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はてなキーワード: 数学者とは
トップレベルの数学者になるには一日だいたいどのぐらいの時間をインプットに割くのが理想だと思いますか？
数学というのは研究の道具として使う知識や理論にしても、学びすぎても学びすぎることがないぐらい、時間が許すならいくらでも学ぶべきことはあると思います。
でもそれだと、先行研究を理解するだけで自分では何も発見を生み出さない人生になってしまった…なんてことになりかねませんよね。
だけどインプットせずにアウトプットなんて当然できない…できても車輪の再発明になるのがオチでしょう。
ようはこのあたり平均的なの学問以上に特に時間配分に関するバランス感覚が大切になってくると思うのです。
一体アウトプットとインプットの配分についてどれぐらいが価値のある成果を残すという目的にとって最も効率的で理想だと思いますか？
補足
最低でも修士課程に入って以降、あるいはポスドクの話です。受験に受かるにはみたいなどれぐらい勉強がいるかみたいな話ではないので勘違いしないでいただけると幸いです。
しかし、こういった商品は運びやすいように組み立て式になっており、しかもDIYしている気分になれるので一石二鳥なのです。
本棚を組み立て終わると、デスクの上に積んであった本の山をすっぽりと収めることができました。
というのも、私は数学愛好家なので、リファレンスとして数学書を大人買いしたいのです。
仕事柄、特に線形代数や離散最適化のような数学は使いますが、私が興味のあるのはそういった実用志向のアルゴリズムではありません。
むしろ取り組みたいのは、フェルマーの最終定理やラングランズ予想のような、一見すると実用からは遠いけれど、数学の本質を突くような深淵です。
数学には二種類の文化があり、アルゴリズム的な問題解決者と、深淵な理論を目指す者がいます。
プログラマーであればほぼ例外なく前者の立場になりますが、後者というのは「理論Aの理解のためにはBの理解が必要で、その理解にはCの理解が必要で、その理解のためには...」という階層が非常に深いものを表します。
私はいまだに、コホモロジーとはなんであるのかについてよくわからないのです。
コホモロジーをGPTに対し「小学生にもわかるように説明せよ」とやったものが以下です。
コホモロジーは、数学の中のとても難しい概念ですが、小学生にわかりやすく説明するために、一緒に想像の旅に出かけてみましょう。
まず、コホモロジーは、ある種の「形」や「パターン」を見つけるための道具と考えてみてください。例えば、あなたが宝探しをしていて、地図があるとします。この地図は、宝物がどこにあるかを示しています。しかし、この地図はただの紙切れで、宝物自体は地図にはありません。でも、地図を使って、宝物のありかを見つけることができますよね。
コホモロジーも同じようなものです。コホモロジーは、数学的な「地図」のようなもので、それを使って、数学の世界に隠された「宝物」を見つけることができます。この「宝物」は、数学の中の特定のパターンや形、構造などを指します。
しかし、コホモロジーはとても複雑で、大人でも理解するのが難しいです。だから、小学生のあなたがすぐに理解できなくても大丈夫です。大切なのは、コホモロジーのような難しい概念に挑戦する勇気と、学び続ける意欲を持つことです。これからも、色々なことに興味を持ち、学び続けてくださいね！。
これじゃあ、なにも理解していないのと同じでしょう。結局、深淵を理解するためには地道な努力が必要です。
理論構築者の観点からみると、数学は登山に似ていると思います。
コホモロジーにたどり着くためには、集合論、群論、位相幾何学、ホモロジー理論と順を追っていかなければならないのです。
これまでの私は、理論構築者ではなく、問題解決者だったので、「問題」という単位で物事を理解してきました。
アルゴリズムなので、問題を解くための前提知識はさほど必要なく、むしろ必要なのはIQです。
ところが、ラングランズプログラムや超弦理論といった深淵は、IQに加えて、山登りの体力や努力や時間が必須になります。
しかも、仮に山を登り終えたとしても、プログラマーの仕事としてなんの役にも立たないのです。
深淵に取り組むというのは、そういう廃人的な努力を必要とするので、職業的な数学者でない限り努力の誘因が失われてしまいます。
深淵な登山をして、誰にも認められることなく自己満足して、何が楽しいのでしょうか。
結局、理解した物事を外側に発信(例えば論文執筆)して社会との接点を作らなければ、本当の廃人になってしまうでしょう。
無限は様々な人たちを当惑させてきた。周囲の物理世界で観察されるものはすべて有限。
観測可能な宇宙の原子の数でさえ、想像を絶するほど大きいとはいえ、やはり有限。
数学はおそらく、無限とつながるための最も知性的で論理的な方法を与えてくれる。
数学的な無限理論は、19 世紀末にドイツの数学者カントールによってほぼ独力で作成された。
自分のアイデアを追求するために、カントールは途方もない勇気を示した。批判者たちに答えて「数学の本質はその自由にある。」と書いたのである。
数学では、選択された公理と論理規則に厳密に従わなければならない。
しかし、そのルールの中においては、本当に想像力を羽ばたかせることができる。数学には独断や偏見が入り込む余地はない。
カントールの考えは、無限大は数ではなく、むしろ集合の性質であるというものであった。
2 つの集合 A と B が与えられると、A から B への「写像(勝間さんじゃないですよ)」について考えることができる。
これは、 B の要素を A の各要素に割り当てるルールである。
カントールによって導入された重要な概念は、集合 A と B の間の1 対 1 対応である。これは、Bの各要素がAの1つの要素にのみ割り当てられるような、A から B への写像である。
Aが有限数の要素 (たとえば、n) を持ち、B が別の集合である場合、B にもn要素がある場合にのみ、AとBの間に1対1の対応関係が存在するという定義である。
ここで、無限集合の概念を導入できる。これは、Aと有限集合Bの間に1対1の対応がないような集合Aである。たとえば、自然数の集合 N={1,2, 3,…}は無限集合である。
ここまでの理論はかなり単純だ。しかしその後、カントールは驚くべき発見をした。互いに1対1対応していない無限の集合が存在するのである。
たとえば、集合Nと実数の集合Rの間には1対1の対応がないことがわかる。
カントールの対角線論証とも呼ばれる証明があるが、これはかなり美しい証明と言われている。
そこでは実数の集合と自然数の集合の間には 1 対 1 の対応関係がないということが示されている。実数の「無限大」は自然数の「無限大」よりも「大きい」と言える。
この 2 つの間に「無限」は存在するのか？ これは、数理論理学における最も深い問題の 1 つである、有名な「連続体仮説」につながる。
数学の書籍には、幾つかの類型が存在すると思考の深淵に耽る。まず、教育を志向したものがあり、確実にステップを踏みながら数学の底力を身につけることができると謳われている。次に、辞書的な性格を帯び、数学者自身が自らの難問の鍵を求めるために、特定の定理や概念を参照するのに重宝される。最後に、最先端のトピックを瞬時に理解するためのもので、その要点を端的に把握することが狙いとなる。従って、私はどのような目的で数学の書に触れるのか、自己を問い詰めずにはおれない。
おそらく、私は最新の知識を迅速に吸収したいと願っているのだろう。しかしながら、そのために必要とされる前提知識は、敷居が高くなることがしばしばある。このようなとき、インターネットの広がる海を航海すべきか、精緻な教材と向き合うべきか、迷いに迷うのである。
一般人でありながら、高度な数学の概念を理解するための近道、それはいったい何か。私は、フレンケル教授のような説明術が、多岐にわたるトピックに適用されることを夢見ているのかもしれない。プリンストン数学大全という書物が私の手元にあるが、これは数学の骨子を簡潔に把握するには素晴らしい資源であると感じている。しかし、定理は単なる暗記ではなく、数学を生きた魂とするためには、他の科学的領域との接点が必要不可欠だと考える。審美的な要素だけではなく、科学的な実験と理論を結びつけるのである。
確率論の領域において、私はゲームを編み出し、コンピュータを用いてそのシミュレーションを行う方法を通じて、実験を行うことが可能だと思っている。テキサスホールデムポーカーの最適戦略が解明されたように、理論的な興味に基づいてゲームを選択し、コンピュータによるシミュレーションを行うのである。経済における金融商品市場は、まさにそのようなゲームの一つだが、私は残念ながら、実際にお金を投資することには興味を持たない。もし実際にそのような分野で実験を行うのであれば、利益と損失のリスクを冒すことなく、安全なサンドボックス環境を用意するだろう。私の心の深奥に築きたいのは、理論的モデルを探求し、それをシミュレーションする世界なのだ。
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今日はエネルギー、角運動量...等々のオブザーバブルの例とシュレーディンガー方程式の関係を学びました。
ところで、Twitterである操作を行うことにより、数学に関連するおすすめが多く表示されるようになりました。
そうして、とある数学者の動画が表示されたので、じっくりと視聴しました。
数学が情報として表示されると、こう言われているような気分になります「政治のことは忘れなさい。数学の問題を解いていれば趣味にもなるし、平和だ」
世の中には様々な政治的問題があります。日本国内のインフレスパイラル、地球温暖化とカーボンプライシング、ウクライナ情勢、石油価格の問題などです。
数学の問題とは違い、これらは価値判断の問題です。排出権取引に賛成する人は将来世代にも考慮して温暖化を解決しようと言いますが、反対する人は短期的に「自分が生きている間」の利益だけを考えます。
あるいはインフレの問題は、インフレを抑えようという実質値を考慮する人は賃上げに反対しますが、名目値だけを見る人は賃上げを要求するのです。
価値判断の問題は、声の大きさで勝負が決まってしまう部分があります。フォロワーだけは沢山いる自称データサイエンティストが「コイツは意識他界系だ」などと言うと、そのレッテル貼りに同調する人が出てくるわけです。
そのような政治の話には、もしかしたら関わらないほうが良いのかもしれません。政治の話を中心的に行う人をミュートし、数学に引きこもりたい気分です。
しかし、寛容さが必要だと思うこともあります。数学の話をする人の中にも、肩書や知識の量でマウントを取るどうしようもない人がいます。こういう人を「見ないようにする」よりは、自分が寛容になるほうが手っ取り早いと思うのです。
つい最近、ある政治活動家が、「各々のミツバチは、ニューロンとして見るのが良い」と言っていました。
人間社会もそういうものかもしれません。誰かがイシューを発見したり、意見したりすれば、それはニューロンのように伝達され、物事が部分的にわかってきます。
そしてその情報は保存されます。一歩々々、何か知識の塊が進化を遂げているのかもしれません。
それとも、それは退化でしょうか。ある話題で社会が二極化した場合、どちらかが間違っているのではなく、異なる前提を持つ人が価値判断で争っているのかもしれません。
今日はとある数学者にインタビューしたポッドキャストを3時間視聴しました。
個人的に印象に残っているのは、数学は客観的と思われているけれど、数学をする際にはある種の心理学・哲学・主観などが関係するということです。
例えば有限系と無限系のどちらへ取り組むことを好むかというのは完全に個人的な主観です。
彼は「力と愛の間の関係」についても述べました。誰かを「力」で説得しようとする場合、愛が失われます。そしておそらく数学とはそうであってはならないということです。いくら「無限」が好きであるといっても、有限系へ取り組む人を説得しようなどと考えるのは、力のやり方です。
しかし彼は無限を好むことを表明していました。その方が多くの有用な事柄が出てくるからです。そして彼は数学を「アイデアの市場」と呼びます。
この考え方は、私にとってはRPGのダンジョンを思い起こさせます。ダンジョンの奥深くにはお宝が眠っていますが、深く行けば行くほど危険で信じられないようなことが起こります。
昨夜の話です。
少年と少女がひとりずついて、それぞれ反対の方角からお互いのほうに向かって自転車をこいでいました。
互いの距離がちょうど20マイルになったときに、ふたりは相手のほうに向かって全力でこぎ始めました。
それと同時に、少女の自転車のハンドルにとまっていた一匹のハエもまた、少年のほうに向かって飛び始めました。ハエは、少年の自転車のハンドルに到着すると、またすぐに少女のほうに向かって飛んで帰ります。
ハエは、このようにして、最終的にふたりの自転車がぶつかるまで、ハンドルからハンドルへ行ったり来たりしました。
それぞれの自転車は、時速10マイルの速さで一定して移動します。ハエはちょっと速くて、時速15マイルの速さで一定して飛びます。
