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はてなキーワード: 代数学とは
何かの参考とかにしたらダメです。書き始めて半年経つんだけどこっからどう直したらいいんだか（何をゴールにしたらいいのか）わからない。。
追記：合流性とか強正規化可能性とか停止性とか、全部チューリング不完全で、事前の静的解析で使うメモリの最大量が確定できる、とかそういう風に読み替えられる人を増やしたいのです、数式の添え字とΣと∫にびびらない人を増やしたいようなもので
数理論理学の一分野である証明論から成長した、数理論理学と理論計算機科学の境界領域の研究領域である型理論(type theory)は、大規模なプログラムの内的な整合性のチェックを行うための方法論を必要とする情報処理技術の分野で関心を集めている。
そもそも「型」(type)とは何か。プログラミング言語は一般的にはレコードや関数といったプログラムを構成する「値」(value)の定義をする道具である(*1)。その言語のコンパイラ作成者はこれらレコードや関数などの値、もしくは第一級の対象(first-class object)の種類を区別する型システム(type system)を必要とする。抽象代数学の観点からすると、「型」とはこれらの値もしくは第一級の対象が属する高階の対象(higher order object)としての空間(space)ないし代数系(algebraic system)で、型システムはそれら「型」とそれら相互の関係(relation)つまり型のなす順序構造(order structure)ないし束構造(lattice structrure)であるといえる。
プログラムを構成する値すべてに型が付くためには、曖昧でない(*2)こと、自己矛盾していないこと、悪循環を含まないこと、それぞれの値の内容をチェックするために無限の時間を要しない(*3)ことなどが必要で、これらを満たすなら、プログラムは有限時間で実行を終え、停止する。手続き型言語では無限ループ、型無しラムダ計算では無限再帰によって型付け不能なプログラムを書くことができるが、型理論はこれらのチューリング完全な計算機を意図しない停止しないプログラムから守る装甲でもあり、再帰やメモリ確保で好き勝手をさせないための拘束具でもある。型が付くプログラムには単に停止するというだけでなく、可能な実行経路（訂正：経路→方法）のすべてで同じ結果を出すなど種々の良い性質がある。
1)この定義は現実に使われているプログラミング言語の特徴を覆い切れていない、狭い不満足な定義だが本稿では都合上この定義に立脚して限定的に議論する。例えば変数(variable)というものを持つプログラミング言語もあり広く使われているが、これについてはレコードや関数と同じように性質の良いものとして扱うことが難しい。難しさの原因は次の注の内容と関連する。近年は変数を扱うかわりに値の不変のコピー(immutable copy)やその参照に名前を付ける機能を持つプログラミング言語が増えている。
2) 現実の情報システムでは、COBOL言語のレコード再定義やC言語の共用体、一般的な関数ポインタやVisual Basic言語のvariant型変数のように、同一領域に異なる型の値が共存する共用型(union type)の値がしばしば必要となる。共用型の値はgoto文を排除した構造化／オブジェクト指向プログラミングにおいて条件キャストやクラス分岐などによる実行経路の複雑さの主要な原因になるが、これは和型(sum type)すなわち相異なる型の非交和(disjoint sum)として定義することで曖昧さなく定義できる。
3) ゲームプログラムやネットワークサービスにおいてしばしばみられるように、入力として無限リストや任意に深い木のようなものを想定する場合には明らかに（条件を満たさない限り）停止しないことが正しい動作となり、この場合は最外周のループを（←どうする？）メモリリークを起こさないなど別の考慮が必要となる。
が、そこに至るまでの結論はわりと複雑で、単純に論じられる問題ではない。
いちおう言っておくと、自分は旧帝大の数学科出身で、代数学・計算機科学的な議論はひととおりできるし、教育にも携わったことがある。
まず第一の論点として、少し厳密性に欠ける話なのだが、掛け算の左右は本質的には同じものではない。
つまり、（結果として交換可能かどうかではなく）意味的に交換可能か、というと、これは交換不可能である。
すなわち「掛け算の右と左は全く異なる意味を持つ」ということができると思う。
そもそも掛け算というのは、●を▲回足す、といった素朴な定義からスタートしている（現代的な数学基礎論の立場でもこのように掛け算を定義していると言ってよい）。
●を▲回足すことと、▲を●回足すことは、結果の同一性は置いておいて、少なくとも意味としては異なる話であろう。
実際、たとえば●を▲回掛けることと▲を●回掛けることを比べると、これは結果すら異なってくるわけだから、素朴に交換してよい、という話にはならない。
（数学では、非可換環だとかベクトルの作用だとかわけわからんものが山ほどあり、そこでは乗法やそれに類する演算が交換不可能なことは日常茶飯事である）
ところがこれが交換可能になってしまうというのが、「交換法則」の主張するところである。
これは掛け算そのものがその定義の中に「自明に」有している主張ではなく、定義から証明することによって主張される、いわゆる「定理」である。
するとここで「学校教育において、未だ習っていない定理をテストの解答に使用してもよいか」という第二の論点が現れる。
これに対する解答は、「よくない」である。
例えば大学入試においてロピタルの定理を使うことは、それが問題を解くために非常に役に立つにもかかわらず、許されていない。
どうしても使用する場合は、自らそれを解答用紙中で証明したうえであれば使うことができる、というルールだ。
さらにいえば、仮に交換法則を使ってもよいとして、「交換法則を使った」ことを明記せずに最初から定理適用後の姿で立式してしまうことにも疑問点が残る。
この論点でもやはり基本的には交換不能である側の意見に理があると考える。
と、言うのも、基本的に文章題においては日本語を数式に変換するための「解釈」は解き手に委ねられているからだ。
つまり、３個ずつのリンゴを５人に配りました、という日本語から「３個を５回足すんだな」と解釈することにも、「５人を３回足せばいい」と考えることにも一定の妥当さがあり、そこには読み取りの自由がある。
これは算数や数学の問題というより、日本語としての読み取り方の部分に交換可能性が潜んでいるのである。
したがって、この文章を数式にするにあたって５×３と書いても、それは何ら減点要素ではない。
まとめると、
掛け算は意味的には交換可能ではないよ→でも交換法則があるよ→でも習ってない定理は使えないよ→でも日本語の読み取りの部分に交換可能性があるよ
ってことで、左右逆に書いても丸になるというのが結論。
マセマの数学系の本を読んだことがある。東大の工学部の院試を受けてみて受かったことがある。
生物系の研究でも数学っぽい概念が絶対確立されてそうな雰囲気なものが多いので、数学を理解したいなーと思っていた。
２カ月くらい前に受験を決意。
＜実際の結果＞
カナリ過去問から出ると思った。逆に言えば、過去問で解答を作成できるかどうかが勝負。
基礎科目（大学１，２年レベル）と専門（代数、幾何、解析、その他の数学科特有の分野）に分かれるが。
基礎科目すら危うかった。専門は全く勝負にならなかった。
＜基礎科目のお勉強＞
基礎科目の方は、割とマセマと『演習大学院入試』で何とかなると感じた。もちろん、過去問の答えを全て作成できることが前提だけど。
追加で、『イプシロンデルタ完全攻略』、『線形代数３０講』（固有値と固有空間問題対策）でやったくらい。
時間があれば、もっと実際に手を動かして計算練習などすれば、点数は満点近くまで伸びると感じた。
一方で、集合論や幾何学を捨てていたので、京都大学の受験ではかなりビハインドを引いてしまったし、東大でも逃げ科目を作れなかったのが少し痛かった。
１００時間ほどで過去問まで対策できた。初学の分野が少なかった（複素関数、εδ、微分方程式の級数解放、線形代数の空間論が初学）ので、割となんとかなった。
＜専門のお勉強＞
代数学は『代数学１，２（雪江）』、『群・環・体 入門』、『代数学演習』、『大学院への代数学演習』と「物理のかぎしっぽ」で対策したのだが。
１００時間も勉強時間を取れなかったので、ガロア拡大の計算と、イデアルの簡単な奴しか抑えられなかった。しかも、本番で出てきたのは、明らかに知らない概念だった。もちろん、問題分の意味は何とか理解できたが、恐らくは『アティマク』や『ハーツホーン』や整数論系の概念を知らないと厳しい問題だった。
過去問を見てもできないなーと思っていたが、試験場で他の人たちが、洋書やハーツホーンや零点定理やシェバレーと言った、全く知らない概念を話していたので、勉強する分野を完全にミスったと思った。
ネットでググっても、雪江代数で受かってるっぽい感じだったから、雪江代数だけで行けると思ったけど、勘違いだったみたい。
無念。
＜感想＞
結果的にはゼンゼン駄目だったけど、数学科の人たちの雰囲気や、レベルを肌で理解できてよかった。
時間が更にあるなら、
あと、代数学もアティマクとハーツホーンと整数論は押さえたいなあと思った。
数学専門の修士1年です。整数論を学ぶものの端くれとして助言させていただきます。とりあえず以下の分野について勉強なさることを薦めます。
微積分なら杉浦「解析入門」がおすすめ。線形代数なら佐武「線型代数学」か斎藤「線形代数の世界」がおすすめです。
Atiyah MacDonald「可換代数入門」、雪江「代数学1・2・3」あたりがよい。辞書として松村「可換環論」を買うといいかも。
Serre「A Course in Arithmetic」とか、斎藤・黒川・加藤「数論」の6章あたりまでとか。
これらは数学科学部3〜4年のカリキュラムに含まれる基本的な知識です。先の内容を学びたい気持ちもあると思いますが、まずこれらの分野を「十分」学んでください。各分野についてどれぐらい学ぶ必要があるかというと、買った本の各章の内容について、証明の内容も含め、何も見ずにだいたい説明できるぐらい読んでください。あともちろん演習問題は全部解いてください。詳しい数学の勉強の方法は東京大学河東先生のこのページを参考にしてください。
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/sem.htm
ここまで勉強なさると、宇宙際タイヒミュラー理論を学ぶハードルがどれだけか、少しイメージが湧くようになると思います。もっと勉強したいと思ったら、また増田に来てください。期待しております。
まずは
1. ガロア理論
2. 楕円曲線
この二つは19世紀以前の数学の最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います。
またIUTでは楕円曲線のガロア理論を用いて数の加法や乗法の構造を調べるというようなことをしています。
1. ガロア理論
ガロア理論は方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的な問題が解決されました。これを理解するためには代数学、特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります。
さらに整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論を勉強なさるのがよいと思います。p進体では（普通の対数関数と同じように）logを定義することができ、これはIUTでも重要な役割を果たします。類体論の特別な場合として円分体のガロア理論を理解すると、例えばガウスなんかの整数論の話もより深く理解できると思います。
2. 楕円曲線
楕円曲線は楕円関数論をある種代数的に扱うようなものです。楕円関数というのは、三次式の平方根の積分でこの積分を表すために導入された関数です。19世紀の数学でかなり研究されたものですが、これについては複素解析という複素数平面上で微積分をするということについて理解する必要があります。
さらにその後の発展として、リーマン面や基本群、ホモロジーといった概念が考えられました。基本群やホモロジーというのはトポロジーという分野で研究されているものですが、数論幾何でも重要な役割を果たします。
上の二つの話は独立したものではなく、相互に関連しあうものです。例えば、基本群とガロア群はある意味では同じものだと観ることができます。このような視点を持って整数の研究をするのが数論幾何という分野です。
まとめると、まずはガロア理論を目標として代数の基本的なこと、楕円関数を目標にして複素解析を学ぶのが良いと思います。
上に書いたようなことは数論幾何を専門にするなら学部生ぐらいで知っている話です。これらを踏まえてIUTにより近い専門的な内容を学んでいくのが良いでしょう。私もその辺りについて詳しいことは言えないのですが、例えば京都大学の星先生の書かれたIUTのサーベイをご覧になってみるのが良いのではないでしょうか。
（数論が専門ではなかった。）
① 工学系修士だと、微分積分、線形代数、複素関数論あたりは知っていると思う。
応用系と数学科向けだとちょっと内容が違うので（εδ論法とか）、まずその辺の復習から始める。
② 純粋数学への入口として、「集合と位相」のような本を読む。
③ 抽象的思考の壁を乗り越えるために「代数学」のような本を読む。ガロア理論くらいまで。
④ 雑学というか、モチベーションの維持として初等整数論の本を読んだり問題をといたりする。
このくらいで、とっかかりは出来るので、その後何やったらいいかも見えてくるはず。
id:frkw2004 って奴がこの記事に対して
http://gendai.ismedia.jp/articles/-/51615
"「科学の目的は真理を探求することではなく、現実を説明することです。」これはいい言葉だ。宗教と科学が対立するものではないことを示してる。"
全く「良い言葉」なんかじゃない。
現実を説明するのは「世間が科学に対して求めている事」であって、「科学の目的」全てがそれに当たるという事は絶対に無い。
なぜなら、そもそも科学の中で我々が生きているこの現実についてを論じている部分は一部でしか無いから。
「現実世界には有り得ない世界設定だけれど、公理主義的に考えればこうなるハズ」という理論を追い求める、
正しく「"真理を探求"しつつも"現実を説明"しない学問」だ。
天才とは色々定義されるが、一番の特徴は集中力（あるいは勉強体力）があり、非常に長い間その問題に取りかかることができることだと思う。
例えば、望月新一氏について、オックスフォード大学の教授であり、望月新一氏の友人でもある人は次のように言っている。
「彼が他の数学者と違うのは、彼がものすごく高い耐性(tolerance)があることなんだ。何時間も、何時間も机に向かって数学をすることができるんだよ」
「彼が学部生の頃の話なんだけどね。フランスのグロタンティークって人の代数学や算術幾何の著作は、その分野を学ぶ人はみんな読まなきゃいけないんだけど、普通は少しずつ理解していって、何年も費やすんだよ。何千ページもあるからね。でも望月は学部時代のほんの数年で理解してしまったんだ。」
ずつも何も
１ｍｘ１ｍｘ１ｍ＝１ｍ３（立方メートル）
１人ｘ１ヶ月＝１人月 とかな。
割り算だともっとわかりやすくて、たとえば、１ｇの油を１０ｍに引いて行ったら
１ｇ／１０ｍ＝０．１ｇ／ｍ となるよな？単位は消えないんだよ。
N人ｘM本＝NM人本で NM人に１本づつくばるまたは、１人にNM本配れる状況という以上で、勝手に単位を削るほうがまちがっとるやろ。
どうしても法則性にこだわるなら
N人ｘM本÷１人＝NM本 として N人にM本づつ配ったものを１人にまとめると何本になるか？という答えと、鉛筆が全部で何本あるか？という答えは同じである。
よって、NM本である。
としろや。とか思うわけだ。
交換法則を用いて
M本ｘN人÷１人＝NM本
で。答えは、かわらんぞ？
社会ではリスクを取って、外へ出ようとか言っておいて コレか。
この教育では、自由な発想ではなく、言われたことを厳密に、言われてないことは１ｍｇもやってはいけない。みたいなネジみたいな人間が生まれてもそら、仕方ないわ。
初等教育では、生きていくのに必要なことを優先して教えてやれよ。
代数学云々より、発想の自由のほうがよほどじゅうようだろ。 代数学ウンなんたら言うなら、大学行って必要なやつだけで十分だろ。
逆にコレを重要だというなら、企業とか、リスクを取って海外へとか事業起こそうとかいうな。
理科は数理科学を含むのであれですが、社会や国語は、教えられて理解できない人はそういないでしょう。
英語は脳の言語処理ネットワークの最適化の問題があるから別ですが。
義務教育の時点で、社会ができないというのは単に覚えていないだけであって、教えればその瞬間くらいは記憶してるわけです。
ところが数学の場合、現役で教えられてる状況ですら、どんなにがんばっても理解できないという人がかなりいるわけです。
とまぁここまで書いて思ったのは、数学の場合積み重ねが必要だから、というのはあるんですかね。
社会ならいきなり近代史に行ってもそう問題は無いけど、数学の場合いきなり微分やるわけにはいかんわけで。
そうすると、教育の比較的初期で数学が理解できる人とできない人の差は何かっていう話になるわけですが…。
別に自慢にも何もならないですが、俺の場合小学校時代数学（算数）で困ったこと全く無いんですよ。
それは俺の脳が初期状態で言語別脳内ネットワークのような何か変わった構造を持ってたりしたってことなんですかねえ…。
それとも単に「積み重ね」効果によって初期状態の微妙なバラツキが指数関数的に拡大するようなスケールフリー的構造があるってだけのことですかね。そんな気もしてきました。たとえばガロアみたいな超天才の世界では別の構造があるとは思いますが。
当方IT屋。非プログラマ。失業がほぼ確定した。TVAに就職したい。FDR神社があったらお参りするのに(いや日本人としてそれはプライド捨ててるだろ)。ありがたいことに、雇用調整助成金の拡充と、雇用保険の給付要件の緩和のおかげで、向こう半年くらいは延命できる見込み。問題は労働市況の谷がその程度で済むかどうか誰にもわからないことだ。IT産業構造調整臨時措置法案が審議されているという話はまだ聞いていない。
ダイクストラ大先生は「景気が悪くなると悲観論が出てくるのはいつものことだ」と仰っているし、資本集約的技術であるクラウドコンピューティングや ISAM への技術的退化ともいえる BigTable 等はまだ萌芽的で、ましてクラウドを信頼しない委託計算の暗号理論は緒についたばかりで（代数学を全く知らない身としてはほんとに使い物になるの？と思うが）、分業も進んでいないから（要するに Linux や Windows Server の為にはかつて IBM が完備していたような職種別ツールとマニュアルがない、バックアップ関連は特に壊滅的）、現状の知識(労働)集約的な仕事のやりかた自体が数ヶ月で覆されるというのは現実的でない。もちろん方向性としては IT はどんどん資本集約的になるとは思う。ただ、OS（VMハイパーバイザとか、ストレージエンジンとか）を書く人間以外は何も知らなくていい、というところまで行くかどうか。計算機に何ができるか、一般人はまるで知らなかった 1960 年代とは違うのだ。
バンプ・オブ・チキンの『乗車権』という歌は産業予備軍説について歌っていてとても恐ろしいけれども、加藤智大くんが『ギルド』に共感したほどにはあの歌が今自分にあてはまっているとは思えない（思いたくないだけかも）。IT業界の転職は同分野が多い、という話も、前回の景気後退時に土建業で、前々回に金融業で聞いた話と全く同じだ。実際、未経験者可、の仕事では家内と二人で食っていくのは無理。キャリアチェンジを図るなら、雇用調整助成金による自宅待機で家賃と食費を賄いつつ、地元でアルバイトを探してとっかかりにするくらいしか思い浮かばない。
MRとかっていまどうなんだろう。一応 MedLine くらいはやれといわれれば検索できるだろうし、高校程度の無機化学の素養はある(あんまり忘れてない)けど‥
ともかく、ラッダイト運動のようなことを今やっても無駄なのは確か。社会が安定している分、自分たちの力で状況を変えられる可能性は古典経済学の黄金時代よりもはるかに小さい。リスクを極限まで減らしたければ人生そのものがリスクなのだから、-2価の硫黄化合物を吸引して天国なり地獄なりに移住すればいいのだが、自分ひとりではないのでいまひとつ踏み切れない。
一応、家内に「もし東南アジア、香港、インド等で仕事することになったら一緒に来れる？」とは言ってみた。仕事があるかどうかは知らない。通貨価値の格差と、アジア人英語なら自分でもなんとかサバイブできるんじゃないかという程度のことしか考えてない。たぶん暑くて死ぬ。家内が日常生活に必要な英語を習得するのはなんとなく私より早いと期待しているけれども。チャイナ本土は勘弁。中国語と名のつくものは広東語であれ北京官話であれまったくわからない。だいたい高校時代、漢文で落ちこぼれて赤点を取り続けていたのは国立文系進学クラスで私くらいだった。
NSDAPとか満蒙開拓団とかで人を募集してませんかね。あ、中共のサイバー攻撃要員の口とか、神楽総合警備の求人とかも、あれば、是非。桑名藩とかで京都御所の警備要員とか。国際興業のロビイング部門とか、幸福実現党の五反田勤務とかもいいかも‥
（この手の本を読んでいる人が、読んでそうな本を他にも挙げてほしい）
理系学生の書斎が安藤忠雄の建築事務所（研究所）みたいな資料の山だとしたら、
文系（特に法）学生の書斎は立花隆のネコビルｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
規模だけでなく質でも文系（特に法）は見劣りがするね。
何度か連中の自宅に招かれたから、ちょっと参与観察してみたんだ。
冗談半分でさ。
仔細に文系 （特に法）学生の本棚とか見てみると、これがもう滑稽なんだｗｗｗｗｗｗｗ
まずいきなり机の上に開いた状態の宮台真司『権力の予期理論』！(笑)
プゲラを抑えるのに必死だったぜ。
続いて 何度も読んだ形跡のある伊藤＆柴田の司法試験論文対策即席要点集(笑)。
お前サル かよ、それでも人間かよ、って問い詰めたくなったね（苦笑）。
カント・マルクスをはじめとする岩波文庫３００冊程度(笑)（日本語であって原文ではない）
我妻民法(笑)佐藤憲法(笑)前田刑法＆商法(笑)新堂民訴法(笑)
○○学がわかるシリーズ（プッ）
フーコー『知の考古学』(笑)（「パンのように売れた」ベストセラー）
仏露独蘭伊中国語辞典(笑)
トクヴィル(笑)大江 健三郎(笑)コーポレート・ファイナンス(笑)ドストエフスキー文庫(笑)西尾行政学(笑)
柄谷行人文庫(笑)フロイトの技法(笑)Yale Law Journal(笑)ハンナ・アーレント(笑)浅田彰(笑)『構造と力』(笑)
別冊ジュリスト判例百選(笑)大前研一（ワラ）シェイクスピア文庫(笑)
田中行政法(笑)中公『世界の歴史』（お前高校生かよｗ）マンデル貨幣理論、(笑)
女子大生（特に法）が読む雑誌と大差ないMarie Claire(笑)
magazine litteraire(笑) Cosmopolitan(笑)Critical Inquiry(笑)
Le Monde(笑)The London Economist(笑) American Economic Review(笑)
Fortune(笑)Foreign Affairs(笑)Yale Law & Policy Review(笑)
The New England Journal of Medicine、Michelin(笑)
これだもんねぇ。
他にも数百冊 持っていたようだがあとは推して知るべし。
で、トドメは
ピーター・ドラッカー(笑)
ピエール・ブルデュー(笑)
フォーリン・アフェアーズ(笑)
知の論理！！(笑)
もう俺その場で大爆笑。
プゲラー止まらなかったぜｗｗｗ
ま、予想通りだけど、杉浦・ 解析入門（高校４年生の一般教養にはいいかもね）
岩波講座・現代数学の展開 （なぜかモジュライ理論、Lie環、Weil予想、コホモロジーｗ）
リーマン・アティヤー・岩澤・シュバレー・ヴェイユ・セール・ブルバキ・ウィーナーなど書店で目につくもの（持ってるだけね、知的ファッション）
東京化学同人『分子細胞生物学』（ゲノム解析ブームの名残だろうな）
プリゴジーヌ『散逸構造』(笑)
これだもんねぇ。
他にも何十冊か持っていたようだがあとは推して知るべし。
で、トドメは
日経サイエンス(笑)
ニュートン(笑)
数学セミナー！！(笑)
もう俺、こんな連中と面識あるなんて、恥ずかしいね。
あいつらよく平気で外を歩いてるもんだ。
せめてNatureくらい読めよな、
文系（特に法）なんだからさｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
