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はてなキーワード: 整数とは
本稿では、和田秀樹氏らが提唱している暗記数学というものについて述べます。
受験数学の方法論には「暗記数学」と「暗記数学以外」の二派があるようですが、これは暗記数学が正しいです。後者の話に耳を傾けるのは時間の無駄です。
まず、読者との認識を合わせるために、暗記数学に関するよくある誤解と、それに対する事実を述べます。
暗記数学は、数学の知識を有機的な繋がりを伴って理解するための勉強法です。公式や解法を覚える勉強法ではありません。「暗記」という語は、「ひらめき」とか「才能」などの対比として用いられているのであり、歴史の年号のような丸暗記を意味するわけではありません。このことは、和田秀樹氏の著書でも繰り返し述べられています。
類似の誤解として、
などがあります。これらは事実に反します。むしろ、大学の理学部や工学部で行わていれる数学教育は暗記数学です。実際、たとえば数学科のセミナーや大学院入試の口頭試問などでは、本稿で述べるような内容が非常に重視されます。また、ほとんどの数学者は暗記数学に賛同しています。たまに自他共に認める「変人」がいて、そういう人が反対しているくらいです。大学教育の関係者でない人が思い込みで異を唱えても、これが事実だとしか言いようがありません。
嘘だと思うならば、岩波書店から出ている「新・数学の学び方」を読んで下さい。著者のほとんどが、本稿に書いてあるように「具体例を考えること」「証明の細部をきちんと補うこと」を推奨しています。この本の著者は全員、国際的に著名な業績のある数学者です。
そもそも、暗記数学は別に和田秀樹氏が最初に生み出したわけではなく、多くの教育機関で昔から行われてきたオーソドックスな勉強法です。和田秀樹氏らは、その実践例のひとつを提案しているに過ぎません。
暗記数学の要点を述べます。これらは別に数学の勉強に限ったことではなく、他の科目の勉強でも、社会に出て自分の考えや調べたことを報告する上でも重要なことです。
一番目は、従来数学で重要なものが「ひらめき」や「才能」だと思われてきたことへのアンチテーゼです。実際には、少なくとも高校数学程度であれば、特別な才能など無くとも多くの人は習得できます。そのための方法論も存在し、昔から多くの教育機関で行われています。逆に、「"才能"を伸ばす勉強法」などと謳われるもので効果があると実証されたものは存在しません。
大学入試に限って言えば、入試問題は大学で研究活動をする上で重要な知識や考え方が身についているのかを問うているのであって、決していたずらな難問を出して「頭の柔らかさ」を試したり、「天才」を見出そうとしているわけではありません。
二番目はいわゆる「解法暗記」です。なぜ実例が重要なのかと言えば、数学に限らず、具体的な経験と結びついていない知識は理解することが極めて困難だからです。たとえば、
などを、初学者が読んで理解することは到底不可能です。数学においても、たとえば二次関数の定義だけからその最大・最小値問題の解法を思いついたり、ベクトルの内積の定義や線形性等の性質だけを習ってそれを幾何学の問題に応用することは、非常に難しいです。したがって、それらの基本的な概念や性質が、具体的な問題の中でどのように活用されるのかを理解する必要があります。
これは、将棋における定跡や手筋に似ています。駒の動かし方を覚えただけで将棋が強くなる人はまず居らず、実戦で勝つには、ルールからは直ちには明らかでない駒の活用法を身につける必要があります。数学において教科書を読んだばかりの段階と言うのは、将棋で言えば駒の動かし方を覚えた段階のようなものです。将棋で勝つために定跡や手筋を身につける必要があるのと同様、数学を理解するためにも豊富な実例を通じて概念や定理の使い方を理解する必要があります。そして、将棋において初心者が独自に定跡を思いつくことがほぼ不可能なのと同様、数学の初学者が有益な実例を見出すことも難しいです。したがって、教科書や入試問題に採用された教育効果の高い題材を通じて、数学概念の意味や論証の仕方などを深く学ぶべきです。
そして、これは受験数学だけでなく、大学以降の数学を学ぶ際にも極めて重要なことです。特に、大学以降の数学は抽象的な概念が中心になるため、ほとんどの大学教員は、学生が具体的な実例を通じて理解できているかを重視します。たとえば、数学科のセミナーや大学院入試の口頭試問などでは、以下のような質問が頻繁になされます。
教科書や解答例の記述で分からない部分は、調べたり他人に聞いたりして、完全に理解すべきです。自分の理解が絶対的に正しいと確信し、それに関して何を聞かれても答えられる状態にならなければいけません。
たとえば、以下のようなことは常に意識し、理解できているかどうか自問すべきです。
ほとんどの人はまず「自分は数学が分かっていない」ということを正確に認識すべきです。これは別に、「数学の非常に深い部分に精通せよ」という意味ではありません。上に書いたような「定義が何で、定理の仮定と結論が何で、文中の主張を導くために何の定理を使ったのか」といったごく当たり前のことを、多くの人が素通りしていると言うことです。
まず、用語や記号の定義が分からないのは論外です。たとえば、極大値と最大値の違いが分かっていないとか、総和記号Σ でn = 2とか3とかの場合に具体的に式を書き下せないのは、理解できていないということなのですから、調べたり他人に聞いたりする必要があります。
また、本文中に直接書いていないことや、「明らか」などと書いてあることについても、どのような性質を用いて導いたのか正確に理解する必要があります。たとえば、
などと書いてあったら、これは
という一般的な定理を暗に使っていることを見抜けなければいけません。上の命題はpが素数でなければ成り立ちません。たとえば、l = 1, m = n = 2として、4l = mnを考えれば、mもnも4で割り切れません。他にも、
は正しいですが、逆は一般的には成り立ちません。nとmが互いに素ならば成り立ちます。それをきちんと証明できるか。できなければ当然、調べたり他人に聞いたりする必要があります。
l'Hôpitalの定理なども、もし使うのであれば、その仮定を満たしていることをきちんと確かめる必要があります。
さらに、単に解法を覚えたり当て嵌めたりするのではなく、「なぜその方法で解けるのか」「どうしてそのような式変形をするのか」という原理や意図を理解しなければいけません。たとえば、「微分で極値が求まる理屈は分からない（或いは、分からないという自覚さえない）が、極値問題だからとりあえず微分してみる」というような勉強は良くありません。
そして、教科書の一節や問題の解答を理解できたと思ったら、本を見ずにそれらを再現してみます。これは「解き方を覚える」と言うことではなく、上に書いたようなことがすべて有機的な繋がりを持って理解できているか確かめると言うことです。
はじめの内はスラスラとは出来ないと思います。そういう時は、覚えていない部分を思い出したり、本を見て覚え直すのではなく、以下のようなことを自分で考えてみます。
こういうことを十分に考えた上で本を読み直せば、ひとつひとつの定義や定理、式変形などの意味が見えてきます。また、問題を解くときは答えを見る前に自分で解答を試みることが好ましいです。その方が、自分が何が分かっていて何が分かっていないのかが明確になるからです。
以上のことは、別に数学の勉強に限った話ではありません。社会に出て自分の考えや調べたことを報告する時などでも同様です。たとえば、近年の労働法や道路交通法の改正について説明することになったとしましょう。その時、そこに出てくる用語の意味が分からないとか、具体的にどういう行為か違法（or合法）になったのか・罰則は何か、と言ったことが説明できなければ、責任ある仕事をしているとは見なされないでしょう。
やってみたことある人なら分かると思うけど編み物って数学なんよ
編み物の基本作業って、編み目を一個一個繋げて列を作り、その横に新しい列を編んで繋げて作っていくってことなのね
直線の列から始めるとシートができて、列の始めと終わりをつなげた輪の形から始めるとチューブができる
列を変えるときに目の数を増やしたり減らしたりしながら編むことで、線の幅や輪の太さを変えてカーブを作っていく
この作業はレゴで立体物をつくるのと同じであると経験者なら分かってくれるのではなかろうか
思うに編み物が女性的であるとされるのは産物が主に服飾であるからというものと、毛糸という素材の柔らかさの印象からきているのではないか
しかしその実質を考えると男性になぜ編み物が浸透していないのか不思議なほどには男性と相性のよい領域にあると感じられる
(男性のなかには機械的で単調な作業が神経的に堪えられないタイプの人がおり、そういう人はそれが男性の特性だと思い込んでいる向きもあるだろうが、それは男性内での個人差でしかないだろう。数学の得意な男性とからっきしな男性がいるように…)
素数の中でも唯一の偶数、素数なのに二等分したら整数になる（17も17等分すれば1になるが）
二値で真偽、善悪、オンとオフの切り替えをあらわすこともある重要な数ではあるが
存在することをしめすものとして１があって０と１の二値が基礎であるということだったら2も特殊な性質があるといえるのかもしれない
平面上で点1つ取ったらそれだけ、点を2つ取ったら関連が出来る、点を3つ取ってそれをもとに直線ひいたら角度が現れるしエリアが出来て面積が出る（曲線でも出るのか）（微分積分の話ではなかったはずなのに）
1は素数ではないが素数らしさというのは存在にかかわるもの（1らしさ）なのか特有性なのか、じゃあビットコインの価値は特性か？
（1が「次のものがありますよ」を示すものなら1×1×…は循環論法とか無限後退っぽさもありながら、縦ある、横ある、高さある、動きある、…を続ければ体積っぽさもあるが2の話ではないじゃん）
コインが1枚あったとしてその裏表の2つの顔があったらそれは量子コンピュータ的なのか
問：A,Bには0から9までの整数が入る。それぞれの値を求めよ
BAA
＋ BA
--------
ABB
はっきり言えばこれは暗算できる。3桁目に注目すると、桁上がりでBがAになっている。ここからAはBより1大きいとわかる。
1桁目をみるとA+A=Bとある。AはBより大きいのでこれはA+Aが2桁となっていてその1桁目がBだとわかる。つまりこの時点でAは5より大きいことが判明する。
あとは順番にAを増やして足せば良い
Aが5のとき、 A+A=10。一桁目は0だがこれはAはBより1大きいことに当てはまらない。だから違う。
これを9まで行うとA=9のときにA+Aが18となり、一桁目が8になっているのでこれがBである可能性が高くなる。
あとはA=9,B=8を当てはめて筆算すれば良い。
問：A,Bには0から9までの整数が入る。それぞれの値を求めよ
BAA
＋ BA
--------
ABB
はっきり言えばこれは暗算できる。3桁目に注目すると、桁上がりでBがAになっている。ここからAはBより1大きいとわかる。
1桁目をみるとA+A=Bとある。AはBより大きいのでこれはA+Aが2桁となっていてその1桁目がBだとわかる。つまりこの時点でAは5より大きいことが判明する。
あとは順番にAを増やして足せば良い
Aが5のとき、 A+A=10。一桁目は0だがこれはAはBより1大きいことに当てはまらない。だから違う。
これを9まで行うとA=9のときにA+Aが18となり、一桁目が8になっているのでこれがBである可能性が高くなる。
あとはA=9,B=8を当てはめて筆算すれば良い。
世の中ではあまり知られていないようだけど、「次元」というものは整数値だけじゃないんだよ。
すなわち、1次元（直線）、2次元（平面）、3次元（立体）、4次元（時空間）…のような整数次元以外の図形も有り得るんだ。
いや別に、これは私が勝手に構築した妄想内での話じゃない。ちゃんとした数学での話だ。
一般にフラクタルと呼ばれる図形では、無理数次元というものが考えられるんだ。
まず、フラクタルとは何か。
それは、図形全体がその一部分から再帰的に定義される図形のことだ。
まあ、これじゃ何言ってるかわからないよね。でも、具体例を見ればピンと来るだろう。
有名なのは、シェルピンスキーのギャスケットというやつだ。
こいつは三角形なんだけど、その中身が細かくくりぬかれた図形であり、そのくりぬき方に規則性がある。
まず最初に、三角形の中央をくりぬく。くりぬく形は元の三角形を上下反転させて、半分の大きさにしたもの。
これらも同じように、さらに半分の大きさの三角形で中央をくりぬいていく。
これを無限に繰り返したものが「シェルピンスキーのギャスケットのギャスケット」というわけだ。
無限に繰り返すため、最終的にはそれこそ「骨しか残らない」ような図形になる。元々は三角形だったのに、線みたいな図形になるわけだ。
また、この図形は、例えば真ん中より上側を見るとわかるんだけど、図形の一部分と元の図形が同じ形になっている。
例えば、元の図形は、中央に逆にした三角形のくりぬきがあるが、その上側でも同様に、中央に三角形のくりぬきがある。
また、そのくりぬきの左側をそれぞれ見てみよう。
元の図形でも、その上側でも、やはり小さい逆向きの三角形でたくさんくりぬかれた三角形が、全く同じように存在するだろう。
というふうに、「シェルピンスキーのギャスケット」は、その図形全体がある一部分の繰り返しで形成されるわけで、
ここまで、「シェルピンスキーのギャスケット」は同じ形の繰り返しということを述べたが、この後、無理数次元の話をするために、もうひとつだけ注意しておく。
それは、同図形は大きさを2倍にすると、同じ図形が3つに増えることだ。
先に述べたとおり、同図形はその上半分と同じ形をしている。そして、同じ形が上半分、左下、右下に現れる。
つまり、辺の長さを2倍にした「シェルピンスキーのギャスケット」を描こうとすると、
元の図形を真ん中以外の、上半分、左下、右下に3つ配置した図形になるわけだ。
もう一度繰り返すが、「シェルピンスキーのギャスケット」は辺の長さを2倍にすると、図形全体は3倍になる（★）。
これは、後で無理数次元の話をするときに、もう一度出てくるから、よく理解しておいてほしい。
それでは、次元とはなんだろう。
その1辺を2倍にすると、正方形の面積、立方体の体積はどうなるか。
正方形は、縦の長さと横の長さが2倍になるので、面積が4倍になる。
立方体は、縦の長さと横の長さと高さが2倍になるので、体積が8倍になる。
さて、面積や体積は1辺を2回または3回かけ算すれば求められるので、
この4倍や8倍という値も、2の2乗から4倍、2の3乗から8倍として求めてもよいことがわかるだろう。
これをまとめると、
2を次元乗すれば、図形が何倍になるかがわかる（☆）
というわけだ。
例えば、立方体の場合は、立体なので次元が3で、図形は8倍になるだった。
一方で（☆）の考え方でも、2を次元乗、つまり3乗することで、図形が8倍になることがわかる。正方形の場合も同様だ。
すなわち、わざわざ正方形や立方体を頭に思い浮かべたり、面積や体積の公式を思い出さなくても、
（☆）の関係を考えれば、辺を2倍にしたとき、図形が何倍になるかがわかるのである。
（これは「ハウスドルフ次元」と呼ばれる。なお、ここでは簡略化のため、単位長さを2倍にする場合だけ考える。）
ここでは、前述の「シェルピンスキーのギャスケット」の次元を考えてみよう。
（★）で述べたとおり、同図形では「辺の長さを2倍にすると、図形全体は3倍になる」のだった。
よって、「シェルピンスキーのギャスケット」の次元をdとすると、（☆）から、2のd乗＝3が成り立つはずだ。
d＝1とすると、左辺は2の1乗なので、2となり、左辺の方が小さい。
d＝2とすると、左辺は2の2乗なので、4となり、左辺の方が大きい。
つまり、「シェルピンスキーのギャスケット」は直線（1次元）と平面（2次元）の間にある存在だというわけだ！
同図形は三角形（平面）で構成されたものであるため、ベースとなるのは2次元である。
しかし、先に述べたとおり、その中身は無限にくりぬかれていく。
つまり、ほとんど中身はスカスカになっていく。「骨しか残らない」図形で、線みたいになっていく。
だから、「シェルピンスキーのギャスケット」の次元も、2次元よりは線（1次元）に近いのだから、少し小さい値になるだろう、というわけだ。
ちなみに、このdを実際に計算するには対数（log）が必要だが、おおよそ1.58となる。
この場合のlogは無理数となるので、一番最初に述べたとおり、無理数次元というものが本当に存在するというわけだ。
「シェルピンスキーのギャスケット」は部分的には三角形の組み合わせなので、平面である2次元のように見えるが、
細かくしていくとさらにその中に空白があるため、2次元よりは少し小さいだろう…
元記事の（４）は「証明せよ」と言われているのだから、一般の場合も成り立つことを示す必要があるのでは？
https://manabitimes.jp/math/1032
すごくシンプルだけど「４以上の偶数は２つの素数の和で表される」っていうゴールドバッハの予想は証明されていないんだろうね。
https://www.ajimatics.com/entry/2021/03/22/174633
これについていたブコメ
id:versatile 「実数の中には、「2乗して0になる数」というのは0しかありません」の証明ってどうやるの？
メタブを見に行ったら、そういう数が存在した場合は逆数をとると矛盾が引き起こせるよっていうスマートな背理法が書かれてたんだけど、これはかなり危うい議論に見える。
というのも、その議論は0でない実数は必ず逆数が取れるよねっていう前提を所与のものとして扱っているわけで、じゃあその「0でない実数は必ず逆数がとれる」って命題はどうやって証明するのという話になる。
そんなの当たり前の話じゃないかと感じられるかもしれないが、我々の証明しようとしている「二乗して0になる数は0以外にない」という命題も同程度には当たり前のことであって、つまりこれは当たり前から当たり前を示す、基礎論的なところの問題なのである。
こういう議論では、話の土台が何より重要で、よく知られた性質の中でもどれは使っていいのか、どれは使ってはいけないのか良く整理してから始めなければいけない。
なぜなら証明済みの性質を贅沢に使って基礎的な部分を証明してしまうと、その元の議論のほうの前提に実は今証明している命題が間接的に入っているんだよということになりかねない。
だから、「当たり前のものを示す時」には、議論が「逆流」しないか十分気にする必要がある。
で今回の問題が具体的にどう引っかかっているかと言うと、実数には有理数という土台があって、有理数は整数という土台から作られている。
ここでもし、「二乗すると0になる0でない数a」が【整数の中に】含まれていると、有理数上で、(1/a)*(1/a)の答えが定義できなくなってしまう。
そうなるとそもそも有理数上の掛け算の定義が壊れているということなので、実数の構成どころの話じゃない。
つまりこの掲題の疑問は有理数に掛け算構造を与える際にこそ気にすべき問題なのである。
逆数という概念は掛け算の成立後にようやく有効になる話であって、その前段階にあるはずのこの疑問に対して逆数の性質を使ってしまうのは若干論点先取というか、真芯を外している回答のように思う。
もちろん実数の話であるからには土台にある有理数の基本的な性質は所与のものであるという考え方も間違いではないけれど、それはこの疑問の「心」が見えていないんじゃないかな。
で実際どうやって証明すべきかというと、まずは上述のように【整数で】この性質を示すべき。
もっと言うと整数の土台には自然数（ここでは0を含む）があるので自然数上で非0×非0が非0になることを示す。
そうして得られた性質を整数、有理数、実数へと順々に拡張していく。こういう流れになる。
自然数上での証明は、0でない自然数には前者関数Preが適用できることを用いて、
a*b=a*Pre(b)+a≧a>0
という感じで示せる。（もちろんもっと厳密にやるけどね）
整数は自然数のコピーを貼り合わせてできている。自然数上での非0×非0=非0という性質から、整数上でも容易にそれが示される。
有理数は整数の分子分母のペアに約分という同一視を入れてできている。ここでも整数上の非0×非0=非0の性質を簡単に有理数上に拡張できる。
最後に実数は、有理数の無限数列を極限の考え方で同一視してできるので、有理数上の性質をうまく実数上にも持ってくることができる。
概要だけざっくりだけどこれを組み立てれば疑問への回答になると思う。
（道筋だけ最後まで立てられることがわかったら途端に興味を失うやつ）
【追記】
文章が長ったらしくて申し訳ないけど、やっぱ伝わってないね…。
前半部は、「当たり前のことを証明する時には当たり前の前提を無批判に使っちゃいけない」ってことを言ったつもり。
ブコメで貰ってる「両辺をaで割って〜」っていうようなのも、実は割り算の存在が無意識に前提とされているけど、零因子があるかないかっていうのは【割り算の構成のためにこそ】必要な話なんだ。
だから「割り算というものが存在する」って無邪気に考えることすらもこういう問題では危険だよと言いたかった。
零因子がないことを証明→よかった、これで割り算が「上手く定義」できるぞ→逆数も定義できるぞ
いえいえ、なんかの助けになれば幸いですけど😃
あと、ソースコード読んでるなら命名はやっぱり大事だなあと思う
最近も命名についてちょっと考えさせられてしまうことがあったのだけど
命名からググってというのも自分の場合はかなりヒントになる、助かる
知らない分野でもとりあえず関数や変数の名前でググってみるとか（というか、Googleない時代を考えると地獄だよなあ
コメントも適度にあるといいとは思うけど、過剰にコメントする意味はないし、
といっても、コメントを書く必要があるかないかって当然だけど読む側のレベルを試されているんですよね
やっぱりハッカーが好きそうなトリッキー？な書き方があったりして、
でも、こういうときはこう書くものだ、みたいなのがあったりもするので、
昔のゲームとか、あとメガデモみたいなのもそうだけど、浮動小数点演算とか富豪すぎるので、
整数演算でいかに適当に誤魔化すかみたいな、精密さより高速にそれらしく動作するのが求められるのもあるし、
自分の場合はレベルが低いのか、知らなくてもググって調べてけば大体なんとかなってる
でも、発売前のゲーム機と書いたけど、公開されてないのでググっても出ない情報、社外秘のソースコードとか技術で、
特にレベルが高いのとか、逆に酷く汚いコードだけどなんか動いてる（）みたいな場合は、
考えるだけ時間の無駄だし、やった仕事どうなった？まだできてない？え、ずっと考えてたの？みたいになったら大問題ですし
日本人でなければできないとか、外国人ならできるとか、そんな訳はない
「日本文化圏は議論に向いていない人が諸外国より多いだろう」そういう仮説を取り上げている
「完全に人格から切り離してニュートラルに扱えるというのは事実誤認」というが、これについても同様
密結合でべったりか完全に疎か、の択一ではない
もっと結合を薄めたり濃くしたり、可変でかつ大きな違いになるだろう？そこに議論の余地はないのだろうか
会話を交わして感がどうも薄くて、噛み合っていないな
暗に前提にしてる部分なんだろうな
これは邪推かもしれないが、「モノについて話す」のは定義を厳密にしないとできない、と考えていたりするのか？
