■拡張TQFT概要

拡張TQFTの数学的基礎

高次圏論

拡張TQFTを理解するには、まず高次圏論の概念が不可欠です。

1. n-圏の定義:

- 0-圏: 通常の集合

- 1-圏: 通常の圏

- 2-圏: 対象、1-射、2-射を持つ

- n-圏: n次までの高次射を持つ構造

2. 弱n-圏と強n-圏:

- 弱n-圏: 結合律や単位元の性質が同型で成り立つ

- 強n-圏: これらの性質が等式で成り立つ

3. ∞-圏:

- すべての次数の射を持つ圏

- 準同型複体や位相空間のホモトピー理論と密接に関連

コボルディズムn-圏

コボルディズムn-圏 Cob(n) は拡張TQFTの中心的な概念です。

1. 構造:

- 対象: (n-1)次元向き付け可能閉多様体

- 1-射: n次元コボルディズム

- k-射 (k > 1): (k-1)-射の間の同型類

2. 合成則:

- 垂直合成: 異なる次元の射の合成

- 水平合成: 同じ次元の射の並列配置

3. 対称モノイダル構造:

- テンソル積: 多様体の非連結和に対応

- 単位対象: 空集合

- 対称性: 多様体の順序交換に対応

拡張TQFTの定式化

定義

n次元拡張TQFT Z は以下のように定義されます：

Z: Cob(n) → nVec

ここで、nVec は n-ベクトル空間の圏（または高次圏）です。

公理系

1. 単位元の保存:

Z(∅) = C（複素数体）

2. モノイダル構造の保存:

Z(M ⊔ N) ≅ Z(M) ⊗ Z(N)

3. 向きの反転との整合性:

Z(-M) ≅ Z(M)*（双対空間）

4. グルーイング公理:

境界付き多様体のグルーイングに対して整合的

5. 高次構造の保存:

k-射の合成が保存される

具体的な構成方法

Reshetikhin-Turaev構成（3次元の場合）

1. 入力:

モジュラーテンソル圏 C

2. 構成手順:

- 2次元閉多様体 Σ に対して: Z(Σ) = Hom(1, F(Σ))

ここで F(Σ) は Σ 上の C-彩色された骨格から得られる対象

- 3次元コボルディズム M に対して: Z(M) は M の C-彩色された骨格分解から定義

3. 不変性の証明:

Pachner移動に関する不変性を示す

Crane-Yetter模型（4次元の場合）

1. 入力:

球状融合圏 C

2. 構成手順:

- 3次元閉多様体 M に対して: Z(M) = ∑_T w(T)

ここで T は M の三角形分割、w(T) は C を用いて定義される重み

- 4次元コボルディズム W に対して: 同様の和を W の三角形分割上で定義

3. 4次元不変量:

得られる不変量は Donaldson 不変量と関連

高度な話題

完全拡張TQFT

1. 定義:

すべての次元（n, n-1, ..., 0）の多様体に代数的対象を割り当てる

2. Cobordism 仮説:

Lurie によって提唱された完全拡張TQFTの分類定理

3. ∞-圏論的アプローチ:

完全拡張TQFTを ∞-圏の言葉で定式化

因子化ホモロジー

1. 定義:

拡張TQFTから導かれる多様体のホモロジー理論

2. 性質:

- Künneth 公式を満たす

- 位相的不変量を与える

3. 例:

Khovanov ホモロジー、Heegaard-Floer ホモロジー

量子群と拡張TQFT

1. 量子群の表現圏:

モジュラーテンソル圏を与え、3次元TQFTの構成に使用

2. 量子不変量との関係:

Jones 多項式、HOMFLY 多項式などの量子不変量を TQFT の文脈で解釈

3. Witten-Reshetikhin-Turaev 不変量:

Chern-Simons 理論から導かれる3次元多様体の不変量

最新の研究動向と未解決問題

1. 高次圏論的一般化:

n > 4 の場合の拡張TQFTの具体的構成

2. 非コンパクト多様体への拡張:

無限次元ベクトル空間を用いた定式化

3. 幾何的Langlands対応との関連:

4次元TQFTを用いた幾何的Langlands対応の定式化

4. 量子計算への応用:

トポロジカル量子計算の数学的基礎としての拡張TQFT

5. ホモトピー型理論との関係:

高次圏論と型理論の関係性の解明

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