  |
無限を取り扱う数学理論には、以下のようなものがあります。それぞれ異なる観点から無限を扱い、数学のさまざまな分野で重要な役割を果たしています。
集合論は無限の概念を厳密に扱う理論で、ジョルジュ・カントールによって19世紀後半に発展しました。カントールは「無限集合」や「無限の濃度」という概念を導入し、無限の異なる種類を区別しました。
カントールは、無限の濃度（サイズ）には階層があり、無限の中にも大小が存在することを証明しました。彼の理論に基づき、無限に対する厳密な取り扱いが可能になりました。
非標準解析は、アブラハム・ロビンソンによって提唱された理論で、無限小（非常に小さいがゼロではない量）や無限大（非常に大きい量）を厳密に扱います。従来の微分積分学では極限を通じて微小な変化を扱いますが、非標準解析では無限小そのものを数学的に扱うことができます。
超準解析は、無限小や無限大の概念を拡張し、通常の数では捉えられない無限大や無限小を含む「超準モデル」を使って解析を行います。これにより、通常の解析学での極限の概念を別の形で取り扱うことができ、無限の扱いを直感的に理解しやすくする手法です。
測度論では、無限に広がる領域や無限個の点を持つ集合に対して、面積や体積に相当する「測度」を定義します。例えば、ユークリッド空間における測度や、ルベーグ積分を使って無限の領域を扱います。これは確率論などでも重要な理論的基礎です。
無限次元のベクトル空間や関数空間は、例えば関数解析の分野で扱われます。これらの空間は、無限の次元を持ち、通常の有限次元空間の直感とは大きく異なる性質を持ちます。例えば、ヒルベルト空間やバナッハ空間などが代表的です。
モデル理論では、無限個の命題や無限に続く構造を扱います。ロウズのコンパクト性定理など、無限の論理的構造に対する定理も存在します。これにより、無限に多くの要素を持つ構造に対しても数学的に厳密な取り扱いが可能となっています。
これらの理論は、それぞれ異なる文脈で無限を扱い、現代数学の発展に大きく貢献しています。無限という概念は、直感的に捉えにくい一方で、これらの理論によって厳密に扱われるようになっています。
11
