■"ぼくは「モンティ・ホール問題」がよくわからない。" へのアンサー

こんにちは。確率論が大好きなJKです。

「モンティ・ホール問題」についての山形先生のブログ記事

https://cruel.hatenablog.com/entry/2022/10/30/214634

が面白かったので、アンサー増田を書きたいと思います。

※ブコメでは、上記記事中における確率の議論が不正確なことを揶揄するコメントも多数見られますが、個人的には、こういう一見逆説的な問題設定を作り、それを上手に言語化されているのがとっても素晴らしいなと思いました。一般に、良い問題を作るには優れたセンスが必要で、それと比べれば、(私を含め) 単に問題が解ける人なんてのは大したことないのです。

以下では、該当箇所を引用しながら回答を書いていくので、先に上記の記事を読んでいただければ幸いです。

また、表記の都合上、以下ではプレイヤーの「ぼく」を「Y先生」、「ハギーワギーくん」を「HW君」と書きます。

★ HW君は選択を変えるべきか

(引用)

理屈はまったく同じだ。あなたは当然、ハギーワギーくんにも選択を変えろと助言する。つまり、BのドアよりもAのドアのほうが確率が高いぞ、と言うわけだ。それは……ぼくが最初に選んでいたやつだ。

結論から言うと、このときHW君は選択を変えるべきではありません。

Y先生は最初にAのドアを選んでいて、司会者はBとCのドアのうちCはハズレだと明かしました。

ここで重要なのは、Y先生が事前にAのドアを選んでいたという事実ではなく、司会者は必ずBとCのどちらかのドアしか開かない (Aを開くことはない) ということです。

• B が当たりの確率 = 1/3

• C が当たりの確率 = 1/3

であり、これらは同時に起こらない (排反事象である) ので、

• B または C が当たりの確率 = 2/3

となります。したがって、

• 「司会者が B と C のうちハズレのドアをあけてくれるので、それらのうち残った方のドアを選ぶ」という戦略をとれば、「もともと B または C が当たりのとき」に当たりとなります 。よって、これは当たる確率が 2/3 ですね。

• 一方で、「司会者が B と C のうちハズレのドアをあけてくれたが、断固としてAのドアを選び続ける」という戦略をとれば、「もともと A が当たりのとき」に当たりとなります。よって、当たる確率が 1/3 です。

ということで、「司会者は必ずBとCのどちらかしか開けない」という制約のおかげで、Aを選び続けるよりも、選択を変えたほうがお得になるという寸法です。

司会者はHW君がどのドアを選んだかとは関係なく「BかCのどちらかのドア」を開けます。一方、なぜBかCのドアしか開けないのかというと、これはY先生が最初に選んだドアがAだからということです。ここに、Y先生とHW君の非対称性があるわけですね。

ただし、Y先生とHW君との違いはこの点だけであって、仮にCのドアがハズレだと明かされたとすると、Y先生もHW君もBのドアを選んだほうがお得であることに違いはありません。

★ なぜY先生が選ばなかったカードにだけ影響が出るのか

(引用)

でも……この説明だとハズレドアを一枚あけるという行為、あるいはそれがもたらす情報は、ぼくの選ばなかったカードにだけ影響するようだ。なぜ？

上記の説明で納得いただけた方には、この点は簡単かと思います。上の繰り返しになりますが、「司会者は、(Y先生が選ばなかった) BとCのドアしか開けない」ということが本質であるためです。

★ 問題の言い方を変えただけで話が変わるの？

(引用)

「選んだカードを変えますか？」という問題ではなく「最初の選択をご破算にして、どっちか選びなおしてください」という問題設定にしよう。そうなったら、どっちかのドアの後ろに賞品があって、それは等確率だから、どっちを選んでも確率は1/2だ。それが、最初にぼくが選んだドアか、そうでないか、というのはまったく問題にならない。そうだよね？ (上にあげたWikipediaページにもそう書いてある)。

残念ながらこの主張は誤りで、問題の言い方を変えただけでは話は変わりません。これも上記の HW 君と一緒ですよね。最初に何を選択していたとかは関係なく、「司会者がBかCのドアのうちハズレのものを開ける」という事実 (Aのドアは開けないという事実) さえ確かであれば、 BとCのうち残ったほうを選べばお得なのは変わりません。

※Wikipedia の英語記事をざっと一通り見ましたが、該当箇所は見つからず……

★ 選ぶという「想い」で世界は変わるの？

(引用)

どうもこの一連の話では、ぼくが最初に「Aの扉を選んだ」というのがずいぶんご大層な意味合いを持ってしまうようだ。でも、「選ぶ」と言ったって何かを変えたわけじゃない。「こっちかなー」と思っただけだ。

Y先生がAのドアを選んだことを「司会者に伝えた」というのが何より重要なポイントです。この行動によって、司会者は (Aを除外して) 必ずBかCのどちらかしか開けないという状況に立たされるわけです。

残念ながら、「想う」だけでは世界は変えられず、ちゃんと言葉にして伝えなきゃいけないんですね。

Permalink | 記事への反応(6) | 12:33

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