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はてなキーワード: 複素解析とは
数学の世界には無限の可能性が広がっている。無数のパターンやそれらに隠された法則。
三人の応用数学者が、自分の全霊魂を賭けてある難問に挑んでいる。
ドミニク・シュタイナーはベルリンの研究室で、論理的な一連の方程式を前にしていた。彼は数学が絶対的な真理を解き明かすものであり、そこには一切の曖昧さが許されないと信じていた。数式は純粋であり、その解は厳密でなければならない。
その日、彼のデスクに届いた論文は、アレクサンドラ・イワノフからのものだった。彼女はロシアの数学者で、非線形ダイナミクスを用いた社会変革のモデルを研究している。ドミニクはその論文に目を通し、数式の整合性や論理性を冷静に評価した。
パリでの国際数学会議で、ドミニクは自身の研究成果を発表した。壇上に立ち、彼は無駄のない言葉で論理の精緻さを示す数式の力を説明した。彼の発表は冷静であり、数学的な厳密さに基づいていた。聴衆は静かに耳を傾け、数学の普遍性に魅了されているようだった。
発表が終わると、アレクサンドラ・イワノフが手を挙げた。彼女は冷静に質問を始めた。
「シュタイナー教授、あなたの理論は数理的に整合していますが、社会の複雑な相互作用を完全に捉えているでしょうか？非線形ダイナミクスを適用することで、社会変革の予測可能性が高まると考えられませんか？」
ドミニクは一瞬考え、冷静に答えた。
「イワノフ教授、非線形方程式は確かに複雑系の挙動を捉えるには有効かもしれませんが、その安定性が保証されていない場合、結果は信頼できません。数学の役割は、ランダム性を排除し、真理を探求することです。過剰に変数を導入することで、モデルの頑健性が失われるリスクがあります。」
「そのリスクは承知していますが、社会変革は非線形な過程であり、そこにこそ数学の力を発揮する余地があると考えます。複雑系の理論に基づくシミュレーションによって、より現実に即したモデルが構築できるのではないでしょうか？」
ドミニクは彼女の意見に静かに耳を傾けた後、言葉を選びながら答えた。
「社会変革が非線形であるという見解は理解できますが、モデルの複雑性を高めることが必ずしも精度の向上を意味するわけではありません。安定した予測を行うためには、シンプルで確定的なモデルが必要です。」
「シュタイナー教授、イワノフ教授、両方のアプローチにはそれぞれの強みがありますが、私は数学的美学の観点から異なる提案をさせていただきます。リーマン幾何や複素解析の観点から、数式が持つ内在的な対称性やエレガンスは、解が収束するかどうかの指標となる可能性があります。特に、複素平面上での調和関数の性質を用いることで、社会変革のような複雑なシステムでも、特定のパターンや法則が見出せるかもしれません。」
「タカハシ教授、あなたの視点は興味深いものです。調和関数の性質が社会変革にどのように適用できるのか、具体的な数理モデルを提示していただけますか？」
「例えば、調和関数を用いたポテンシャル理論に基づくモデルは、複雑系の中でも安定した解を導き出せる可能性があります。リーマン面上での解析を通じて、社会的変革の潜在的なエネルギーを視覚化し、それがどのように発展するかを追跡することができます。エネルギーの収束点が見えるなら、それが社会の安定点を示すかもしれません。」
「そのアプローチは確かに興味深いですが、実際の社会では多数の変数が絡み合い、単純なポテンシャル理論だけでは捉えきれない動きもあります。その点を考慮すると、複雑系のシミュレーションとの併用が必要ではないでしょうか？」
「もちろんです。私が提案するのは、調和関数を基盤とした解析が複雑系のシミュレーションと補完し合う可能性です。単独のアプローチでは見落とされがちなパターンや収束性を明確にするための道具として捉えていただければと思います。」
三人は、お互いに目配せをすると別れを惜しむかのようににこやかに近付き合い、お互い談笑しながら出口へと歩みを進めた。
一方その日のパリは過去にないほどの快晴で、会議場の外ではどういうわけか、太陽の下で穏やかにほほえむ人々で溢れ返っていた。
↓どこの大学よ
経済学部の文系の人でも、リーマン曲線の概念を理解することは可能です。ただし、リーマン曲線は数学的に高度な概念であり、複素解析幾何学や代数幾何学などの専門的な数学分野における概念であるため、学習には時間と努力が必要です。
リーマン曲線を学習するためには、まず複素数や複素平面などの基礎的な概念を理解する必要があります。その後、代数幾何学や複素解析幾何学の基礎的な知識を身につけることが望ましいです。これらの分野は、経済学部で必修科目として扱われることは稀であり、自己学習や別の学部や大学院での履修が必要となる場合があります。
しかし、経済学部の文系の人でも、リーマン曲線が経済学において重要な役割を果たしていることや、リーマン曲線を用いた代数幾何学的手法が経済学に応用されていることを理解することは可能です。また、経済学において重要な概念やモデルを理解するためには、数学的な知識を身につけることが役立つため、数学的な概念に対して理解を深めることは重要です。
始めに言っておくけど「暗記数学」が間違ってるなんて言うつもりは全く！！これっぽっちも無いから！！！！
「暗記数学」という言葉に並々ならぬ熱意を持っているすっげぇぇぇぇぇぇぇぇぇぇぇ面倒くさい集団に絡まれたくないから！！！！！！
ただ大学に入れた人達が数学に関して「暗記」という行為をしていた場合に
その人にとっての「暗記」がやり方として大丈夫なものか非常に問われるのは確かだとは思うんだ
「暗記」が基礎からきちんと書いてある教科書を初めからしっかりと理解する行為を含んでいるのなら多少いい（文章を一字一句丸暗記する行為は違うからね）
後は自分で具体例を作って確かめる行為も「暗記」に含むなら大学でも通用するだろう（え、そんな行為も「暗記」って言う気なのマジで正気？）
でも「暗記」なんて行為のやり方が人によってはそれを含まない可能性も多分にある
残念ながら大学に入っちゃうとテストに突破できるための参考書なんて存在しない事も多いし過去問も無い事多いし
そもそも教官がそういう参考書・過去問があったとした時に全く対応出来ないようなテストをお出ししてくる事もかなり多いんだ大変だよね
理学部工学部に入っちゃった人達は線形代数・微分方程式・複素解析・集合位相をやらされる可能性が大いにある
それがきちんと理解出来なかったらもしかしたら留年・中退に結びついてしまうかもしれない
大学に合格出来たら、ちゃんと自分にとっての「暗記」が大学にも対応したものか見直しておいた方がいいと思うね
大学の数学が高校と違ってどうしようもならんなんてよく言われるけど、案外彼ら彼女らなりの「暗記」で数学を突破してきたからそんな事言ってるかもしれないね
「一致の定理」とは、ある条件（正則性）を満たす2つの関数が、ある条件（集積性）を満たす無限個の点で値が一致すれば、定義された面全体で値が一致するというもの。
つまり、いくら無限個と言えども、点でしかない値の一致が面全体にまで拡張できるのだ！！
この驚きがわかってもらえるだろうか。
「一致の定理」とは、微分可能な2つの関数がいっぱいある点で同じ値になるなら、全体で一致している、ということを言っているのだ。
これは例えば、ある日同じ行動をする2人の人間は必ず、これからもずっと同じ行動をしている、みたいなことを言っているのだ。
ある期間の行動をトレースするだけで、一日の行動がわかってしまうようなものなのだ。
そして、その「期間」はいくら短くてもいい。いくら短くても、その「期間」には無限の点が含まれるからだ。
つまり、行動が一瞬でも一致したら、その2人はもう永遠に同じ行動を共にすると言っているようなものだ。
「一致の定理」とは、本当に驚きの結果だと思う。
まず断っておくと、この投稿には望月教授およびその関係者を貶める意図は全くない。また、「IUT理論が間違っている」と言っているわけでもない。この投稿の主旨は「IUT理論ブーム」の現象の本質を明らかにすることである。
まずIUT理論は決して数学（特に整数論、数論幾何）の主要なブランチではない。「論文を読もう」というレベルの関心がある数学者でさえ全世界に数十人しかおらず、自称「理解している」のは望月氏とその一派だけ、そして理解した上でさらに理論を発展させようとしている研究者は恐らく数人しかいない。
もちろん、これは数学の研究分野として珍しいことではないし、研究者の数が少ないと研究の「格」が下がるなどということもない。しかし、abc予想を解決したというインパクトに比べれば、これはあまりにも小規模な影響でしかない。そういうものに、一般人も含めて熱狂しているのは、異常と言える。
繰り返しになるが、これはIUT理論そのもの、および望月氏とその関係者を貶める意図はない。
数学科の学部生や、数学の非専門家で「IUT理論を勉強したい」などと言っている人も多い。それは大いに結構なことである。どんどんチャレンジすればいいと思う。
しかし、専門的な数学を学ぶ際には、たとえば「可換代数と複素解析が好きなので代数幾何を研究したい」とか「関数解析が好きなので偏微分方程式や作用素環論を研究したい」というように、既存の知識や経験を手がかりにして専攻を決めるものではないだろうか。IUT理論に興味がある非専門家には、そういう具体的な動機があるのか。単に「話題のキーワード」に反応しているだけじゃないのか。
IUT理論の具体的な内容に関心を持つには、望月氏の過去の一連の研究に通じている必要がある。そうでない人がIUT理論の「解説」などを読んでも、得られる情報は
だけだろう。これに意味があるだろうか。そのような理解で「何か」が腑に落ちたとしても、それはその人にも、数学界にも何ら好影響を与えないだろう。
こんなことを言うと、「専門的な数学を学ぶには、その前提となる知識を完全に知っていなければいけないのか」と思われるかも知れないが、もちろんそんなことはない。時には思い切りも必要である。
しかし、望月氏本人が述べているように、IUT理論を既存の数学知識の類推で理解できる数学者は、自身を除いてこの世にいない。これは数論幾何の専門家を含めての話である。数論幾何の専門家は、一般人から見れば雲の上の存在である。そういう人たちでもゼロから勉強し直さなければ読めないのである。一般人がIUT理論の分かりやすい解説を求めるのは、1桁の数の足し算が分からない幼稚園児が微分積分の分かりやすい解説を求めるのの1000倍くらいのギャップがあると言っても誇張ではない。要するに、難しすぎるのである。
一方、数学界には既存の数学の伝統を多く汲んでいて、最新の数学にも大きな影響を及ぼしているような理論は数多くある。それらは、学部4年生や大学院生のセミナーで扱われたり、全学部向けの開講科目で解説されたりしている。数学を知りたい、または普及させたいと思うならば、そういうものを扱う方が適切ではないだろうか。
「IUT理論ブーム」が示すのは要するに、ほとんどの人間はある事実を説明した文章なり理論なりの本質的な内容に興味がない、ということだ。
彼らは、書いてある事実関係を論理的に読み解くよりも、抽象的な内容を脳内で自由に解釈することを好む。むしろ、理解できないからこそ、何か高尚なことが書いてあると思って有難がったり、満足感を得たりする。
この構造は疑似科学や新興宗教と同じなのである（IUT理論が疑似科学だと言っているのではない）。彼らはあくまでも自分の中で腑に落ちる雑学知識を求めているだけであって、数学を理解したいわけではない。そして、こういう人向けに数学や科学の知識を「布教」しても、社会への貢献にはならないと思う。
まずは
1. ガロア理論
2. 楕円曲線
この二つは19世紀以前の数学の最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います。
またIUTでは楕円曲線のガロア理論を用いて数の加法や乗法の構造を調べるというようなことをしています。
1. ガロア理論
ガロア理論は方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的な問題が解決されました。これを理解するためには代数学、特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります。
さらに整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論を勉強なさるのがよいと思います。p進体では（普通の対数関数と同じように）logを定義することができ、これはIUTでも重要な役割を果たします。類体論の特別な場合として円分体のガロア理論を理解すると、例えばガウスなんかの整数論の話もより深く理解できると思います。
2. 楕円曲線
楕円曲線は楕円関数論をある種代数的に扱うようなものです。楕円関数というのは、三次式の平方根の積分でこの積分を表すために導入された関数です。19世紀の数学でかなり研究されたものですが、これについては複素解析という複素数平面上で微積分をするということについて理解する必要があります。
さらにその後の発展として、リーマン面や基本群、ホモロジーといった概念が考えられました。基本群やホモロジーというのはトポロジーという分野で研究されているものですが、数論幾何でも重要な役割を果たします。
上の二つの話は独立したものではなく、相互に関連しあうものです。例えば、基本群とガロア群はある意味では同じものだと観ることができます。このような視点を持って整数の研究をするのが数論幾何という分野です。
まとめると、まずはガロア理論を目標として代数の基本的なこと、楕円関数を目標にして複素解析を学ぶのが良いと思います。
上に書いたようなことは数論幾何を専門にするなら学部生ぐらいで知っている話です。これらを踏まえてIUTにより近い専門的な内容を学んでいくのが良いでしょう。私もその辺りについて詳しいことは言えないのですが、例えば京都大学の星先生の書かれたIUTのサーベイをご覧になってみるのが良いのではないでしょうか。
宇宙際タイヒミュラー理論(IUTeich)を理解したいんだけど、どこから手を付けてよいのかさっぱりわからんのです。
自分は工学系の修士卒。学生の頃、数学はあんまり得意じゃなかったです。
なんでIUTeich理解したいと思ったかっていうと、ABC予想の話を読んで興味を持ったからです。
ただ数学科卒でもない自分にはどの分野からどうやって勉強したら良いのか見当もつかないのです。
最終目標はIUTeichの理解、サブ目標はABC予想の証明の理解ですが、お手軽にできるとは全く思っていません。
何年も勉強が必要なのは覚悟しています。IUTeichに向かう道中で数学の世界の奥行とか広がりを経験したいなと思っています。
[201809030125 追記]
わー、たくさんの反応ありがとうございます。
まさかこんなにコメントもらえるとは。頂いたブコメ、トラバは全部読んでます。ありがてえ、ありがてえ。
自分の現在の数学知識ですが、工学部の初歩的な数学しか知りません。
解析学、線形代数、複素解析、確率統計、微分方程式くらいです。
あとは物理系、機械系、電機系、情報系のカリキュラムをほどほどに勉強しました。（大学院の専攻は情報系です。）
一応サーベイは読んだんですよ、それで「やべえ、全然わからねえ……」状態になって増田に投稿したのです。
私がIUTeichを完全に理解できるなんて思っていませんが、科学の女王である数学の世界を深く知りたいなと思っていますし、
私が当初思っていたよりもずっと長い道のりみたいなので、暫定目標として5年後までにIUTeichの論旨くらいは理解できるようになっていたいです。（これでもハードル高いかな?）
（京大、数理解析研究所に入るのは素敵なアイデアですが、いろいろな現実の壁があり難しいですね。ただ、アカデミアの世界にはいつか戻りたいと思っています。）
言葉足らずな文章に丁寧な返答をくださった方々には感謝しかありません。
特に以下のお三方にはスペシャルサンクスとして私のハグを送ります。（私をガッキー似のJKだと思ってください。）
https://anond.hatelabo.jp/20180902154717
https://anond.hatelabo.jp/20180902175737
https://anond.hatelabo.jp/20180902232707
見かけたら生暖かい目で見守ってやってください。
「勉強ができることは頭の良さとは関係ない」という主張をよく見かける。この系統の主張を見るにつけ不愉快に感じる。それはその手の主張が過去の偉人の業績を否定しているからだ。勉強とは知識を吸収し、自分のものとすることである。知識とは現在正しいと認められている過去の偉人たちの思考の結果である。その知識を学び吸収するということは、過去の偉人と同じ水準の認識レベル・思考レベルになることと同じである。従って勉強ができることは頭の良さと関係があるのである。「頭の良さというのは何か新しいことを考え出す力だ」という反論があるかもしれない。確かにそれは一理ある。私も『頭の良さ』は『知識』と『新しいことを考え出せる力』で構成されると思っている。『頭の良さ』の定義論争にはいると終わりはないので、私の『頭の良さ』の定義についてはおいておき、ここでは仮に『頭の良さ』を『何か新しいことを考え出す力』としておこう。そう定義したとしても、勉強ができることと頭の良さには関係がある。現代では学問の水準が高くなり、知識なしにたいしたことは新たに考え出せないからだ。例えばなんの知識なしに微分積分法、複素解析、フーリエ変換などを考え出せるひとがいるだろうか？よくあるジョークに貧乏で学校に通えない子供が自分で連立方程式を考え出すというものがある。連立方程式程度ならともかくも、現在最低限必要とされる微分や積分、フーリエ変換などはいくら天才でも知識なしには一生かかっても考え出せないだろう。まして「なにかあたらしいことを考え出す」ことなどできないだろう。現在では過去の偉人たちの積み重ねによって学問の水準が高くなったために、『何か新しいことを考え出す』ために『知識』が必要不可欠なのだ。それにもかかわらず、勉強すなわち知識を得ることと頭の良さを無関係とするのは過去の偉人の業績を否定することに等しい。「勉強ができることは頭の良さとは関係ない」というのは「オイラーやニュートン、アインシュタインが考え出せたことは、誰でも予備知識なしに考え出せる」といっているに他ならない。
あと学問という話では？暗号理論を学問としてやるのなら数学は必須だろう。
あと情報科学でやってるのは情報伝送（情報理論・符号理論）だけでなく，離散数学，言語情報解析，数値解析，情報セキュリティ，数値シュミレーション，アルゴリズム，人工知能，情報解析，計算機言語，ビジュアル系，離散数学，生命情報，データベース，金融工学など多種多様なので一概には語れない。
画像認識の分野しかあんまよくわかってないが少なくともこの分野では，相関法，オプティカルフロー，エッジ検出，特徴点抽出，正弦波パラメータ推定，逆問題などがあるので微積確率統計応用解析信号処理は最低限必須。使える程度に数値解析などはわかる。データベースや言語解析の人たちだとマッピングなどがあるので幾何数学は必須。数値解析とかやる人たちは凸解析法とか真剣に考えてるよね。
学部のころはとりあえず代数幾何解析確率統計情報理論信号処理論制御論コンピューターアーキテクチャあたりは一通りやったよ。複素解析とかめんどくさかったなぁ。ルベーグ積分とか面白いよね。
あともっと詳しく知りたいなら情報工学なり情報科学，もしくは数理情報あたりでググってみればわかるんじゃないかね。
