■[2/24追記]　円周率の問題に便乗する。半径11の円の面積はいくつか？

小学校の円の面積の計算の問題でバズっているのを見かけたので便乗してみる。

初増田なのでなんかおかしなことがあったらごめんと先に誤っておく。

そして、わたしは計算が嫌いで物理と数学から逃げ続けた生物系研究者で、特に円周率に対して深い知識があるわけではないことも付け加えておく。

最後に追記あり　12/24 2:30頃追記

①．バズった問題の概要

詳細はリンク先を確認していただけると良いと思う。

http://togetter.com/li/940931

簡単に経緯を説明する。

ある人が小学生の宿題を見ながら以下の疑問を提起した。

「半径11センチの円の面積を円周率を3.14として計算した時の答えは、11*11*3.14=379.94は厳密には誤りで、

有効数字3桁で380の方が正しいのではないか？」

これに端を発して賛否両論様々な議論が巻き起こったのである。

（ちなみに、半径11の円の面積を5桁の有効数字で表すと、正確には380.13である。）

②「379.94は誤り」派の意見

　円周率3.14は、実際には3.141592…という割り切れない値を3桁で表した概数である。

　有効数字3桁で算出された計算結果は、やはり有効数字3桁であるから、正しくは小数点以下一桁目の9を四捨五入して380が正しい。

　なお、379.94と回答した場合は、実際の円の面積とは異なる値となる。これをあたかも真の円の面積のように誤解してしまう可能性があるので、

　この教育法は小学生にとって有害である

　小学生に有効数字の概念を教えるのは難しいので、設問に「上から三桁の概数で答えなさい」と入れれば万事解決

③「379.94でいいじゃん」派の意見

　小学生に有効数字を教えるのは難しい。

　設問に「円周率は3.14とする」と書いてあるので、「円周率は3.1400000…」を仮定して解けば良いのではないか

　あるいは、もう円じゃなくて円周率3.14000のなんかの局面を仮定すれば良いのではないか。

　そもそも3.14だろうが3.141592（以下略）だろうが大して結果は変わらない（0.19なんて誤差）。これくらいの誤差は無視していい。

　算数と数学や物理は違う。算数の世界では3.14で良い。

　なんで理系はこういう細かいことを指摘してドヤ顔しているのか。こういうことをするから小学生は算数を嫌いになる。

④私の意見

　私自身は「379.94は誤り」派です。おそらく理系の人の多くはそうだと思いますが。

　「379.94でいいじゃん」派の意見もざっとまとめてみましたが、もし足りない点等ありましたら後で追記するので

　教えて下さい。

　以下に、「379.94は誤り」という意見を支持する理由を書きます。

④−１　円周率を3.14000000…と「仮定」するのはありえない。

　円周率はπです。いつの時代も、どの世界線でも、関孝和が計算しようがアルキメデスが計算しようがライプニッツが計算しようがオイラーが計算しようが

　そろばんで計算しようがスパコンで計算しようが円周率は割り切れません。

　アルキメデスは古代ギリシア時代にあって、おそらく円に内接、外接する正96角形の周の長さを求める式から既に円周率が3.14の概数で表せることを導いていました。

　しかし、古代から円周率の計算に取り組んできた誰もが、円周率を割り切れる数として扱った人はいないのです。

　人類が何百年もの時間をかけて漸く得ることに成功したこの円周率を、「あ。3.140000でいいっすね」とか、たかだか小学校教諭の分際で勝手に変えることはできないのです。

　ぶっちゃけ、言語は変わっても、数字の意味は不変です。これは自然界の法則だからです。

④−２「仮定」の結果得られたものが「解」になることはありえない

　仮定はあくまで仮定です。それを元にした結果が解になることはありえません。

　例えば、私は生物学者なのですが、「STAP細胞があると仮定して」実験を行って得られた結論は、信用に足るものになるでしょうか？

　答えはわかりきっていますよね。

　ちなみに、「円周率を3.14として」というのは「円周率を3.14と（近似）して」という意味です。

　あと、比較として用いられていた「摩擦係数を0として」というのは仮定ではなくて想定です。地球上では作るのが困難ではありますが、

　摩擦係数を0.00に近似できるくらいの環境なら作れるでしょ？その環境を想定してるんです。

　ありえない事柄を仮定するのはダメです。

　仮定は必ず検証とセット。検証できない事柄を仮定して、

　それをあろうことかそのまま解にするなど、あってはならないことです。

④−3　本当にちょっとの誤差ですか？

　私は実は、この議論のキモはここだと思っているのです。

　結論から言うと、私は、小学生が「どれくらいの精度で円の面積を求められるか？」を、

　誤解してしまうという点が、「円周率を3.14として有効桁数5桁まで求めてしまう」ことの

　最大の欠点だと思うのです。

　ぶっちゃけ、日常生活で使うレベルでは、

　「んー、円周率3.14。半径11の円なら面積は121×3で363。

　これよりちょっと大きいくらいだからまぁ、370くらいかなー？（正確には380です。）」

　くらいの認識で良いのです。普通に生きていけます。

　これくらいの精度で良い人間にとって、0.19（380.13と379.92の差）の違いなんて

　もう誤差でしょ。そこに異論は無いのです。

　しかし、小学生にとって、小数点以下二桁ってそりゃもうすごい精度ですよ。

　平方ミリメートルの更に小さい位まで算出できるのですから。

　半径の長さ11.0 cmと！魔法の数字円周率3.14さえ用いれば！

　なんとなんと、数十平方マイクロメートル単位で円の面積が求まってしまう！

　→実際には世の中そんなに甘くないわけですよ。

　　せいぜい平方センチメートル単位でしか求まんねえよおまえと。

④−4　半径1111 cmの円の場合は？

　では次に、半径1111 cmの円の面積を円周率3.14で求めてみよう。

　1111*1111*3.14=3875767.94

　はい、9桁まで求まりました。

　すごいですね～、どれだけ桁が増えても小数点以下二桁まで求まります。

　ってんなわけあるか！！！！

　1111*1111*3.141592654=3877733.79

　これが正解。 ね？だいぶ違うでしょ？

　でも、有効数字3けたなら、3880000。これならまぁだいたいこんくらいかーってのがわかる。

④−5　ちょっと趣向を変えて、イメージしてみて。

　④−３で、「うわぁ、こいつめっちゃ細かいコト言ってるよ、これだから理系は。。。」

　て思ったあなた、イメージしてみてください。

　目の前にすご～く解像度の悪い写真があります。

　緑色の背景に、なんか動物っぽい白いものが写り込んでいますが、何の動物だかよくわかりません。

　馬みたいな気がしますが、もしかして犬とか猫かもしれないし、

　もしかしたら建物かも知れない。。。

　円周率3.14を使って半径11の円の面積を379.92と主張することは、この白い物体を「絶対馬だ！」って言っているようなものなんです。

　有りもしないもの、本当にそうなのかよくわからないものを「絶対そうなんだから！私見たんだから！」と言っているどこかのOさんのようなものなのです。

⑤最後に。驚いたこと。

　私は最初、このツイート見た時、「まぁそんな細かいコト言わなくても。。。」

　って思っていました。「379.94でいいじゃん」派的な考えだったわけですね。

　その一番の理由は、

　「3.14の次の値が１である」ということを知っているからです。

　通常の概数だと、「概数で3.14」と言うのは、「3.135から3.144」までを想定してるんだけど、

　実際は、3.141…と続いていくことをみんな知ってるから、

　まぁ大体3.14ってのはあってるんですよね。

　でも、読んでいるうちに考えが変わりました。何故かと言うと、

　「結構多くの人間が、円周率、有効数字の概念とその問題点を全く理解していない」

　ことに気づいたからなんです。

　挙句の果てには円周率を「3.140000」と「仮定」すればいいじゃん。

　という人まで出てくる始末。

　それでこの問題についてよくよく考えてみた結果、

　「これはやっぱり、小学校であっても379.94を正解とするのはよくないな。。。」

　と思ったんです。

　このエントリーを読んでよくわからなかった人も、これだけは覚えていってください。

　I.　数学とは、科学とは、世の中の真理を追求する学問であり、

　　人間に都合よく結果や値を変えることはできない。

　　πは3にも3.14にもならない。

　II. 仮説は検証とセット。検証できない仮説を設定しては行けない。

　　仮説に基づいた結果を解にしてはいけない。

　さて、私はすご～く算数も数学も苦手だったので、

　逆に役に立てるかと思い、書かせていただきました。

　オモシロイと思って読んでいただければ幸いです。

　こういう議論ができるのって、素敵ですよね。

追記

たくさん反応があって驚きました。読んでくださった方々、ありがとうございます。

いろいろご指摘があり、自分自身勉強不足を痛感した点もありますが、

反論できるところは反論しようと思います。スター多めなブコメ中心に記していきます。

『ちなみに、「円周率を3.14として」というのは「円周率を3.14と（近似）して」という意味です』ここが違う。勝手に行間を埋めるのは科学者たる態度ではない。

違わないです。なぜなら「円周率」と書いてあるからです。そして、小学生は、「円周率」が割り切れない数であることを知っているからです。

勝手に行間を埋めたわけではありません。

もし、「円周率を3.14として」というのが「円周率を3.14と（近似）して」という意味ではなかった場合、

勝手に人間様が円周率を3.14ぴったりであると定義しなおしていることになり、それこそ数学への冒涜です。

11も1.1x10って表記すべきか。1と1.0が違う意味なのは工学であって算数や数学ではない。

そうですね。この表記をさせるのは流石に難しいです。

私は、「4桁目を四捨五入して3桁の整数で答えなさい」と、問題文に入れるのが良いと思います。

問題文でそう仮定したんだから問題文の外のいらん知識は用いない。

円の面積を求める問題ではなく、「11*11*3.14を計算せよ」というなら答えは379.94です。

でも、円の面積の求め方は、残念ながら小学校の先生が定義を勝手に変えられるものではありません。

真実は、この場合はたったひとつで、小学校の先生のほうが間違っています。

じゃあ3.14も想定でいいじゃん。すでに言葉遊びになってるな。

一辺の長さ3.14 cmの長方形を想定することはできますが、円周率3.14ぴったりの円を想定することはできません。

なぜならそれは円では無いからです。

じゃぁ円じゃなくて周率3.14ぴったりの変な局面を求めよといえばいい、と思うかもですが、

なんで小学生がそんなわけわからんものの面積を求めなければいけないのでしょうか？

半径11なんだから有効数字は2桁。

有効桁数がと言っている人たちは九九をどう教えるわけ？2*5=10、2*6=10、2*7=10って教えてんの？

私は、小学校で扱う整数は純数学的には整数だと考えていたので、11.00000…を想定していました。

もちろん11が有効桁数二桁の概数なら、380の3桁目を四捨五入することになります。

九九で扱う数は整数ですので、純数学で表すと、2.0000*6.0000…=12.0000…です。

（ってなんでこれにスターが一杯付いてるの！！？）

「仮定」の結果得られたものが「解」になることはありえない→僕の好きな背理法を否定しないで。　理系といいつつ知識不足。中学生から勉強し直すべき。

私も背理法大好き。もちろん背理法も考慮に入れたうえでこの文章を書いた。

だからこそ仮定と検証はセットだと主張した。

背理法では、仮定の結果得られたものが矛盾する→だからこの仮定は間違っているというプロセスをたどる。

仮定の結果をそのまま解としていないことに注意してほしい。

有名なのはルート2が無理数であることを証明する奴だよね。

ルート2が既約分数p/qだと仮定して、結果的にはpとｑが共通の約数を持つことで矛盾を証明する。

私は、例えば、

「4は奇数であり、2n+1で表せる」と仮定する。

このまま「(2n+1)*(2n+1)=4n^2+4n+1 なので、奇数の二乗は必ず奇数。つまり4^2=16は奇数である」

という結論を導いたら誤りだということを言いたかった。

この場合、間違った仮定から間違った結果が導かれているのがわかると思う。4も16も2で割り切れる偶数だ。

公理は検証(というか証明)できない仮定だよ。

スターは少なかったがこれについてはぐうの音も出ない。

公理と仮定について理解が足りなかった。正直すまん。でも、やっぱりπを3.1400000と仮定するのはダメだと思う。

なぜなら観測的にもありえない上に、後から検証もされないから。

教育学が何故それを許容しているのかを「科学に不誠実だから」という仮定で推論しているような

あまりコメントの意味が分かってないかもしれませんが。

別にπを3.14と近似することについては異論は無いです。

ただ、有効桁数3桁で算出される結果に5桁を求めるのは無意味だし間違っているという主張です。

「3.14と仮定して」とあるんだから、「3.14」の次の桁など問題文中の世界には存在しない。「3.14000」なんてどこから出てきた？

「a=3.14と仮定して11*11*aの解を求めよ。」だったらこんな議論にならないのよ。

円周率だから、3.14ぴったりじゃだめなの。ちなみに、3.14の次の桁は、あなたの頭のなかには存在しなくても、この世界には存在するのだ。残念ながら。

「100と仮定して」なら答えは「12100」だ。お前は間違ってる。

半径11の円の面積は12100だと主張するのか?　私は、あまり自身が無いけど、間違っているのはあなたなんじゃないかと思うな。

でも、円周率が100の世界を仮定して検証するとしたら、それはそれで数学への扉を開いているのかも。

たぶん問題の意図は計算の仕方を問うているのであって、解の精度ではない。

もちろんそう。問で聞かれているのは公式を覚えているかどうか？

だけど、3桁目までしか信頼できなくて、残りの桁は全部意味がないことを、おとなになっても理解できない人がたくさんいることが分かったので、

問題だなと思ったわけ。

実際求められるよりも遥かに細かい精度で円の面積が求まると誤解するのが恐ろしい。

実際、多くの人が半径11の円の面積は？って聞いたら379.94と答えると思う。間違ってるのに。

おわりー！

結論としては、「3桁の概数で表わせ」と問題文に付け加えるのが一番しっくり来る。

これを小学生のうちに叩き込んでおけば、

中1の有効数字の概念もすんなり受け入れられるのではないかな？

以下おまけ

ところで、問題が2*2*3.14を問うていた場合の答え方はおよそ12？　12.56？　1*1*3.14の場合は？

半径2、または1をピッタリ2.000、または1.000と答えるなら、

半径2の面積は12.56の6を四捨五入して12.6。半径1なら3.14と記すべき。

1とか2を一桁の概数として表すなら、

半径2の円の面積は10。半径1の円の面積は3と記すべきだとおもう。

屏風|っ［円の中心角が約359.8度(=360*3.14/π)の円錐状空間］

知りませんでした。もっと知りたいのに検索かけても出てこなかったので、

ソースいただけると嬉しいです。

Permalink | 記事への反応(35) | 18:28

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