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ブラックホール情報パラドックスは、ブラックホールの蒸発過程において情報が失われるかどうか、すなわち量子力学のユニタリ性が保持されるかどうかという深刻な問題である。M理論を用いてこのパラドックスを解決するためには、高次元の弦理論の枠組みとホログラフィック原理を駆使し、ブラックホールの微視的構造とその情報保存のメカニズムを詳細に理解する必要がある。
ストロミンガーとヴァファは、タイプII弦理論における5次元極値ブラックホールのエントロピーを微視的に計算した。彼らはDブレーンの系を用いて、ブラックホールのマクロなエントロピーがブレーンの量子状態の数 Ω の対数と一致することを示した。
Sᴮᴴ = 𝑘ᴮ A / 4 Gᴺ ℏ = ln Ω
ここで、A はブラックホールの事象の地平面の面積、Gᴺ はニュートン定数、ℏ はプランク定数、𝑘ᴮ はボルツマン定数である。この結果は、ブラックホールのエントロピーがその微視的状態の数に起因することを示している。
M理論におけるAdS/CFT対応（マルダセナ双対性）は、反ド・ジッター空間（AdS）における重力理論と、その境界上の共形場理論（CFT）が等価であることを示唆している。具体的には、タイプIIB弦理論の背景時空 AdS₅ × S⁵ と 𝒩 = 4 超対称Yang-Mills理論の間の対応が有名である。
この対応関係により、AdS空間内でのブラックホールの形成と蒸発は、境界のCFTにおけるユニタリな時間発展として解釈される。境界理論ではユニタリ性が保証されているため、情報の損失は生じない。
エンタングルメントエントロピー Sᴱᴱ は、量子系の部分系間のエンタングルメントの度合いを測る指標であり、ホログラフィック原理を通じてブラックホールのエントロピーと関連付けられる。リュウ・高柳（Ryu-Takayanagi）による公式は、AdS/CFT対応においてエンタングルメントエントロピーを計算するための強力なツールである。
Sᴱᴱ = Area(γₐ) / 4 Gᴺ ℏ
ここで、γₐ は境界領域 A に対応する極小曲面である。この公式は、ブラックホールのエントロピーが境界理論のエンタングルメントエントロピーとして解釈できることを示している。
ブラックホールのホーキング放射は、従来の計算では純粋に熱的なスペクトルを持ち、情報を運ばないとされていた。しかし、M理論に基づくと、微視的な相関がホーキング放射に含まれ、情報が保存される可能性が示唆される。これは、ブラックホールの微視的状態がホーキング放射のスペクトルに影響を与えるためである。
具体的には、ブラックホールの形成と蒸発は、境界のCFTにおけるユニタリなプロセスとして記述され、情報はエンタングルメントや相関関数を通じて保存される。
ファイアウォールパラドックスは、ブラックホールの事象の地平面で高エネルギーの壁が形成される可能性を示唆し、一般相対性理論と矛盾する。M理論では、量子重力効果やブレーンのダイナミクスを考慮することで、このパラドックスを回避できる。具体的には、事象の地平面付近での量子補正が情報の保存と滑らかな空間時空を両立させる。
M理論を用いたブラックホール情報パラドックスの解決は、以下の要点に集約される。
1. ブラックホールの微視的エントロピー：ブレーンの量子状態の数を通じて、ブラックホールのエントロピーが計算され、情報の起源が明らかになる。
2. AdS/CFT対応によるユニタリ性の保証：重力理論の非ユニタリな過程が、境界のCFTにおけるユニタリな時間発展として再解釈される。
3. ホログラフィックエントロピーと情報の保存：エンタングルメントエントロピーの計算により、ブラックホール内部の情報が境界理論に符号化されていることが示される。
4. 量子補正によるパラドックスの回避：M理論の枠組みで量子重力効果を考慮することで、ファイアウォールパラドックスなどの問題が解決される。
これらの成果は、ブラックホールが情報を消失させず、量子力学のユニタリ性と一般相対性理論が調和する可能性を示している。M理論は、量子重力の統一的な記述を提供し、ブラックホール情報パラドックスの解決に不可欠な役割を果たす。
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