■[経済メモ] すでにリスク選好の理論は存在する

期待効用理論の公理的基礎

von Neumann-Morgenstern の期待効用理論は以下の公理に基づいています：

1. 完備性

2. 推移性

3. 連続性

4. 独立性

これらの公理を満たす選好関係は、期待効用関数 U: X → ℝ で表現できます。

リスク選好の数学的定式化

確率空間 (Ω, F, P) 上で定義された確率変数 X を考えます。

リスク回避

定義: ∀ X, E[U(X)] ≤ U(E[X])

数学的特徴:

• U''(x) < 0 (狭義の凹関数)
• -U''(x)/U'(x) > 0 (Arrow-Pratt 測度)

リスク中立

定義: ∀ X, E[U(X)] = U(E[X])

数学的特徴:

• U''(x) = 0 (線形関数)
• -U''(x)/U'(x) = 0

リスク愛好

定義: ∀ X, E[U(X)] ≥ U(E[X])

数学的特徴:

• U''(x) > 0 (狭義の凸関数)
• -U''(x)/U'(x) < 0

高次のリスク選好

Pratt-Arrow の枠組みを拡張し、高次のリスク選好を定義できます：

1. 慎重性 (Prudence): U'''(x) > 0

2. 気転 (Temperance): U''''(x) < 0

これらは、予防的貯蓄や分散投資行動の説明に用いられます。

確率優位性理論

1. 一次確率優位 (FSD): ∀x, F(x) ≤ G(x)

2. 二次確率優位 (SSD): ∀x, ∫[F(t) - G(t)]dt ≤ 0

SSD はリスク回避的な意思決定者の選好と整合的です。

一般化された期待効用理論

Machina (1982) の一般化された期待効用理論では、局所的効用関数 U(x;F) を導入し、非期待効用モデルを包含する枠組みを提供しています。

多属性効用理論

複数の属性を持つ結果に対するリスク選好を扱います。

U(x₁, ..., xₙ) = f(U₁(x₁), ..., Uₙ(xₙ))

ここで、相互効用独立性や加法的独立性などの条件が重要になります。

動的一貫性と時間選好

動的プログラミングの文脈で、Bellman 方程式を用いてリスク選好の時間的一貫性を分析できます：

V(s) = max{U(c) + βE[V(s')]}

ここで β は割引因子、s は状態変数です。

非期待効用理論

1. ランク依存期待効用理論 (Quiggin, 1982)

2. プロスペクト理論 (Kahneman & Tversky, 1979)

- 価値関数: v(x) = x^α if x ≥ 0; -λ(-x)^β if x < 0

- 確率加重関数: w(p) = p^γ / (p^γ + (1-p)^γ)^(1/γ)

これらのモデルは、期待効用理論では説明できない現象（例：Allais のパラドックス）を説明します。

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