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はてなキーワード: ユークリッドとは
そもそも空間に内積が入ってるというのは、内積から自然に誘導されるノルムや距離や位相がある空間だということだ。
ノルム、距離、位相だけでは記述できない、内積によって規定される構造というのは、角度であり特に重要なのは直交という概念だね。
直交性というのは、その（線形）空間の中である意味「お互いに独立」な要素を決める。
n次元ユークリッド空間なら、n本の直交なベクトルを定義することができて、空間中の点はそれぞれのベクトルの方向に、「他のベクトルの方向には影響を与えず」独立に動かすことができる。
逆に、平行なベクトル同士では、互いに完全に影響を与え合う形でしか動かすことができない。平行性も内積によって定義される性質であり、これを従属と言う。
n本以下の平行でない適当なベクトルの組を持ってきたときに、内積を使って直交したベクトルの組を得ることもできる。グラムシュミットの直交化とかで。
空間中の直交なベクトルの組を見出すということは、空間の性質をかなり詳しく知るということになっていて、そのための演算として空間に定義された内積は超重要。
ベクトルに関する操作は、和、スカラー倍、ノルム、そして内積くらいしか高校では使っていない。内積という操作を禁止すると何ができなくなるかを考えてみるといい。
ちなみに内積は標準内積と呼ばれる高校で習う定義に限るものではなくて、内積の公理を満たす演算ならなんでもいい。
これは逆に空間にどういう構造を入れるか？というユーザの意思や物理的要請から決まるもの。内積の定義が各点で変わるような空間もあって、これは空間が曲がっているということに対応する。
ユークリッド空間みたいに平坦で内積が一様な空間というのは特別な空間ということだな。
また、線形空間という概念は実はユークリッド空間に限ったものでもなくて、空間の元に対して和やスカラー倍、単位元や逆元が定義されていて、いくつかの性質を満たせばよい。
これは例えば関数をたくさん集めてきた関数空間についても成り立つことがあって、そこに内積を定義することでユークリッド空間のベクトルの議論と完全に同じ話をすることができる。
stackoverflowの質問: "How does the algorithm to color the song list in iTunes 11 work?"から。
答えから言うと、アルバムアートを入力すると下記のように出力されるアルゴリズムだそうです。
この質問に対して、回答者の答えがふるってる(awesome!!)と話題を集めてるようです。
なぜか？ Mathematicaを駆使して、試行錯誤をした処理の過程を詳細に書いているから。
RGB→YUVへの変換関数のために既存のAPIを知らなくて車輪の再発明しちゃった、テヘペロ、とか吹きましたけど、
色相を求めるのにユークリッド距離を使って、とても分かりやすく解説しています。
（全訳しようとしましたが、疲れました。終わり）
レス元増田はユークリッド空間上で議論してるから気持ち悪いんだよなあ。
あー…。つまり、六角形がゆとりにとっての円だとしたいのね。そうすると、六角形が円として定義出来るような円の定義を与えればいいのだと思う。で、考えてみた。
ノルム||が定義された空間Sで、あるc∈Sに対してある正の実数rがあり、図形{x | |x-c|=r}を、「空間S中の半径rの円」と定義する。
で、R^2上の六角格子がうまく座標表示できているか全く自信がないんだが、複素平面上の点の集合で定義すると、{k/2*(cos nπ/3 + i sin nπ/3) | k,n∈N}∪{k√3/2*(cos (nπ/3 + π/6) + i sin (nπ/3 + π/6)) | k,n∈Z}になった。Zは整数の集合。
移動するのはいいよ。本当は移動してないんだけど。各点はそのままなんだけどね。「ビニールシート」の理解がこの問題で一番ダメな理解の仕方なのさ。
どうせ例えるなら風船にしなさい。
で、ビニールシートにある点（太陽系ならそれでもいいけど）は、ビニールシートが拡大すると「外」の方角へ向かって動くわな。これダメな理解。
では、風船に点を打ったとする。そして風船をぷーーっとふくらます。さあ、点は「外」へ移動しましたか？ その場所にい続けてるだけでしょ？ そもそも球面における「外」はどこにあるのか。
この球面（ここからは風船じゃなく球面と呼ぶ）に、では２点、打ってみましょう。そして球面が膨張するとする。２点間はどんどん離れていくよね。でも２点は静止したままだ。
ここで球面の理解を「ゆがんだ平面（２次元）空間」と思おう。この面以外に世界はないと。こういうゆがんだ２次元のモデルは他にもたくさん考えられている。それぞれ「○○幾何学」というジャンルになるんだけど、我々がイメージする平面は「ユークリッド幾何学」に過ぎなくい。例えばユークリッド幾何学の公理としては「平行な２線は、どんなに延長してもぶつからない」とある。まあそういうものとして舞台となる平面座標を構築したわけだけど。ところが球面ではそうじゃないわけだ。地球の表面も球面だから、例えば君と僕がまったく並行に同じ速度で北に向かって走り出したとする。そうすると必ず北極でぶつかるんだ。球面はユークリッド幾何学の範囲外だからね。
現在、宇宙はこの「球面」が３次元になったものだと考えられている。だから「外側」という概念がないんだ。宇宙には中心はない、だから「外側」もない。
どうしてそう考えられているのか。
これにはいくつもの理由があるんだけど、分かりやすいものを一つあげると、「地球から観測できるほとんど星は、距離に比例した速度で遠ざかっている」というのがある。
普通に考えてこれおかしいよね。だって宇宙にどこか中心があって、そこを中心に膨張しているなら、地球から見て中心側にある星、外側にある星、地球と多少角度は違うが併走している横に見える星、すべて観測できる速度が違うはずなんだ。ところが実際はどの方角の星も地球からの距離にほぼ完全に比例した速度で遠ざかっている。
ここから考えられることは二つ。一つは地球が全宇宙の中心にあり、かつて地球のあった点でなにか大爆発があり、そこから飛び出た星が今も広がり続けている。ユークリッド幾何学的に考えたらこれしかないんだ。でも、これがありえると思うかい？
そこでもう一つ考えられることが先ほどの「球面」を３次元にしたモデルなんだ。球面のどこかに点を打って、そこを地球だと考える。そして他の点もバシバシうつ。そんで球面がバーっと広がると、あら不思議、地球から見て全ての星が距離に比例した速度で遠ざかっていく！
「空間が膨張」ということの正体はこれなんだ。だから宇宙には中心はない。中心がないから外がない。
ではなぜ、銀河がぶつかるか、という話。それは空間が膨張してるのに君と僕の距離がなぜ広がらないか、ということと関係している。答えは簡単。膨張する力より強い力で引き合ってるから。引き合う力はいくらでもある。分子同士の結合とか電気とか磁気とか重力とか。そんなこんなで引き合ってるから君と僕は離れないし地球も同じ大きさのままだし太陽系は同じ感覚でぐるぐるだし、銀河もぐるぐるなんだ。だから膨張する空間に流されずにくっついたまま独自のルートでうろうろ、そうしてるあいだにはお互いの重力でひきあって銀河同士が衝突なんてこともあるのさ。というか基本的に銀河同士はいつも重力で引き合ってて、その集まりで「超銀河団」てのを作ってる。超銀河団に集まっちゃうからそれ以外の空間てほんとうになんもないんだぜ。
で、「外」の話。外がないというけど、ちょっと考えを変えるとあるかもしれないという。それは「重力」の先にあるものなんだ。重力って何？ていうと、今ではこう考えられている。ゴム膜をピーンと張ったとして、そこに大きいビー玉を一個置く。するとビー玉の重みでゴムがゆがみ、その周りに小さいビー玉を置いても、最初に置いた大きいビー玉の方に転がっていってしまう。ゴムの膜しかない世界は２次元だけど、これの３次元バージョンが重力だと考えられている。
ではこれにものすごく重くて、だけどすごく小さいビー玉を置いたらどうなるか。膜が破けるかもしれないよね。そしてその瞬間そのビー玉の周囲にあったものは全部穴に吸い込まれていっちゃうよね。これの３次元バージョンがブラックホールで、その先に膜以外の世界＝「宇宙の外」があると考えられている。
ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学のどっちが正しいのかという課題。
概念としての「まっすぐ」や「直線」と、数学的・幾何学的な「まっすぐ」や「直線」の違い。
もし地表にそっている（地表から同じ高さにある）状態をまっすぐと呼ぶなら
現実世界においては、その場その場で都合の良い、扱いやすい「まっすぐ」を利用すればいいだけの話。数学的な正しさなんて求められてないから、物理的に成り立てばいいから。
端から端まで1000kmとかの広さがある部屋なら、地球の丸みに沿った平らな天井を作るほうがいいだろう。
作りやすい直線で作った部屋の、天井を無限に伸ばしたなら、それは当然宇宙空間まで届く。1000km四方の直方体な部屋を成立させるためには相当な技術が必要になるというだけの話。
曲がっているとはいわないが、地球という平面からみれば、それは歪んでいる。人によっては、球面というものが歪んでいるのだと言うだろう。何を基準に選ぶかということで、評価が変わる。
地球、球面というのは、そういう性質を持った平面で出来ている。
どうでもいいことだが、水平線までの距離は、身長2mの人で5kmである。多分、想像する以上に地球は丸い。でもその丸みを意識するような直線を建物に取り入れる必要はあるのか。
全長数十kmの、幾何学的に正しい直線で出来た岸壁とか作ったら、それはそれでいい教育資料になるんじゃないかと想像する。
大気圏を突き抜ける（両端は大気圏外で中央は圏内にある状態の）棒を作ろうとしたら，
まっすぐな棒ではなく，弧の形をした棒を作らないといけない？
それは問題がすり替わっている。棒の「太さ」を話題にしているのに、途中から角度の話題にしてしまっている。
これが「2本立てた棒」であれば、間隔は広がってゆく。で、棒そのものを太くすることに意味はある？
たとえば5m先を歩く人と100m先を走る人をカメラで追う。カメラを振る速度はおなじでも、相手の速度は大きく違う。星を観測したり、人工衛星を追跡するようなときには、まずこうした角度を第一に置く。
地面に直立する高さ数千キロメートルのビルだったら、先が広がった棒状の建物になってもいい。重力方向にまっすぐの柱を立てる必要があるから。
ふと考えると、軌道エレベーターは空から垂れ下がってる紐なので、それが2本並んでいたら上のほうと下のほうで間隔が違ってくるね。紐をたくさん使ってパイプ状の構造物にしたら、静止軌道と、地上付近では径が変わってくることになるはず。
cf.) http://anond.hatelabo.jp/20080721222220
まあ、どのくらいの数の数学オタがそういう彼女をゲットできるかは別にして、「オタではまったくないんだが、しかし自分のオタ趣味を肯定的に黙認してくれて、その上で全く知らない数学の世界とはなんなのか、ちょっとだけ好奇心持ってる」ような、ヲタの都合のいい妄想の中に出てきそうな彼女に、数学のことを紹介するために覚えるべき10の事柄を選んでみたいのだけれど。（要は「脱オタクファッションガイド」の正反対版だな。彼女に数学を布教するのではなく相互のコミュニケーションの入口として）
あくまで「入口」なので、思考的に過大な負担を伴う21世紀の数学七大難問は避けたい。できれば学部レベル、難しくてもマスターレベルにとどめたい。あと、いくら数学的に基礎といっても義務教育を感じすぎるものは避けたい。数学好きが『三平方の定理』は外せないと言っても、それはちょっとさすがになあ、と思う。そういう感じ。
彼女の設定は
数学知識はいわゆる「高校数学」的なものを除けば、テイラー展開程度は使える
理系度も低いが、頭はけっこう良い
という条件で。
まあ、いきなりここかよとも思うけれど、「ブルバキ以前」を濃縮しきっていて、「ブルバキ以後」を決定づけたという点では外せないんだよなあ。ページも7000以上だし。
ただ、ここでオタトーク全開にしてしまうと、彼女との関係が崩れるかも。
この情報過多な原論について、どれだけさらりと、嫌味にならず濃すぎず、それでいて必要最小限の情報を彼女に伝えられるかということは、オタ側の「真のコミュニケーション能力」の試験としてはいいタスクだろうと思う。
アレって典型的な「オタクが考える一般人に受け入れられそうな証明（そうオタクが思い込んでいるだけ。実際は全然受け入れられない）」そのもの
という意見には半分賛成・半分反対なのだけれど、それを彼女にぶつけて確かめてみるには一番よさそうな素材なんじゃないのかな。
「数学オタとしてはこの二つは“検証”としていいと思うんだけど、率直に言ってどう？」って。
ある種の難問数学オタが持ってる公理への憧憬と、ヒルベルト教授の数学オタ的な考証へのこだわりを彼女に紹介するという意味ではいいなと思うのと、それに加えていかにもヒルベルト的な
「証明できないことを証明するカッコよさ」を体現する連続体仮説
の二つをはじめとして、数学オタ好きのする問題をちりばめているのが、紹介してみたい理由。
たぶんこれを見た彼女は「ドーナツだよね」と言ってくれるかもしれないが、そこが狙いといえば狙い。
この系譜の学問がその後生み出されていないこと、これが近代では大人気になったこと、欧州なら定理ラッシュになって、それが日本で花開いてもおかしくはなさそうなのに、日本国内でこういうのが生み出されないこと、なんかを非オタ彼女と話してみたいかな、という妄想的願望。
「やっぱりゲーム理論は役に立つものだよね」という話になったときに、そこで選ぶのは「囚人のジレンマ」でもいいのだけれど、そこでこっちを選んだのは、この概念にかけるナッシュの思いが好きだから。
断腸の思いで選びに選んでそれでもパレート効率的ではない、っていうあたりが、どうしても俺の心をつかんでしまうのは、その「部分最適戦略」ということへの諦めきれなさがいかにもオタ的だなあと思えてしまうから。
ナッシュ均衡による戦略を俺自身はダメとは思わないし、もう選択しようがないだろうとは思うけれど、一方でこれがアメリカや旧ソ連だったらきっちり冷戦にしてしまうだろうとも思う。
なのに、各所に頭下げて迷惑かけて部分最適戦略を選んでしまう、というあたり、どうしても「自分の利得を最大化してきたものが捨てられないオタク」としては、たとえナッシュ均衡がそういう概念でなかったとしても、親近感を禁じ得ない。概念自体の一般性と合わせて、そんなことを彼女に話してみたい。
今の若年層でエウクレイデス（ユークリッド）見たことのある人はそんなにいないと思うのだけれど、だから紹介してみたい。
キリスト生誕よりも前の段階で、数論とか初等幾何とかはこの原論で頂点に達していたとも言えて、こういうクオリティの数学書がエジプトで紀元前に書かれていたんだよ、というのは、別に俺自身がなんらそこに貢献してなくとも、なんとなく数学好きとしては不思議に誇らしいし、いわゆるマス北野を数学者と思ってる彼女には見せてあげたいなと思う。
フェルマーの最終定理の「設問の単純さ」あるいは「投げっぱなし感」をオタとして教えたい、というお節介焼きから見せる、ということではなくて。
「この余白はそれを書くには狭すぎる」的な感覚が数学オタには共通してあるのかなということを感じていて、だからこそアンドリュー・ワイルズの行き着く先はフェルマーの最終定理以外ではあり得なかったとも思う。
「一般化された予想問題を解く」という数学オタの感覚が今日さらに強まっているとするなら、その「オタクの気分」の源はフェルマーの最終定理にあったんじゃないか、という、そんな理屈はかけらも口にせずに、単純に楽しんでもらえるかどうかを見てみたい。
これは地雷だよなあ。地雷が火を噴くか否か、そこのスリルを味わってみたいなあ。
こういういかにも簡単に解けそうな作図をこういうかたちで問題にして、その証明が非オタに受け入れられるか気持ち悪さを誘発するか、というのを見てみたい。
9個まではあっさり決まったんだけど10個目は空白でもいいかな、などと思いつつ、便宜的に数学ガールを選んだ。
ブルバキから始まって結城浩で終わるのもそれなりに収まりはいいだろうし、ネット時代以降の数学萌えの先駆けとなった作品でもあるし、紹介する価値はあるのだろうけど、もっと他にいい作品がありそうな気もする。
というわけで、俺のこういう意図にそって、もっといい10個目はこんなのどうよ、というのがあったら教えてください。
「駄目だこの増田は。俺がちゃんとしたリストを作ってやる」というのは大歓迎。
こういう試みそのものに関する意見も聞けたら嬉しい。
http://anond.hatelabo.jp/20080104210824
元増田です。ブクマの方に熱烈なご意見を頂いたので、つらつらと何か書いてみたいと思います。
2008年01月07日nagaichi不可知論いってるなあ…。デカルトでも読んで解毒したら？例えば大河ドラマを見ながら、武田信玄が実在したかどうか私は確認できませんとか、この人は言うんだろうか？俺も10代の頃はそういうこと考えたけどね。
2008年01月06日me-can-say-jinでは、あらゆる候補者をあなたは見たことがないから投票しなければいい。金融もサービスもネットも直接みえないのだから嘘かもしれない。ふ〜んて閉じこもって社会の外側の目に見える物だけで生きればよいです。
2008年01月06日zu2
2008年01月06日cubed-l自分自身の専門分野以外なんでも同じ。それでも楽に判断を下せるものはあるんだが
2008年01月06日good2nd「客観的資料とやらから妥当な結論を導き出す専門的能力がない」ので、アポロが月に行ったことも、水が言葉に反応しないことも、なにもわかりません><
2008年01月06日buyobuyoあたまがわるいそんなことは物理でも化学でも地学でも程度の違いで似たような構造があることになぜ気がつかない。何で歴史だけそういう風にしたいの？そこにお前の悪しき願望があるんじゃね？
2008年01月05日hagakurekakugo歴史修正主義微妙
2008年01月05日BigHopeClasic
結局、南京事件についても、どこか不可知論的に頭に放り込んどくしかないと思うのです。私も純粋に真実を知りたい一人なのですが、仕方ありません。
我々は原則的に<<生活世界>>の中で生きていて、その世界の中で「妄想」や「物語」を頂いて生きている、というのは周知のモデルだと思います。マトリックスの世界ですね。本当は目の前にある存在すら１００％そこに存在すると確認することは出来ません。ただそこにそれが存在すると頭の中で妄想して生きている。化学の世界においても、原子や分子、そのまた原子核や中性子や陽子を実際見たことのある方は一人もいらっしゃらないと思いますが、あると妄想することを前提にその先の議論を進めているんですよね。物理の世界でもニュートン力学・相対性理論・量子論的に世界が出来ているという妄想が前提です。もっと言えば科学の前提にある数学、とりわけユークリッド幾何学上の公理からして幾分か妄想の域を出ないということもご存知であると思います。
ですが、ほぼ全てのことが妄想・物語であるから私は何も信じない！と宣言するつもりはなくて、社会の総意として「確からしい」とされている妄想・物語の大部分は私も受入れているつもりです。上に挙げた科学の諸理論であるとか、武田信玄がいたこととか、官僚機構や金融システムの存在であるとか。
ただ南京事件は決してそれらと同程度に、社会共有の妄想・物語とされているとは思えません。議論が過熱しているのがその何よりの証拠でしょうし、一般人にとっても「あった？」「なかった？」のどちらか分からないという程度が現状なのではないでしょうか。それは否定論者の宣伝が功を奏したのか、肯定論者の宣伝が足りないのか、その辺はよく分かりません。そして一般人としては、自力でどちらかの立場に到達するには、元記事にも挙げた１、歴史学的能力の点、２、資料収集の地理的・法制的制約等の点、で難しい。
ですからまあ、とぼける以外にないのです。
否定論者の方にとってはこういう態度は好ましくないのかもしれませんが、私のような一般人がとぼける必要もないくらいこの論点を「確からしい」ものとして物語化してほしいと思います。私もそれを受け入れられるよう体制をつくっておきますから、それまでは判断を留保しておくことをお許しください。
あんまり有意義なことかけなかったですね。でも書いたから上げておきます。
まじめに話し合おうとしているのか、中2病の大学生が二日酔を慰めようとしているのかによって対応は違うから。なんにせよ、元増田がゲーデルを知らないことはよく分かった。以下読み物。
数学の歴史は長いが、ユークリッドやピタゴラス以降、恐ろしく長い空白があった。その後、ニュートン、ライプニッツあたりから突如急角度の上昇が始まる。この後、オイラー、ガウスといった大天才がヨーロッパに続けざまに現れて17世紀から19世紀くらいまでは数学の黄金期と言って良い。こんな急激な進歩があったのは、数学、物理学、工学がかみ合って足並みをそろえて進歩を始めたことに原因がある。当初、数学は本当に純粋学問だったが、微分積分が物体の運動を予言できることからにわかに風向きが変わり始めた。
「反証可能性」「未知の事象の予測」「知られている事象との一致」といった厳しい原則に基づく科学的アプローチは天動説に反する観測的事実が蓄積し始めたことに端を発するといってよい。太陽を中心とする円形軌道に地球を諸惑星を置いたコペルニクスのモデルは、当時の精密化した天動説と大差ない誤差を持っていたが、太陽を焦点とする楕円軌道を提唱したケプラーは、きわめて精密に観測結果に一致した。
その後、ニュートンが現れ、ケプラーの法則を万有引力の法則と微積分で説明することに成功した。
このように近代数学と近代科学は足並みをそろえて歩き始めたのだが、この二つには大きな差がある。自然科学（いわゆる科学）は自然の事物を理解するための仮説の集合であるのに対して、数学とは最初に提示された公理とその操作方法に基づく演繹された知識の体系であるということ。つまり、数学は自然に根ざしていない。これは強調してもしすぎることはない点で、しばしば数学者はこの数学の自立性を以って自然科学を見下すことがある。
数学は公理とその操作からなる演繹的な体系と書いたが、もちろんはじめはそうではなかった。最初はものの数を数えるところから始まり、距離を測り、面積を測り、重さを量り、時間を計るためのツールだった。つまり自然に根ざしていた。が、19世紀後半に精密化が進んだ後、いったん数学は崩壊の危機に面した。それを救うために公理系を整理し、再出発して網羅的に数学の完全性、無矛盾性を証明しようとする動きがあらわれた。だが、最後にはゲーデルが現れ、完全且つ無矛盾な公理系はないと証明して、公理主義者たちをがっかりさせた。
数学は出発点こそ自然科学に密着していたが、今では（失敗したものの）公理に基づく独立した体系と考えて良い。そうしたところで、数学の出す答えが変わるわけではない。が、じっくりと考えたときに、自然現象がこうもうまく数学に従うという点については少し気味の悪さを感じざるを得ない。たとえば、速度を積分すると距離を算出できるというのは、科学的な仮説である。この仮説は徹底的に検証されているので安心して利用できる。だが、速度ときょりという自然現象がなぜ数学的概念である微分積分にこうも厳密に従うのか。突き詰めて考えると、それは時空間の線形性、時普遍性に支えられているが、それ自身がなぜそうなのか、誰にも分からない。
微分積分というのは公理から出発して導き出された数学の体系のひとつである。それ自身は自然科学的アプローチで反証する必要ない。なぜなら、数学の証明は自然科学の実験による「証明」とはまったく異質の厳密な証明だからだ。一方、自然科学の実験による「証明」は確からしさを積み上げることでしかない。
特定の宗教を信じているあいつらにとって、彼(あいつらが絶対しているもの。神でもしょーこーでもなんでもいい)が絶対なんだろう。
僕も信じているものはある。絶対かどうかは自信がないけれど、でも今までの経験から行くと信じるに値する。
このような自分が信じている公理や定義から導き出される定理も信じている。
でもあいつらにとっての公理・定義は彼が言ったことなんだ。
もし僕がそんな奇跡おこりっこないよと言っても、あいつらは公理・定義は正しいからきっとその奇跡は起こるって言い張るだろうし、
僕がそんな奇跡起こってないよと言っても、あいつらの目にはその奇跡が起こっているように見えているに違いない。
だって、世界を構成するのは彼が発する言葉が元なのだから。
そもそも、あいつらにとてそれは奇跡ですらないはずだ。
僕があいつらと同じように特定の宗教に入信するときがあるとするなら、
それはその宗教の教えの中に矛盾のない公理・定義を見出したときだろう。
そこからきっと僕は定理を考えるだろう。
そして、きっと僕はその宗教の原理主義者になるだろう。きっと。
ほんとうにすごいと思うのは、世の中の宗教のほとんどは少なからず矛盾がすでに発露しているのに
それを見過ごしてそのままその宗教を信じている人が多いということだ。
僕には耐えられない。
だけど、だから僕は特定の宗教の教徒にはならない。なれない。
