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はてなキーワード: ユークリッドとは
円周率が3.14となるような空間は非ユークリッド空間であるはずなのでユークリッド空間下で導かれた定理は無条件に使えないという話
トラバ全部見てないので、多分同じこといってるひとがいるとおもうけど
円周率を円周と直径の比率として定義した場合、直径が大きくなればなるほど円周率は小さくなる。
直径が大きくなるって、なんだ。平面上でそんなことできないだろう！というのはそのとおり。
つまり、平面上でなければいい。
具体的なモデルを挙げると、おっぱいの上の乳輪の面積を考えてみよう。
理想的なつるぺた平面では乳輪の面積はπｒ＾２が成り立つが、巨乳の場合、乳の膨らみぶんだけ直径が曲線となり、平面と比べて直径は膨らむ。
つまり、同じ円周の乳輪の場合、理想的なつるぺた平面よりも巨乳おっぱい表面の方が直径が大きくなるわけだね。
他の具体的なモデルだと、
乳首の存在を考えて空間に凸してるところがあると、凸の出っ張り部分だけおっぱい表面における直径が大きくなるね。
陥没乳首の存在を考えて空間に凹してるところがあると、凹の引っ込み部分だけおっぱい表面における直径は大きくなるね。
つまり、問題文ではユークリッド空間であるとは明示されていないのだから、円周率が3.14を満たす空間はこっちで勝手に想定しても問題文そのものを満たすだろ、という話。
＞円周率が3.14を満たす空間はこっちで勝手に想定しても問題文そのものを満たすだろ
というのはおかしいだろ。問題文に書かれてないことを勝手に想定するなんて！
非ユークリッド空間を考えてもいいんだが、その場合「円の面積 = 半径×半径×定数」が無条件で成立しなくなるだろう。
元増田の追記にあるように円錐の表面を考えてかつ円の中心を固定すれば条件を満たすことが出来るが、その場合、他で習った面積の公式やら幾何の定理が軒並み使えなくなる。この問題のためだけに構築された世界だ。
「πを3.14と定義する」は、「ゼロで割ったら0になると定義する」に近いものがあるんだよ。それを公理とする世界を考えること自体は構わないけど、通常の世界(公理系)からその一点だけを変えるとあちこち破綻するので、色々な規則を追加しないとならないし、それが明示されてないとならない。そう定義すればいいじゃん、て人はそこまで考えて言ってるのかね。その世界ではΣ 1/(n^2) はいくつになるのかね(積はn=1以上の全ての整数)。
http://anond.hatelabo.jp/20160224232509
この問題見ていて思ったんだけど、
元増田(http://anond.hatelabo.jp/20160222182802)のブコメ読んでる限りでは、
と思っている人が多い気がする。
多分、こう考えている人たちは、「円周率を3.14とする」という文章を、
「太郎くんが出発した10分後に次郎君が出発したとする」とか、
「鉛筆が100円で消しゴムが120円だとする」とかの「とする」と同じように、
つまり、「円周率＝3.140000」と定義した世界で算数の問題を解けよ、と考えている。
もし仮に半径11の円の円周率がぴったり3.14だった場合の世界って、仮定（あるいは定義）できるんだろうか？
よくわからないんだけど、少なくとも円に内接する96角形の周長よりも、円周のほうが小さいってことでしょ？
(http://www.ndl.go.jp/math/s1/question4.htmlより
半径1の円に内接する96角形の周長は3+10/71 。つまり約3.140845）
それってどういうことなの？
まず、円周率が3.14ピッタリの世界で、円に内接する96角形の面積よりも円の面積が大きくなるのか、小さくなるのか、
それすら私にはわからないわけだが。
そんなわけわからん世界の円の面積を求めてそれを「こたえ」にしても良いのだろうか。
私には弦よりも弧のほうが短い世界で円がどんな形をしているのか想像もつかないんだけど。。。
これはモデル化だと思う。
でも、「円周率を3.14とする」は、実際、理論的に仮定したとすると
少なくとも、円周率が3.14ピッタリの世界は、想像ができない。
小学生にもできないんじゃないだろうか？
つまり、「円周率を3.14とする」は、モデル化しても全く、何一つ小学生にとってわかりやすくなっていないのだ。
先生の意図を汲みとってそれに即して答える技術は、国語の時間に培ってくれ。
と考える大人たちに、私は
円弧より弦が長い世界を当たり前のように小学生に押し付ける傲慢さを感じている。
ひどく独善的で、小学生の好奇心を馬鹿にし、踏みにじった理由でだ。
（ちなみに、「教育上の配慮から379.94と教えても仕方ない」と思う人たちのことは理解できる。）
私は今、「それでも地球は回る」と言ったガリレオの気持ちを痛感している。
彼は悔しかっただろう。私もとても悔しい。
この話題、「379.94でいいじゃん」派に聞きたいんだけど、子供が答案に380とか380.13とか書いたら×にするの？
半径11の円の面積を求めよって問題で、379.94よりも正確な380とか380.13とかって答えが×？
これってかけ算の順序問題と同じで、正しい答えでも教える側の都合で不正解にしてるってことじゃん。
半径11の円の面積は380.1326…なんだから、379.94を○にして380や380.13を×にするのに正当な理由なんてないでしょ。
「円周率を3.14と仮定してるんだから、379.94以外の答えは×」っていう人がいるけど、じゃあ円周率を3.14と仮定するってどういうことよ？
摩擦を0と仮定するならわかるよ。摩擦係数が0の世界を考えればいいんでしょ。
円周率の定義は円周を直径で割った値なんだから、どんな円でも円周率は3.1415…であって3.14じゃない。
それを無理やり3.14と仮定したところで、それはもう円じゃないじゃん。
円の面積を求めよって問題なのに、円の面積じゃない計算の答えを唯一の正解にするのが本当に正しいの？
仮定しているんだからそれに従えっていうんじゃなくて、円の面積を求めよって問題にその仮定が本当に妥当なものなのか気にしないといけないんじゃないの？
でも、3.14と仮定する意味が気になる小学生がいたとして、その説明はしんどくないか？
そう考えると、「円周率を3.14とする」は「円周率を3.14と近似する」って意味だって言ったほうが納得できると思うんだよ。
そしたらやっぱり379.94よりも380とか380.13とかのほうが正確じゃん？
でもはっきり言って小学生に有効数字まで気にして問題を解かせるのは難しいと思う。
だから問題に「ただし答えは一の位で四捨五入する」とか書いとけばいいと思うんだよね。
そうすれば半径11の円の面積は何かを真剣に考えた子だって正解になるでしょ。
子供が理解しやすいように問題を作ることは大事なことだと思うんだけど、380って書いた子が×にならないように配慮できるところはしないといけないんじゃないかな。
http://d.hatena.ne.jp/shi3z/touch/20150830/1440908973
ここのブコメにあるように、中高の数学を実学の踏み台として教えるというのは、間違っていると思う。
なぜならば、将来の純粋数学者や哲学者への教育を放棄しているから。
数学というのは概念の記号化、抽象化と推論規則の導入と演習として教えられるべきで、
経済学、物理学やプログラミングで使えるというのは抽象化の真逆を行っている。
もちろん、被教育者の全員が全員純粋数学者や哲学者になるわけではないので、
そうでない生徒に対するクッションとして実用例を出すというのは必要だと思う。
しかし、教育カリキュラムとしてはあくまで理学的、哲学的であるべきで、
かつその抽象化や推論規則のような理学的思考はどのような業務に就くとしても
ユークリッド公理系に基づいてしっかり教えられる教師が圧倒的に少ない。
で、結局実用に逃げて論理とは何かを義務教育で教えられていない現状。
Physics の青色ダイオードの中村・赤崎・天野の受賞や私戦予備陰謀疑いのほうがさわがしいかもしれませんが，ノーベル生理学・医学賞に関して．
John O' Keefe, May-Britt Moser, Edvard Moser の三名が 2014 年のノーベル生理学・医学賞を受賞した．受賞理由は脳の位置定位系を構成する細胞の発見に対してである．“for their discoveries of cells that constitute a positioning system in the brain”. 視覚や聴覚，触覚で得た物理的な環境のあるいは自己の位置に関する情報は脳内でどのように処理されているだろうか．力学的に考えると，質点と空間座標と時間の成分がありそうなものである．マウス生体での神経科学的な実験で，位置特異的に神経の活動（活動電位の頻度）が上昇する細胞が海馬でみつかった．最近の in vivo の実験で place cell の特性や grid cell の特性，視覚系・運動系との place cell 回路の連絡等がさらに解明され始めている．少し古い神経生理学に関連する著名な科学者では，James Gibson や David Marr が有名かもしれない．聴覚系での位相差からの音源位置推定，視覚系での網膜および外側膝状体 LGN，一次視覚野，高次視覚野の回路等感覚の認知の神経科学はよく調べられてきたが，受賞対象の位置定位系は脳内の感覚と運動を統合する上で重要な具体的な情報表現と情報処理にせまった分野になっている．
ごくごく戯画化した，脳の作動機構は，神経細胞は他の細胞と同様に細胞膜をもちその内外のイオン組成をポンプとチャネルとよばれる細胞膜にタンパク質で糖を燃焼してえたエネルギーを元に維持する．神経細胞が同士が突起を多数のばし接触点を多数つくりそこで，膜のイオンを電位差をより正にする化学分子を放出したり，より負にする化学分子を放出したりする．電位差が十分小さくなると多くの神経細胞では電位依存的なナトリウムイオンチャネルが活発に作動し突起を一次元的に減衰せずに伝わっていく活動電位をおこす．多くの神経系での通信と計算の実体は，この化学伝達と電気伝導の組合せで，静的な記憶は細胞の結合（シナプス synapses）が構成する回路に，シナプスの化学伝達特性や回路水準の論理演算やより高度な情報処理の結果であると作業仮説がたっており，具体的な情報処理の神経回路の機構を解明することは重要である．
位置定位系の回路を構成する要素の place cell は，脳の大脳の海馬とよばれる短期記憶や長期記憶化に重要な部位にあるアンモン角 (Cornu Ammonis)の錐体（神経）細胞 pyramidal neuronである．特定の場所で活動が上昇することが証明されている．脳内の空間情報処理で他の細胞とともにどのような回路をなしているか調べるには，place cell への入力と出力，place cell 間の直接的な結合をさらに調べることになる．O'Keefe, Moser 以後も熱心に研究されている神経科学の重要な問題である．海馬に出力する嗅内皮質 entorhinal cortex の格子細胞 grid cell（環境のスケールに応じた格子を表現するようなユークリッド空間中の格子のような役割を担う細胞）,各所の頭方位細胞 head direction cell，時間細胞 time cell も発見されている．物理学的な情報の表現と計算に必要な神経回路の構成要素がわかりその作動機構がわかってきそうな気がしてくる．21 世紀は，人体生理学のおそらく最大で最後の問題である脳の作動機構の同定にかなりせまってきており，先のことはよくわからないが脳のことは今世紀中にはだいたいのことがわかり，計算機でもっとよい知能が実装できそうな勢いである．
ノーベル賞は「物理学、化学、医学生理学、文学、平和、経済（ただし経済分野はスウェーデン国立銀行賞）」の分野で重要な業績を残した個人に贈られる．Physiology or Medicine の分野ではカロリンスカ研究所が選考にあたる．ノーベル賞は，ダイナマイトの開発生産でノーベルが残した遺産を基金としはじまった．現代では，数学の Fields Medal や計算機の Turing Award とならびたつような権威ある賞として，世界中で科学の営みに参加する人々・興味ある人々が注目する伝統儀式を続けるお祭りになっている．医学生理学の分野では生理学的に重要な機構の解明や臨床応用で人類の医学的な福利向上につながる発見などにおくられる．なかなか毎年趣味がよいとおもわれる．繰り返しであるが，選考委員会が示した，今回の授賞は，脳での空間認識の回路で重要な働きをする place cell 場所細胞の発見が理由である．
匿名ダイアリーにこんな言い訳も不要かと思うのだけれど，ノーベル賞委員会の公式アナウンスメントとFundamental Neuroscience か Principles of Neural Science や関連論文や日本語の教科書・一般書等を読めばよい．高校生物に毛が生えた教養程度の神経科学の知識しかない劣等の学部生ながら，今回受賞の対象になった O’ Keefe と Moser 夫妻の神経系における自己位置の表現の神経回路の重要な細胞というテーマに興味があるので駄文を書いた．
脳科学辞典 場所細胞 http://bsd.neuroinf.jp/wiki/%E5%A0%B4%E6%89%80%E7%B4%B0%E8%83%9E
そもそも空間に内積が入ってるというのは、内積から自然に誘導されるノルムや距離や位相がある空間だということだ。
ノルム、距離、位相だけでは記述できない、内積によって規定される構造というのは、角度であり特に重要なのは直交という概念だね。
直交性というのは、その（線形）空間の中である意味「お互いに独立」な要素を決める。
n次元ユークリッド空間なら、n本の直交なベクトルを定義することができて、空間中の点はそれぞれのベクトルの方向に、「他のベクトルの方向には影響を与えず」独立に動かすことができる。
逆に、平行なベクトル同士では、互いに完全に影響を与え合う形でしか動かすことができない。平行性も内積によって定義される性質であり、これを従属と言う。
n本以下の平行でない適当なベクトルの組を持ってきたときに、内積を使って直交したベクトルの組を得ることもできる。グラムシュミットの直交化とかで。
空間中の直交なベクトルの組を見出すということは、空間の性質をかなり詳しく知るということになっていて、そのための演算として空間に定義された内積は超重要。
ベクトルに関する操作は、和、スカラー倍、ノルム、そして内積くらいしか高校では使っていない。内積という操作を禁止すると何ができなくなるかを考えてみるといい。
ちなみに内積は標準内積と呼ばれる高校で習う定義に限るものではなくて、内積の公理を満たす演算ならなんでもいい。
これは逆に空間にどういう構造を入れるか？というユーザの意思や物理的要請から決まるもの。内積の定義が各点で変わるような空間もあって、これは空間が曲がっているということに対応する。
ユークリッド空間みたいに平坦で内積が一様な空間というのは特別な空間ということだな。
また、線形空間という概念は実はユークリッド空間に限ったものでもなくて、空間の元に対して和やスカラー倍、単位元や逆元が定義されていて、いくつかの性質を満たせばよい。
これは例えば関数をたくさん集めてきた関数空間についても成り立つことがあって、そこに内積を定義することでユークリッド空間のベクトルの議論と完全に同じ話をすることができる。
stackoverflowの質問: "How does the algorithm to color the song list in iTunes 11 work?"から。
答えから言うと、アルバムアートを入力すると下記のように出力されるアルゴリズムだそうです。
この質問に対して、回答者の答えがふるってる(awesome!!)と話題を集めてるようです。
なぜか？ Mathematicaを駆使して、試行錯誤をした処理の過程を詳細に書いているから。
RGB→YUVへの変換関数のために既存のAPIを知らなくて車輪の再発明しちゃった、テヘペロ、とか吹きましたけど、
色相を求めるのにユークリッド距離を使って、とても分かりやすく解説しています。
（全訳しようとしましたが、疲れました。終わり）
レス元増田はユークリッド空間上で議論してるから気持ち悪いんだよなあ。
あー…。つまり、六角形がゆとりにとっての円だとしたいのね。そうすると、六角形が円として定義出来るような円の定義を与えればいいのだと思う。で、考えてみた。
ノルム||が定義された空間Sで、あるc∈Sに対してある正の実数rがあり、図形{x | |x-c|=r}を、「空間S中の半径rの円」と定義する。
で、R^2上の六角格子がうまく座標表示できているか全く自信がないんだが、複素平面上の点の集合で定義すると、{k/2*(cos nπ/3 + i sin nπ/3) | k,n∈N}∪{k√3/2*(cos (nπ/3 + π/6) + i sin (nπ/3 + π/6)) | k,n∈Z}になった。Zは整数の集合。
移動するのはいいよ。本当は移動してないんだけど。各点はそのままなんだけどね。「ビニールシート」の理解がこの問題で一番ダメな理解の仕方なのさ。
どうせ例えるなら風船にしなさい。
で、ビニールシートにある点（太陽系ならそれでもいいけど）は、ビニールシートが拡大すると「外」の方角へ向かって動くわな。これダメな理解。
では、風船に点を打ったとする。そして風船をぷーーっとふくらます。さあ、点は「外」へ移動しましたか？ その場所にい続けてるだけでしょ？ そもそも球面における「外」はどこにあるのか。
この球面（ここからは風船じゃなく球面と呼ぶ）に、では２点、打ってみましょう。そして球面が膨張するとする。２点間はどんどん離れていくよね。でも２点は静止したままだ。
ここで球面の理解を「ゆがんだ平面（２次元）空間」と思おう。この面以外に世界はないと。こういうゆがんだ２次元のモデルは他にもたくさん考えられている。それぞれ「○○幾何学」というジャンルになるんだけど、我々がイメージする平面は「ユークリッド幾何学」に過ぎなくい。例えばユークリッド幾何学の公理としては「平行な２線は、どんなに延長してもぶつからない」とある。まあそういうものとして舞台となる平面座標を構築したわけだけど。ところが球面ではそうじゃないわけだ。地球の表面も球面だから、例えば君と僕がまったく並行に同じ速度で北に向かって走り出したとする。そうすると必ず北極でぶつかるんだ。球面はユークリッド幾何学の範囲外だからね。
現在、宇宙はこの「球面」が３次元になったものだと考えられている。だから「外側」という概念がないんだ。宇宙には中心はない、だから「外側」もない。
どうしてそう考えられているのか。
これにはいくつもの理由があるんだけど、分かりやすいものを一つあげると、「地球から観測できるほとんど星は、距離に比例した速度で遠ざかっている」というのがある。
普通に考えてこれおかしいよね。だって宇宙にどこか中心があって、そこを中心に膨張しているなら、地球から見て中心側にある星、外側にある星、地球と多少角度は違うが併走している横に見える星、すべて観測できる速度が違うはずなんだ。ところが実際はどの方角の星も地球からの距離にほぼ完全に比例した速度で遠ざかっている。
ここから考えられることは二つ。一つは地球が全宇宙の中心にあり、かつて地球のあった点でなにか大爆発があり、そこから飛び出た星が今も広がり続けている。ユークリッド幾何学的に考えたらこれしかないんだ。でも、これがありえると思うかい？
そこでもう一つ考えられることが先ほどの「球面」を３次元にしたモデルなんだ。球面のどこかに点を打って、そこを地球だと考える。そして他の点もバシバシうつ。そんで球面がバーっと広がると、あら不思議、地球から見て全ての星が距離に比例した速度で遠ざかっていく！
「空間が膨張」ということの正体はこれなんだ。だから宇宙には中心はない。中心がないから外がない。
ではなぜ、銀河がぶつかるか、という話。それは空間が膨張してるのに君と僕の距離がなぜ広がらないか、ということと関係している。答えは簡単。膨張する力より強い力で引き合ってるから。引き合う力はいくらでもある。分子同士の結合とか電気とか磁気とか重力とか。そんなこんなで引き合ってるから君と僕は離れないし地球も同じ大きさのままだし太陽系は同じ感覚でぐるぐるだし、銀河もぐるぐるなんだ。だから膨張する空間に流されずにくっついたまま独自のルートでうろうろ、そうしてるあいだにはお互いの重力でひきあって銀河同士が衝突なんてこともあるのさ。というか基本的に銀河同士はいつも重力で引き合ってて、その集まりで「超銀河団」てのを作ってる。超銀河団に集まっちゃうからそれ以外の空間てほんとうになんもないんだぜ。
で、「外」の話。外がないというけど、ちょっと考えを変えるとあるかもしれないという。それは「重力」の先にあるものなんだ。重力って何？ていうと、今ではこう考えられている。ゴム膜をピーンと張ったとして、そこに大きいビー玉を一個置く。するとビー玉の重みでゴムがゆがみ、その周りに小さいビー玉を置いても、最初に置いた大きいビー玉の方に転がっていってしまう。ゴムの膜しかない世界は２次元だけど、これの３次元バージョンが重力だと考えられている。
ではこれにものすごく重くて、だけどすごく小さいビー玉を置いたらどうなるか。膜が破けるかもしれないよね。そしてその瞬間そのビー玉の周囲にあったものは全部穴に吸い込まれていっちゃうよね。これの３次元バージョンがブラックホールで、その先に膜以外の世界＝「宇宙の外」があると考えられている。
ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学のどっちが正しいのかという課題。
概念としての「まっすぐ」や「直線」と、数学的・幾何学的な「まっすぐ」や「直線」の違い。
もし地表にそっている（地表から同じ高さにある）状態をまっすぐと呼ぶなら
現実世界においては、その場その場で都合の良い、扱いやすい「まっすぐ」を利用すればいいだけの話。数学的な正しさなんて求められてないから、物理的に成り立てばいいから。
端から端まで1000kmとかの広さがある部屋なら、地球の丸みに沿った平らな天井を作るほうがいいだろう。
作りやすい直線で作った部屋の、天井を無限に伸ばしたなら、それは当然宇宙空間まで届く。1000km四方の直方体な部屋を成立させるためには相当な技術が必要になるというだけの話。
曲がっているとはいわないが、地球という平面からみれば、それは歪んでいる。人によっては、球面というものが歪んでいるのだと言うだろう。何を基準に選ぶかということで、評価が変わる。
地球、球面というのは、そういう性質を持った平面で出来ている。
どうでもいいことだが、水平線までの距離は、身長2mの人で5kmである。多分、想像する以上に地球は丸い。でもその丸みを意識するような直線を建物に取り入れる必要はあるのか。
全長数十kmの、幾何学的に正しい直線で出来た岸壁とか作ったら、それはそれでいい教育資料になるんじゃないかと想像する。
大気圏を突き抜ける（両端は大気圏外で中央は圏内にある状態の）棒を作ろうとしたら，
まっすぐな棒ではなく，弧の形をした棒を作らないといけない？
それは問題がすり替わっている。棒の「太さ」を話題にしているのに、途中から角度の話題にしてしまっている。
これが「2本立てた棒」であれば、間隔は広がってゆく。で、棒そのものを太くすることに意味はある？
たとえば5m先を歩く人と100m先を走る人をカメラで追う。カメラを振る速度はおなじでも、相手の速度は大きく違う。星を観測したり、人工衛星を追跡するようなときには、まずこうした角度を第一に置く。
地面に直立する高さ数千キロメートルのビルだったら、先が広がった棒状の建物になってもいい。重力方向にまっすぐの柱を立てる必要があるから。
ふと考えると、軌道エレベーターは空から垂れ下がってる紐なので、それが2本並んでいたら上のほうと下のほうで間隔が違ってくるね。紐をたくさん使ってパイプ状の構造物にしたら、静止軌道と、地上付近では径が変わってくることになるはず。
