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はてなキーワード: 選択公理とは
ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice) の哲学は、数学基礎論における中心的な位置を占め、その含意は数理論理学、モデル理論、証明論にまで及ぶ。
ZFCの存在論的基盤は、von Neumann–Bernays–Gödel (NBG) 集合論との比較において明確になる。NBGがクラスの概念を導入するのに対し、ZFCは純粋に集合のみを扱う。この違いは、大規模基数の存在に関する議論において重要な意味を持つ。例えば、到達不能基数の存在は、ZFCでは公理として追加する必要があるが、NBGではより自然に扱える。
ZFCの哲学的重要性は、その一階述語論理に基づく形式化にある。これにより、完全性定理が適用可能となり、モデル理論的手法を用いた相対的無矛盾性証明が可能になる。特に、ゲーデルのL構造（構成可能全体）とコーエンの強制法は、ZFCの独立性結果を示す上で本質的な役割を果たす。
ZFCの公理系、特に置換図式の導入は、フレーゲの論理主義の崩壊後の数学基礎論の再構築において重要な役割を果たした。置換図式は、ラッセルのパラドックスを回避しつつ、十分な数学的対象の存在を保証する。
選択公理 (AC) の哲学的含意は特に深い。ACは、トポロジー的ベクトル空間におけるハーン・バナッハの定理や、測度論におけるバナッハ・タルスキのパラドックスなど、数学の広範な領域に影響を及ぼす。ACの非構成的性質は、直観主義数学や構成的数学との緊張関係を生む。
ZFCの哲学は、大規模基数公理の研究と密接に関連する。イナクセシブル基数、マーロ基数、超コンパクト基数などの大規模基数の存在は、ZFCの無矛盾性を強化し、数学的宇宙の階層構造を示唆する。これらの基数の存在は、プラトニズム的な数学観を支持するように見えるが、形式主義的解釈も可能である。
ゲーデルの不完全性定理のZFCへの適用は、数学的真理の本質に関する深遠な問いを提起する。特に、第二不完全性定理は、ZFCがその自身の無矛盾性を証明できないことを示し、ヒルベルトプログラムの限界を明らかにした。
ZFCの哲学的含意は、数学的構造主義との関連でも重要である。ブルバキ学派の構造主義的アプローチは、ZFCを基盤として数学的構造を定義し、分析する。一方、カテゴリー論的基礎づけは、ZFCに代わる代替的なアプローチを提供し、トポスの概念を通じて数学的宇宙の多様性を示唆する。
内部モデルの理論、特にゲーデルのL構造の研究は、ZFCの哲学に新たな視点をもたらす。V=L（すべての集合が構成可能である）という仮定は、連続体仮説や一般化連続体仮説を肯定するが、同時に多くの大規模基数の存在を否定する。これは、数学的宇宙の「薄さ」と「厚さ」の間の哲学的緊張を生む。
結論として、ZFCの哲学は、数学的存在論、認識論、真理論の交差点に位置し、現代数学の基礎に関する最も深遠な問題を提起する。その影響は、数学哲学にとどまらず、論理学、計算理論、量子力学の基礎にまで及ぶ。ZFCの哲学的探究は、数学的知識の本質と限界に関する我々の理解を深化させ、数学と哲学の境界を絶えず再定義しているのである。
トラバ全部見てないので、多分同じこといってるひとがいるとおもうけど
円周率を円周と直径の比率として定義した場合、直径が大きくなればなるほど円周率は小さくなる。
直径が大きくなるって、なんだ。平面上でそんなことできないだろう！というのはそのとおり。
つまり、平面上でなければいい。
具体的なモデルを挙げると、おっぱいの上の乳輪の面積を考えてみよう。
理想的なつるぺた平面では乳輪の面積はπｒ＾２が成り立つが、巨乳の場合、乳の膨らみぶんだけ直径が曲線となり、平面と比べて直径は膨らむ。
つまり、同じ円周の乳輪の場合、理想的なつるぺた平面よりも巨乳おっぱい表面の方が直径が大きくなるわけだね。
他の具体的なモデルだと、
乳首の存在を考えて空間に凸してるところがあると、凸の出っ張り部分だけおっぱい表面における直径が大きくなるね。
陥没乳首の存在を考えて空間に凹してるところがあると、凹の引っ込み部分だけおっぱい表面における直径は大きくなるね。
つまり、問題文ではユークリッド空間であるとは明示されていないのだから、円周率が3.14を満たす空間はこっちで勝手に想定しても問題文そのものを満たすだろ、という話。
＞円周率が3.14を満たす空間はこっちで勝手に想定しても問題文そのものを満たすだろ
というのはおかしいだろ。問題文に書かれてないことを勝手に想定するなんて！
ぃま三次元球体が別れた。。
選択公理で分裂した。。
どんどん分裂してぃまゎ8体になってる。
ぅちに勝ち目ゎなぃんだって。
完全にかこまれて る。
っょぃ。
勝てなぃ。
https://mobile.twitter.com/maji_math/status/392867552529223680
