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はてなキーワード: 無理数とは
この教科書ではフェルマーの定理を検討するために必要な材料となるそれに関係する専門知識や技術について集めることにしたい。
（１） 不定方程式とは何か？ この問題は最初に、ある種の不定方程式の解のふるまいというテーマで開始されたことから不定方程式に関して検討する。
（２） 無限降下法は技術か？ ４，３のときは既に論文があるが、 ３の場合は 補題が６つついた定理を適用するもので、難解で、哲学者の間でも、理想的な構成かどうか
はっきりしていない。しかも、３のときは、u^p+w^p+w^p=0 という式も出てきて非常に理解困難である。
（３） エレガントな技術ぬきにして、性格だけに着目した愚直な証明と言うのは存在するのか？ 証明とは何か？ 証明論
例
背理法による√２が無理数の証明 背理法とは何か？ 公理系や定義といったその界隈の致命的なところに矛盾させるもの
背理法による証明はエレガントであるか？ 学会ではまだ意見がない 話にならない
（４）発見された経緯 整数の分野に対して興味を持っていた人が発見
専門知識はほとんどない。 技術は、背理法＝無限降下法による。 受験生でも分かる部分的な議論 p^4+q^4 は 整数の2乗にならないことから開始する。
（2p）^4+q^4 は自然数の2乗にならないことを証明していく。非常に真面目な精神作業となり、苦しい。最終的に無限降下法を適用することも、それがどのような技術なのか皆目不明。
（５）関係する先生 誰もおらず何の生産性もない。 早稲田大学の雪江というごみ・・・ やる気がない。
よびのり ・・・ Youtubeで４の場合を解説しているだけで先に行かない。
今日息子と一緒に考えたテーマは「無理数に覆われた世界」です。
高さと底辺をそれぞれ1とする直角二等辺三角形を作図することで数直線上に√2をとることができます。
またそのようなことをしなくても有理数である1と1.1の間に無数の無理数を見出すことができます。
息子はショックを受けましたが、半日間一生懸命うんうんと色々考えていました。
デデキント切断を知らない息子がそのメソッドを捉えるか捉えないかのところで一生懸命考える様子に、子供の無限の可能性を見出すことができました。
これまでの数に対する認識を改める良いきっかけになったと感じています。
中学受験を終え、息子の友人や同級生は中学校の数学と英語を1日でも早く終えようと息巻いていますが、私の場合、息子には「当たり前」と思っている物事に対して常に「なぜ？」を持ち、考える習慣を身につけて欲しいと思っています。
公式や問題の解き方のみを頭に入れて自分を知的能力の高い人間と思い込む「参考書の猿山の大将」になってほしくないのです。
漫画の中には一回読んだら展開をどうしても忘れられない漫画があるように
（例えばドラゴンボール読んじゃったらドラゴンボールを7つ集めたらどうなるか忘れられないじゃん？）
たとえば数学の問題だって解法見ちゃったらどうしてもそれを忘れられない事があるだろう
私はtan1°が無理数である事の証明とかうっかり答え見ちゃったせいで
別解を考える事しか出来なくなってしまった。答えに載ってる証明は忘れることが出来そうにない
こんな感じで知っちゃったら忘れたくても忘れられない情報だけずっと積み重ねるだけで
それが暗記か暗記じゃないかなんてどうでもいい。暗記だって言うなら反対しないし暗記じゃないって言うなら反対しない
ただ忘れないように頑張らなきゃいけない、みたいな苦労は数学には要らないと思う
内容はそれでいいんだけど、デデキント切断なんだから、無理数の話絡んでくるよね
「可算無限集合からの単射が存在する」ことを「無限集合」の定義として採用しちゃいかんの？
ZFの「無限の公理」で要求されてるのもそういう意味での「無限集合」の存在だよね。
「無限集合」をどう定義した前提で言ってるのかよくわからない。
「無理数が無限個あるか、についての議論」というのも、いつ誰が何のために要求したのかもよくわからない。要求されている問によって必要な答えは変わるのに。
そこで、その自称数学ができるゴミクズは実数が無限個存在するのに、「自然数が無限個存在するから」といい始めた。
これは明らかにこれは間違っていて、
まず「集合Aの真部分集合Bが無限集合のとき、Aが無限集合」であることを証明しろ、言ったら「自明ですよね」といったので、
「自明は明らかだから説明いりませんのね、の意味であって証明が不要であるって意味じゃねえよ」と喧嘩になった。
次に、自然数が無限個だから、有理数は数え上げで無限集合と飛躍させても良いかもしれないが、
この話になったときは、「有理数が無限個あるんだから、無理数が有限個しかなくても、実数は無限個ありますよね」と言い始めた。
無理数が無限個なのか有限個なのかわからない状態で実数の研究やって一体何の意味があるんだ。
虚数と実数は、複素数の部分集合であり、互いに排他的ではない。
また、虚数は実数直線上にはないが、複素数平面上では実軸と垂直な虚軸に沿って表される。
したがって、虚数と実数は全く別のものではなく、複素数という枠組みの中で共存している。
一方、chatGPT（人工知能）と人間（天然知能）は、知能の種類や性質が異なるものである。
chatGPTはプログラムされたルールやデータに基づいて会話を生成するが、人間は自然言語や感情や経験に基づいて会話を行う。
chatGPTは人間の言語や文化を模倣することができるが、人間の思考や感覚を本質的に理解することはできない。
したがって、chatGPTと人間は全く異なるものであり、知能という枠組みの中で対立している。
以上のように、この文章は虚数と実数の関係を誤って用いており、chatGPTと人間の関係を正しく表現していない。
むしろ、chatGPTと人間の関係は、虚数と実数ではなく、有理数と無理数に例える方が適切である。
有理数と無理数は、実数の部分集合であり、互いに排他的である。
また、√2は無理数であり、有理数ではない。また、有理数は分母と分子によって表されるが、無理数は小数点以下が無限に続くために表せない。
したがって、有理数と無理数は全く別のものであり、実数という枠組みの中で対立している。
このように考えると、chatGPT（人工知能）は有理数に例えられる。
chatGPTはプログラムやデータによって表されるが、その範囲や精度に限界がある。
一方、人間（天然知能）は無理数に例えられる。人間は言語や感情や経験によって表されるが、その深さや広さに限界がない。
見聞きした言葉でこれ使えるなと思ったのを日々notepad.exeで追加してる。
たとえば丁々発止なんて言葉もfanzaあたりで検索するとエロいのが出る雰囲気を俺は感じるのでそういうのを記録している。
あるいは「小力(こぢから)」みたいな言葉はあまり使われていないように感じるが、ただでさえそんな言葉がもし漫画で使われているとしたら、その言葉が含まれるその紹介文の該当箇所はどういうことを言ったものなのだろう、そしてそれはどういう漫画だろう、ということが気になるので、そういう言葉も集めてる。この場合たとえば最近も「大串」と調べたら、「巨大串」という形で使われていたという意外な発見もあて面白い。
以下リスト(原文の改行はコンマに置換してある)はじめの方は単語じゃなく文のようになってる関係なさそうなのもある。
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ディスガイア萌えアニメtwitter,塩辛履歴dlsite,太陽の塔全身タイツ着ぐるみtwitter,↑マスクをかぶ(被)/つけ、仮面,丁々発止dlfanza,bike shorts2=8,おこや,マリーインボスカヤ イボンスカヤ,twitter肉まん東方dlサイトsite,エロ漫画スレsaucenao,つるみく（似てるユーザのF5から）,ブックマークgamekemono,・パチパラ,81475783,調布fitnessマイバスケット,dicl big musclar,筋肉 皮モノ/物,nsfwポイピクサムネ表示,・土方つなぎ,・野田総理追悼演説全文,肉じゅばん,,ミリム 転 丸呑み,漫画家イエナガ アニメ化ベクトー,/g/ shingekiとか雑誌,軒猿,kemono精液,,モブ・コント,essensial pack,早押しクイズ appstore,八島さんが堕ちるまでfanza全頭・1967357latex貧乳,全身ラバー、全身をラバー、全身がラバー、ラバーで全身、ラバーに全身,マネキン人形化,シーメール化びんたま見てから,剣手2183114 scilence,masked face anthology kigurumi latex bodysuit bondage(bdsm),船,saimin 嵌ってる,hotmilk 3、６,smell,,pixivブクマ数500ぐらいの,股ぐら柱の背比べ,skebからpixiv登録してない奴のツイッター,chanrio,夜更かし股蒸れ,,,misakuraミーツ,藍,,男体化/改造手術,ftm/手術性転換←むしろ文から,クリ(陰核)尿道(尿管)/手術改造,尿道(尿管)開通延長[伸ば/伸び],クリに尿道/尿道クリ[繋いで/繋ぎ五段活用],シーメールカントボーイふたなり化男体化改造,人形化リョナdid,スキューバどざえもん,人中/顔射、精,膣閉鎖まん肉陰唇恥丘ぷにまん/縫,ピエロ肥満膨体強制,・毛穴/ワックス剃毛,,魔法少女 魔女っ娘 猿(の格好) ボディースーツ 全身タイツ 着ぐるみ もじもじくん,ラブドールダッチタイツぐるみ,ファザコン,産卵,股裂,変態洗脳戦闘員痴女,のっぺらぼう化改造 ,club cinq,少年エース,中に無いもの掛け合わせに使うの歓迎,同人はきりがないし検索から外す,さすがの知名度ガキはここに,変身まちかど,めがね魅了ほのおき,シチュとしてもし例外多くなったら定義を変える,site:thebase.in,,オフロードスター壱號,ただのノァ,,シールブックたまごっちパワパフサウスパークリトルポニーアメリカは,少女漫画がなくて存在していたと思えるかで決まるサクラ大戦きしだめるアルルまで,・資格の受験を控えてるからとはわざわざコンビニでは雑誌のほうを見ないようにしてる,つまりちょっとでも目に入ったら調べずにはいられなくなることを恐れてのことだがそんな些細なことでも反応せずにはいられないほどそれはつまりそれほどまで二次元に対して熱意を持っている,・二次元でオナニーしてそのパンツを洗わない,,253 名前：名無し象は鼻がウナギだ！ 2022/04/14(木) 20:45:17.21 0,"スタッフで美味しく" 約 2,310,000 件,"スタッフが美味しく" 約 470,000 件,"スタッフに美味しく" 約 69,900 件,,"スタッフでおいしく" 約 178,000 件,"スタッフがおいしく" 約 241,000 件,"スタッフにおいしく" 約 31,000 件,,ポッキー半分がスタッフにおいしくいただかれた状態でやってくる,,480名無しさん＠どーでもいいことだが。 (ｱｳｱｳｳｰ Sabb-AI/Q)2022/04/12(火) 23:58:04.54ID:WiTaAD0Va>>482,>>478,やべーぞレイプだは無頼男、クンニしろオラァはエデンの檻、パコさんはパジャマな彼女,,青少年にショッキングな性暴力を見せることの良し悪しと、現実とフィクションの混同は別問題でしょ,リアルだからじゃなく、例えばこれが非現実的な触手で腹ボコ異種姦とかでも同じようになったと思うぞ,,子供が真似する云々は親の躾の問題じゃないかねえ,プロレス技とか真似して大怪我みたいな事件もあるからなんとも言い難いが,,国情報の見方がよくわからないんだよな,たとえば相場の欄があるが商人のとこで見れるから二度手間じゃないかと思う,最近まで見る価値一切無いとさえ思ってたが在庫の欄は一度に商人と取引できる量と関係あるということでそこだけ見るようにはなった,他に国情報について見方というかこういう数値だったらこういう行動をとればいいみたいな指針を立てるみたいな活用法的なものはあるだろうか？,,https://lavender.5ch.net/test/read.cgi/gengo/1630676954/871,にある旧おじに対してお前らが上という考え,これは正しいと思う,しかし俺に対してお前らの立場が上だと思ってるのなら図に乗るなという感じだな,俺は客観普遍の科学の方法論を説いてるだけ,それはお前が理解しようがしまいが揺らぐようなものでもないのにも関わらず、生暖かい目でお前らが理解するのを待ってやってるだけだ,そういうわけでどう考えても俺が上,,[1;31mhitomi: An unexpected error occurred: AttributeError - 'NoneType' object,has no attribute 'startswith'. Please run gallery-dl again with the --verbose fl,ag, copy its output and report this issue on https://github.com/mikf/gallery-dl/,issues .[0m,,西側,東側,東西,冷戦,俳句,俳諧,句会,句集,詩集,諜報,間諜,苦界,刺繍,正の字,着ぐるみ,器具罪,ガーターベルト,楽器 琴,琴,大正琴,アルトサックス,無心,医院,傀儡,sdカード,給湯,急騰,エフェクト,物置,精錬,屋台骨,こしひかり,陣屋,臨時,創業,一膳 膳,七味,目の色が変わ(を変え),辛子,鉄山,格式,そっか,品種,・肉厚,肉薄,アホ毛,食い逃げ,なん(何)のこれ(しき),オリジナリティ,不憫,秋晴,習性,お家芸,旧い,旧党,無理数,あおひげ,物見高,横断,黄疸,痰壺,横臥,サロン男性向け,オジキソウ,物産,琥珀,タペタム,産界,一本締め,縄会,鍵盤ハーモニカ,(届いた)ビデオテープ,カロリン,棟上,子煩悩,握力,筋トレ,郵,踏破,鉄の足,旅慣れ,古武術,オドリコソウ,負荷,フカヒレ,整髪,社交ダンス ,閣下,モスク,聖地,遊学,遊楽,幽学,魚拓,ジェラート,(えら)骨,すんごい,まっいっか、まっいいか、まいいか、まいっか,カステラ,アイヤッパン,先取り,考古(歴史) 修復,口訣,養蚕,医院,きよみず,制限,周辺,よそよそし,カチューシャ,・蒔絵,机上の空論,机上,鋳造,殺(戮)兵器,留守番,留守居,襦袢,えるゴミ,溶鉱,倫理,呵責,反知性,高踏,互市,ビーフン,観戦,波消し,パンチが強い,アンダーグラウンド,アングラ,海賊版,平坦,ドメイン,ドレイン,根絶,歯車,海中,海底,改訂,関係機関,修正作業,年末調整,(是見)よがし,おんしょく(音色)renta,バンドサウンド,自己流,パワーコード,音のぶつかり,さしもの,水(みず)反射スカートパン下着,手鏡,禁門,金紋,礎と,可塑,門人,外貨,説諭,戦略,序曲,おなかトントン,終曲,サイコロ,コッペパン,アクアパッツァ,吐息,揚げパン,邪魔,カルエル,バズーカ,収穫祭,・炭鉱,切手、小切手,図鑑,辞典,事典,揺籃,ショートカット,ガトー,ビュッフェ,法律上,巧妙,創作物、創作,寺子屋、寺子,寺古,じゃらん,無責任,若女将、女将,よいではないかrenta,節操,奥行き,野沢菜,塩梅,ボケボケ,カフェセレブ,暗示,ふりふり,穏便,使い魔,(にこにこえがお)renta,胴衣,同位体,電動マッサージ、電マ,軽便,(マグロ),表面積,受熱,副虹,ソレイユ,変面,変顔,プリクラ,アカデミ,変心,スイギュウ,エンパシー,個室,霊地,ネカフェ,(吊り橋),・マート,へにょり,出来るような気,結構な,ガードレール,マンホール,群生,開帳,朱印,良妻賢母,ミルフィーユ,(踏切),歩道橋,バス停,停留,ババロア,(食い込),コットン,オーガニック,ネイリスト,メイク崩れ,いたがゆ,オッズ,レバレッジ,助詞,金貨,言語学,文法,命運,概論,練習試合,ワセリン,コランダム,夜のしじま(静寂),ハウスマスター,モノクル,即席家族,収拾,あてられ(た),実直,教導,労をねぎら,見取り図,高砂,ガンマン,ピストル,ベースキャンプ,祭りのあと,あまじょっぱ,きくらげ,親分肌,姉御肌,出囃子,はみご,(あしからず),オープン,最後の入院,テレビ 企画,伏魔殿,クリーンヒット,無神経,信頼関係,夫(妻)の理解,カミングアウト,メンタル(ヘルス),有機(の),デバフ,勝たん,徒歩(かち),八重歯,考えがある,持ち合わせ,視聴者(fanza),ざるをえ(得),所狭し,急成長,タイトルホルダー,見込み,見切り発車,滑り止め,皆様,お目汚し,シツレー,これにて,ラバー フェチ,タイムライン,原価,パン粉,ターニング,ベーグル,マフィン,スラット,スナッフ,カリカリ,急成長,(樽),ぷつっと,くさびを打,ヒーラー 悪役,打ち首,ぶつ切り,スパット,ドルチェ,カルティエ,ブルガリ,スムージー,週末,郷(さと),ひさご,ナメル,目出し帽,ドリップ,ドーリィ,御役御免,ケーブルカー,容体,陰性,東京進出,縮こま,交信,消臭,認識機能,まん毛,クリプト,テンガロン,嗅ぎ付,切り通し,渡り鳥,カヤック,リンクル,美貌,魔盾,もっこり,スカル,翡翠,デイジー,冷え性,痛車,(みずみずし),裏日本,いぶった,連れション,立ちション,しみしみ,ヴィヴァーチェ,立食,コールスロー,カシミール,コンチネンタル,道連れ,アロス,笑撃,安直,腰溜め,土壌,音楽シーン,血 ぴゅー,カルドゥッチ,ナリシング,ごにょごにょ,ごみょごみょ,改正,初稿,強直,包囲(男性向け),(真っ只中),厚み,ロコモコ,アヒポキ,ホクホク,(葦簀),西日,放屁,むぐって/た,直売,ひさが笑,チェーマン,エトランゼ,マニ(教),ご意思,あからさま,心躍,こなれる/て,究極の歌姫,タイアップ,引きも切ら,ふーふー,猫舌,微動,デーツ,かしこぶ,篭手,かすり傷,爪楊枝,シンセサイザ,児童文学,ボーカロイド,直帰,急務,まっしぐら,家系図,秋の機械,バインバイン,コンバイン,モータウン,腐心,揺籃,ガラス張り,膣トレ,ナイトクラブ,ポールダンス,げんなり,経血,フェムゾーン,突破,ロイター板,舗装,懊悩,除霊,徐行,逃げ道,黙殺,・リーキ,どうらら,大喜利,レール,リニア,値札,上臈,キッチンカー,顆粒 ,なで肩,スプリング,トレパク,パクり,ひょっこり,重工,校歌,生まれてくる,ドリフ,審査,新芽,隠し部屋,丸刈り,ラブソング,泡切れ,虎の子,キックスケーター,敢行,野宿,エルドラド,段々畑,自他(とも),プレス機,加工物,ホッピー,もそろ,(飴)色,デミグラス,グレービー,グレープ,野火,スタンプ(ラリー),ラリー,崚,いってきます,社会勉強,蕗の薹,問屋,イントロ,ティーナ,出向(い),魂魄,(部)外秘,サルベージ,健康骨,腐葉土,遺留,慰留,二人三脚,かかと落とし,安食,パディトン,ドミグラス,マッシュ(ルーム),休職,ケルヒャー,ソイソース,ホットサンド,コーヒーフレッシュ,トロンボーン,類似,言い遺,民泊,ダクト,ドーラー,半地下,マナ,寄り目,シュラスコ,屋台骨,土性骨,すべすべ,ハメが外,火薬 花火,舞妓 化粧(が),バーニャカウダ,ヒジャブ,ジップライン,女性用,男性用,用兵,籠城,伏兵,輪切り,アク (漫画家)[括弧が先],復職,フルール,ペチュニア,無撚,造反,肌を合わ,淫蕩,手芸,tl漫画家,ラクシュミ,黄石公,解呪,夜職,高目,フェビアン,大公望,ザッピング,こういう時,反転攻勢,肌掛け,ドア越し,式典,マクロビ,それなり,プレスカード,身分証,当て込,折込,うってつけ,サンドバッグ,閉塞,葉巻,オスロ,フラッパーの(な),ならず者,しゃきっ,運命論,ギャング,盗んだ車,共同作業,・配信,バンラリース,別離,発喪,政変,ビタミンB1,眼精,天誅,天佑,孤立化,開かせ,年の頃,八つぁん,(ぐあい）,ヴェルヴェット,悲嘆,勅許,へしこ,アクアリウム,開明,持ち上が,やってのけ,晦冥,それはあれ,手の者,正義マン,乾 いぬい,むろお,・あみだ(くじ),ドッジボール,鍼灸,板金,気流,手(もみ),壁紙,パンパス,debut,パンプス,ドレッサー,映画の宣伝,誉れな,足蹴,司牧,鞠躬如,けん玉,(じゃらんぽん),デトックス,キンパラ,鼻につく,言い分,貫け,真作,ニス,姦婦,贋作,フェルメール,あんかけ ,キックボード,全容,のど飴,しゃあしゃあ,覆る/し,心臓な/だ,にゅうにゅう、にゅーにゅー,ドッキング,万華、華鏡,戒 法,受戒,(ことこと),お召し,パーキング,水あめ、水飴,じとじと,しれっと,ヘラ期,汽笛,(中長)期的,(唐揚げ),atm (年漫画),(ものまね)renta,ギャラ呑み, うんてい,水玉,肉まん,水油,天花粉,香油,持って数,叩き込,異物,改変,遺伝子 組,儚、果敢ない/く、はかない/く,物は言い,言い逃げ,嫌な打算,こわすぎrenta,口にす/し,マーシナリー,洗いざら,赤線,青線,節介,ディーゼル,(なんともでき),みなは,アストリンゼン,ケトン,ファルシオン,間取り,見取り,柑,ノープラン,しっくり,バイキング,グロッキー,シッカロール,勝負になら,せていただ,ツルツル,コーティング,bgm,効果音,バックグラウンド,(すけこまし),コケティッシュ,気落ち,あざと,さかいに,国防,カピカ,八重歯、犬歯、臼歯,薄幸,・旧師,白光,くんだり,とどま,素敵空間,宅浪,パッケージ,ツマミ,パッキング,サイバー,・5次元(の)女,アンティーク,独り者,ディスカウント,運航,水難,分際,間際,特長,テニサー,(蒸し蒸し),修正済み,こさめ,緩和,引き締め,逆さ吊り,おしおき,仕立て屋,見立て,備え,梁 柱,正座,未来志向,転倒,瞬発,奮発,実写,唱歌,トロフィー,ハンチング,・子分,古文,(のたれ死),恵まれ,この先,痛恨,失言,ビット,ピット,ショークラブ,ペシミス,まぐろ 漁船,世替わり,あがき,おぼれ,プリントシ－ル,余念,下まつげ,エクステ,唱和,・な校則,復縁,(掘り起こ),小窓,明り取り,のろけ 年漫画, Permalink | 記事への反応(2) | 12:17
と言ってたが、これは間違っている。
これは重箱の隅をつつくような話ではない。
正確な円が作図できるかどうかとか、測定が有限回の操作で終わるかどうかとは何の関係も無い。
これは重箱の隅をつつくような話ではない。
番組の解答は「厳密ではないが非専門家向けにわかりやすく説明している」とかではなく、単純に間違っているのである。
「100かける100が10000になるのはなぜ？」という質問に「掛け算は足し算より大きいから」とか言ってるのと同じくらい的が外れている。
そもそも、
という議論はどちらも間違っている。
たとえば、長さ1の線分の半分の長さは当然0.5であるが、線の太さとかインクの滲みなどまで考慮したら現実世界で正確な等分点を作図することは不可能である。
また、半径aの円周上に点Pを取り円を1周転がしたときのPの軌跡をサイクロイドと呼ぶ。a = 1のときサイクロイドの長さは8である。しかし、サイクロイドの長さを有限回の操作で測ることはできない。
それは必然ではなくて偶然の要素が大きいでしょ。
より高位にあることの結果というわけではない。
どっちも「美しい」と言われてるけど、
宇宙際タイヒミュラー理論がもし真だと
生まれるだろうけど、あれを美しいと言う人は
たぶんいないでしょ。
世の中ではあまり知られていないようだけど、「次元」というものは整数値だけじゃないんだよ。
すなわち、1次元（直線）、2次元（平面）、3次元（立体）、4次元（時空間）…のような整数次元以外の図形も有り得るんだ。
いや別に、これは私が勝手に構築した妄想内での話じゃない。ちゃんとした数学での話だ。
一般にフラクタルと呼ばれる図形では、無理数次元というものが考えられるんだ。
まず、フラクタルとは何か。
それは、図形全体がその一部分から再帰的に定義される図形のことだ。
まあ、これじゃ何言ってるかわからないよね。でも、具体例を見ればピンと来るだろう。
有名なのは、シェルピンスキーのギャスケットというやつだ。
こいつは三角形なんだけど、その中身が細かくくりぬかれた図形であり、そのくりぬき方に規則性がある。
まず最初に、三角形の中央をくりぬく。くりぬく形は元の三角形を上下反転させて、半分の大きさにしたもの。
これらも同じように、さらに半分の大きさの三角形で中央をくりぬいていく。
これを無限に繰り返したものが「シェルピンスキーのギャスケットのギャスケット」というわけだ。
無限に繰り返すため、最終的にはそれこそ「骨しか残らない」ような図形になる。元々は三角形だったのに、線みたいな図形になるわけだ。
また、この図形は、例えば真ん中より上側を見るとわかるんだけど、図形の一部分と元の図形が同じ形になっている。
例えば、元の図形は、中央に逆にした三角形のくりぬきがあるが、その上側でも同様に、中央に三角形のくりぬきがある。
また、そのくりぬきの左側をそれぞれ見てみよう。
元の図形でも、その上側でも、やはり小さい逆向きの三角形でたくさんくりぬかれた三角形が、全く同じように存在するだろう。
というふうに、「シェルピンスキーのギャスケット」は、その図形全体がある一部分の繰り返しで形成されるわけで、
ここまで、「シェルピンスキーのギャスケット」は同じ形の繰り返しということを述べたが、この後、無理数次元の話をするために、もうひとつだけ注意しておく。
それは、同図形は大きさを2倍にすると、同じ図形が3つに増えることだ。
先に述べたとおり、同図形はその上半分と同じ形をしている。そして、同じ形が上半分、左下、右下に現れる。
つまり、辺の長さを2倍にした「シェルピンスキーのギャスケット」を描こうとすると、
元の図形を真ん中以外の、上半分、左下、右下に3つ配置した図形になるわけだ。
もう一度繰り返すが、「シェルピンスキーのギャスケット」は辺の長さを2倍にすると、図形全体は3倍になる（★）。
これは、後で無理数次元の話をするときに、もう一度出てくるから、よく理解しておいてほしい。
それでは、次元とはなんだろう。
その1辺を2倍にすると、正方形の面積、立方体の体積はどうなるか。
正方形は、縦の長さと横の長さが2倍になるので、面積が4倍になる。
立方体は、縦の長さと横の長さと高さが2倍になるので、体積が8倍になる。
さて、面積や体積は1辺を2回または3回かけ算すれば求められるので、
この4倍や8倍という値も、2の2乗から4倍、2の3乗から8倍として求めてもよいことがわかるだろう。
これをまとめると、
2を次元乗すれば、図形が何倍になるかがわかる（☆）
というわけだ。
例えば、立方体の場合は、立体なので次元が3で、図形は8倍になるだった。
一方で（☆）の考え方でも、2を次元乗、つまり3乗することで、図形が8倍になることがわかる。正方形の場合も同様だ。
すなわち、わざわざ正方形や立方体を頭に思い浮かべたり、面積や体積の公式を思い出さなくても、
（☆）の関係を考えれば、辺を2倍にしたとき、図形が何倍になるかがわかるのである。
（これは「ハウスドルフ次元」と呼ばれる。なお、ここでは簡略化のため、単位長さを2倍にする場合だけ考える。）
ここでは、前述の「シェルピンスキーのギャスケット」の次元を考えてみよう。
（★）で述べたとおり、同図形では「辺の長さを2倍にすると、図形全体は3倍になる」のだった。
よって、「シェルピンスキーのギャスケット」の次元をdとすると、（☆）から、2のd乗＝3が成り立つはずだ。
d＝1とすると、左辺は2の1乗なので、2となり、左辺の方が小さい。
d＝2とすると、左辺は2の2乗なので、4となり、左辺の方が大きい。
つまり、「シェルピンスキーのギャスケット」は直線（1次元）と平面（2次元）の間にある存在だというわけだ！
同図形は三角形（平面）で構成されたものであるため、ベースとなるのは2次元である。
しかし、先に述べたとおり、その中身は無限にくりぬかれていく。
つまり、ほとんど中身はスカスカになっていく。「骨しか残らない」図形で、線みたいになっていく。
だから、「シェルピンスキーのギャスケット」の次元も、2次元よりは線（1次元）に近いのだから、少し小さい値になるだろう、というわけだ。
ちなみに、このdを実際に計算するには対数（log）が必要だが、おおよそ1.58となる。
この場合のlogは無理数となるので、一番最初に述べたとおり、無理数次元というものが本当に存在するというわけだ。
「シェルピンスキーのギャスケット」は部分的には三角形の組み合わせなので、平面である2次元のように見えるが、
細かくしていくとさらにその中に空白があるため、2次元よりは少し小さいだろう…
