じて他人のイメージを乗っ取ることを意図して書かれている。この思索は、言語というナンセンスな方法を使っているので破綻している。
自由や幸福は、自分の手に負えないものを無視することで得られる。
これは古代ギリシャの哲学者エピクテテスの発言です。これは権威的な重み付けのための引用であり、特に意味はありません。
松井秀喜がこのストイックな哲学者と似たようなことを言っていたので、歴史的にも理解できる考え方だと思いました。
言語の美点は、話し手が意図した通りに「もっともらしい」ものを人間に刷り込むことができることである。ある公理を真理として刷り込み、恐怖や扇動によってその絶対性を刷り込む行為は、様々な組織の中で日常的に見られる。
そもそも言語の誕生は、人間による宗教の獲得と不可分である。人間はある時点で、言語を通じて空想力、理性、類似性を見出す能力を獲得し、自分ではどうしようもないことを生活の中に内在化させてきた。
それは例えば、お金や権威などの暴力の一種であったり、感情という人間の状態の一種であったりする。
すぐには永続させることのできない現象が、言語という記号を使って他者と共有されるようになったのである。
それだけでなく、活版印刷やインターネットの技術革新によって、言語は時空を超えて広く、長く保存されるようになりました。
それと引き換えに、宗教の絶対性を広めることで、言語習得のデメリットである上記のような制御不能な事象を打ち消そうとする試みがなされたのである。
上記の記述には何の根拠も示せないので、適当な本やネット上の類似情報を相互参照して、ご自身の結論や否定の判断にお任せすることにします。
エピステーム
精神病についての深い考察は、ミシェル・フーコーの著書をお読みください。エピステームという重要な概念が提唱されています。
エピステーメとは、ギリシャ語で「知識」を意味する言葉をもとにフーコーが造語した言葉である。簡単に言えば、私たちの認識が形成される知識の枠組みを指す。私たちの知覚は、私たちの経験から直接、媒介されずに得られるものではありません。私たちの経験はすべて、私たちが持っているある認知的枠組みに適用されたときに知識となるのです。
そもそも「精神病」という名前を使うのはよくありません。何と言っていいのかわからない。ラ・ラ・ラ・ラ・ラ。なんだっけ？
インゲニヤトーレ
12～13世紀のヨーロッパでは、労働組合の倫理規定により技術開発が停滞していましたが、後のルネサンス期の15世紀には、相次ぐ戦争に対応するために様々な技術が開発されました。この時の新技術はインゲニウムと呼ばれていました。その技術を開発したのがインゲニウム・トールである。インゲニウムは、今日のエンジニアの語源です。レオナルド・ダ・ヴィンチもインジニアトールの一人でした。
レオナルドの写本の中で最も有名なのは、アトランティコ写本とマドリッド写本である。彼はすべてのものを描写するために、フォトリアリスティックな絵を必要としていました。言語のような一対一の記号ではなく、より具体的なイメージを捉える方法が必要だったのだと思います。
ピクトリアルジオメトリという幾何学的技法があります。ガスパール・モンジュによって確立され、産業革命期にエコール・ポリテクニークで教えられました。ルネサンスの数世紀後には、主に軍事目的であったが、イコノグラフィーが導入された。
https://anond.hatelabo.jp/20200610155327
これに反対意見がある人は、是非「数学で覚えなければいけないこと」の具体例を提示して欲しい。そういう主張をするということは、具体例の1つや2つ念頭にあるのだろうから、簡単なことだろう。
私自身、義務教育から大学院まで数学をやってきて、「覚えなければいけない」と感じた事項がひとつも無いため、純粋に興味がある。私がやってきたのは、数学のごく一部の分野に過ぎないから、広い数学の世界には、「覚えなければいけないこと」もきっとあるのだと思う。それを教えて欲しい。
元記事に書いてあるように、公式などは係数の符号などを忘れていても少し計算すれば正しく復元できる。定義も別に覚える必要は無い。公理や仮定が1つでも抜けていたらおかしなことになるのはすぐに分かるからだ。
というか、数ページに渡るような証明をメモを見ずに書けるのは、数学者を目指して大学院に進学するような人にとっては普通のことであり、数学を理解しているとはそういうことである。これは丸暗記するのではなく、「そういう論理の流れになるのは当然であり、一つ一つの条件には意味があって欠かすことができない」ということを細部まで理解し尽くしているからできるのである。
しかし、工学の世界などでは、数10個の項からなるそれ以上抽象化しようのない公式みたいなものがあって、それを覚えていないと二進も三進も行かないということがあっても不思議ではない。そういうものがあるなら、是非教えて欲しい。
「基本的に数学で覚えなければいけないことは無い」（https://anond.hatelabo.jp/20200610155327）という増田に対するトップコメントがあまりに的外れだから、怒りで書いた。（元増田とは別人）
トップコメ＞数学科卒です。定義は覚える必要があります。なぜなら決め事だからです。仮に概念が真実で唯一だとしても、その表現は唯一にはなりません。この増田はクソバカです。
それはてめーが才能がないからだ。私も数学科卒だが、おめーは数学科卒を名乗んな。
例えば実数の定義（厳密には「公理」）は全部で16個の条件があるが、16個の条件を丸暗記してんのか、おまえは。
第一、実数の定義を習った事無いやつでもスラスラ実数使ってんだろ。
定義や定理を丸暗記しなくてもいいのは、定義なり定理なりの本質的な部分だけ理解しておけば、あとは自分でその場で再現できるからだ。
私が昔教わった格言に天才はプラスマイナスを偶数回間違えるというのがある。
計算途中でプラスマイナスを偶数回間違えても、結果は正しい。ようは天才は計算ミスをしてもなぜか正しい結果が出せるということだ。
じゃあなぜ正しい結果が出せるかというと、例えば「xが増えたときyも増えないとおかしい。だからyの計算結果にマイナスがついていたらおかしい」っていったたぐいの「本質」を理解してるから、計算途中で間違っても正しい結果を出せるのだ。
定義も同じだ。一見複雑な条件が羅列されてるようでも、「こういう条件が課されてないとおかしな事が起こるから、こんな条件があったはずだ」ってな具合に「本質」を考えることで、いちいち定義を丸暗記しなくても、その場で正しい定義を作り出せるので、覚える必要がない。
お前はそういう本質を考えることなく単に定義を丸暗記してたって事だろ？
「問題解いたり証明を考えてたら「いつの間にか覚えてる」感じ」ってコメもあったが、こっちの人のほうがよっぽど才能があるわ。
横から失礼。
様相論理についてwikipediaで調べてみたが（要するにその程度の知識だが）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A7%98%E7%9B%B8%E8%AB%96%E7%90%86
いくつかある公理系の内、T の公理系とそれより強い公理系では
◇□A→□A
となるようだね。
つまり「必然的に変更することになる可能性がある」ならば「必然的に変更することになる」はTの公理系では成り立つ。
つまり少なくともTより強い公理系では件の社会学者は「男女役割分業の描き方は必然的に変更することになる」と主張していた、という事になるようだね、様相論理によると
公理から初めて論述によって命題を示すという手法は現代数学の基本
ユークリッド幾何学では厳密な論証を学ぶことができる
もしユークリッド幾何学を学ばなければ抽象代数学などが理解できなくなることは明らか
微分積分などだけを教えていると群論やガロア理論などが理解できなくなってしまう
ガロア理論では作図が主に扱われるからユークリッド幾何学応用になっている
ユークリッド幾何学はまず中初等教育において論述を教える題材として適している
代数などはただの計算であって厳密ではないがユークリッド幾何学は公理から始めて曖昧さなく命題を示す
これは現代数学の基本であって群論やガロア理論を学ぶ際に必要な能力
代数では多項式とは？集合とは？などが厳密に説明されていないがユークリッド幾何学には曖昧さは無い
ユークリッド幾何学が扱う題材は図形であって初等教育にも馴染みやすい
現代数学を厳密に展開するには公理的集合論まで遡らねばならないが
このような条件を満たす単元は他には無い
群論やガロア理論などの抽象代数学はユークリッド幾何学の考えを継承している
これらが確立されたのは18世紀であり微分積分などはそれよりも大分昔の理論だから厳密性がない
ユークリッド幾何学は現代数学のモデルであるから論述を教えることができる
群論やガロア理論は対称性を扱う数学で対称性とは回転や相似変換などの一般化だから
やはりユークリッド幾何学を学ぶことは群論やガロア理論を学ぶことに役立つ
特に群論では、群の正規群（特異点を持たない群）による商で対称性を分類する
この割り算にはユークリッドの互除法のアルゴリズムを用いることができるからユークリッド幾何学の応用になっている
群論の一部であるリー群ではユークリッド空間の回転である直交群を扱うからこれもユークリッド幾何学が直接役に立つ
ユークリッド幾何学では公理系から始めて命題を証明するがこれは現代数学の基本
群論やガロア理論もこのスタイルを継承していてユークリッド幾何学を学ばないと抽象代数学が理解できない
ガロア理論はユークリッド幾何学と同様に、対称性の公理から作図可能性を論ずる
これはいくつかの公理から始めて可能な手順の組み合わせを厳密に論述することで様々な図形を作図していく
ヒルベルトが提唱した円積問題などもこの応用であって、現代数学において極めて重要
ユークリッド幾何学は公理から始めて論述のみによって命題を証明する
これは現代数学の基本であってガロアの理論やヒルベルトの理論などがその手法を受け継いでいる
ユークリッド幾何学をやらないと抽象代数学などを理解できなくなってしまう
代数などでは計算しかやらず概念の定義が曖昧だがユークリッド幾何学の論述には曖昧さが一切無く
