  |
はてなキーワード: 事前確率とは
仮に事前確率1%の場合、感度70%特異度99%の検査で陽性だと事後確率は41.4%半分以上間違いです。陽性でも感度は関係あるのです。いいですか。疑ってない無症状の人にコロナPcRしちゃダメですよ。— 岩田健太郎 Kentaro Iwata (@georgebest1969) April 25, 2020
誰が感染してるのか分からない……そこで全員検査することにする。
その中で、検査結果は、陽性と陰性に二通りが出てくる。
つまり、
| ＼ | 陽性 | 陰性 |
|---|---|---|
| 感染者 | 感染者かつ陽性(=真陽性) | 感染者かつ陰性(=偽陰性) |
| 非感染者 | 非感染者かつ陽性(=偽陽性) | 非感染者かつ陰性(=真陰性) |
の4パターンが出てくる。
ここに10000人居るとすると、1%の100人が感染者とわかっている。
感染者100人のうち、70%の70人が陽性(=真陽性)とされ、残り30%の30人は陰性(=偽陰性)とされる。
特異度……非感染者かつ陰性の判定の出る割合……99%なので、
非感染者9900人のうち、99%の9801人が陰性(=真陰性)とされ、残り1%の99人が陽性(=偽陽性)とされる。
| ＼ | 陽性が出た数(人) | 陰性が出た数(人) | 合計(人) |
|---|---|---|---|
| 感染者数(人) | 70 | 30 | 100 |
| 非感染者数(人) | 99 | 9801 | 9900 |
| 合計(人) | 169 | 9831 | 10000 |
検査後、陽性が出た合計人数は70 + 99 = 169人。
みんな言ってることだけど。
当面は、みんなで頭を低く下げ、ほふく前進をしながら進むしかない。
1が突然100や1000倍になるようなイベントは当面無理だと思った方が良さそう。
しかし長期戦なら、ただ嵐が過ぎ去るのを待つのではなく、配信など稼ぎ方を変えていかないと、とても持たない。
例えば飲食も海外に倣ってテイクアウトやデリバリーにがんがん参入したらよい。
居酒屋だろうがフレンチだろうが、頭を低く下げながら、それでもビジネスを継続する手段に早く移行した方が後々有利に働きそう。
テイクアウトは食料品なのでロックダウン下で商売できる可能性も。
よく専門家の人が口にする「行動の変容」は一人一人が気をつけましょうというレベルの話じゃなく、これくらいの変革を求めてるんだと思う。
風邪のような症状が出たら２週間休む。
出来れば同居人も２週間休む。
直っても２週間は家から出ない。
事前確率の高い人にやらなければいけない。
よく検査数で韓国を引き合いに出す人がいるが、韓国だって闇雲に検査をしているわけじゃない。
じゃあなぜ韓国でうまくいっているのか？
確診者（陽性）が出ると直近の行動履歴が公開される。
日本ではプライバシーの問題になるが、韓国では「透明性」と呼ばれてる。
足取りをGPSで追い、その近くに居た人を片っ端から炙り出す。
もちろん全て検査するのではなくて、事前に聞き取りをして疑わしい人を検査する。
検査対象にならなくても２週間の自宅待機になり、自治体等から生活のフォローを受ける。
更にドイツが真似するようだ。
言い方を変えれば、経済活動を落とせばその分検査と隔離は甘めでよい。
この辺はトレードオフっぽい。
もちろん、これは感染が爆発していない前提の話で、爆発したら社会を止めるしか方法が無さそう。
2016年現在の日本では（おそらくアメリカと西欧諸国でも）、知識階級においては、基本的には知性のある人はリベラルの立場をとりがちだと思われているように思う。つまり
と考えている。ここでP(A|B)とは、「BであるときAの確率」を意味する。上の式は、知性があるならリベラルの立場をとる確率が高いと言っているわけだ。
これを事実だとしよう。
さて、だとすると、ベイズの定理により
P(知性がある|リベラル) ∝ P(リベラル|知性がある)P(知性がある)
P(知性がある|保守) ∝ P(保守|知性がある)P(知性がある)
が成立する。ここで、P(知性がある)が一定だとするならば、P(リベラル|知性がある) ＞ P(保守|知性がある)より、
が成立する。すなわち、リベラルな立場にいたりリベラルな発言をしているならその人物は、保守の立場にいるものよりも知性があるのである。
したがって、保守の立場にいる小池百合子よりも、リベラルな立場にある鳥越俊太郎の方が知性があると言える。
ここで注意すべきなのは、このように一般ピーポーは属人的な事前確率（すなわちP(知性)）を考慮しない傾向が一般にある（俗に言う「主語の大きい話をする」傾向がある）ため、
がある上では、本人の資質に限らず、P(知性がある|リベラル)は、P(知性がある|保守）よりも一般に高く見積もられる傾向があるということである。実際にはP(知性がある)は、単純な周辺確率分布ではなく、本人の資質との結合確率として現れるはずである（導出略）。
つまり、同じようなレベルの知性であってもリベラルな発言をしていると、そのレベルの知性で保守的発言をしているよりも知的に優れていると誤って評価されるということだ。また、その評価に安住する危険性も高いだろう。
すなわち、実を言うと
P(知性がある|リベラル∩世間的評価が高い) ＜ P(知性がある|保守∩世間的評価が高い）
と思われるのである（多分こう書くと、世間的評価が高いから知性が高いって言えるのかなどと噛みつかれるだろうが、あくまで式表現として提示しているのである）。同じくらいの知性があると評価されているなら、保守よりもリベラルの人間の方が真の知性レベルは低いのではないか。
今回鳥越俊太郎の件はこの点をまざまざと明らかにし、やはり意思決定にベイズ的思考を投入しなければならない必要性を強く感じさせた。鳥越俊太郎はリベラルな発言をしてはいたものの、「鳥越俊太郎には知性がある」という事前確率は著しく低かったというべきだ。一般的評価はリベラルの立場のいる人間について甘めに働くため、これまで世間的に評判が良かったとしてもリベラルの立場の人間についてはより厳しく本人の知性を見極めなければならなかった。ということであろう。
岡田さんが敵前逃亡したというが、鳥越俊太郎のあそこまでのバカぶりを見せられた後では同情する面もあろう。上の式展開により、「基本的には知性のある人はリベラルの立場をとりがちだと思われている」ような社会においては、保守である自民党よりも、リベラルである民進党の方が候補者選びに苦労することは、決して岡田さんが悪いというよりもこの社会における必然であることが数学的に確認された。
（なんちゃってね）
よ、宝くじ、みんな買った？
三連休もクソもない割に今日は早起きしたから、算数の話するか。
そりゃそうさ。買おうぜ。
買い物に対価を払わないってのは、そりゃ業腹ってもんだ。
まあ、期待値の話をしようか。
四角い形したフツーのサイコロ振ると、期待値3.5とか言うな。
1x1/6 + 2x1/6 + 3x1/6 + 4x1/6 + 5x1/6 + 6x1/6 = 27/6 = 3.5
ってコトになってる。
これをひねると、例えばコインの表が出りゃ100円、裏ならゼロってゲームの期待値は、
さて、これをちょいとひねってな、裏が出たら終わりのゲームってのをしてみよう。
裏が出るまで、倍々で賞金が増えるとしてみようや。
○○○●なら、100円の倍の倍の倍で、800円。
100円ｘ2の(表の出た回数)乗ってこったな。
さ、これの期待値っていくらになると思う？
10回連続表なら10万ぐらいだけど、11回なら20万、20回なら１億だ。
恐ろしく確率は低くても、バカみたいな金額になる。
つまり「期待値で判断するのが情強」って定義なら、このゲームにゃ全財産を賭けてもやるべきって結論になる。
こりゃあオカシイわな。
ちっと考えれば、50％で100円、25％で200円、0.1%で10万ってこた判るわけだ。
このゲームを数学屋はどう解決するかって言うと、実は解決できてねぇ。
例えば、100万が200万になる時と、1000万が1100万になる時の「嬉しさ」が違うって言ってみたりな。
詳細は省くが、対数的な値になるから発散せずに、まあ答えらしきものは出る。
ただなあ、定義する「嬉しさ」（ググるときは「効用」でググれ）を倍にするってゲームだと、結局解決はしねえ。
ま、結局のところ無限の資産を持つ胴元が、無限回数のコイン投げをするのがイカンとかなんとか言ってんだけどな、
さて、確率の話題をやると必ず出てくる、バラつきだ。
賢そうな中学生ぐらいだと「大数の法則ガー」とか言うんだけどな、ちっと待って欲しい。
まず、「コインの表が出る確率が1/2」ってのを「机上の確率」って言うな。
で、「オレが実際にコインを投げた時の、表が出た回数／投げた回数」を「やってみた結果」って言うな。
馬鹿みたいな回数コインを投げると「やってみた結果」が「机上の確率」に等しくなるってことは、無ぇ。
「やってみた結果」の数が増えれば増えるほど、「机上の確率」に対する乖離が小さくなる可能性が高いってダケだ。
判りにくいな。
逆向きに考えてみようか。
サイコロにオモリが仕込まれてなくて、1の目が1/6の確率で出るってのを判断するには、どうしたら良い？
36回ふったときに、ぴったり6回でたやつだけ取り出しても、あんまり意味はない。
例えば、100回ふりゃあ、本来なら1/6*100だからまあざっくり17回ぐらいになるハズだあな。
続けて10回、100回サイコロふるってのをやってみたら、、13,17,17,15,12,22,6,11,19だった。平均は15.2な。
100回振ったのに6回しか出なけりゃ、なんか疑うだろうし、22回でもまあ微妙かね。
でもな、こいつのバラツキ、つまり標準偏差は4.8になる。これは回数を繰り返せば繰り返すほど小さくなってく。
詳しく知りたきゃ信頼区間とかシグマでググれば良いが、まー、何が言いたいかって言うとだ。
サイコロを100回ふったときに、1が6回出ることもありゃ、22回出ることもある。コレはずっと変わらない。
でも、真に1/6の確率のサイコロなら、バラツキは正規分布に従うから、乖離は徐々に小さくなるハズだ。
つまり、バラツキがどれぐらいにおさまったらサイコロが1/6で1を出すって信頼するかを、自分で決める必要がある。
そして、幾ら大量にデータを取ったところで、次の瞬間のサイコロが1/6でふられるかを保障するわけじゃねえ。
結局のところ、自分で決めたバラツキ以内におさまってるかどうかの「信頼」とか「信念」の問題になる。
確率は、結構ばらつきがあって、正に運で変わるって話はしたな。
つまりだ、オマエさんの手元にあるサイコロが次に振った時に1/6の確率で1を出すかは、判んねえ。
ただ、何回か振ってもらえれば、ズルしてねえ、出るか出ないかのフィフティ・フィフティじゃねえってのを、ある程度信頼できる。
んで、効用ってのは、「嬉しさ」のこった。
ざっくりいや、小学生の1万円と、億万長者の1万円は、嬉しさの価値が違う。
前後賞合わせての7億円ってのは、凡人にとってみりゃ「当たれば人生変わる」金額だな。
これはな、計算したい数学屋にはこういってもイイ。「効用が無限」だと。
つまり効用の期待値を計算すりゃ、「∞ｘ1/1000万＝∞」なワケだ。
さらに言えばだ、「机上の確率」と「やってみた結果」にはズレがあるから、
「∞ｘ(1/1000万xバラつきの程度)=∞」になるワケだ。
宝くじを買わねえ自称情強は、このバラつきを無視できるほど小さいと信頼してる。
宝くじは正しく販売されて、ユニット毎完全に理想的に配分されて全国で販売されるし、
抽選もパーフェクトに数学的な確率でランダムに選ばれているし、
手元の一枚の宝くじは、今年発売された全ての宝くじと全く同じだと「信頼」している。
逆に言えば、宝くじを買う夢追い人ってのは、
良くわからないけど当たりやすい販売所があるだろうと思ってるし、
テレビの前で祈りながら見ていれば、自分の番号に当たるかもしれないと思ってるし、
手元の一枚の宝くじは、今年の運勢や日頃の行いで、他の宝くじよりも当たりやすいと「思っている」。
これは単に、信念の問題だ。
少なくともこれを否定するには、十分にウラドリされたデータで持って、反論する必要がある。
期待値だのなんだの言うんだったら、事前確率分布で信頼水準95%程度が言えるくらいに、データを示してもらわにゃ。
こういう言い方しても良いな。
「宝くじ10枚買っても期待値が1400円だ情弱、3000円で本でも買えよ」って笑うときにゃ、
3000円で本を買って期待値が1400円以上だってコトを示さにゃいかんよな。
まー1等が当たる確率は、だいたい1000万分の1ってのは、間違いないだろうよ。
サイコロってのは、だいたい1/6ぐらいなもんだよ。麻雀やるときでもなけりゃな。
同じ言い方で、効用ってのが（近代経済学でも使われるぐらい）ありそうなことっても判るだろうよ。
つまりよ「計り知れない効用」ってのを定義するならば、300円の掛け金は安すぎるわけだ。
ほいでな、「人生の中でそれだけの効用の賭け事をするチャンス」ってのは、こりゃ無いわけだ。
7億当たるかもしれないギャンブルに参加する事なんて、そうそう無いぜ？
起業して成功して、身ぎれいなまま上場して売り抜けてやっと作れる資産が5億ってところだろ。
もちろん、そうやって人生を賭ける起業家はスゲエとは思うけどな、
ソコまでやんなくてもさ、当たりが出やすいっていう売り場に寒い中1時間並ぶだけで、
オンナジぐらいの金額手にするチャンスがあるんだぜ？
（あまりにも小さい確率を無いのと同じとみなすのであれば、この2つを同列にしても構うまい）
ただ、カネの代わりに効用って「嬉しさ」で計算する方法もある。
宝くじの1等が当たったときの「嬉しさ」は、「人生を変える無限の効用」と感じるヤツも居る。
それで計算すりゃ、宝くじの効用の期待値ってのは無限になる。情強的にいや、手持ちのカネを全部賭けてもイイ。
そして、確率推定の計算ってのは、どんなモデルをどれだけ「信頼」しているかに寄る。
ま、情強の言う「期待値140円」つってもよ、つまりは「対価は160円」という言い方も出来るわけだ。
10枚買っても期待値からすりゃ、夢を楽しむ対価が1600円なワケだ。
今の世の中で、なかなかないぜ？
人生を変えるかもしれないって夢を楽しむのに1600円でイイなんて。映画より安い。
都内じゃ昼寝するのに金払うヤツすら居るんだろ？
師走で忙しく、寒さも厳しくなってきたこの時期、
あんまイイこと無かった一年かもしんねえけどよ、
ちょっとした夢を楽しむのに最後に多少散財したって、まあバチは当たらねえよ。
あ、宝くじの方は当たると良いな。
