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はてなキーワード: 重力定数とは
M理論を用いたビッグバンの数理的解明は、現代理論物理学の最前線に位置する課題である。以下に、より厳密な数学的枠組みを用いてこの問題にアプローチする。
(M¹¹, g) ≅ (R¹,³ × X⁷, η ⊕ h)
ここで、M¹¹は11次元多様体、gはその上の計量、R¹,³はミンコフスキー時空、X⁷はコンパクトな7次元多様体、ηはミンコフスキー計量、hはX⁷上のリッチ平坦計量である。
M理論の超対称性は、以下のスピノール方程式で特徴づけられる：
D_μ ε = 0
ここで、D_μはスピン接続、εは11次元のMajorana-Weylスピノールである。
M2-ブレーンの動力学は、以下のNambu-Goto型作用で記述される：
S[X] = -T_2 ∫_Σ d³σ √(-det(g_αβ))
ここで、T_2はブレーン張力、g_αβ = ∂_αX^μ ∂_βX^ν G_μνはブレーンの誘導計量、G_μνは背景時空の計量である。
ビッグバンを膜の衝突として捉える場合、以下の位相的遷移を考える：
M¹¹ ⊃ M₁ ∪ M₂ → M'
ここで、M₁とM₂は衝突前の膜宇宙、M'は衝突後の統合された宇宙を表す。この遷移は、コボルディズム理論の枠組みで厳密に定式化される。
11次元重力定数G₁₁と4次元重力定数G₄の関係は、以下の積分方程式で表される：
1/G₄ = Vol(X⁷)/G₁₁
ここで、Vol(X⁷) = ∫_X⁷ √det(h) d⁷y はX⁷の体積である。
M理論の無矛盾性は、以下のBianchi恒等式とアノマリー相殺条件によって保証される：
dH = 1/(2π)² [p₁(R) - 1/2 tr F² + tr R²]
ここで、Hは3形式場、p₁(R)は第一ポントリャーギン類、FとRはそれぞれゲージ場と重力場の曲率である。
Multiverse ≅ lim→ (M_i, φ_ij)
ここで、M_iは個々の宇宙、φ_ijは宇宙間の遷移を表す射である。
これらの数学的構造は、M理論を用いたビッグバンの理解に対して厳密な基礎を提供する。しかしながら、完全な証明には至っておらず、特に量子重力効果の非摂動的取り扱いや、実験的検証可能性の問題が残されている。今後、代数幾何学や位相的場の理論などの高度な数学的手法を用いた更なる研究が期待される。
タイムマシンの数理モデルを作成するのは非常に複雑で、現在の科学技術では実現不可能な課題だ。
以下に、タイムマシンの数理モデルを考える上での要素と概念を示す。
タイムマシンの理論的基礎として、アインシュタインの一般相対性理論が不可欠だ。この理論は、時空の曲がりと重力の関係を説明している。
数式: Gμν = 8πG/c^4 * Tμν
ここで、
タイムトラベルを可能にするためには、閉じた時間的曲線（Closed Timelike Curves）の存在が必要だ。
数式: ds^2 = -c^2dt^2 + dr^2 + r^2dθ^2 + r^2sin^2θdφ^2
この方程式は、時空の幾何学を表現しており、CTCが存在する条件を示している。
タイムマシンの実現方法の一つとして、ワームホールの利用が提案されている。
数式: ds^2 = -e^2Φ(r)dt^2 + (1-b(r)/r)^(-1)dr^2 + r^2(dθ^2 + sin^2θdφ^2)
ここで、Φ(r)とb(r)は、ワームホールの形状を決定する関数だ。
2. 因果律の保存
これらの要素を組み合わせて数理モデルを構築することで、理論上のタイムマシンの設計が可能になる。
ブラックホール情報パラドックスは、量子場の理論と一般相対性理論の整合性に関する根本的な問題だ。以下、より厳密な数学的定式化を示す。
量子力学では、系の時間発展はユニタリ演算子 U(t) によって記述される：
|ψ(t)⟩ = U(t)|ψ(0)⟩
ここで、U(t) は以下の性質を満たす：
U†(t)U(t) = U(t)U†(t) = I
これは、情報が保存されることを意味し、純粋状態から混合状態への遷移を禁じる。
ブラックホールの形成過程は、一般相対性理論の枠組みで記述される。シュワルツシルト解を考えると、事象の地平面の半径 rₛ は：
rₛ = 2GM/c²
ここで、G は重力定数、M はブラックホールの質量、c は光速。
ホーキング放射による蒸発過程は、曲がった時空上の量子場の理論を用いて記述される。ホーキング温度 T_H は：
T_H = ℏc³/(8πGMk_B)
ブラックホールが完全に蒸発した後、初期の純粋状態 |ψᵢ⟩ が混合状態 ρ_f に遷移したように見える：
|ψᵢ⟩⟨ψᵢ| → ρ_f
ホログラフィー原理は、(d+1) 次元の重力理論が d 次元の場の理論と等価であることを示唆する。ブラックホールのエントロピー S は：
S = A/(4Gℏ)
ここで、A は事象の地平面の面積。これは、情報が事象の地平面上に符号化されていることを示唆する。
AdS/CFT対応は、d+1 次元の反ド・ジッター空間 (AdS) における重力理論と、その境界上の d 次元共形場理論 (CFT) の間の等価性を示す。AdS 空間の計量は：
ds² = (L²/z²)(-dt² + d𝐱² + dz²)
CFT の相関関数は、AdS 空間内のフェインマン図に対応する。例えば、2点相関関数は：
ここで、m は AdS 空間内の粒子の質量、L は測地線の長さ。
量子エンタングルメントは、ブラックホール情報パラドックスの解決に重要な役割を果たす可能性がある。2粒子系のエンタングルした状態は：
|ψ⟩ = (1/√2)(|0⟩_A|1⟩_B - |1⟩_A|0⟩_B)
ER=EPR 仮説は、量子エンタングルメント（EPR）とアインシュタイン・ローゼン橋（ER）の等価性を示唆する。これにより、ブラックホール内部の情報が外部と量子的に結合している可能性が示される。
超弦理論は、ブラックホール情報パラドックスに対する完全な解決策を提供するには至っていないが、問題に取り組むための数学的に厳密なフレームワークを提供している。
ホログラフィー原理、AdS/CFT対応、量子エンタングルメントなどの概念は、このパラドックスの解決に向けた重要な手がかりとなっている。
今後の研究では、量子重力の完全な理論を構築することが必要。特に、非摂動的な超弦理論の定式化や、時空の創発メカニズムの解明が重要な課題となるだろう。
Xで共有された動画で塾講師の先生が「要領が悪い奴は定数を動かそうとする、変数をどうにかすべき、だからこういうところが数学を学ぶ意味だ」とか言ってんのよ
いいか、数学ってのは公理から演繹的に体系を導き出す「芸術」だ
証明法にもエレガントさってものがあるし、第一、美しくない公理体系は見向きもされない
定数ってのは物理学の話だ。物理学にはプランク定数h、光の速度c、重力定数G、という基本的な3つの定数があるが、たしかにこれらを「動かそう」という話はしない
あるいは数学にもπやeのような定数はあるが、要領の良さとは無関係であり、動かそうという話もない
しかしそれは常識レベルの話だ、「誰も神の力を持っていない」と言うようなものだからだ
線型回帰を適用したら定数項が出るかも知れないが、これは変数に依存しないというだけの話で、データが変われば動く
政治に対しては努力次第で影響を与えられるし、人間関係だってそうだろう
「努力の大きさに見合わないほど、それを動かすのが難しい」という話をしたいなら、残念ながらそれは「定数」の話ではない、むしろ現象が変数に対して持つ感度の問題である
しかし俺がいいたいのはそういうことじゃない。芸術であるはずのものを「要領の良さ」という低俗なトピックに落とし込むその感性が全く同意できないのである
例えばラングランズ・プログラムの先にあるものはなにか、と考えれば、それは驚愕的な数学の繋がりを示すことであり、陳腐とも言える「要領のいい」応用を目指したものではないだろう
要領の良さというのは、要するに経済学の話であり、数学ではない
わかったか？
ひろゆきが位置エネルギーで批判されたことにまだ納得がいってないらしく、またTwitterで喧嘩を始めているので少し書く。
ひろゆきは自覚していないようだが、実は説明がかなり下手である
その原因は以下の３点:
今回の「位置エネルギーは嘘」発言に関して、まずひろゆきの前提知識は
・中学で「高いところにあるものは位置エネルギーが大きいので落ちた時のダメージが大きい」と習った
・中学で「位置エネルギーU=mgh」の公式を丸暗記させられた
この前提のもと、ひろゆきは
・高いところにあるものは重力があるから落ちてきて地表にダメージを与えるのであって、位置エネルギーという謎の概念を持ち出さなくてもいいのでは？
・hを大きくすると物体が宇宙空間に行くが、そうなると物が落ちてこないので地表へのダメージが0になる
と考え、「位置エネルギーは便宜上導入された本来不要な物」と結論づけた
この結論がおかしいのは、我々の前提知識とひろゆきの前提知識が違うこと、またひろゆき自身の誤解によるものである
・宇宙空間では無重力であり、地球の重力が働かないと思っている
・位置エネルギーU=mghは様々な仮定の下で成り立っていることを知らず、普遍的なものだと思っている
U=mghは、重力による力F=-mgが一定であり（地表近く）、地球と対象の物体しか存在せず、他の星やその重力による影響が無いと仮定した時に導出できる
ひろゆきのように宇宙スケールで考える場合、重力による力Fは地球からの距離rの2乗に反比例するためF=-GMm/r^2になり（Mは地球の質量、Gは重力定数、rは地球の中心から物体への距離）、位置エネルギーU=-GMn/rとなる
したがって、物体の高さrをどれだけ高くしようとも地球の重力のみが働くので、無限時間待てば物体は必ず地球に落ちてくる
さらに重力が距離によって突然消えてなくなることはないので、ひろゆきの言う「重力圏」の外でも重力は働いている
「突然落ちてこなくなってエネルギーが０になる」という発言は、これらの勘違いが生んだ明らかな誤りである
中学でU=mghを覚えさせられた人にとって、位置エネルギーが計算を楽にするための謎の概念に見えてしまうのはしかたがないので、「位置エネルギーなんか使わず重力で落下ダメージを説明すべきだ」という結論に達してしまうのは少し納得できるが、場のポテンシャルや力を学んだ人にとっては何を言っているか分からなくなるので、結果としてひろゆきとそれ以外の人とが分かり合うことはない
ひろゆきは「頭の悪い人にもわかりやすく説明したつもりだが、なぜ分からないのか」と配信で愚痴っていたが、ひろゆきの前提知識が特殊すぎるせいでそうなっている
位置エネルギーひとつを取ってみても、背後には様々な仮定や理論が存在する
それらを完全に無視して、中学の時に習っただけの知識から独自の解釈や物理学を発展させるのは非常に良くないので、まずは勉強をし直すことをおすすめする
ひろゆきが頻繁に言っている「位置エネルギーではなく重力で説明」という表現がなぜおかしいのかが分かるようになるまで勉強し理解することができれば、それを他の物事にも応用し、世界をより深く理解できるようになると思う
言い換えはそんなものじゃないでしょうか。
で、後半部分ですが、厳密に言えば大小に関わらず相対性理論によるわけで、その時点でニュートン力学から外れるし、量子力学の影響とか、「恐ろしく厳密」ならばニュートン力学だけじゃ不足なのは自明じゃないでしょうか。
ただ、「そういう意味ですか？」と聞かれると「どういう意味ですか？」と思います。
わたしの「力学の話をするときには「力」という言葉をもう少し丁寧に扱ってほしい。重力定数と重力加速度と力（重力、引力、引く力 etc.）は違うものだから。」という部分に対してなら、例えば、http://anond.hatelabo.jp/20091230202457の
ニュートン力学で言えば、地球が物体を引く力は一定で、物体が地球に向かって移動する力は質量に依存するので一定。
物体が地球を引く力は、それぞれの物体の質量に依存して異なるが、地球の質量は一定なので、重い物体の地球を引く力の方が大きい。
について、
「地球が物体を引く力は一定」は「地球が物体に及ぼす重力加速度は（両者の重心間の距離が一定ならば）一定」か「地球が物体を引く力は物体の質量（と両者の重心間の距離）に依存する」
「物体が地球に向かって移動する力は質量に依存するので一定」は「物体が地球に向かう加速度は重力加速度に依存するので一定」
「それぞれの重力定数をga,gb,ge」は「それぞれの（重心間距離が等しい初期の）重力加速度をga,gb,ge」
とか、回りくどい説明をしなくても、
「質量が大きい物体ほど引力が強いので地球が大きく動き、早く接触する」
でよいのでは。
でもって、別々ならそうなんだけど、同時に、となるとまた別の話が必要で、重い物体の方に僅かに地球が寄り、地球の表面は平面ではなく曲面だから、距離的な差が生まれる（たぶん）っていう形状的な話になって、そうすると落下する二つの物体間の引力を無視するのはナンセンス、と言う話になって、さらに地球上の3次元的な重力分布の偏りも（互いの重心距離や接地面との垂直方向や距離を考慮するならば）考慮しなければと言う話が、結局何をもって「同じ高さ」とするかという話になって、そうすると距離、つまり長さの定義（つまり光速）の精度に収まる話なのか、という問題も出てくるわけで。
あ、月や太陽の話を忘れた。
http://anond.hatelabo.jp/20091230234610
まぁ要すると、そこまで考えると「地球」というもの自体を厳密に定義しなきゃいけなくなるよね。現実の地球は複雑不安定過ぎて話にならないから。
「ニュートン力学までしか習わない小・中学校だと、空気抵抗が無いと同じと習うこともあるので、」という部分について「ニュートン力学までしか習わない」という表現が不正確というか無意味というか、「ニュートン力学までしか習わない」から同じと習うわけではないということ。
あと、力学の話をするときには「力」という言葉をもう少し丁寧に扱ってほしい。重力定数と重力加速度と力（重力、引力、引く力 etc.）は違うものだから。
ニュートン力学で言えば、地球が物体を引く力は一定で、物体が地球に向かって移動する力は質量に依存するので一定。
物体が地球を引く力は、それぞれの物体の質量に依存して異なるが、地球の質量は一定なので、重い物体の地球を引く力の方が大きい。
物体の質量 A,B 地球の質量E それぞれの重力定数をga,gb,geとしたときに 重い方をAとすると
Agc/A = Bgc/B は一定になるが Ega/E > Egb/E では、gaの方がより大きな加速度になる。小数点が何十個つくのかしらないけれど、地球もごく僅かに物体側に移動する。
って話。
ただ、こんなことをいくら言い始めても、
そもそも、地球上では、空気抵抗は無視できないので、空気抵抗は無視するという付帯事項その物がナンセンスで
実際は、空気抵抗をより受けない方が先に落ちるが正解。
http://anond.hatelabo.jp/20090202064637
むしろ私は科学を学ぶ内に創造主としての神を信じてやっても良いような気持ちが生じて来た。
カオスとしてのこの宇宙の構造を生み出す見事な法則を定めた奴は誰だ。
重力定数や光速、各素粒子の質量や電荷その他パラメータを与え、
また宇宙の始まりにおける初期条件を与えたのは誰だ。
だがこの宇宙を支配する法則がどこまで解明されようとも絶対に解らないことが判っている、
それはこの世界への親愛の情を通して増幅され、
そいつは、私を極とした私が知り得る限りの私の球座標世界を r→1/r と裏返したような
知覚の埒外の世界の∞の果てに居る、矮小な私自身の荘厳な虚像にして、
