2019-03-18

かけ算の順序を指導する理由

 小学校教員経験者としての個人的意見です。といっても大卒後2年だけ勤務(5年生, 6年生担任)してその後転職してるので、経験は少ないし時差があります。ただ最近、というか定期的に話題にあがる、かけ算の順序問題について自分の考えを書きたいと思ったので

 (1)かけ算の理解評価

 (2)かけ算を元にしたわり算の理解

という2つを考えつつ書きなぐります

順序が大事理由をざっくり言うと

 ここではかけ算の順序を固定するという表現を使ってみようと思います。まず現状としてかけ算の学習では

 (1つぶんの数)x(いくつ分)=(ぜんぶの数)

の順序で固定して指導されています

 乱暴な言い方かもしれませんが、このように固定するのは必要悪だと思っています

 かけ算の順序を固定する理由をざっくり言うと、かけ算の式において(1つぶんの数)と(いくつ分)のそれぞれを明確に式の中で表現するため、です。それに伴い、順序を固定する必要が出てくるということです。固定は副次的ものです。

 例えば3 x 2という式において、(1つぶんの数)にあたる数は3なのか2なのか、(いくつ分)にあたる数は3なのか2なのか、順序が固定されない限り判断がつかず評価ができません。どっちの数がどっちだか混乱してしまます。なので、かけられる数に(1つぶんの数)を、かける数に(いくつ分)を対応させることにより、明確に(1つぶんの数)と(いくつ分)を式の中で表明することができます

 あと、計算だけ指導するのであれば、順序の固定は不要です。実際に、意味がわからなくても計算ができる人は山ほど居ます。ただ、かけ算やわり算の意味をとらえるためには、(1つぶんの数)と(いくつ分)を区別して考えていかなければなりません。

 これだけじゃわかんねーよって人は以下も参考にしてください。

立式をどう評価するか

 授業をするからには、かならず評価をすることになります。実のところ、この順序をつけなかった場合問題文脈を正しく理解して立式したのかどうか、評価が難しいです。問題において提示されている事象、より厳密に言えば「現実モデル(*1)」を、正しく「数学化(*2)」して処理しているかどうかが、評価ポイントになるわけです。もちろん児童ひとりひとりにインタビューをして評価できれば良いのですが、ペーパーテスト上では、立式ができているかどうかをかけ算の順序で判断するしかありません。(もちろん、正しい順序で書けたからといって正しく数学的に理解できているかどうかはわかりません。適当数字を選んで立式している可能性もあります。逆に、現実モデル説明できるのに式でそれを表現できていない場合もあります。これは現在ペーパーテストによる評価限界でもあります。)

 このままだとわかりにくいので、次で具体的な例を挙げながら説明します。

(*1)「現実モデル」...例えば「1ふくろにつきももが3こ入っていて、それが5ふくろあります」というもの現実モデルの一例です。現実にはその場にももがあるわけではないですが、その現実事象を模したもの現実モデルです。

(*2)「数学化」...ここでは文章題から立式する過程のことを指しています問題数学算数)の領域解決できるようにすることです。数学化した時点で、現実モデル情報はそぎ落とされます。たとえば[現実]→[数学]の動きの場合、「りんごが2こと3こでぜんぶでいくつ」→「2 + 3」と容易に数学化できますが、その逆の[数学]→[現実]の動きの場合、「2 + 3 」→「 」の部分は無限に答えが考えられますりんごじゃなくてもも2こと3こにしてもいいし、今日1月2日です3日後は何日ですか、でもいいわけです。数学化されたものはそれだけ抽象化されていて、元の現実モデルを言い当てるのは困難ですし、現実モデルそもそも無い場合もあります

答えが同じでも、順序によって現実モデルが異なる

 よくあるひっかけの文章題では、文中で(いくつ分)をわざと先に出し、(1つぶんの数)をその後に登場させるものがあります

 「6枚のお皿にりんごが3個ずつのっていますりんごは全部で何個ありますか」

 文章題の順序通りに立式すると、6 x 3という式になります。固定した順序で考えると、これは(1つぶんの数)と(いくつ分)の順序が逆になっています。この場合、実際には

 1皿に3個のりんごがのっていて、そのお皿が6枚分ある(式 3 x 6)

という現実モデルが、

 1皿に6個のりんごがのっていて、そのお皿が3枚分ある(式 6 x 3)

という現実モデルになってしまい、結果的に6 x 3という式は後者現実モデルを元に立式したと判断することになります

りんごのぜんぶの数はどちらも等しいですが、6 x 3という式の元の現実モデルが実際の現実モデルとは異なるため、問題にある現実モデルを正しく数学化できたとは言えず、誤答になるということです。

 (1つぶんの数)を3、(いくつ分)を6

として捉えているのか、

 (1つぶんの数)を6、(いくつ分)を3

として捉えているのかには大きな違いがあるわけですが、(1つぶんの数)x(いくつ分)の順序で書こうと決めておくことで、どちらで捉えているか特定することができるようになります

順序は逆にして固定してもよいか憶測

 そう考えると、順序は逆にして固定しても問題はなさそうです。今の

 (1つぶんの数)x(いくつ分)

という順序は、ただ言語的な順序に従っているだけだと思います

 かけ算がたし算の延長ということを思い出すと、

 2 + 2 + 2 + 2 + 2

 2 x 5

と表しているだけで、これは

 2 + 2 + 2 + 2 + 2

を、2が5つ分という風に捉えて、その順番で2 x 5と順序づけているのかもしれません。5つ分の2と捉えれば、5 x 2と順序づけてもいいので、捉え方の問題なのかもしれません。個人的には前者の方が自然に感じるのですが、刷り込まれてきただけかもしれません。

共通性のある例を考えると、2/3という分数について、日本では「3分の2」と分母から読み、記述するときも大抵の人は分母の3から書き始めると思います。「3分の2」と考えなから分子の2から書き始めるのは違和感があるのではないでしょうか。一方で英語圏場合Youtubeとかで実際に確認した限り、2/3は「two third」と分子から読み、記述の際も分子の2から書き始めます。)

 繰り返しになりますが、順序自体大事なのではなく、かけ算の式において(1つぶんの数)と(いくつ分)のそれぞれを明確に式の中で表現することが大事で、そのために順序の固定が副次的必要になるということです。

 改めて考えると、この固定というのは非常に厄介でもあります。まだ学習し始めの子どもを混乱させないために条件を固定しているという意図もありますが、順序を交換しても答えは変わらないという事実と照らし合わせたとき、納得いかないのも当然です。しかもその事実自体は小2の九九の時点で学習します。

順序が問題にならないときはどのようなとき

 順序が問題にならないときというのは、既に数学化されたものを取り扱うときです。つまりそもそも数学化の過程評価対象にもなっていないものです。算数的に言えば、文章題のような問題ではなく、既に立式されている問題です。

 2 x 3

という問題であれば、

 2 x 3 = 3 x 2 = 6 答え6

計算しても間違いはひとつもなく、正答です。2 x 3が計算できなくても、順序を変えて3 x 2で計算しても良いのです。その根拠は、かけられる数とかける数の順序を逆にしても答えは変わらないからです。むしろ学習が進むにつれて、交換法則は便利に使うことができ、積極的に使えるようにしていくべきです。(教科書でもちろん学習します。)

 また、アレイ図(↓のやつ)を考える時、自分でどう括るかによって、(1つぶんの数)と(いくつ分)が決まり、どちらの順序でも考えることができます。例えば

● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

● ● ● ● ●

 上のようなアレイ図であれば、縦3個でくくれば3 x 4という式になりますが、横4個でくくれば4 x 3という式になり、かけ算の順序が逆になります自分現実モデルを作り出してそれを数学化しています

わり算の理解における(1つぶんの数)と(いくつ分)の役割

 わり算の考え方には2つがあります。「等分除」と「包含除」です。その違いを説明するために、虫食い算のかけ算を考えます。というのも、わり算はかけ算の拡張なので、発想として虫食いのかけ算で考えるとわかりやすいです。3 x 2 = 6と、順序を逆にした2 x 3 = 6を虫食いにして考えましょう。かけ算の順序を変えただけなので、どちらも答えは同じ6です。

・等分除

  □ x 3 = 6

というかけ算をわり算では

  6 ÷ 3 = □

と表します。この場合、求める□の部分は(1つぶんの数)にあたり、例のりんごと皿で考えれば、

 「りんごが全部で6こある。これを3枚の皿に平等にわけると、1皿あたり何こになるか。」

という問題になります。1つぶんのりんごの数が、求める答えです。これが「等分除」です。わり算と聞いて想像やすい、平等に分けよう、というものです。教科書でもこの等分除から学習します。

包含

  3 x □ = 6

というかけ算をわり算では

  6 ÷ 3 = □

と表します。この場合、求める□の部分は(いくつ分)にあたります。例のりんごと皿で考えれば、

  「りんごが全部で6こある。1皿に3こずつりんごをのせていくと、皿は何枚必要になるか。」

という問題になります。皿の枚数が、求める答えです。これが「包含除」です。イメージ的には、6つある物を1セット3ことして何セット作れるかな、というものです。

 以上のように、□ x 3 = 6と3 x □ = 6のどちらも6 ÷ 3 = □というわり算になるのですが、もともとのかけ算の式をみると、求めている□の部分が(1つぶんの数)なのか(いくつ分)なのか、という違いがあります一見、全部わかりやすい等分除で考えればいいじゃないかともなりますが、包含除は等分除ではとらえにくい、余りのあるわり算を考えるときに非常に有用で、必要不可欠です。

 この等分除と包含除の考え方は、かけ算での(1つぶんの数)と(いくつ分)を明確に区別しているからこそ理解でき、学習できることです。3回目くらいになりますが、(1つぶんの数)と(いくつ分)のそれぞれを明確に式の中で表現するために、順序を固定する必要が出てくるということが、かけ算の順序を指導する理由であり、今回書きたかった結論です。もし順序を固定しない場合、式の中でどっちがどっちなのかを示す記号を加えるなどの工夫が必要なのではないでしょうか。

 単に順序を逆にしても同じ、として学習を進めると、(1つぶんの数)と(いくつ分)に区別のない世界で考えることになります。このとき子どもにかけ算やわり算の意味をどのように指導すればよいのでしょうか。計算だけ指導するのであれば、何も問題ないのですが。

現代でその考えは必要なのか

 現在文科省が掲げる算数科の目標は次の通りです。

 「算数活動を通して,数量や図形についての基礎的・基本的知識及び技能を身に付け,日常事象について見通しをもち筋道を立てて考え,表現する能力を育てるとともに,算数活動の楽しさや数理的な処理のよさに気付き,進んで生活学習活用しようとする態度を育てる。」

 「算数活動」とは「児童目的意識をもって主体的に取り組む算数にかかわりのある様々な活動」を意味しています。先ほど考えたわり算の理解は、この算数活動を実現しうる機会の一例そのものだと思っています

 正直、計算自体重要なのであれば、現代では電卓コンピュータ入力する力が求められるだけです。もっと時代が進めば、こんな等分除や包含徐を学習しなくてもなにも困らない時がくるかもしれません。もちろん、先ほどの算数科の目標社会の移り変わりによって広義に変容するものですから時代が変われば内容も変わるでしょう。しかしそんな中でも、根本として算数数学を探求することが大切ということはゆるぎないと思います

現場感想

 小学校教員基本的ほとんどの教科を一人で担当します。私は自分算数指導課題を感じ、よりよい授業のために調べたり足を使って研究会学会に参加したりしてきたのですが、正直いうとそうしてきた算数だってまり自信が無いです。すべての教科を完璧に仕上げるのは結構難易度だと思います

 勤めている人はみんなそうですが、現場教員たちも同じように膨大な業務に追われています。また、子ども保護者トラブル対応も多々です。学校では毎日事件が起きているといっても過言ではありません。若い先生特に教材を研究する時間必要ですが、所定の勤務時間内にできる時間はほぼゼロです。朝と夜の残業時間も、授業そのもの関係しない業務が多いです。学校子どもが過ごす大半の時間は授業時間なのに、その授業の準備が満足にできないということです。経験を積めば良いと言われても、今担任しているクラスの子どもが被害者になるだけです。あたりまえですが、その子たちは一度だけの1年を毎年過ごしているわけです。貴重で大事時間です。

 現場もっと人が欲しい、というのが素直な感想です。算数では少人数授業やチームティーチングが増えてきていますが、根本的な問題解決していません。算数に限らず、教員もっと授業に関することに時間を割けるようにするべきです。毎日授業があるのに、その授業の質が低くなっては意味がないです。結局、先生たちもかけ算の順序について教えてくれる人なんて居ないのかもしれません。そんな状況で教えなくちゃいけないんです。

 日本さん、もうちょっと教育お金かけませんか?未来を担うのは、大人ではなくて子どもたちではないでしょうか。

  • anond:20190318060528

    過程が評価されてて、結果が正しくとも過程が間違ってると全体として間違いという流れがあって、平成の次世代はそういう常識を持った子供たちが量産されそうで怖い感じはある 私生...

    • anond:20190318065038

      ゆとりってそんな自由だっけ 無意味に個性個性言われたかもしれないけど凡人は無力感がつのるだけな気もする

    • anond:20190318065038

      「過程が評価される」現代のもう一個前は、ゆとりじゃないだろう。 「とにかく正解を出せるようになれ」の詰め込み教育こそが対置されるもの。   ゆとりっていうのは詰め込みの反...

    • anond:20190318065038

      「結果が正しくとも過程が間違ってると全体として間違い」はかなり欧米的かなと思った それなら数式もどきじゃなくて言語で書かせろよと思ったけど

      • anond:20190318171039

        会社でも団体でも上司の決めたやり方に従う将来の人が多数派じゃん 結果が同じだから自分のやり方が正しいなど通らない

        • anond:20190318171217

          上司っていうか、ビジネスな。科学的検証で決められたプロセスの妥当性は実行者が判断する必要が無い、つまり規則は絶対っていう考え方はあっちでは一般的。

          • anond:20190318171350

            システムは学者が発見した法則のほう ルールは土着の権力者それぞれがその都度決める理不尽 それになれる鍛錬

            • anond:20190318171722

              それを理不尽と言っちゃうところが中世なんだよ ルールは理でなければならない

              • 人間が理の奴隷ということか?

                anond:20190318172731 そんな神様は受け入れない その教室の先生が理だ そして生徒はその理不尽に従う 疑問や質問を持つことを禁止して自分の理に従わせることこそ等身大の人間の人生の夢...

                • anond:20190318173746

                  その教室の先生が理だ はい中世ジャップランドの人治主義者

      • anond:20190318171039

        つーかそもそも算数の問題って「式」と「答え」を書かせるし 「式」が間違ってりゃ「式」の分の配点は貰えないのは当たり前だろ

        • anond:20190318171550

          「説明」と「式」と「答え」に分割すればいいんじゃね? 「人Pが5人おりりんごRが3個あるときP * Rはりんごの個数Srを与える: P * R = Sr 式1.1より15個」って書かせればいい

    • anond:20190318065038

      結果が正しくとも過程が間違ってると全体として間違い まさに民主主義そのものでいいじゃん。

  • anond:20190318060528

    5な

  • anond:20190318060528

    長々と書いてるけど結局は採点する側が順番を正しく書いてくれないと生徒が本当に理解してるか判断できましぇーんっていう無能を晒してるだけでは?

    • anond:20190318171544

      お前は理解できんの? んなもん1対1でつきっきりで見てたとしても理解できないと思うが、エスパーなの?

    • anond:20190318171544

      有能だと生徒が正しく理解してるかをどうやって判断できるの?

      • anond:20190318171647

        表面上そだったらない面がどうとか誰も興味ないし知りようもない 表面が整っていればそれで合格

        • anond:20190318171830

          基礎が分からないと後々躓くわけだが

        • anond:20190318171830

          数学って仮説の証明とかもあるから途中経過が回答ってケースもあるわけで 答えあってればよしとは限らない 経過ほとんどあってたら最後の符号書き間違えててもほとんど点数もらえ...

          • anond:20190318173032

            いや、小学校でも昔から問題文と式が合ってなければ点は貰えなかったはずなので 小学校でもまともに算数やってなかったんじゃあ

    • anond:20190318171544

      お前勉強まともにしたことないだろ 正しく理解してることを示せれば途中までの回答でもその分の点数をもらえるのが数学なんだよ それを採点者にわかるように示すってのは当たり前...

      • anond:20190318171955

        それを採点者にわかるように示すってのは当たり前のこと これどこで習った? 俺は習わなかった

        • anond:20190318173503

          数学で降べきの順ってあるだろ それがまさにそれだよ 別に次数がバラバラでも数学として何か間違ってるわけじゃないからな まあ、降べきの順も次数も何か知らないだろうけど

          • anond:20190318174359

            そうじゃなくて それを採点者にわかるように示すってのは当たり前のこと これどこで習った?

            • anond:20190318174742

              なんで降べきの順に直すかって利用がまさにそれなんだよ 人に嫌なことしちゃいけないってのにはいじめたらいけないってことも入ってるけど 直接いじめたらいけないって言われてな...

            • anond:20190318174742

              これどこで習った? 横だが、学校でうるさく教わった覚えがあるぞ。 中学ではどうだったかよく覚えてないが、高校では散々言われたのを覚えている。 大学入試での採点もそうだと...

        • anond:20190318173503

          数学の証明とか、過程飛ばしたら失点になるの、普通に高校受験クラスで必要になると思うよ。

    • anond:20190318171544

      これもしかして生徒に書かせる量が不足していて本来断定できないことをゲスパーしてバツにしてますってことでは?

  • anond:20190318060528

    俺もあっててもバツにするのはどうかと思うけど、順序って大切だと思うんだよなぁ 計算がバラバラでいいってのは降べきの順とかどうでもいいてくらい暴論だと思う 数学なんだから...

    • anond:20190318172219

      「数学なんだから雑な順序で数字を書くのって避けないと」というのは数学者の素養がない人の言葉だと思う 数学者は数式と呼ぶなら順序は止めろ(→数式の記法でなければ順序を固定し...

      • anond:20190318172846

        数学者の素養なんてなくていいんだよ あってるのは間違いないんだからそこは否定してない 広く一般に数学を理解できるようにすることが求められる教育で順序をどう書くかって話な...

        • anond:20190318173917

          でもな、数学者視点だとそこに疑義を付けるのは間違ってるって言われてんだ。付けちゃいけない場所だと。だったら、判定に使う点を式とは別に作るべきじゃないのか?

          • anond:20190318174922

            「疑義を付けちゃいけない」なんて数学者が言うとは思えんが。

          • anond:20190318174922

            学者は順序が違ってもあってるから二つのものを分けて考えなくてもいいって示してるんだよ むしろ、分けて説明してる現状に疑義をつけてるんであって、疑義をつけるのは間違いだな...

記事への反応(ブックマークコメント)

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