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はてなキーワード: 円周率とは
何でもかんでも一括りにする人がいる。そういう人に遭遇すると少し疲れる。
例えば、
・B型は〇〇だ
・韓国人は〇〇だ
・テレビを見る奴は〇〇だ
・アイドルは〇〇だ
・教師は〇〇だ
B型も韓国人もテレビを見る人もアイドルも教師も、知的で思慮深い人だって沢山いるじゃない？何で一括りにして酷いレッテルを貼るのだろう。Simple is the best.って感じなのか？
あるカテゴリーにおいて、たまたま悪人や嫌な人がいたからといって、そのカテゴリーに属する人全員を一括りにして「はい、お前ら全員ダメ！」と決めつけるのは良くないだろう。
シンプルに一括りにした方が分かりやすいかもしれないが、シンプルにしすぎると傷つく人が出てくる。これは、円周率をシンプルに3としてしまうよりもずっと問題だ。円周率3どころの話じゃないくらい、世の中に歪みを生む。
「良い人もいるんだ」と気づける目ざとさはとても大切だ。
有害なものは目ざとく見つけるじゃない？例えば食品に異物混入していたら目ざとく見つけるじゃない？その目ざとさを、あるカテゴリーの人間を見る際にも発揮する人が増えたらなと思う。
算数の問題「円周率を3.14とするとき、半径11の円の面積を求めよ」の解を379.94とするのは誤り？ - Togetterまとめ
[2/24追記] 円周率の問題に便乗する。半径11の円の面積はいくつか？
この円周率問題を見ていると、いろんな問題がごちゃごちゃになってて、それぞれの問題で結構意見が割れているように思えたので、ちょっと整理して個人的見解を述べたいと思う。
なぜなら円周率を3.14と定義（仮定）したとき、円の面積は半径×半径×円周率の公式で求められなくなるので、問題自体が破綻してしまうから。
この問題の目的は、円の面積の公式を覚えて具体的な数値で計算ができるかを確認することだと思うので、公式が使えなくなるような条件を設定してしまうのは問題として不適切だ。
となると、「円周率を3.14とする」は「円周率を3.14と近似する」と考えるのが自然だと思う。
「摩擦を0とする」はどうなんだっていう意見があるが、摩擦を0と定義しても問題が破綻してしまうことはないので、円周率を3.14と定義することとは意味が異なると思う。
「摩擦を0と近似する」っていう意味にとってもいいんだけど、そうすると有効数字との関係が怪しくなってくるのでよくわからない。
定数である円周率には有効数字は適用されないとか、半径11は有効数字2桁だろとか、有効数字は工学であって数学じゃないとかいろいろあるので、有効数字を考えるべきかどうかはよくわからない。
ただ答えは上から2桁なり3桁なりで四捨五入させるべきだと思う。
なぜなら、半径11の円の面積は380.1323…なので、近似によって計算した379.94を唯一の正解にしてしまうことに違和感があるから。
なので、矛盾が生じないように問題文に何桁で四捨五入せよと明記すべきだと思う。
小学生に対してどういう教え方が適切かについては専門家じゃないのでわからない。
ただ、掛け算の順序には否定派が多い印象なのに、379.94は肯定派が多いのはなぜなんだろう？
どちらも教育上の都合を優先させている点で同じだと思うんだけど。
円周率を3.14とするとき、半径11cmの円の面積は380㎠(3.80×10^2㎠)ではありません。
円の面積は
半径×半径×円周率
で求めることができる。
半径2cmの円の面積を計算してみよう。
円周率は無理数なので、無限に桁があるから、数値計算をするときには筆算だけするというわけにはいかない。
よっていくつかの工夫を用いる。
a.)円周率π=3.1415926535…を用いて計算する。実際はできないが、できるとする。今回はエクセルのPI関数を用いて計算したもので代用した。これを真の値とよぶことにする。
b.)円周率を3.14として計算する。筆算などを行う。これを小学校計算とよぶことにする。
c.)円周率を有効数字3桁の概数3.14として計算する。bの計算結果を有効数字3桁の概数で表せばよい。これを概数計算とよぶことにする。
結果は以下のようになる。半径が2cmのとき、半径×半径は2×2=4である。
a.)4×3.1415926535…=12.56637061…
このときbとaの差は
12.56-12.56637061…=-0.00637061…
cとaの差は
となる。
概数計算の結果12.6よりも、小学校計算の結果12.56の方が真の値12.56637061…に近い。
今度は半径19cmの円の面積を計算してみよう。
a.)361×3.1415926535…=1134.114948…
今度は差をとらなくても、小学校計算の結果が概数計算の答えより真の値に近いことがわかるだろう。
エクセルで他の数についても調べてみよう。
| 自然数n | a.)πn | b.)3.14n | c.)有効数字3桁の概数 | d.)bとaの差 | e.)cとaの差 | f.)eとdの絶対値の差 |
| 1 | 3.141592654 | 3.14 | 3.14 | -0.001592654 | -0.001592654 | 0 |
| 2 | 6.283185307 | 6.28 | 6.28 | -0.003185307 | -0.003185307 | 0 |
| 3 | 9.424777961 | 9.42 | 9.42 | -0.004777961 | -0.004777961 | 0 |
| 4 | 12.56637061 | 12.56 | 12.6 | -0.006370614 | 0.033629386 | 0.027258771 |
| 5 | 15.70796327 | 15.7 | 15.7 | -0.007963268 | -0.007963268 | 1.77636E-15 |
| 6 | 18.84955592 | 18.84 | 18.8 | -0.009555922 | -0.049555922 | 0.04 |
| 7 | 21.99114858 | 21.98 | 22 | -0.011148575 | 0.008851425 | -0.00229715 |
| 8 | 25.13274123 | 25.12 | 25.1 | -0.012741229 | -0.032741229 | 0.02 |
| 9 | 28.27433388 | 28.26 | 28.3 | -0.014333882 | 0.025666118 | 0.011332235 |
| 10 | 31.41592654 | 31.4 | 31.4 | -0.015926536 | -0.015926536 | 3.55271E-15 |
| 11 | 34.55751919 | 34.54 | 34.5 | -0.017519189 | -0.057519189 | 0.04 |
| 12 | 37.69911184 | 37.68 | 37.7 | -0.019111843 | 0.000888157 | -0.018223686 |
| 13 | 40.8407045 | 40.82 | 40.8 | -0.020704497 | -0.040704497 | 0.02 |
| 14 | 43.98229715 | 43.96 | 44 | -0.02229715 | 0.01770285 | -0.004594301 |
| 15 | 47.1238898 | 47.1 | 47.1 | -0.023889804 | -0.023889804 | 0 |
| 16 | 50.26548246 | 50.24 | 50.2 | -0.025482457 | -0.065482457 | 0.04 |
| 17 | 53.40707511 | 53.38 | 53.4 | -0.027075111 | -0.007075111 | -0.02 |
| 18 | 56.54866776 | 56.52 | 56.5 | -0.028667765 | -0.048667765 | 0.02 |
| 19 | 59.69026042 | 59.66 | 59.7 | -0.030260418 | 0.009739582 | -0.020520836 |
| 20 | 62.83185307 | 62.8 | 62.8 | -0.031853072 | -0.031853072 | 7.10543E-15 |
| 21 | 65.97344573 | 65.94 | 65.9 | -0.033445725 | -0.073445725 | 0.04 |
| 22 | 69.11503838 | 69.08 | 69.1 | -0.035038379 | -0.015038379 | -0.02 |
| 23 | 72.25663103 | 72.22 | 72.2 | -0.036631033 | -0.056631033 | 0.02 |
| 24 | 75.39822369 | 75.36 | 75.4 | -0.038223686 | 0.001776314 | -0.036447372 |
| 25 | 78.53981634 | 78.5 | 78.5 | -0.03981634 | -0.03981634 | 0 |
| 26 | 81.68140899 | 81.64 | 81.6 | -0.041408993 | -0.081408993 | 0.04 |
| 27 | 84.82300165 | 84.78 | 84.8 | -0.043001647 | -0.023001647 | -0.02 |
| 28 | 87.9645943 | 87.92 | 87.9 | -0.044594301 | -0.064594301 | 0.02 |
| 29 | 91.10618695 | 91.06 | 91.1 | -0.046186954 | -0.006186954 | -0.04 |
| 30 | 94.24777961 | 94.2 | 94.2 | -0.047779608 | -0.047779608 | 0 |
| 115 | 361.2831552 | 361.1 | 361 | -0.183155163 | -0.283155163 | 0.1 |
| 116 | 364.4247478 | 364.24 | 364 | -0.184747816 | -0.424747816 | 0.24 |
| 117 | 367.5663405 | 367.38 | 367 | -0.18634047 | -0.56634047 | 0.38 |
| 118 | 370.7079331 | 370.52 | 371 | -0.187933124 | 0.292066876 | 0.104133753 |
| 119 | 373.8495258 | 373.66 | 374 | -0.189525777 | 0.150474223 | -0.039051554 |
| 120 | 376.9911184 | 376.8 | 377 | -0.191118431 | 0.008881569 | -0.182236862 |
| 121 | 380.1327111 | 379.94 | 380 | -0.192711084 | -0.132711084 | -0.06 |
| 122 | 383.2743037 | 383.08 | 383 | -0.194303738 | -0.274303738 | 0.08 |
| 123 | 386.4158964 | 386.22 | 386 | -0.195896392 | -0.415896392 | 0.22 |
| 124 | 389.557489 | 389.36 | 389 | -0.197489045 | -0.557489045 | 0.36 |
以上の表は
http://tetsu23.my.land.to/table.htm
を利用してコピペした。
=A2*PI()
=A2*3.14
=C2-B2
確かにn=121においては、概数計算の結果380の方が小学校計算の結果379.94よりも真の値380.1327111…に近い。
ところが次のn=122の場合では小学校計算の結果の方が概数計算の結果よりも真の値383.2743037…に近い。
表の右端の列でbとaの差、cとaの差の絶対値の大きさを比較をしている。すなわち、bとc２つの計算結果の真の値との距離の差をとっている。
よって、右端の列の値が正のときのnにおいて、小学校計算の方が概数計算より真の値に近い、精確な答えを出せることになる。
小学校計算の方が概数計算より精確な答えを出せるnとそうでないnは、どちらの方が多いだろうか？
概数と定数値を同一に扱って真の値との距離を比較しているからだ。
概数とは、ある点からの触れ幅を定義しているものであり、あるxの値がa≦x＜bにあるということを言っているに過ぎない。
すなわち、n=121において121πが有効数字3桁の概数で380というのは
であるということを言っているにすぎない。
したがって、筆算の末に半径11cmの円を「379.94です!」と笑顔で言った子どもがいるのなら、
ちゃんと範囲内におさまる値を計算できた事をほめてやらねばならない。
ならば同時に380も380.1327111も正解とせよというのは一理ある。
ただし、これは面積の値をある精確さで以って求めよという問題に答えた場合であって、121×3.14の筆算の結果を380とした子どもには計算が間違えっているとして×を与えなければならない。
まとめると、
「半径11cmの円の面積を380㎠とした方が380.1327111…㎠により近い値であるから、答えを379.94㎠とするのは誤りである」という議論はなりたたない。
有効数字3桁の概数で計算した379.94という結果は、上から4桁目、5桁目が信頼のおけない数字であるという状態のものであるだけで、値の精確さ、すなわち真の値との距離の近さ競うものではない(上の表をみよ）。
信頼のおけない部分を丸めた数値である380の方が、よりおおまかに信頼がおける数値だというだけである。
なおn=300あたりから計算結果が4桁になり、1の位がまるめられるので、概数と真の値の差はより大きく感じられるようになってしまう。
エクセルをおもちならやってみてほしい。
間違ってるところがあったらプリーズテルミー。
出題者がなぜ半径を11に設定したのかを雑に考えてみた。まず半径10の場合、100×3.14、なるほど計算しやすい（有効数字で揉めることもない）。計算が苦手な児童もできるだろう。けれどこれはあまりにも簡単すぎる。少し歯ごたえのある問題にぶつかった時に面倒くさいのは嫌だとか言ってすぐにあきらめてほしくない、だから10の倍数はここでは使いたくない。
ゆっくりと取り組めば誰にでも答えが出せる問題が望ましい。3桁×3桁の計算で面積を求めるという経験も積んでほしい。そんな意図があったと思われる。
だからといって計算結果が小数点含め6桁ではちょっとやりすぎだ。必然的に半径は11〜18になる。それぞれの二乗は当然121、144、169、196、225、256、289、324。計算間違いの続出は避けたいから、筆算で繰り上がりのない121を選んだのではないか。11×11？楽勝！111でしょ！なんて早とちりする児童へ早いうちに正しい答えを知ってほしいというのもあったのかも。
まさかこんな騒ぎになるとは思いもしない。
でも、半径11は用いられるべきではない！とも思わないんだよ。使い方によっては、発展的学習やグループ学習に用いることで面白いものになるんじゃないかな。
クラスに1人は円周率を何桁も言える児童がいるだろう。まず3.14で計算させたのち、3、3.1、3.141、3.1415ならそれぞれ面積はどうなるのかを問うてみる。1人では取り組みにくい5桁6桁のかけ算も、ワイワイやれば全員が379と380の違いまで確認できる。
そこに至ったとき、3.14が近似的な値であるのだと実感できるのではないか。「じゃあみんなこれからの円周率はどうする？より正確な3.1415を使うかい？」なんて問いかけをしてみるのも手か。
有効数字という概念を知るのは良いことだけれど、小学校という場で扱っても「わからない」をいたずらに増やすだけなので、止めておいたほうがいいんじゃないかな。
まあ自転車置き場の議論感はあるけど, 自転車置き場の議論は楽しいので許してほしい, と言い訳をした上で書く. くだくだしくどうでもいいことを書くのでお暇な方だけどうぞ. 私自身は円周率3.14で教えるべきか否か, というのには特に意見がない. それはそれとして, の話.
http://anond.hatelabo.jp/20160225040508
「鉛筆が100円で消しゴムが120円だとする」とかの「とする」と同じように、
鉛筆が100円である世界は必要なく「今言及している鉛筆」が100円であればいいし、
めっちゃ歪んでる。
私なんて数学で赤点とったことがあるくらいだから証明はできない。すまん。
もし仮に半径11の円の円周率がぴったり3.14だった場合の世界って、仮定（あるいは定義）できるんだろうか？
よくわからないんだけど、少なくとも円に内接する96角形の周長よりも、円周のほうが小さいってことでしょ？
違う。非ユークリッド空間で円周率が3.14なら円に内接する96角形は歪んで小さくなる。
まず、円周率が3.14ピッタリの世界で、円に内接する96角形の面積よりも円の面積が大きくなるのか、小さくなるのか、
それすら私にはわからないわけだが。
私にも内接する96角形のほうが大きくなる条件は想定できなかった。
数学屋に聞きたいところだ。
そんなわけのわからん世界である必要はない。他のブコメでも非ユークリッド空間に触れていたが
世界のどこでも同じ円周率である必要はないので適当にゆがんだ空間で
空間内にある条件（円周率が3.14）を満たす範囲があればいいしこれは現実の空間である必要はない。
これはモデル化だと思う。
実際は太郎君は歩くときに早くなったり遅くなったりするだろうし別の太郎君はマッハ4で歩くかもしれないが
今言及している太郎君は平均では時速4㎞と認識しているという意味であり、
消しゴムは100円ショップでは100円だしスーパーなら98円にしそうだが今は100円ということにするという意味だ。
「円周率を3.14とする」は、円周率はπだが私は小数表記で正確なπを記述できないので3.14ということにするという意味だ。
あなたにはπを正確に用いて小数の計算ができるのか？もちろんπ表記のままでは計算したことにならないぞ？
時速4㎞で歩き出すのは加速時間が0となるため理論的に実現不可能だ。
あなたが目の前に円を想定した場合、その円は地球の重力により相対性理論的に歪んで円周率はπではなくなる。
必ず円周率がπである世界は何も存在しない世界である必要があり理論的に実現不可能だ。
一方、πが3.14となる範囲を含む非ユークリッド空間は理論的に実現可能だろうが
数学屋に聞きたいところだ。
残念ながら時速4㎞で歩くのを想像させるのは意外と難しい。
常に一定の速度で歩くのはおかしいとか言い出す子供はたくさんいる。
実際の世界には真理など存在しないし認識もできない。それどころか人間には実際の世界を正しく認識することすらできない。
問題文にない条件を持ち出すことが正しいなんて言い出すくらいなら実際の世界を想定しないほうがマシだ。
そのとおりだ。
書いてあるので汲み取る必要はないというか汲み取ってはいけない。これは国語の問題じゃないんだ。
そうだ、科学に対する姿勢の問題だ。何が正しいかを知っているかではなく、
目の前にある条件から矛盾しない答えを導き出すことこそが科学的な姿勢だ。
私は、どんな世界であれ押し付ける傲慢さをあなたに感じている。
もちろん私も世界を正しく認識できていないがそれを人に押し付けるようなことはしていないつもりだ。
違う。与えた条件と異なる条件を持ち出すと間違った答えになるからだ。
「円周率は3.14と条件を指定したな？あれは嘘だ」と言い出したら
私は今、「洞窟に住む縛られた人々が見ているのは「実体」の「影」であるが、それを実体だと思い込んでいる」
と言ったプラトンの気持ちを痛感している（Wikipediaの引用であり国家の文面そのままではない）。
真理というものがあるとしよう。だがそれをあなたが認識しているものと私が認識しているものは違う。
真理の手掛かりとなる影を認識し集め、お互いの認識を形にし、共有する（モデル化）。そして、この共有したモデルについて話をするんだ。
だから「数学の定義では円周率はπだから私が正しい」というのは成立しない。
これはあくまで数学上のπの定義を共有しているモデル、つまり数学での話であり、
円周率がπではないモデルを共有しているときは円周率がπではない前提で話をすることになる。
例えばここに一見正しい条件がある。
・平面上の平行線は交わらない
実際に昔はこれで十分だった。
「平行線が交わりしかも矛盾しないモデルも作れるんじゃないか？」と工夫したことにより
非ユークリッド幾何学が生まれた。
そして、
・平面上の平行線は交わらない
という条件は
という条件に洗練された。真理に一歩近づいたんだ。
だが、きっと、これでもまだ真理そのものではないだろう。
だがその真理に向けて認識を表明し共有しそれを基に議論することで近づいていくことが大事だとプラトンは説いたんだ。
だからこれには、「今はそんな話をしているんじゃない」としか言いようがない。
今は「円周率が3.14としたときに計算結果はどうなるか」という話をしているんだ。
彼は悔しかっただろう。私もとても悔しい。
我々ちょい古いソフト屋はオブジェクト指向の本質を伝えることに失敗した。
認識を形にすることだということを伝えられなかった。
初めて使うので読みにくいだろうことを申し訳なく思う。
でさあ。元増田は
どっちなの？
モデル化だからいいとかダメとかよく分からないな。だって「円」ってのがそもそも一種のモデルに思えるから。
算数や数学で学ぶべきポイントの一つに、現実を超えた抽象的概念のみを扱えるようになる、というものがあるのではなかろうか。
現実の世界には、「～個」と数える対象が存在しない純粋な「1」とか、線の太さや歪みを一切持たない純粋な「円」は存在しない。でも算数ではそれを扱う。
ここが上手くいかないと、分数の割り算あたりで「分数で割るって（現実の物事になぞらえると）どういうこと？？？」とついていけなくなるんだと思う。
この難関を超える方法の一環として、「仮定する」という問題文を数こなして慣れていっている面もあるんじゃないか。
もちろん、その方法でうまく理解できない子のために、別なアプローチを考えることは意味があると思う。
かくいう私も、分数の割り算は何とか乗り越えたが、図形の証明問題などで「定理」という概念がなかなか理解できなかった。
算数で習う範囲だと、「平行線は交わらない」というのは証明する必要がない真理のように扱われてたが、何でそれは証明しなくてもいいの？と。
本当に絶対交わらないかどうか、誰がどうやって確かめたの？と。
今から思えば、それはそういう世界という仮定の下にすべてを行え、という意味だったんだな。
円周率3.14の仮定とこれ、何が違う？ 少なくとも私には差が分からない。
教育現場の先生がそこまで考えて教えてるかどうかはまた別、というか、関係ない我々だからこそこんな決着つかない議論できるんだろうな。
矛盾があろうが無かろうが明日も授業をしなきゃならない先生からしたら、とにかく何かの方法を実践はしなきゃならんわけで。
ゆえに､半径11㎝の円の面積を求めると、11×11×3.14=379.94 これを正答とする。
本当の円の面積を問う必要なし。テストなら､半径×半径×円周率って書かせるのが一番いいけどな。
ここでごねますか？ 円周率ガ～だけじゃなくて、半径11cmの誤差は問題にしないの？
有効桁数とか誤差の考え方って、小学校・中学校では教えてないのだ。学習指導要領に従うと有効桁数を教える必要はない。
小数点以下第二位まである小数の掛け算を習ってないのに、円の面積を求めるように学習指導要領を作ってしまったら……
円周率は３として計算させましょうということになる。ゆとり教育で叩かれたあれな。
なぜ大人になったら3.14としたらおかしいなどという考え方を持つようになるのか。
「今までの知識は間違いだった」
「子どもの頃には嘘を教えられていた」
と考えてしまったのだろう。
小学生相手に円周率を3.14と教えたらユークリッド幾何学で構成された世界の理が崩れる。
最初は単に小学校の問題用紙で起きた小さなほころびに過ぎないが、やがてそれは全世界に波及し、すべての計算結果がΠ=3.14となっていく。
円周率が3.14となるような空間は非ユークリッド空間であるはずなのでユークリッド空間下で導かれた定理は無条件に使えないという話
（紙面や時間の都合、および指導上の方針から）円周率（と定義される数の上３桁）が3.14であると（いうことを利用）して、半径11の円の面積（のようなもの）を（小数の掛け算を手計算で行うことで）求めなさい。
そんなことが問題じゃねえんだよ
何かを考えるためにはまず決め打ちしなきゃいけないわけ
例えば数字の１ってなんで１なの？２じゃだめなの？
とか言い出したら切りがないだろ
円周率は3.14ですっていう土台作ったらその上で問題を解けや
あとルールについて確認したいならテスト中に有効数字何桁までですか？
とか質問すりゃいいだろ
5年生の時だったか、授業で円周率が出てきた後、円周率の歴史と円の求積法を調べてきて授業で発表し、円周率を30桁くらいまで覚えるのをクラスで流行らせたなー。小学生の感覚っすね。はいはい。
トラバ全部見てないので、多分同じこといってるひとがいるとおもうけど
円周率を円周と直径の比率として定義した場合、直径が大きくなればなるほど円周率は小さくなる。
直径が大きくなるって、なんだ。平面上でそんなことできないだろう！というのはそのとおり。
つまり、平面上でなければいい。
具体的なモデルを挙げると、おっぱいの上の乳輪の面積を考えてみよう。
理想的なつるぺた平面では乳輪の面積はπｒ＾２が成り立つが、巨乳の場合、乳の膨らみぶんだけ直径が曲線となり、平面と比べて直径は膨らむ。
つまり、同じ円周の乳輪の場合、理想的なつるぺた平面よりも巨乳おっぱい表面の方が直径が大きくなるわけだね。
他の具体的なモデルだと、
乳首の存在を考えて空間に凸してるところがあると、凸の出っ張り部分だけおっぱい表面における直径が大きくなるね。
陥没乳首の存在を考えて空間に凹してるところがあると、凹の引っ込み部分だけおっぱい表面における直径は大きくなるね。
つまり、問題文ではユークリッド空間であるとは明示されていないのだから、円周率が3.14を満たす空間はこっちで勝手に想定しても問題文そのものを満たすだろ、という話。
＞円周率が3.14を満たす空間はこっちで勝手に想定しても問題文そのものを満たすだろ
というのはおかしいだろ。問題文に書かれてないことを勝手に想定するなんて！
