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はてなキーワード: 無理数とは
可算性が感覚で決まってたら困るだろｗｗｗｗ
無理数は何となく数えられそうな感じがするから可算で！とかだったらどうすんだよｗ
一見簡単なように思えるけど、少し考えるとわからなくなる。単純に考えるとまず長さが1の線を引き、その端に長さ1の垂直な線を引く。そして二つの線の端と端を結べば、完成するように見える。しかしこれで作図できているのだろうか？なぜこんなことを疑問に思うかというと、ルート2が出てくるからだ。2等辺でない残りの辺の長さは三平方の定理からルート2になる。ルート2というのはよく知られている無理数である。従って理論的にはどこまで正確に引いても、有限である限りは長さが足りなくならなければならない。例えば1.41の長さの線を引いたとする。これだけでは、0.004は少なくとも足りなくなる。次に1.414の長さにしたとする。それでも0.0002は少なくとも足りなくなる。これがずっと続くのである。ルート2は無理数なので、理論的には有限である限りは常に長さが足りなくならなければならない。言い換えれば作図できないはずなのだ。しかし現実では有限にも関わらず、ルート2の長さの線を引けてしまう。一体なぜなのだろうか？現実が間違っているのだろうか？
横だけど、
これの意味がわからないので解説してほしい。
ぼくも、その話は聞きたい。サラっと説明できなくてもいいので。
いわゆるフツーの「ことば・言語」が、人文科学の世界を表現する道具だとしたら、
「数学」は、自然科学(特に、広義の物理学・力学)の世界を表現する道具で、
つまり、「数学」は宇宙の成り立ちを説明するための「ことば」だと言えると、私は思う。
そういう意味で、数学が世界の射影(線形代数でいうところの写像)という表現は的確だと思う。
そして、ムズムズする感触というのは、たとえば「虚数」の存在や「自然数」「π」のような意味を持つ無理数が、
我々が接していて実感できる空間からは容易に見いだすことはできないのに、
しかし宇宙を構成するために重要な意味を持っていることへの感覚的なギャップのこと、
すなわち、世界の射影であるはずなのに、自分の理解を超えた世界を映し出していることへの不安じゃないかと、
私は思う。
音の高さは周波数で表現される。周波数が2倍になったとき，われわれは音色が保たれたまま1段「高く」なったと感じる。4倍で2段。2^n倍でn段となる。これに必然性はなく生物的所与条件にすぎない（たとえば，3倍を1段と感じたり，100Hzごとに1段と感じる生物がいてもよい）。人間の耳は20Hz～20000Hzまでの音を知覚できるので，最大10段程度（2^10=1024倍）の音色を聞き分けられることになる。
1段を細分化する制度が音階である。分割の仕方には2つの論点がある。まず，いくつに分割するか。一般によく知られているのは12階に分割する方法（12音階）だが，これが「正しい」わけではない。5音階や3音階を採用した音楽文化も存在する。次に，どのように分割するか。先述のとおり音色は比で決定されるので，差で分割するのは普遍性に欠ける（1段内のみなら可能だが，2段目以降に適用したときに破綻する）。人間の耳は最小で周波数の0.3%が変化したときにその変化を感知できることが知られている。よって1.003以上の比で分割することになる。各音の比を可変にして，常に整数値になるようにしたものを純正律，また各音の比が一定になるようにしたものを平均律という。平均律12音階制を採用した場合，各音の比は12√2になる。これは無理数であるので，これをもとに音楽を奏でるときには近似値を用いなければならない。
F = f * 2^(x/12)
と表すことができる。なおfは基準音，xは基準音からの隔たりを示す整数（音程）である。前提から自明であるが，これは離散的な値をとる。
音階に基づく音を時系列に沿って表示する記号体系として五線譜が広く用いられている。周波数の高低を視覚的な上下に置き換えて示すため直観的にわかりやすい。この五線譜を周波数のグラフとして考えることができる。各々の線は等比的な増大を示すため，対数グラフである。ただし一般的な五線譜の記法は7音階＋5半音という古典的な考え方に基づいているため完全な対数グラフではない。
問い：xを実数としpを有理数としたとき、x+pが無理数であるならば、xが無理数であることを示せ。
簡単に解くには、xを有理数として、x+pが有理数であることを示せばいいだけ。有理数は四則演算に閉じているから問題なし。
ならばこれをほかの方法でとくことができるのか？考えてみてください。一応自分で考えたのは下のほうに流れだけを書いておきます。
自分の回答(欠陥あり)
xを二次無理数を仮定し、xを循環連分数の形に直す。その場合においてx+pはある一定のところからまた循環連分数となり、循環連分数が無理数であることを証明すればよい。この場合だと二次無理数にしか適応できないのが問題。だとえばpiとかこの方法だと示すことができない。
なぜならpiは循環連分数でないからだ。この場合はどうすればいいのだろうか。xが超越数であることを仮定して解かなければならないのか。解き方がわからん。
Ａ４サイズの紙の横縦比は１：√２なのは周知の事実。
しかし、ここで無理数というものについて考えてみます。
そんなものは一体どうやって実現するのでしょうか？
定規で測って一体いくつになったら√２だなどと言えるのでしょうか？
表現するのが無理だから無理数というのではないのでしょうか？
しかし、ここで横縦比１：１の正方形を斜めに折ってみてください。
周知の通り１：１：√２の直角三角形ができあがります。
√２が無理な数であるにもかかわらずそこには√２があります。
そこには√２があるのだから、定規で測ることが可能なはずです。
しかし、その定規が示す値というものは・・・・！？？？無理なのか！？
おぉ神よ