■かけ算の順序を指導する理由

　小学校教員経験者としての個人的な意見です。といっても大卒後2年だけ勤務（5年生, 6年生担任）してその後転職してるので、経験は少ないし時差があります。ただ最近、というか定期的に話題にあがる、かけ算の順序問題について自分の考えを書きたいと思ったので

　(1)かけ算の理解の評価

　(2)かけ算を元にしたわり算の理解

という2つを考えつつ書きなぐります。

順序が大事な理由をざっくり言うと

　ここではかけ算の順序を固定するという表現を使ってみようと思います。まず現状としてかけ算の学習では

　（１つぶんの数）x（いくつ分）=（ぜんぶの数）

の順序で固定して指導されています。

　乱暴な言い方かもしれませんが、このように固定するのは必要悪だと思っています。

　かけ算の順序を固定する理由をざっくり言うと、かけ算の式において（１つぶんの数）と（いくつ分）のそれぞれを明確に式の中で表現するため、です。それに伴い、順序を固定する必要が出てくるということです。固定は副次的なものです。

　例えば3 x 2という式において、（１つぶんの数）にあたる数は3なのか2なのか、（いくつ分）にあたる数は3なのか2なのか、順序が固定されない限り判断がつかず評価ができません。どっちの数がどっちだか混乱してしまいます。なので、かけられる数に（１つぶんの数）を、かける数に（いくつ分）を対応させることにより、明確に（１つぶんの数）と（いくつ分）を式の中で表明することができます。

　あと、計算だけ指導するのであれば、順序の固定は不要です。実際に、意味がわからなくても計算ができる人は山ほど居ます。ただ、かけ算やわり算の意味をとらえるためには、（１つぶんの数）と（いくつ分）を区別して考えていかなければなりません。

　これだけじゃわかんねーよって人は以下も参考にしてください。

立式をどう評価するか

　授業をするからには、かならず評価をすることになります。実のところ、この順序をつけなかった場合、問題の文脈を正しく理解して立式したのかどうか、評価が難しいです。問題において提示されている事象、より厳密に言えば「現実モデル(*1)」を、正しく「数学化(*2)」して処理しているかどうかが、評価のポイントになるわけです。もちろん児童ひとりひとりにインタビューをして評価できれば良いのですが、ペーパーテスト上では、立式ができているかどうかをかけ算の順序で判断するしかありません。（もちろん、正しい順序で書けたからといって正しく数学的に理解できているかどうかはわかりません。適当に数字を選んで立式している可能性もあります。逆に、現実モデルは説明できるのに式でそれを表現できていない場合もあります。これは現在のペーパーテストによる評価の限界でもあります。）

　このままだとわかりにくいので、次で具体的な例を挙げながら説明します。

(*1)「現実モデル」...例えば「1ふくろにつきももが3こ入っていて、それが5ふくろあります」というものが現実モデルの一例です。現実にはその場にももがあるわけではないですが、その現実事象を模したものが現実モデルです。

(*2)「数学化」...ここでは文章題から立式する過程のことを指しています。問題を数学（算数）の領域で解決できるようにすることです。数学化した時点で、現実モデルの情報はそぎ落とされます。たとえば[現実]→[数学]の動きの場合、「りんごが2こと3こでぜんぶでいくつ」→「2 + 3」と容易に数学化できますが、その逆の[数学]→[現実]の動きの場合、「2 + 3 」→「　」の部分は無限に答えが考えられます。りんごじゃなくてもも2こと3こにしてもいいし、今日は1月2日です3日後は何日ですか、でもいいわけです。数学化されたものはそれだけ抽象化されていて、元の現実モデルを言い当てるのは困難ですし、現実モデルがそもそも無い場合もあります。

答えが同じでも、順序によって現実モデルが異なる

　よくあるひっかけの文章題では、文中で（いくつ分）をわざと先に出し、（１つぶんの数）をその後に登場させるものがあります。

　「６枚のお皿にりんごが３個ずつのっています。りんごは全部で何個ありますか」

　文章題の順序通りに立式すると、6 x 3という式になります。固定した順序で考えると、これは（１つぶんの数）と（いくつ分）の順序が逆になっています。この場合、実際には

　1皿に3個のりんごがのっていて、そのお皿が6枚分ある（式 3 x 6）

という現実モデルが、

　1皿に6個のりんごがのっていて、そのお皿が3枚分ある（式 6 x 3）

という現実モデルになってしまい、結果的に6 x 3という式は後者の現実モデルを元に立式したと判断することになります。

りんごのぜんぶの数はどちらも等しいですが、6 x 3という式の元の現実モデルが実際の現実モデルとは異なるため、問題にある現実モデルを正しく数学化できたとは言えず、誤答になるということです。

　（１つぶんの数）を3、（いくつ分）を6

として捉えているのか、

　（１つぶんの数）を6、（いくつ分）を3

として捉えているのかには大きな違いがあるわけですが、（１つぶんの数）x（いくつ分）の順序で書こうと決めておくことで、どちらで捉えているかを特定することができるようになります。

順序は逆にして固定してもよいか（憶測）

　そう考えると、順序は逆にして固定しても問題はなさそうです。今の

　（１つぶんの数）x（いくつ分）

という順序は、ただ言語的な順序に従っているだけだと思います。

　かけ算がたし算の延長ということを思い出すと、

　2 + 2 + 2 + 2 + 2

を

　2 x 5

と表しているだけで、これは

　2 + 2 + 2 + 2 + 2

を、2が5つ分という風に捉えて、その順番で2 x 5と順序づけているのかもしれません。5つ分の2と捉えれば、5 x 2と順序づけてもいいので、捉え方の問題なのかもしれません。個人的には前者の方が自然に感じるのですが、刷り込まれてきただけかもしれません。

（共通性のある例を考えると、2/3という分数について、日本では「3分の2」と分母から読み、記述するときも大抵の人は分母の3から書き始めると思います。「3分の2」と考えなから、分子の2から書き始めるのは違和感があるのではないでしょうか。一方で英語圏の場合、Youtubeとかで実際に確認した限り、2/3は「two third」と分子から読み、記述の際も分子の2から書き始めます。）

　繰り返しになりますが、順序自体が大事なのではなく、かけ算の式において（１つぶんの数）と（いくつ分）のそれぞれを明確に式の中で表現することが大事で、そのために順序の固定が副次的に必要になるということです。

　改めて考えると、この固定というのは非常に厄介でもあります。まだ学習し始めの子どもを混乱させないために条件を固定しているという意図もありますが、順序を交換しても答えは変わらないという事実と照らし合わせたとき、納得いかないのも当然です。しかもその事実自体は小2の九九の時点で学習します。

順序が問題にならないときはどのようなときか

　順序が問題にならないときというのは、既に数学化されたものを取り扱うときです。つまり、そもそも数学化の過程が評価の対象にもなっていないものです。算数的に言えば、文章題のような問題ではなく、既に立式されている問題です。

　2 x 3

という問題であれば、

　2 x 3 = 3 x 2 = 6 答え6

と計算しても間違いはひとつもなく、正答です。2 x 3が計算できなくても、順序を変えて3 x 2で計算しても良いのです。その根拠は、かけられる数とかける数の順序を逆にしても答えは変わらないからです。むしろ学習が進むにつれて、交換法則は便利に使うことができ、積極的に使えるようにしていくべきです。（教科書でもちろん学習します。）

　また、アレイ図（↓のやつ）を考える時、自分でどう括るかによって、（１つぶんの数）と（いくつ分）が決まり、どちらの順序でも考えることができます。例えば

● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

　上のようなアレイ図であれば、縦3個でくくれば3 x 4という式になりますが、横4個でくくれば4 x 3という式になり、かけ算の順序が逆になります。自分で現実モデルを作り出してそれを数学化しています。

わり算の理解における（１つぶんの数）と（いくつ分）の役割

　わり算の考え方には2つがあります。「等分除」と「包含除」です。その違いを説明するために、虫食い算のかけ算を考えます。というのも、わり算はかけ算の拡張なので、発想として虫食いのかけ算で考えるとわかりやすいです。3 x 2 = 6と、順序を逆にした2 x 3 = 6を虫食いにして考えましょう。かけ算の順序を変えただけなので、どちらも答えは同じ6です。

・等分除

　　□ x 3 = 6

というかけ算をわり算では

　　６ ÷ 3 = □

と表します。この場合、求める□の部分は（１つぶんの数）にあたり、例のりんごと皿で考えれば、

　「りんごが全部で6こある。これを3枚の皿に平等にわけると、1皿あたり何こになるか。」

という問題になります。１つぶんのりんごの数が、求める答えです。これが「等分除」です。わり算と聞いて想像しやすい、平等に分けよう、というものです。教科書でもこの等分除から学習します。

・包含除

　　3 x □ = 6

というかけ算をわり算では

　　6 ÷ 3 = □

と表します。この場合、求める□の部分は（いくつ分）にあたります。例のりんごと皿で考えれば、

　　「りんごが全部で6こある。1皿に3こずつりんごをのせていくと、皿は何枚必要になるか。」

という問題になります。皿の枚数が、求める答えです。これが「包含除」です。イメージ的には、6つある物を1セット3ことして何セット作れるかな、というものです。

　以上のように、□ x 3 = 6と3 x □ = 6のどちらも6 ÷ 3 = □というわり算になるのですが、もともとのかけ算の式をみると、求めている□の部分が（１つぶんの数）なのか（いくつ分）なのか、という違いがあります。一見、全部わかりやすい等分除で考えればいいじゃないかともなりますが、包含除は等分除ではとらえにくい、余りのあるわり算を考えるときに非常に有用で、必要不可欠です。

　この等分除と包含除の考え方は、かけ算での（１つぶんの数）と（いくつ分）を明確に区別しているからこそ理解でき、学習できることです。3回目くらいになりますが、（１つぶんの数）と（いくつ分）のそれぞれを明確に式の中で表現するために、順序を固定する必要が出てくるということが、かけ算の順序を指導する理由であり、今回書きたかった結論です。もし順序を固定しない場合、式の中でどっちがどっちなのかを示す記号を加えるなどの工夫が必要なのではないでしょうか。

　単に順序を逆にしても同じ、として学習を進めると、（１つぶんの数）と（いくつ分）に区別のない世界で考えることになります。このとき、子どもにかけ算やわり算の意味をどのように指導すればよいのでしょうか。計算だけ指導するのであれば、何も問題ないのですが。

現代でその考えは必要なのか

　現在、文科省が掲げる算数科の目標は次の通りです。

　「算数的活動を通して，数量や図形についての基礎的・基本的な知識及び技能を身に付け，日常の事象について見通しをもち筋道を立てて考え，表現する能力を育てるとともに，算数的活動の楽しさや数理的な処理のよさに気付き，進んで生活や学習に活用しようとする態度を育てる。」

　「算数的活動」とは「児童が目的意識をもって主体的に取り組む算数にかかわりのある様々な活動」を意味しています。先ほど考えたわり算の理解は、この算数的活動を実現しうる機会の一例そのものだと思っています。

　正直、計算自体が重要なのであれば、現代では電卓やコンピュータに入力する力が求められるだけです。もっと時代が進めば、こんな等分除や包含徐を学習しなくてもなにも困らない時がくるかもしれません。もちろん、先ほどの算数科の目標は社会の移り変わりによって広義に変容するものですから、時代が変われば内容も変わるでしょう。しかしそんな中でも、根本として算数・数学を探求することが大切ということはゆるぎないと思います。

現場の感想

　小学校の教員は基本的にほとんどの教科を一人で担当します。私は自分の算数の指導に課題を感じ、よりよい授業のために調べたり足を使って研究会・学会に参加したりしてきたのですが、正直いうとそうしてきた算数だってあまり自信が無いです。すべての教科を完璧に仕上げるのは結構な難易度だと思います。

　勤めている人はみんなそうですが、現場の教員たちも同じように膨大な業務に追われています。また、子ども・保護者のトラブルの対応も多々です。学校では毎日事件が起きているといっても過言ではありません。若い先生は特に教材を研究する時間が必要ですが、所定の勤務時間内にできる時間はほぼゼロです。朝と夜の残業時間も、授業そのものに関係しない業務が多いです。学校で子どもが過ごす大半の時間は授業時間なのに、その授業の準備が満足にできないということです。経験を積めば良いと言われても、今担任しているクラスの子どもが被害者になるだけです。あたりまえですが、その子たちは一度だけの1年を毎年過ごしているわけです。貴重で大事な時間です。

　現場にもっと人が欲しい、というのが素直な感想です。算数では少人数授業やチームティーチングが増えてきていますが、根本的な問題は解決していません。算数に限らず、教員がもっと授業に関することに時間を割けるようにするべきです。毎日授業があるのに、その授業の質が低くなっては意味がないです。結局、先生たちもかけ算の順序について教えてくれる人なんて居ないのかもしれません。そんな状況で教えなくちゃいけないんです。

　日本さん、もうちょっと教育にお金かけませんか？未来を担うのは、大人ではなくて子どもたちではないでしょうか。

Permalink | 記事への反応(4) | 06:05

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