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はてなキーワード: ルベーグとは
無限を取り扱う数学理論には、以下のようなものがあります。それぞれ異なる観点から無限を扱い、数学のさまざまな分野で重要な役割を果たしています。
集合論は無限の概念を厳密に扱う理論で、ジョルジュ・カントールによって19世紀後半に発展しました。カントールは「無限集合」や「無限の濃度」という概念を導入し、無限の異なる種類を区別しました。
カントールは、無限の濃度（サイズ）には階層があり、無限の中にも大小が存在することを証明しました。彼の理論に基づき、無限に対する厳密な取り扱いが可能になりました。
非標準解析は、アブラハム・ロビンソンによって提唱された理論で、無限小（非常に小さいがゼロではない量）や無限大（非常に大きい量）を厳密に扱います。従来の微分積分学では極限を通じて微小な変化を扱いますが、非標準解析では無限小そのものを数学的に扱うことができます。
超準解析は、無限小や無限大の概念を拡張し、通常の数では捉えられない無限大や無限小を含む「超準モデル」を使って解析を行います。これにより、通常の解析学での極限の概念を別の形で取り扱うことができ、無限の扱いを直感的に理解しやすくする手法です。
測度論では、無限に広がる領域や無限個の点を持つ集合に対して、面積や体積に相当する「測度」を定義します。例えば、ユークリッド空間における測度や、ルベーグ積分を使って無限の領域を扱います。これは確率論などでも重要な理論的基礎です。
無限次元のベクトル空間や関数空間は、例えば関数解析の分野で扱われます。これらの空間は、無限の次元を持ち、通常の有限次元空間の直感とは大きく異なる性質を持ちます。例えば、ヒルベルト空間やバナッハ空間などが代表的です。
モデル理論では、無限個の命題や無限に続く構造を扱います。ロウズのコンパクト性定理など、無限の論理的構造に対する定理も存在します。これにより、無限に多くの要素を持つ構造に対しても数学的に厳密な取り扱いが可能となっています。
これらの理論は、それぞれ異なる文脈で無限を扱い、現代数学の発展に大きく貢献しています。無限という概念は、直感的に捉えにくい一方で、これらの理論によって厳密に扱われるようになっています。
https://x.com/LoveWithAndroid/status/1834486982485180468
今年（2025年度）の京都大学大学院理学研究科 数学・数理解析専攻の院試の問題をOpenAI o1-miniに解かせてみました。おそらくですが、合格射程圏内には入っていると思います。
京大数学教室の院試は基礎科目6問・専門科目2問（選択問題）から構成されています。今回は解析系（ルベーグ積分・函数解析）の専門科目を解かせてみました。
私自身ちゃんと採点するのはしんどいので出来ていません（なのでミスがあってもご容赦ください）が、大体
基礎科目
【1】△ 【2】○ 【3】◎ 【4】○ 【5】○ 【6】△
専門科目
【6】○ 【7】○
ああいや、俺の言葉の使い方が怪しいのかもしれん。学際というのは複数の分野にまたがることを前提として作られた学問って意味合いで言ってる。
超ひも理論などはもっぱら数学を活用した物理のための学問だろう。別に他の学問に一切活用されてない学問を所望してるわけじゃないし(そんなこと言ったら代数学できないし)、それにしても物理学で数学に対抗するのはなんか力士に野球で決着をつけようとしてるようで違うかなーって。
数学の現段階での(数学という系譜上に)最終到達点としての学問領域って数論幾何以外になんかあるのかなとシンプルに疑問に感じただけ。たとえばルベーグ積分を学ぶのを最終目標にしようって全体じゃそんなのは数論幾何の踏み台としての解析学のしかも中間地点あたりの成果の技法でしかないわけだしねえ。
別に本気で学びたいとか言ってるんじゃなくて数論幾何がもてはやさてるなかでの、他になんかないのかっていう素朴な興味やら反発心混じりの疑問ってだけだよ。
確率というのものは、数学的構造としては面積とほとんど全く同じなんですよね。
つまり、重なっていない土地の面積は足すことができるとか、重なっている土地を合わせるときは重複を差し引かないと合計面積にならないとか、そういうことです。
普通の意味での面積との違いは「全体の面積は1」ということだけです。
（これを測度論的確率論と言います。より詳しく言うと物理的な面積にとって意味のある測度はルベーグ測度ですが確率空間の場合はそれに限らないため、無限要素数や連続体濃度が関わってくるときに違いが出てくるわけですがまあそれは普通は考えなくていいことです。）
面積とほとんど同じ意味しか持たない確率という構造それ自体に「ある特定の家族の子供が女である確率」とか「家族を100組集めてきたときの頻度として子供が女である確率」とかいう意味を自然に持たせることは不可能です。
そこはユーザーが別途やるしかないわけです。具体的には、面積の切り方のパターンを全列挙してこの面積はこういう意味（ある特定の家族の子供が男であるという意味、など）、この面積はああいう意味、という感じで、面積の切れ端と表現したい意味の対応づけを逐一定義する必要があります。これをやって初めて意味を踏まえた確率の議論ができるようになるわけです。
（これがσ加法族および確率変数の定義ということになります。）
モンティホールや元増田の設定などで毎回毎回議論が紛糾するのは、議論している人それぞれが頭の中に浮かべている面積の切り方のパターンと意味づけが異なっているからです。違うσ加法族、違う確率変数についてあーでもないこーでもないと言っているわけです。違うものを議論しているので意見が一致することはありません。
確率という構造およびそれと現実との対応について、何を明記すれば同じものを考えていると思ってよいかを整理したのがコルモゴロフの測度論的確率論の偉大な成果です。これは現実における確率の議論において避けることが絶対にできないものですが、中学高校の教育課程ではこのことを巧妙に避けて教えようとしているのが問題ですね。結局失敗して確率を国民に理解させられないままになっているから毎度紛糾するわけです。
まともに議論をしたければ、自分が想定しているσ加法族（面積の切り方のパターン）と確率変数（標本空間から実数値への、想定したσ加法族に対して可測な写像）を明示しましょう。それ以外に解決法はありません。
劣等感ほどは無いんだけど、
高校の同級生の天才が東大理１から東大数学科博士を出て、旧帝大で数学のポストについている。
僕は普通に社会人になって、でもコツコツと数学自体は勉強している。
数学のレベルだが、自分は一応は大学レベルの数学は理解している。
代数学は雪江先生とかハーツホーン、幾何学は多様体と数え上げ幾何学、解析はルベーグ、関数解析とか。
佐藤幹夫先生の数学が好き。工学の微妙な数学を数学に昇華してくれてて溜飲が下がるっていうか。
適当な修士とか博士論文をコツコツ読んでるけど、それすら難しい。
普通は数学科の人は２５くらいには研究レベルには到達してるんでしょうね。
僕は人より時間がかかるみたいです。
いや、成人指定されてる漫画で成人指定される直接の理由となっている要素がメインじゃない漫画ってないねって意味でひたすら変わらないよ
1ミリでもそういう要素、具体的には性器の克明な描写のうち決して芸術的ともみなされないようなものがあったら一般向けではできない表現になるわけだけど、だからといって1ミリでは成人向けにも居場所がない。無理にでも(作者の頭の中の作品像に反して)その要素を増やすか発表を諦めるかになってしまう。
とまあでもトラバでも「冥王計画ゼオライマー 」ってのがあるようになくはないみたいだね。
俺も寝てるときに読み切り短編集だけど蜈蚣メリベの有機人形とか一部条件満たしてるんじゃないと思った。
と同時にあれは確かに性器描写を一般向けに適合するレベルまで修正しても筋書き自体は成立するのだろうが、あれの魅力はエロさ自体に担保されてる部分も大きい気がするからそういう意味で微妙。
有害図書で弓月のシンデレラエクスプレスがあったのも思い出したがあれも性器に顔を描いてマイルドにしてる。今発表されてれば成人指定はされてないだろう。
つまり元増田で主張することををより具体化すると、性器をちゃんと描写しないと筋書きが成立しないような漫画ということなんだな。
まあ漫画ってそんな数学ならユークリッド空間に逆張りして非ユークリッド空間を作り出たりリーマン積分に理論的な粗に反発してルベーグ積分作り出すみたいなみたいな学術畑にありがちな「既存原理に対するハッキング」みたいなことなんて敢えてするようなことはしないしする必要もないからそういう作品があまりないってだけのことなんだと思う。原理内の自由度で作品作れればいいって態度。所詮娯楽だから。
コンピュータ・サイエンスを専攻してる大学生なんだけど、最近自分自身がエンジニアに向いてないんじゃないかって感じてる。ていうのも、周りの知人が大学生エンジニアとしてバイトしてたりする中で、同じように企業に混じって開発経験を積んでいくことに億劫になってやる気がでないし、流行りの技術に対して貪欲になることができないんだよね。例えばMySQLとかPythonとかが今の流行りだと思うんだけど、上辺だけの浅い知識をすくってるように見えるから冷めた目で見てしまってやる気がでない。結局、作りたいものがないからそうなるんだと思うけど。ただ技術その他の勉強が嫌いかと言われるとそうではなく、プログラミング言語だとC++とかLispとか本気で勉強してある程度理解できるようになったし、数学も統計に興味があってルベーグ積分までやったし、英語も英検準1級を持ってるし（その他もいろいろ勉強してるけど省略）。だからおそらく自分はただ勉強が好きなだけなんだよね。でもそれをもってエンジニアの世界に飛び込もうと思うととたんに億劫になる。だからただ自分の知的好奇心を満たすのが面白いだけでエンジニアとかにはさほど向いてないんだろうなって思う。他の人で同じように感じてる人っているのかな？
心残りがある。
ホッジ作用素とか、アインシュタイン方程式、群環体、微分幾何、集合と位相くらいは理解した（つまり、e-MANや物理のかぎしっぽくらいのサイトを眺めるレベル）
でも、
って感じの、学部中級レベルしか物理や数学は理解できていない。
東大まで行って、これかよっていう。
ってか、工学系でも、これらの知識使ってるところは使ってる研究室あって、普通に研究してるわけで。
自分がいた研究室は、そんなに高度な数学も物理も使わなかった。せいぜい、微分幾何学とかチョロっとだけルベーグもあったかなーくらい。ほとんど何もまともな頭を使う議論はなかった。ルベーグってのも、別にルベーグじゃなくて、ノルムがどうこうでちょろっと。
物性系なら、超電導とか相転移とか。あるいは、核物理とかなら、普通に素粒子とかで数学バリバリできたんかなあ。
もう就職しちゃったけど、博士やれるなら、純粋数学か、素粒子物理やりたいなあ。。。
Fラン私立大卒業後、しばらく資格職で働いたのちに、30歳目の前で東大理系院に潜り込んだ。
学部はド文系だったため、入試に受かるか不安だったが、あっさり受かった。
働いていて、こんなものが世界なのかと、人付き合い含めて嫌になっていた。
理系に関して憧れがあった。技術で人間は救われるんじゃないかと思った。
研究分野に関していえば、さらに絶望が深まった感があるんだけど。
まず、入学当初に期待していた数学や理論物理に関しては、少しガッカリだった。
東大の数学科や理論物理科（数理科学院）の研究を眺めたが、これらが直接世界をよくするイメージがイマイチわかなかった。
もちろん、カラビヤウだの、ヤンミルズだの、M理論だのはあまりわからなかったニワカで語っている。
しかし、代数幾何や数え上げ幾何やルベーグ関数解析、アインシュタイン方程式くらいは理解した。
もう少し勉強すれば深い感動はあったのかな？
一方で、予想していなかった分野では感動がたくさんあった。
情報幾何学、材料物性、光学、計算化学といった、実学のちょっと先の分野が大変面白いと思った。
数ヶ月ごとに、これまでの人類が刷新される成果がガンガン出てくる。
パワー半導体や、レアアース採掘、電池やエネルギー技術は、本当に２、３年でドンドン人類が根本的に変わる発明や実用化がガンガン出る。
このような分野を普通に理解できるようになったのは本当に楽しい。(別にこのくらいを楽しむ程度なら、東大行かなくても、youtubeで勉強とかでも最近ではいいのかもしれないけど正直)
こんなに東大生というのはチャンスがあるのだなと感動しっぱなしだったし。
いわゆる最先端というか、未来を変えうる技術を少しできるようにしたくらいの成果はできた。
また、この分野の研究や成果をどうやって作るのかの知見も得られた。
自分は、社会人に戻ったが、あの日々の経験は自分にとっては、「生きててよかった、世界は間違いなく変わる」ことを実感させてくれた。
技術が作る未来を見たいし、そこに、自分のようなブサイクで生きる価値のないキモい人間も生きていられる世界ができる気がするし、自分でも世界を作れると感じられるから。
マセマの数学系の本を読んだことがある。東大の工学部の院試を受けてみて受かったことがある。
生物系の研究でも数学っぽい概念が絶対確立されてそうな雰囲気なものが多いので、数学を理解したいなーと思っていた。
２カ月くらい前に受験を決意。
＜実際の結果＞
カナリ過去問から出ると思った。逆に言えば、過去問で解答を作成できるかどうかが勝負。
基礎科目（大学１，２年レベル）と専門（代数、幾何、解析、その他の数学科特有の分野）に分かれるが。
基礎科目すら危うかった。専門は全く勝負にならなかった。
＜基礎科目のお勉強＞
基礎科目の方は、割とマセマと『演習大学院入試』で何とかなると感じた。もちろん、過去問の答えを全て作成できることが前提だけど。
追加で、『イプシロンデルタ完全攻略』、『線形代数３０講』（固有値と固有空間問題対策）でやったくらい。
時間があれば、もっと実際に手を動かして計算練習などすれば、点数は満点近くまで伸びると感じた。
一方で、集合論や幾何学を捨てていたので、京都大学の受験ではかなりビハインドを引いてしまったし、東大でも逃げ科目を作れなかったのが少し痛かった。
１００時間ほどで過去問まで対策できた。初学の分野が少なかった（複素関数、εδ、微分方程式の級数解放、線形代数の空間論が初学）ので、割となんとかなった。
＜専門のお勉強＞
代数学は『代数学１，２（雪江）』、『群・環・体 入門』、『代数学演習』、『大学院への代数学演習』と「物理のかぎしっぽ」で対策したのだが。
１００時間も勉強時間を取れなかったので、ガロア拡大の計算と、イデアルの簡単な奴しか抑えられなかった。しかも、本番で出てきたのは、明らかに知らない概念だった。もちろん、問題分の意味は何とか理解できたが、恐らくは『アティマク』や『ハーツホーン』や整数論系の概念を知らないと厳しい問題だった。
過去問を見てもできないなーと思っていたが、試験場で他の人たちが、洋書やハーツホーンや零点定理やシェバレーと言った、全く知らない概念を話していたので、勉強する分野を完全にミスったと思った。
ネットでググっても、雪江代数で受かってるっぽい感じだったから、雪江代数だけで行けると思ったけど、勘違いだったみたい。
無念。
＜感想＞
結果的にはゼンゼン駄目だったけど、数学科の人たちの雰囲気や、レベルを肌で理解できてよかった。
時間が更にあるなら、
あと、代数学もアティマクとハーツホーンと整数論は押さえたいなあと思った。
Pythonやディープラーニングの本は沢山出ているが、入門書ばかりで終わってしまい、入門が終わったらどれも似たり寄ったりで読むのがなくなる。
実際に自分が抱えている処理をしようと思えば、それなりに咀嚼し応用しないといけない。
蛍光スペクトルからどうやって細胞を分類するかといった課題を解きたいとして、沢山本は出ているにも関わらず、バイオ系＋Pythonといった書籍は皆無だ。
他の学術書もそうだ。工学の数学なんてルベーグ積分あたりで終わりではないだろうか。
アンケートを取った結果を載せていたとしても、どのような質問をしたのか、処理はどうしたのか、集団はどう選んだのかなどの処理手順がかかれていることは稀であり、引用しようにも疑問符が付く。
国が出してる統計データですらデータ処理の方法やグラフの描き方などは書籍にない。（ネットにもないが）
ワードやエクセルの本も棚を埋め尽くすほど沢山あるにも関わらず、大半は同じ内容だ。
入門書しか売れないと、売れる本ばかり作った結果がこれなのだろうか。
効率化と題名がついているものが、どこにでもあるショートカット集であったり、
RPAだといってソフトのインストールとサンプル1つの実行方法で終わっていたりする。
電子回路の書籍も、ラズパイのインストールか、拡張ボードの使い方で終わる。
例えば温度を測定しようとするとオフセットつくのだが、水の三重点でキャリブレーションするのがいいけど、氷の融点と沸点でキャリブレーションしても、実用上そこそこあうといったことはなく、
数℃狂った値で、温度が測定出来たというので終わっており、測定データの不確かさをどうやって処理するかまでは記載されない。(GUMにおける不確かさ表現に合わせればいいが、そこまでは面倒くさいのはわかる）
工学志向の話を始めた元増田。うん、多くの工学屋に数理的な素養がなさすぎるっていうのは同意するわー。
自分は、ルベーグ積分も代数の基礎も関数解析も一応、学部時代にやったから、後で、本当に厳密なことが知りたくなった時はどの辺復習すればいいのか分かって、超役立ってる。
まぁ、でも、それって、結局、数学としては何十年も前に分かってることで、今じゃ単に知識だよね。数学分野の最先端は、もっと先の方に行ってしまっているわけで。
結局、その辺の数理的な知識が必要になるのは、数理的な知識が工学的な解析の「役に立つ」からであって、「将来、役に立つ勉強をしろ」ってことが工学屋に徹底されてないだけだと思うなぁ。
