  |
はてなキーワード: 1次元とは
世の中ではあまり知られていないようだけど、「次元」というものは整数値だけじゃないんだよ。
すなわち、1次元（直線）、2次元（平面）、3次元（立体）、4次元（時空間）…のような整数次元以外の図形も有り得るんだ。
いや別に、これは私が勝手に構築した妄想内での話じゃない。ちゃんとした数学での話だ。
一般にフラクタルと呼ばれる図形では、無理数次元というものが考えられるんだ。
まず、フラクタルとは何か。
それは、図形全体がその一部分から再帰的に定義される図形のことだ。
まあ、これじゃ何言ってるかわからないよね。でも、具体例を見ればピンと来るだろう。
有名なのは、シェルピンスキーのギャスケットというやつだ。
こいつは三角形なんだけど、その中身が細かくくりぬかれた図形であり、そのくりぬき方に規則性がある。
まず最初に、三角形の中央をくりぬく。くりぬく形は元の三角形を上下反転させて、半分の大きさにしたもの。
これらも同じように、さらに半分の大きさの三角形で中央をくりぬいていく。
これを無限に繰り返したものが「シェルピンスキーのギャスケットのギャスケット」というわけだ。
無限に繰り返すため、最終的にはそれこそ「骨しか残らない」ような図形になる。元々は三角形だったのに、線みたいな図形になるわけだ。
また、この図形は、例えば真ん中より上側を見るとわかるんだけど、図形の一部分と元の図形が同じ形になっている。
例えば、元の図形は、中央に逆にした三角形のくりぬきがあるが、その上側でも同様に、中央に三角形のくりぬきがある。
また、そのくりぬきの左側をそれぞれ見てみよう。
元の図形でも、その上側でも、やはり小さい逆向きの三角形でたくさんくりぬかれた三角形が、全く同じように存在するだろう。
というふうに、「シェルピンスキーのギャスケット」は、その図形全体がある一部分の繰り返しで形成されるわけで、
ここまで、「シェルピンスキーのギャスケット」は同じ形の繰り返しということを述べたが、この後、無理数次元の話をするために、もうひとつだけ注意しておく。
それは、同図形は大きさを2倍にすると、同じ図形が3つに増えることだ。
先に述べたとおり、同図形はその上半分と同じ形をしている。そして、同じ形が上半分、左下、右下に現れる。
つまり、辺の長さを2倍にした「シェルピンスキーのギャスケット」を描こうとすると、
元の図形を真ん中以外の、上半分、左下、右下に3つ配置した図形になるわけだ。
もう一度繰り返すが、「シェルピンスキーのギャスケット」は辺の長さを2倍にすると、図形全体は3倍になる（★）。
これは、後で無理数次元の話をするときに、もう一度出てくるから、よく理解しておいてほしい。
それでは、次元とはなんだろう。
その1辺を2倍にすると、正方形の面積、立方体の体積はどうなるか。
正方形は、縦の長さと横の長さが2倍になるので、面積が4倍になる。
立方体は、縦の長さと横の長さと高さが2倍になるので、体積が8倍になる。
さて、面積や体積は1辺を2回または3回かけ算すれば求められるので、
この4倍や8倍という値も、2の2乗から4倍、2の3乗から8倍として求めてもよいことがわかるだろう。
これをまとめると、
2を次元乗すれば、図形が何倍になるかがわかる（☆）
というわけだ。
例えば、立方体の場合は、立体なので次元が3で、図形は8倍になるだった。
一方で（☆）の考え方でも、2を次元乗、つまり3乗することで、図形が8倍になることがわかる。正方形の場合も同様だ。
すなわち、わざわざ正方形や立方体を頭に思い浮かべたり、面積や体積の公式を思い出さなくても、
（☆）の関係を考えれば、辺を2倍にしたとき、図形が何倍になるかがわかるのである。
（これは「ハウスドルフ次元」と呼ばれる。なお、ここでは簡略化のため、単位長さを2倍にする場合だけ考える。）
ここでは、前述の「シェルピンスキーのギャスケット」の次元を考えてみよう。
（★）で述べたとおり、同図形では「辺の長さを2倍にすると、図形全体は3倍になる」のだった。
よって、「シェルピンスキーのギャスケット」の次元をdとすると、（☆）から、2のd乗＝3が成り立つはずだ。
d＝1とすると、左辺は2の1乗なので、2となり、左辺の方が小さい。
d＝2とすると、左辺は2の2乗なので、4となり、左辺の方が大きい。
つまり、「シェルピンスキーのギャスケット」は直線（1次元）と平面（2次元）の間にある存在だというわけだ！
同図形は三角形（平面）で構成されたものであるため、ベースとなるのは2次元である。
しかし、先に述べたとおり、その中身は無限にくりぬかれていく。
つまり、ほとんど中身はスカスカになっていく。「骨しか残らない」図形で、線みたいになっていく。
だから、「シェルピンスキーのギャスケット」の次元も、2次元よりは線（1次元）に近いのだから、少し小さい値になるだろう、というわけだ。
ちなみに、このdを実際に計算するには対数（log）が必要だが、おおよそ1.58となる。
この場合のlogは無理数となるので、一番最初に述べたとおり、無理数次元というものが本当に存在するというわけだ。
「シェルピンスキーのギャスケット」は部分的には三角形の組み合わせなので、平面である2次元のように見えるが、
細かくしていくとさらにその中に空白があるため、2次元よりは少し小さいだろう…
書き方が悪くて誤解させて申し訳ないです。「基本的に寒い時期はずっと寝付きが悪く、さんざん対策しても年に1回は一睡もできずに朝、ってときがある」という状態です。
羽毛布団は既に使っていて、毛布はマットレス側です。昔から使ってるんで忘れてました。寝相が良くないんで、ちょっと大きめの羽毛布団の購入も考えていきます。
電気毛布買いました。ねこちゃんもイッヌも好きなんですが、独り身で部屋を開ける時間が多いので可哀想、かつ私自身が結構ズボラなので残念ながら。
以下今後試すメモ
・トリプトファン、メラトニン、テアニン(iherbで買い物カゴにin済)
・養命酒
・(いつか)布団乾燥機
寒い時期朝方までまったく寝付けずに、体調不良で休む連絡をした瞬間眠気が襲ってくることが未だに年1くらいである私が、どうにか改善しようといろいろ試した結果まとめ。
入眠時/睡眠中/起床時の質で0~5の1+5段階評価、1次元的ではない気分的な評価で「値段」「容易性」が評価軸に混入してる。何ら客観性もないので、文句があるならEminemまで。
0は明確なデメリット有りのため辞めとけ。
入眠したい時間の30~60分前に5分ほど。しっかりやると目が覚めるので、軽く。
コロナでジム辞めてから初の冬なわけだが、深い眠りにつける回数は減った。入眠と起床に影響はなし。トレーニング器具が欲しい。
習慣化してて辞めたことがないので、対照していないが、辞めたら多分よけい寝れないと思う。
定番。寝付けないときはスマホがあってもなくても寝れないが、寝付けるはずの日もスマホのせいで寝付けない、なんてことはある。質や起床時の気分の改善もやや感じられる。定番だけある。
カフェインに覚醒作用を感じたことがない(昼飲んでも昼眠いし、夜飲まなくても寝付けない)ので、私の入眠時には関係がないという結論。ただ、夜にカフェインを取ると翌朝よく寝た気分にはなりにくい。カフェインは興奮作用のある薬物であると科学的にも言われているので、不適当な時間にとらないに越したことはない。
コップ1杯の水を就寝直前に飲む。トイレ起床を誘発しそうでちょっと怖いが、起床時に口の中がネバネバとかカラカラという事象は減ったので良しとする。
ちょっとしたオカルト。低温やけどの可能性が捨てきれないので他人にはオススメしにくいが、これがあると本当に寝れる。「あ、今日は無理そう」っていう日に頓服。肌着に貼ると熱すぎるので、寝間着に貼ってる。
オカルト。薬効ではなく、湿布のグリセリンが関係あるとかないとか。初めて貼ったときは即寝落ち起床完璧だったが、最近は効果を感じないので、無理そうな日だけ鰯の頭も信心からということでやる。朝になると大体剥がれてるのでクソ。
同上。小指よか効果がある気がする。
寝れる。辞めとけ。酒を飲むな。それは気絶だ。
必須。最低温度で寝ている時間はつけっぱが私には一番合ってた。電気代はかかる。若干にぎやかになるので入眠時は1点減点したが、これら無しではもう寝付けない。
常夜灯付けてもいいから、不安定な光を避ける。暖房も効きやすくなる。朝の日差しも遮るので、寝起きには期待しない。
寝返りを物理的にしにくくなる。私は入眠のみやや改善したが、たまに鬱陶しくなって余計寝れない日もある。人を選ぶと思う。今は使ってない
ベッドと枕、基本が柔らかすぎない？？？フランスベッドの高密度連続スプリングのやつにエアウィーヴのトッパー敷いてる。枕はニトリのエアウィーヴもどきと高さ調整用の普通の綿のやつで2つ。いい寝具を買え
いいマットレス使ってるのにシーツが雑だともったいない。安物より圧倒的にシワがよりにくくて肌触りが良い。いいやつ買え。
値段じゃなくてheightの話。床は割と気温が安定しないので、ちょっと高めにしてある。たぶん効果はあるだろう、くらいの精神。正直台に金かけるならマットレスアップグレードしたほうがいい
床に布団敷いてた頃の話。すのこ1枚引いたらとても効果があった。床に体温が吸われないと全然ちがう。簡単に布団干しに変わるタイプのやつが湿気と万年床防止にもなってオススメ。でもベッドのほうがいい。
普段から湯冷ましとかルイボスティー飲んでるからか、あんまり効果は感じない。暖かいものを飲むのは実際良さそう。
疲れてるのに寝れない、ってときに飲むと結構効く。2日連続で使うとあんま効かない。頓服。
なんも変わらん。適量を毎日寝る前に飲んだが、1瓶終わるまで何一つ実感なし。飲まなくなっても何も変わらない。鰯の頭。
要は抗ヒスタミン剤。高いわりに効果は感じないし、なんか寝起きが悪化する。しかもすぐ抵抗ができるらしい。金出す意味ないから辞めとけ。
今季は一切頼らずにいけてるので、ずっとこれで生きていけるようになりてえ。
指向=orientationという言葉は「裏か表か」「ホモかヘテロか」という1bitで区別可能という前提に基づいているが、実際にはその間に連続的な広がりがあることがわかってきている。
すなわち、「ホモかヘテロか」という区別は、1bitではなく1次元の直線の中にプロットされる現象と解釈すべきである。
そこで「1次元でなくn次元ではいけないのか？」という疑問は当然出てくる。
実際、近年では「性自認」とか「生物学的性」とか「ふるまう性」といった言葉がしばしば使われているが、これもまた不十分である。
たとえば「アセクシャル←→非アセクシャル」という軸や、「バイセクシャル←→パンセクシャル」という軸は上記の言葉では表現しきれないだろう。
いい加減「指向と嗜好は違う」という言葉を万能視するのはやめて欲しい。「指向と嗜好は違う」という言明それ自体は正しいが、そんな議論はとっくに時代遅れ。そんなレベルの話はとっくの昔に通過している。
一方は正しい数学の文章である。もしかしたら間違っているかも知れないが、少なくとも数学的に正しいか間違っているかが判定できる。
もう一方は完全に出鱈目な文章である。数学的に何の意味もない支離滅裂なものである。
本稿を通して、kは代数閉体とする。
i: [x: y] → [x^2: xy: y^2]
を考える。iの像は、ℙ^2の閉部分スキーム
Proj(k[X, Y, Z]/(Y^2 - XZ))
と同型であり、iはℙ^1のℙ^2への埋め込みになっている。ℙ^2の可逆層O_{ℙ^2}(1)のiによる引き戻しi^*(O_{ℙ^2}(1))は、ℙ^1の可逆層O_{ℙ^1}(2)である。つまり、O_{ℙ^1}(2)はℙ^1のℙ^2への埋め込みを定める。
与えられたスキームが射影空間に埋め込めるかどうかは、代数幾何学において重要な問題である。以下、可逆層と射影空間への射の関係について述べる。
定義:
Xをスキームとし、FをO_X加群の層とする。Fが大域切断で生成されるとは、{s_i∈H^0(X, F)}_{i∈I}が存在して、任意の点x∈Xに対して、ストークF_xがO_{X,x}加群としてs_{i,x}で生成されることである。
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層で大域切断で生成されるものとする。d + 1 = dim(H^0(X, L))とし、s_0, ..., s_dをH^0(X, L)の生成元とする。このとき、Xからk上の射影空間ℙ^dへの射fが
f: x → [s_0(x): ...: s_d(x)]
により定まり、ℙ^dの可逆層O_{ℙ^d}(1)のfによる引き戻しf^*(O_{ℙ^d}(1))はLになっている。この射が埋め込みになるとき、Lをベリーアンプルという。生成元の取り方に寄らない定義を述べると、以下のようになる。
定義:
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがベリーアンプルであるとは、k上の射影空間ℙ^dと埋め込みi: X → ℙ^dが存在して、L～i^*(O_{ℙ^d}(1))となることである。
例として、ℂ上の楕円曲線（種数1の非特異射影曲線）Eを考える。閉点p∈Eと自然数n≧1に対して、因子pに付随する可逆層O_{E}(np)={f∈K(E)| np + (f)≧0}を考える。Riemann-Rochの定理より、
dim(O_{E}(np)) - dim(O_{E}(K - np)) = deg(np) + 1 - g = n
∴ dim(O_{E}(np)) = n + dim(O_{E}(K - np))
であり、楕円曲線上の正則微分形式は零点も極も持たないから、すべてのnに対してdeg(K - np)＜0であり、よってdim(O_{E}(K - np))=0。
∴ dim(O_{E}(np)) = n
n = 1の場合、O_{E}(p)はベリーアンプルではない。n = 2の場合も、よく知られたように楕円曲線は射影直線には埋め込めないから、O_{E}(2p)もベリーアンプルではない。n≧3のとき、実はO_{E}(np)はベリーアンプルになる。
この例のように、Lはベリーアンプルではないが、自身との積を取って大域切断を増やしてやるとベリーアンプルになることがある。その場合、次元の高い射影空間に埋め込める。
定義:
Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。十分大きなnに対して、L^⊗nがベリーアンプルとなるとき、Lをアンプルであるという。
与えられた可逆層がアンプルであるか判定するのは、一般的に難しい問題である。アンプルかどうかの判定法としては、Cartan-Serre-Grothendieckによるコホモロジーを用いるものと、Nakai-Moishezonによる交点数を用いるものが有名である。
定理(Cartan-Serre-Grothendieck):
XをNoether環上固有なスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがアンプルであるためには、X上の任意の連接層Fに対して、自然数n(F)が存在して、
i≧1、n≧n(F)ならば、H^i(X, F⊗L^⊗n) = 0
定理(Nakai-Moishezon):
Xをk上固有なスキーム、DをX上のCartier因子とする。可逆層O_{X}(D)がアンプルであるためには、Xの任意の1次元以上の既約部分多様体Yに対して、
D^dim(Y).Y＞0
kを体とし、Xをk上の代数多様体とする。Xに対して、環E(X)が以下のように定まる。E(X)は
E(X) = E_0⊕E_1⊕E_2⊕...
と分解し、各E_dはXのd次元部分多様体のホモトピー同値類からなるk上のベクトル空間であり、d次元部分多様体Yとe次元部分多様体Zに対して、[Y]∈E_d, [Z]∈E_eの積は、代数多様体の積の同値類[Y×Z]∈E_{d+e}である。この積は代表元Y, Zの取り方によらず定まる。各E_dの元のことを、d次元のサイクルと呼ぶ。
このE(X)をXのEuclid環という。Euclid環の名称は、Euclidによる最大公約数を求めるアルゴリズムに由来する。すなわち、任意のサイクル[Y], [Z]∈E(X) ([Z]≠0)に対して、あるサイクル[Q], [R]∈E(X)が一意的に存在して、
・[Y] = [Q×Z] + [R]
・dim(R)＜dim(Z)
が成り立つためである。ここで、[R] = 0となるとき、[Z]は[Y]の因子であるという。
dim(X) = nとする。d≧n+1を含むE_dを上述の積の定義により定める。すなわち、任意のサイクルz∈E_dは、Xのd次元部分多様体Zが存在してz = [Z]となっているか、d = e + fをみたすe, fと、[E]∈E_e、[F]∈E_fが存在して、z = [E×F]となっている。後者のように低次元のサイクルの積として得られないサイクルを、単純サイクルまたは新サイクルという。
このとき、k上の代数多様体X_∞で、任意の[Z]∈E(X)に対して、[X_∞×Z] = [X_∞]、[X_∞∩Z] = [Z]∈E(X)となるものが存在する。このX_∞をXの普遍代数多様体と呼び、E~(X) = E((X))⊕k[X_∞]をE(X)の完備化または完備Euclid環という（ただし、E((X)) = {Σ[d=0,∞]z_d| z_d∈E_d}）。完備Euclid環の著しい性質は、Fourier級数展開ができることである。
定理:
各dに対して、単純サイクルからなる基底{b_{d, 1}, ..., b_{d, n(d)}}⊂E_dが存在して、任意のf∈E~(X)は
f = Σ[d=0,∞]Σ[k=1,n(d)]a_{d, k}b_{d, k}
と表される。ただし、a_{d, k}はHilbert-Poincaré内積(f = [Z], b_{d, k})=∫_{b}ω^d_{X_∞}∧[Z]で与えられるkの元である。
Xとしてk上の代数群、つまり代数多様体であり群でもあるものを考える。このとき、Xの群法則はX×XからXへの有理写像になるから、完備Euclid環上の線形作用素を誘導する。この作用素に関しては、次の定理が重要である。
定理(Hilbert):
Xがコンパクトな代数群であれば、完備Euclid環に誘導された線形作用素は有界作用素である。
以下の定理は、スペクトル分解により単純サイクルによる基底が得られることを主要している。
定理(Hilbert):
己の射精ライフを振り返ってみると、人生最高の射精、絶頂の中の絶頂はオナホによるものだった。
「ボクのおなぺっと2」だ。
初体験というのは何でも感動を覚えるものだが、実はこのとき私は既にオナホ童貞を卒業していた。「モォ〜娘」によって。
―――
そのオナホはAmazonで売れ筋だったので、とりあえず間違いではないだろうと思って購入した。
しかし、挿入前のドキドキがピークで、多少感触が違う、いつも通りの射精だった。
オナホを洗いながら冷静に考える。
そう思った。
―――
その経験があったので、「ボクおな2」をAmazonで購入したときもさして期待はしていなかった。
パッケージも安っぽく、猫耳を付けた奇妙な体型の女の子が頬を赤らめている。
まぁ多少は暇つぶしになるだろう。
そう思いながら、付属のローションを己の一物と挿入口に塗りたくり、インサートした。
―――
つぷ、ぬるっ。
違いは挿入した瞬間から感じられた。
ペニスが感じられるだけの、粗すぎず繊細過ぎない丁度良い解像度のヒダが、鈴口付近、亀頭、カリ首、竿と、先端から根本まで刺激する。
「ヒダ×ペニス全体」と、快感が乗算され、手による1次元的な快感とは根本的に違って感じられた。
1突き1突きがこれまでの快感の上限を軽々と超えてきて、
まだ往復を重ねない内に射精感が込み上げてくる。
まだこの快感を味わっていたい。
その思いがストローク量を短くさせ、ついには全く動かせなくなってしまった。
快感による金縛りにあっている最中も、己のペニスは別の生き物かのようにビクビクとしている。
亀頭がこれまでになく膨らんでいるのがわかる。もうだめだ、決壊する。
―――
快感が頂点を迎え、腰全体に広がっていくのがわかる。
といっても数秒だが、快感が頂点にある中で、それが数秒持続するというのは物凄い。
最大限に張り詰めた亀頭に合わせ、「ボクおな2」は伸長する。
射精の寸前の快感時間を伸ばすために、締付けを加減してくれているかのようだ。
ペニスが律動している最中も、それを妨げない程度に、「ボクおな2」は優しく包み込み、伸縮してくれる。
恐らく手では不可能な芸当だろう。
禁欲したというのもあるが、物凄い精液の量を吐き出した。射精中に腰が跳ね、頭が真っ白になる経験は初めてだった。この経験はこれまでの射精を単なる排泄行為としてしまった。
―――
こんな駄文を書き散らかす気になったのは、
素人プロ合わせた様々なセックス、性器を用いない性行為を経て尚、
それが忘れられず、Amazonで商品ページを開くと、多少値段は上がったが、変わらぬパッケージ画がそこにあった。
＞遠くない未来に人類は滅ぶ。宇宙は消えてなくなる。もう誰も覚えてはいない。
アインシュタインの一般相対性理論的な世界観に立てば、この空間3次元・時間1次元の宇宙時空は、数学的には5次元空間中の歪んだ4次元超曲面になっていて、時間と空間が渾然一体になった複雑緻密な絵画のようなものだ。
そこには、宇宙の端から端まで、そして宇宙の誕生から終末までのあらゆる出来事が描かれており、それを外から眺めることができるような知性ある存在があったとしたら、すでに未来のことまでかかれた歴史書を眺めているようなものだろう。
未来に起きることはもう決まっているし、それを嘆くあなた自身も含めて宇宙と一体とも言えるのだ。
何も心配することはない。そのように宇宙を外から眺めるならば、時間の流れや未来の可能性といった全てのことが意味をなさないのだ。
202x年、ある朝、いつもの駅のチェックインカウンターに到着した俺は、荷物を預けて追加料金を支払った。
カウンターの横には例の棺桶が整然と置いてあるが、俺は適当に選んで潜り込み、いそいでイヤホンをつけた。
スマホも当然いじれないので睡眠不足を補うために有料の催眠音楽を聞きながら寝ることにした。
元気ならpodcastを聞くこともあるし、人によってはゴーグルをつけていろいろ楽しんでいるらしい。
昔の満員電車なんかよりこの方が自由もあるしプライバシーも守られるし、ほんと便利になったもんだ。
蓋はすぐに閉じられ、すこし衝撃があったあと静かになった。
積み込みが完了したらしい。俺の上下左右にも棺桶が積まれているはずだ。見たことないけど。
サイズによって料金が違うが、いろんなサイズが混ざってもうまく積めるんだろうか。太ってると大変だな。
1次元だとロッド切り出し問題とかカッティングストック問題とかいうんだっけ。2次元以上でも最近の量子コンピュータなら解くんだろうか。
