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はてなキーワード: 整数論とは
整数論をひたすら研究すると、 自然数と素数はこの世界で別なセットであり、 お互いに関係していない。 だから、自然数と素数の間に関係を見出すのはないだろうと言われていた。
しかし、 自然数と素数は、整数論の世界で、基本的な真理であり、これだけいたるところに出て来るのであれば、何かあるべえではないか？と思われていたところに、普通にありました
というのが、 a^p-1 ≡ １ mod p であり、
俗本では、 素数の現れ方に規則性はなく、 云々と書いているが、 その素数と互いに素な自然数 a であれば、上のような関係が存在する。
なお
互いに素などと言われるといかにも酷いように思われるが、 ｐ以下の、１からｐ－１までの自然数は、ｐと互いに素であるので、 自然数と素数と言う一見無関係なものの間には
このような美しい定理がある。しかし、 小中学生の世界では、 この定理は、フェルマーの発見時代に驚愕されたもので、今の整数論の世界ではあって当たり前だから別に美しいとは思われていない。
初等的な分野では問題を発見して証明するとそれで終わりになるものですが、 現代数学とか法律になると社会全般の事象を規律することになるので
かなり複雑になります。フェルマーの大定理はなんでそれが数学の問題かというと分かりません。手ランスタオの定理は、 素数の中に等差数列があるというものなので、
一見無関係性の条件を満たしているので定理です。しかしその定理が他の初等的な問題に比べてなんで２０行程度で証明できないのか、
逆に、 フェルマーの場合は、 x^n+y^n=z^n は整数解がないというもので、 一見無関係性の条件がないので、整数論の問題なのかどうか不審に思われている。
フェルマーの最終定理が最終と言っているのはその定理自体が最高であってそれ以上のものがないかになんで神がこんな初等的で小学生でも扱える問題について証明を用意しなかったのか
分からないが幾何学者で有名のポールエルデシュによれば、整数論の中でもどうでもいい問題で取り組む価値がない、興味がないというのが言明だった。
しかし、ｎ≧３で、適当な整数のｎ乗はに、 ２つのべき乗に分けることができないというのは、孤立した骨董品でというのはまだ答えがない。
有名な２ちゃんねらーによると、 「違うぞ、頭が悪いからだぞ」という見解も出ている。それゆえなんでこの問題が出来ていないのかはまだはっきりした答えが出ていないが、バカしかいないから
バカを騙すためだと最初の結論でいいことになっている。なお、さいたま県の女性によると、 解く必要性がないから証明がない、 ２説は沈黙、ということになっており、
フェルマーの定理は幾何ではなく整数論である。どんな内容かと言うと、
（１） x+y=z を満たす自然数は大量にある。
（２） x^2+y^2=z^2を満たすものは無数にある。
ということである。それが美しいということは、子供でも非常に分かりやすい。 この形式をした式に該当する自然数は一見ありそうで一個もないからである。きれいさっぱりありませんというのが
これに対して、幾何学も、組み合わせ論も同じようになっているが、非常にむつかしい。
何で私がこれに興味を持っているかというと、 数学の問題は発見されるもので、しかも証明ができるようになっている。それがゲームみたいで面白いからというだけのことである。
３月１１日と、３月２２日に、東大法学部のもぐらから非通知で電話が入っているが、出るたびに、太鼓をぽーんという音が聞こえるだけで会話をしない。
私は幾何学に疎いので分からないが、幾何学は、相性のよいもの同士は都合のいいところで接するというようなものであるということである。ということは、汚いものはないということである。
しかも、私は、整数論等と違い、幾何学は、くだらないものという印象を取れないので、何で、円と直線と三角形の操作を考えるのか、それ自体の有用性が分からないにも関わらず
大量の問題があるので、何でも宇宙がそうなっているからそういうものがあるらしいのだが、宇宙がそうなっていると仮定しても、そこまで考えたことがない。
貸した金を返せと言っているだけの簡単な話に対してそもそも何で返さないのかが問題である。そんなに金がないのか、それを言い出しただけでも、その場で問題になる。
なに、ぬかしとんねん、われ、そのように言ってもいいが、ろくでもないことになるのが予想されるので、言わない。しかも相手方が非常に悪い。
消防署の３階の荒巻もぐらが、いつも、穴に落としているので、肝心な話にならない。何で私が、物事をそういう風に見てしまうか。それは、荒巻もぐらが、その穴に落ちるようにしているからである。
延岡市の自動車に乗っている者は恐ろしい者が多い。しかし、消防署の３階の、荒巻もぐらが、それを見なくてもいい人には見なくてもいいようなリモコンを送信するように、音巻ざちゃんに命令している
代数学とか整数論は東大生でもかなりやっている、 組合せ論の問題は洗練されたものになってくるほど別に専門知識がなくても独自の検討で
解けてしまうものもある。一方で、平面幾何の問題だけはもうどうにもならない。
まず解いたことがない。基本的に平面幾何の問題は図を描いて説明するだけになるためなんといっても図を描くことが大事だが
補助線を引いたり、色々と難しい。
２００６年にペーターショルツが解いた幾何の問題は結論から言えば解けない、 解法２のように独自の考えでベクトルを使ってシコシコ解く方法もあるが
２０１３年の組み合わせの問題は１０人しか満点がいなかった。２０１１年にリサ=ザウアーマンが解いた幾何の問題は、非常に難しい。
解法１が最もエレガントだが、解法２のミケルの定理を使うのは複雑すぎる。
つまり、組合せを計算する際の分子は必ず分母で割りきれるわけ。
これって、誰も言わないけど、かなり驚きのことだと思う。
例えば、10×9×8×7×6が5×4×3×2×1で割りきれるかって考えてみてほしいんだけど、計算しないですぐわかる？
直感的にはわからないじゃん。でもこれって、10C5の分子と分母だから、割りきれるわけですよ。
他にも、111×110×99×98×97×96×95が7×6×5×4×3×2×1で割れるとか、わからないでしょ。
すごさがわかったよね？
すなわち、組合せnCrって、任意の整数nから下に連続するr個の整数を、r×r-1×…×2×1で割った値だけど、
こんな変な割り算が、自然数nとrがどんな値でも常に整数になるなんて驚き！！
マジすごくない？
マジですごいと思うのに、誰も感動してないから、教養の殿堂たる増田に書き込んでみたよ！
（追記）
ちょっと証明してみるかーと思ったら思いの外手こずった。ググったらパスカルの等式っていうのが出てきてこれがわかれば帰納法でいけるのか。この等式自体もなかなか面白い
なるほど。
パスカルの三角形ってやつで、一番上が整数だから下側は全部整数になるってわけか。
厳密な証明をするまでもないよ。
7個の数字が並んでいたらどこかに7で割れる数字が混じっている。n個の数字が並んでいたらどこかにnで割れる数字が混じっている。
いやいや、重複があるかもしれないじゃん。
この説明もわかりやすいとは思ったんだけど、証明としてはダメなのかな？
ほんとそれ。整数論的にちゃんと証明するにはルジャンドルの定理的な考察が必要。
分からない人は高校数学の美しい物語の記事: https://manabitimes.jp/math/589 を見て、どうぞ。
| 時間 | 記事数 | 文字数 | 文字数平均 | 文字数中央値 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 107 | 10810 | 101.0 | 39 |
| 01 | 81 | 14430 | 178.1 | 49 |
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| 12 | 217 | 18994 | 87.5 | 36 |
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| 1日 | 2692 | 278067 | 103.3 | 40 |
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| 時間 | 記事数 | 文字数 | 文字数平均 | 文字数中央値 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 62 | 7402 | 119.4 | 40.5 |
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| 1日 | 2477 | 285953 | 115.4 | 45 |
コークスクリュー(4), ドリッパー(4), ネル(4), プライベートリポジトリ(3), 機会平等(5), リコー(4), lgbt(3), OH(3), 整数論(3), ポピュラー音楽(3), ときめきトゥナイト(3), ウマ娘(15), 豆(14), 虐殺(10), 糖質(21), 韓国人(16), 発注(12), シングルマザー(8), 電子(11), 競馬(8), 同姓(6), 姓(12), ファイル(10), 部下(18), 延長(13), 貴族(8), 振ら(8), 忖度(8), 鬱(19), 雑(21), ミス(15), 韓国(25), 多様性(12), 底辺(22), 細かい(11), 数学(13), 生理(12)
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まず断っておくと、この投稿には望月教授およびその関係者を貶める意図は全くない。また、「IUT理論が間違っている」と言っているわけでもない。この投稿の主旨は「IUT理論ブーム」の現象の本質を明らかにすることである。
まずIUT理論は決して数学（特に整数論、数論幾何）の主要なブランチではない。「論文を読もう」というレベルの関心がある数学者でさえ全世界に数十人しかおらず、自称「理解している」のは望月氏とその一派だけ、そして理解した上でさらに理論を発展させようとしている研究者は恐らく数人しかいない。
もちろん、これは数学の研究分野として珍しいことではないし、研究者の数が少ないと研究の「格」が下がるなどということもない。しかし、abc予想を解決したというインパクトに比べれば、これはあまりにも小規模な影響でしかない。そういうものに、一般人も含めて熱狂しているのは、異常と言える。
繰り返しになるが、これはIUT理論そのもの、および望月氏とその関係者を貶める意図はない。
数学科の学部生や、数学の非専門家で「IUT理論を勉強したい」などと言っている人も多い。それは大いに結構なことである。どんどんチャレンジすればいいと思う。
しかし、専門的な数学を学ぶ際には、たとえば「可換代数と複素解析が好きなので代数幾何を研究したい」とか「関数解析が好きなので偏微分方程式や作用素環論を研究したい」というように、既存の知識や経験を手がかりにして専攻を決めるものではないだろうか。IUT理論に興味がある非専門家には、そういう具体的な動機があるのか。単に「話題のキーワード」に反応しているだけじゃないのか。
IUT理論の具体的な内容に関心を持つには、望月氏の過去の一連の研究に通じている必要がある。そうでない人がIUT理論の「解説」などを読んでも、得られる情報は
だけだろう。これに意味があるだろうか。そのような理解で「何か」が腑に落ちたとしても、それはその人にも、数学界にも何ら好影響を与えないだろう。
こんなことを言うと、「専門的な数学を学ぶには、その前提となる知識を完全に知っていなければいけないのか」と思われるかも知れないが、もちろんそんなことはない。時には思い切りも必要である。
しかし、望月氏本人が述べているように、IUT理論を既存の数学知識の類推で理解できる数学者は、自身を除いてこの世にいない。これは数論幾何の専門家を含めての話である。数論幾何の専門家は、一般人から見れば雲の上の存在である。そういう人たちでもゼロから勉強し直さなければ読めないのである。一般人がIUT理論の分かりやすい解説を求めるのは、1桁の数の足し算が分からない幼稚園児が微分積分の分かりやすい解説を求めるのの1000倍くらいのギャップがあると言っても誇張ではない。要するに、難しすぎるのである。
一方、数学界には既存の数学の伝統を多く汲んでいて、最新の数学にも大きな影響を及ぼしているような理論は数多くある。それらは、学部4年生や大学院生のセミナーで扱われたり、全学部向けの開講科目で解説されたりしている。数学を知りたい、または普及させたいと思うならば、そういうものを扱う方が適切ではないだろうか。
「IUT理論ブーム」が示すのは要するに、ほとんどの人間はある事実を説明した文章なり理論なりの本質的な内容に興味がない、ということだ。
彼らは、書いてある事実関係を論理的に読み解くよりも、抽象的な内容を脳内で自由に解釈することを好む。むしろ、理解できないからこそ、何か高尚なことが書いてあると思って有難がったり、満足感を得たりする。
この構造は疑似科学や新興宗教と同じなのである（IUT理論が疑似科学だと言っているのではない）。彼らはあくまでも自分の中で腑に落ちる雑学知識を求めているだけであって、数学を理解したいわけではない。そして、こういう人向けに数学や科学の知識を「布教」しても、社会への貢献にはならないと思う。
マセマの数学系の本を読んだことがある。東大の工学部の院試を受けてみて受かったことがある。
生物系の研究でも数学っぽい概念が絶対確立されてそうな雰囲気なものが多いので、数学を理解したいなーと思っていた。
２カ月くらい前に受験を決意。
＜実際の結果＞
カナリ過去問から出ると思った。逆に言えば、過去問で解答を作成できるかどうかが勝負。
基礎科目（大学１，２年レベル）と専門（代数、幾何、解析、その他の数学科特有の分野）に分かれるが。
基礎科目すら危うかった。専門は全く勝負にならなかった。
＜基礎科目のお勉強＞
基礎科目の方は、割とマセマと『演習大学院入試』で何とかなると感じた。もちろん、過去問の答えを全て作成できることが前提だけど。
追加で、『イプシロンデルタ完全攻略』、『線形代数３０講』（固有値と固有空間問題対策）でやったくらい。
時間があれば、もっと実際に手を動かして計算練習などすれば、点数は満点近くまで伸びると感じた。
一方で、集合論や幾何学を捨てていたので、京都大学の受験ではかなりビハインドを引いてしまったし、東大でも逃げ科目を作れなかったのが少し痛かった。
１００時間ほどで過去問まで対策できた。初学の分野が少なかった（複素関数、εδ、微分方程式の級数解放、線形代数の空間論が初学）ので、割となんとかなった。
＜専門のお勉強＞
代数学は『代数学１，２（雪江）』、『群・環・体 入門』、『代数学演習』、『大学院への代数学演習』と「物理のかぎしっぽ」で対策したのだが。
１００時間も勉強時間を取れなかったので、ガロア拡大の計算と、イデアルの簡単な奴しか抑えられなかった。しかも、本番で出てきたのは、明らかに知らない概念だった。もちろん、問題分の意味は何とか理解できたが、恐らくは『アティマク』や『ハーツホーン』や整数論系の概念を知らないと厳しい問題だった。
過去問を見てもできないなーと思っていたが、試験場で他の人たちが、洋書やハーツホーンや零点定理やシェバレーと言った、全く知らない概念を話していたので、勉強する分野を完全にミスったと思った。
ネットでググっても、雪江代数で受かってるっぽい感じだったから、雪江代数だけで行けると思ったけど、勘違いだったみたい。
無念。
＜感想＞
結果的にはゼンゼン駄目だったけど、数学科の人たちの雰囲気や、レベルを肌で理解できてよかった。
時間が更にあるなら、
あと、代数学もアティマクとハーツホーンと整数論は押さえたいなあと思った。
数学専門の修士1年です。整数論を学ぶものの端くれとして助言させていただきます。とりあえず以下の分野について勉強なさることを薦めます。
微積分なら杉浦「解析入門」がおすすめ。線形代数なら佐武「線型代数学」か斎藤「線形代数の世界」がおすすめです。
Atiyah MacDonald「可換代数入門」、雪江「代数学1・2・3」あたりがよい。辞書として松村「可換環論」を買うといいかも。
Serre「A Course in Arithmetic」とか、斎藤・黒川・加藤「数論」の6章あたりまでとか。
これらは数学科学部3〜4年のカリキュラムに含まれる基本的な知識です。先の内容を学びたい気持ちもあると思いますが、まずこれらの分野を「十分」学んでください。各分野についてどれぐらい学ぶ必要があるかというと、買った本の各章の内容について、証明の内容も含め、何も見ずにだいたい説明できるぐらい読んでください。あともちろん演習問題は全部解いてください。詳しい数学の勉強の方法は東京大学河東先生のこのページを参考にしてください。
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/sem.htm
ここまで勉強なさると、宇宙際タイヒミュラー理論を学ぶハードルがどれだけか、少しイメージが湧くようになると思います。もっと勉強したいと思ったら、また増田に来てください。期待しております。
まずは
1. ガロア理論
2. 楕円曲線
この二つは19世紀以前の数学の最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います。
またIUTでは楕円曲線のガロア理論を用いて数の加法や乗法の構造を調べるというようなことをしています。
1. ガロア理論
ガロア理論は方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的な問題が解決されました。これを理解するためには代数学、特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります。
さらに整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論を勉強なさるのがよいと思います。p進体では（普通の対数関数と同じように）logを定義することができ、これはIUTでも重要な役割を果たします。類体論の特別な場合として円分体のガロア理論を理解すると、例えばガウスなんかの整数論の話もより深く理解できると思います。
2. 楕円曲線
楕円曲線は楕円関数論をある種代数的に扱うようなものです。楕円関数というのは、三次式の平方根の積分でこの積分を表すために導入された関数です。19世紀の数学でかなり研究されたものですが、これについては複素解析という複素数平面上で微積分をするということについて理解する必要があります。
さらにその後の発展として、リーマン面や基本群、ホモロジーといった概念が考えられました。基本群やホモロジーというのはトポロジーという分野で研究されているものですが、数論幾何でも重要な役割を果たします。
上の二つの話は独立したものではなく、相互に関連しあうものです。例えば、基本群とガロア群はある意味では同じものだと観ることができます。このような視点を持って整数の研究をするのが数論幾何という分野です。
まとめると、まずはガロア理論を目標として代数の基本的なこと、楕円関数を目標にして複素解析を学ぶのが良いと思います。
上に書いたようなことは数論幾何を専門にするなら学部生ぐらいで知っている話です。これらを踏まえてIUTにより近い専門的な内容を学んでいくのが良いでしょう。私もその辺りについて詳しいことは言えないのですが、例えば京都大学の星先生の書かれたIUTのサーベイをご覧になってみるのが良いのではないでしょうか。
（数論が専門ではなかった。）
① 工学系修士だと、微分積分、線形代数、複素関数論あたりは知っていると思う。
応用系と数学科向けだとちょっと内容が違うので（εδ論法とか）、まずその辺の復習から始める。
② 純粋数学への入口として、「集合と位相」のような本を読む。
③ 抽象的思考の壁を乗り越えるために「代数学」のような本を読む。ガロア理論くらいまで。
④ 雑学というか、モチベーションの維持として初等整数論の本を読んだり問題をといたりする。
このくらいで、とっかかりは出来るので、その後何やったらいいかも見えてくるはず。
歳出のほとんどを 国債24% (23兆円) 、地方交付税16%(15兆円)、社会保障33% (32兆円) が占めています。
社会保障の内訳は2009 年度のものですがこちらにまとめられていました。
一方、文教及び科学振興は 6%(5兆円) です。これは小中高大学全部合わせた額です。
平成２１年度の資料によると
です。（資料８ p10より）
科研費全体で2000億円。まず半分を生物系が取って行きます。残り40%をその他理系分野が取り合います。(資料８ p10 左上の３色に色分けされた図)
人文社会系は残りの14%。280億円ですね。
運営交付金 + 科研費 = 2700億円。 歳出の0.3%程度。
このくらいが浮くかもしれませんね。
でもそれよりは医療費35兆円を 1% 削減した方が効果的ではないでしょうか。
まず僕たちにできそうな簡単な事は
この辺りでしょうかね。
（医療費の負担割合を変えるというと叩かれそうなのでこの辺りで）
ついでなので研究費の話をもう少しします。文系の方はどうか読んでください。
お金のある分野は
の重点推進 4 + 4分野です。
それ以外の分野は文系とそうかわりません。
仕分けのときも今回の騒動でも理系の役に立たない代表例として純粋数学（特に初等整数論など）や素粒子理論（特に弦理論など）あたりが引き合いに出されることがあるのですが
