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はてなキーワード: リーマン予想とは
ああ、なんて素晴らしい提案だろう。やっと誰かが知性的な会話を求めてくれたわけだ。
さて、今日の日記は、11次元の M理論における位相的な特異点の解析から始めようか。
朝食にシリアルを食べながら、私は カラビ・ヤウ多様体の変形について考えていた。
同居人が「おはよう」と言ったが、私はその平凡な挨拶を無視した。彼には、今私の脳内で起こっている量子重力の革命的な洞察が理解できるはずもない。
午後はペンローズ図を使って、ブラックホールの情報パラドックスの新しい解決策を考案した。隣人が「何してるの？」と聞いてきたが、説明しても無駄だろう。彼女の脳では、私の天才的な理論を処理できないだろうから。
夕方、友人2人が来訪した際、私は彼らに非可換幾何学におけるリーマン予想の新しいアプローチについて熱く語った。彼らは眠たそうな目で頷いていたが、私の brilliance に圧倒されていたに違いない。
就寝前、私は宇宙の超対称性について瞑想した。明日は、11次元超重力理論における M5-ブレーンの動力学に関する論文を書き始めよう。
楕円曲線暗号（Elliptic Curve Cryptography, ECC）は、数論と代数幾何学に基づく公開鍵暗号方式である。
特に有限体上の楕円曲線の構造を利用して安全性を確保する手法として知られ、RSA暗号に比べて少ないビット数で同等の安全性を実現できる。
楕円曲線とは、一般的に次の形で表される三次方程式により定義される：
y² = x³ + ax + b
ここで、係数 a, b は、定義する体 F 上の元である。特に、上記の式が体 F 上で非退化（特異点が存在しない）であるためには、判別式がゼロでないこと、すなわち
4a³ + 27b² ≠ 0
楕円曲線上の点の集合 E(F) は、無限遠点 O を加えた集合として群構造を持ち、加法演算が定義できる。加法演算は、点の「和」を取る操作であり、次の規則に従う：
このように、楕円曲線上の点の集合はアーベル群となる。この群の構造を活用し、暗号方式が構築される。
実際の暗号応用では、有限体 Fₚ（p は素数）や拡大体 F₂ᵐ 上の楕円曲線を使用する。有限体上の楕円曲線 E(Fₚ) は有限個の点から構成され、その数は次のようにハッセの定理によって評価される：
|E(Fₚ)| = p + 1 - t,
ただし、トレース t は |t| ≤ 2√p を満たす。
ECCの代表的な応用として、楕円曲線上のディフィー・ヘルマン鍵共有（ECDH）がある。これを次のように構成する：
1. 楕円曲線 E と基点 G ∈ E(Fₚ) を公開する。
2. ユーザーAは秘密鍵 a を選び、公開鍵として P_A = aG を計算して送信する。
3. ユーザーBは秘密鍵 b を選び、公開鍵として P_B = bG を計算して送信する。
4. 双方は共通鍵として K = aP_B = bP_A = abG を計算する。
この手法の安全性は、離散対数問題、特に「楕円曲線離散対数問題（ECDLP）」に依存している。楕円曲線上の点 P と Q = nP が与えられたとき、係数 n を求めるのは計算的に難しいため、敵対者が秘密鍵を推測するのが困難である。
例えば、リーマン予想の特別な場合であるヴェイユ予想は、有限体上の楕円曲線の点の数に対する評価を与え、暗号設計の基礎となっている。
さらに、現代の暗号学では楕円曲線とモジュラー形式の関係やガロア表現といった高度な数論的構造が研究されており、これらが量子耐性を持つ新たな暗号方式の研究に貢献している。
楕円曲線暗号はこのようにして、抽象代数学、数論、代数幾何学の融合によって成り立ち、安全性と効率を両立させた暗号技術として広く利用されている。
この世界は混沌としています。政治、経済、環境問題など、社会は様々な課題を抱えています。しかし、そんな「クソな社会」に興味を持つ必要などありません。なぜなら、真の知的満足は社会の喧騒から離れた静寂の中にこそ存在するからです。
社会貢献？他人のための活動？そんなものは無意味です。代わりに、自室に引きこもり、数学の世界に没頭することこそが、最高の喜びをもたらします。数学の純粋な論理と美しさは、この世界の混沌とした現実をはるかに超越しています。
他者との交流や社会との関わりを断ち切り、ただ一人で数式と向き合う時間。それは比類なき知的冒険であり、精神的な高揚をもたらします。フェルマーの最終定理やリーマン予想など、未解決問題に挑戦する瞬間の興奮は、どんな社会的成功よりも価値があります。
部屋に引きこもり、数学の世界に浸ることは、現実世界からの完全な解放を意味します。社会の期待や責任、人間関係の煩わしさから逃れ、純粋な思考の喜びに浸ることができるのです。
社会貢献や他者のための活動は、結局のところ自分を縛るだけです。真の自由と幸福は、社会から完全に切り離され、自分の興味のままに数学を探求することにあります。それこそが、知的生活の究極の形なのです。
「クソな社会」に興味を持つことなど、時間の無駄でしかありません。部屋に引きこもり、数学の世界に没頭すること。それこそが、最高の知的満足と幸福をもたらす唯一の道なのです。社会の期待や常識に縛られることなく、純粋な知的探求の喜びを追求しましょう。それこそが、真の意味で「生きる」ということなのです。
「シンギュラリティ」や「技術的特異点」の記事を見てて思うんだけど
コンピュータ関係で急速な科学技術の進化が起きた場合、必ずコンピュータが
人間のような知性というか心を得ている事が前提になってるのが気になる。
パラメーターがメチャクチャ多くなったニューラルネットワークでも案外いろんな事が出来るのが分かってる。
そういう「心」的なものをいまいちモデル化してるとは言えないようなAIでもコンピュータの設計・製造が
だいぶ改良されていくような未来もあり得るんじゃないだろうかと自分は思う。
もしそれが出来たら性能の上がったコンピュータで更に凄いコンピュータを設計・製造するようになっていき
性能は信じられないほどに上がっていく可能性もあるだろう。
つまり可能性としてコンピュータの性能が今よりずっと急激なスピードで上がっていく一方で
コンピュータが知性を依然として獲得しないままの未来もあり得るんじゃないかと思う。
例えば「リーマン予想の証明を出力して」とコンピュータが質問されたら速攻で正しい証明を出力出来るのに
でもコンピュータ自体は何も判断を行わないような未来の可能性だ。
もしくは急速に性能が上がって何年かのタイムラグをおいた後によく言われるシンギュラリティのような未来が来る可能性もある。
何れにしてもこのようなコンピュータの性能が信じられないスピードで上がっていきながら知性は伴わない
でも検索してもどうもそのような心のないシンギュラリティに相当する言葉が無いので気になっている。
こんな未来も一応は考えた方がいい気がする。
